高中数学必修第1册第四章检测卷（解析版）

第四章指数函数与对数函数章末检测1

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.log28=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

根据对数的运算性质可得选项.

【详解】

因为log28=log?2,=3,所以log28=3,

故选：D.

164=（）

2.

181；

3232

A.——B.——C.D.

2323

【答案】C

【分析】

根据指数幕的运算性质可解得结果一

【详解】

-13

fl6Y^(22)=

<33;-2

故选：C.

9

310g3+2log310=()

100

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

利用对数的运算法则求解.

【详解】

99

匕历面卡2log.10=log.—+log.100=log—X1001=2.

3100J

故选:C.

4.函数y=，2"-8的定义域为()

A.(-<»,3)B.(-co,3］C.(3,+oo)D.［3,4-oo)

【答案】D

【分析】

由对数函数的单调性直接求解即可.

【详解】

由题意得2'-820,所以21223,解得xN3.

故选：D.

5.函数/。)=1。8〃X(。>1)在区间口，3］上的最大值是1,则〃的值是()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】

由题意可得log”3=1,从而可求出〃的值，

【详解】

解：因为4>1,所以函数/(x)=log“x在区间［1,3］上为增函数,

因为函数/(x)=log“x(a>\)在区间［1,3］上的最大值是1,

所以log。3=1,解得a=3,

故选：C

6.设。=k)goJ/2=loga2,c=2L2,则Ac的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】D

【分析】

利用指数函数、对数函数的性质并借助中间数即可得解.

2

【详解】

因logo.1=0，则。=0，

函数y=log./在（°，+8）上单调递增，Iv2V3,于是有0=log31vlog32<log33=l，即0<〃<1，

函数5=2、在R上单调递增，1.2>0,则凄2>2°=1，即c>l，

所以的大小关系是

故选：D

7.已知4=3：，匕=9、c=5；‘则"'b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<hC.c<a<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】

利用箱函数和指数函数的性质比较大小即可

【详解】

22122

a=y=9"<9^=b'0=56=256<27°=V=a'

c<a<b.

故选:C.

8.函数，一10氏（*2一”一6）的定义域为（）

A.（—2,3）B.（—3,21C.（—00,—3）U（2,+co）D.（—℃>,—2）^（3,+°0）

【答案】D

【分析】

对数函数的定义域为真数大于0,解不等式即可.

【详解】

解：函数y=log2（f—x—6）的定义域为：X2-X-6>0»即1>3或工〈一2,

所以定义域为：（F,—2）U（3,+8）.

故选：D.

二、多选题（每小题5分，共20分）

9.设aeR,〃，〃zwN”，.且〃>2,则下列等式中一定正确的是（）

3

,,,m+n

A.a-a"=aB.(/『=/+〃C.=aD.(标)”=a

【答案】AD

【分析】

由指数累的运算公式进行判断

【详解】

解：由指数幕的运算公式可得""./=/'+〃，(/)'“="""，什。了=。，所以AD正确，B错误,

对于C,当〃为奇数时，后=”,当〃为偶数时，"=同，所以C错误，

故选：AD

10.下列函数在定义域上为单调递增函数的是()

A.y=-^B.y=ex~lC.),=jD.y=(x-l)2

【答案】BC

【分析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在其定义域上的单调性，由此可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，函数)，二-,在定义域上不单调；

X

对于B选项，函数)，二«1在定义域，为增函数；

对于C选项，函数了二^;二值，则有炉之0,可得大之0,函数y=的定义域为［0,+x),

该函数在定义域上为增函数；

对于D选项，函数)，=(x—1)2在定义域上不单调.

故选：BC.

11.下列计算成立的是()

A.log28-log24=log24=2B.log35+log34=log39=2

3

C.lg2+lg5=lglO=lD.log22=31og22=3

【答案】CD

【分析】

利用对数运算确定正确选项.

4

【详解】

Q

对于A选项，log2870g24=log2a=log？2=1,故A选项错误.

对于B选项，Iog35+log34=log3（5x4）=log320,故B选项错误.

对干C选项，lg2+lg5=lg（2x5）=lg10=1,故C选项正确.

对于D选项，log223=31o&2=3,故D选项正确.

故选：CD

12.若函数），=优一（匕+1）（。〉0且。。1）的图像过第一、三、四象限，则必有（）.

A.0<a<\B.a>\C.Z?>0D.h<0

【答案】BC

【分析】

对底数。分情况讨论即可得答案.

【详解】

解•：若0<。<1,则y="-s+l）的图像必过第二象限，而函数），="-S+l）（a>0且awl）的图

像过第一、三、四象限，所以。>1.

当〃>1时，要使），=山一3+1）的图像过第一、三、四象限，则人+1>1,即Z?>0.

故选：BC

【点睛】

此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.

第H卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.（0.25）3+（（）3一625必=-----.

【答案】0

【分析】

直接利用指数曷的运算法则求解即同;

【详解】

5

（0.25）°-5+f—13-625025

、27,

=（O.5）-O-5x2+（3px（-3）-5°-25x4

=2+3-5=0,

故答案为：0.

14.函数y=2凶的值域是

【答案】口,也）

【分析】

求出\x\的范围，再根据函数y=2X的单调性求），=2W的范围即可.

【详解】

Q|x|>0,且函数），二2,'在定义域上单调递增，

二丫二2M22°=1,即函数），=2忖的值域是U,+«0.

故答案为：口,内）

15.24+i叫5

【答案】80

【分析】

利用指数累运算和对数恒等式计算，即可得到答案：

【详解】

410g

因为24+^25=2X225=16x5=80，

故答案为：80

16.若函数/*）=1。8〃（6-妙）在［0,2］上为减函数，则。取值范围是.

【答案】（L3）

【分析】

令y=log“〃，。>0且awl,〃=6—ar,由丁=log/，是增函数目一0恒成立，列出关于。的不等式

组并解之即可.

【详解】

6

令y=log”〃，。>0且。/1,u=6-ax,

因为函数/3=log〃(6-⑹在［0,2］上是减函数且”=6-必在［0,2］上是减函数,

所以y=log“〃是增函数且〃>0叵成M,

即＜,解之得。的取值范闱是(1,3).

6—2。＞0

故答案为：(1,3),

四、解答题(第17题10分，18-22题每题12分，共70分)

17.计算：(1)(一5)一8°25乂舱+27l(g)

(2)已知:

I

2

【答案】(1)4,5-

【分析】

(1)把根式化为分数指数累，然后利用分数指数哥运算性质求解即可；

C)对小4〃1一4两边平方化简求出再平方可求出力+。-2的值，从而可求出结果

C<十C，一D

【详解】

解：⑴原式=1-2；X2；+(33"-22

=1一2+9-4

=4

(2)由«+/=3'得。+2,/+7|=9'得=7,

所以『I2a-a1Ia2=49，所以a~Ia2=47»

a+a'-vl7+291

所以———；—=-----=—=-

a2+a~2-247-2455

18.求值：(1)(log43+log83)(log32+log92)；(2)log891og2732；(3).

【答案】(1)—;(2)整：(3)--.

4925

【分析】

7

（I）利用换底公式log/M=/10g.M,以及log%log/inl,化简求值；（2）利用换底公式

log“M=—,化简求值；（3）法一，将底数化成3,再利用指对恒等式化简求值；法二，将指数和对数

1g。

的底数都换成9,再化简求值.

【详解】

（1）（10g43+log83）（log32+log92）

二（嵩3十lo总g,3）、。八叫2「+彘log,2,）=（号log,3+l号og,3）、。八叫2八+等log.人2,”5,".”3,"二屋5

1g9lg3221g351g2_1()

(2)log91og32=

827嬴西―liiT诟一不

52f-k>E35),-k25

(3)法一：01-'°83=32=3^=3M石=—

少25

2

法二：92-k，g35=9r，O£92593

910g92f25

19.已知—IVxKl,求函数,，=4・3、-2・夕的最大值.

【答案】2

【分析】

令1=3、，te；,3,结合），=曲—2/=一2。一1『+2,可得最值.

【详解】

因为），=4・3八一2・9、=4・3”-2・（3”）2,

令2=33则丁=4-2产=-2（，-1）2+2,

因为一所以:<3、43,即/£1,3

乂因为对称轴，=1£；,3,

所以当『=1,即x=0时，ymax=2.

8

20.函数/(x)="+log”(x+l)S>0且awl)在［0,1］上的最大值与最小值之和为明求。的值.

【答案】；

【分析】

分〃>1和0<。<1两种情况分别求出函数的最值，再列方程可求出。的值

【详解】

若。>1，则在［0,1］上单调递增，则〃上L=/⑼，〃4.=/(1)，

则4-log”1)+("+log”2)=〃=>a=g,这与a>1矛盾.

若则/(x)在［。,1］上单调递减，则/(“而n=/(l),/(力2=/(0)，

则⑷+logJ)+(67'+log”2)=〃na=；,符合条件.

a=—.

2

21.已知函数/(x)=0+log〃x(x>0且awl)的图象经过点(8,2)和(L-l).

(1)求/(/)的解析式；

⑵［/(可了=3/(可，求实数X的值；

【答案】(1)/(x)=log2x-l(x>0)；⑵2或16.

【分析】

(1)由、知得b+log“8=2,/?+IogJ=-l,从而求解析式即可；

2

⑵［/(X)］=3/(X),即〃x)=0或3,即可求实数x的值；

【详解】

(1)由已知得，/?+loga8=2,/7+logul=-l,(a)0且awl)

解得。=2,b=-\；

故/(x)=log,x-l(x>0)；

(2)=3/(x),即/'(x)=0或3,

.•・噫1=0或3,

9

，x=2或16.

22.已知函数/(x)=ln"；

(1)判断函数/(力的奇偶性；

⑵判断函数F(x)的单调性;

(3)若/(>+2)>/(2>),求实数阳的取值范围.

【答案】(1)奇函数；(2)单调增区间为(一8,-1),(l,+oo)；(3)―垃<m<—曰或曰<m<桓

【分析】(1)求出/(一"，比较与/("的关系即可得出奇偶性；

(2)，=±1,则y=hw,利用复合函数的单调性判断；

x+\

(3)利用函数单调性解不等式即可.

【详解】解：(1)由3>0得，xv—l或x>l,

X+1

又f(-x)=\n——-==-ln——-=-f(x),

'、7-x+1x-1x+l''

故函数/(%)是右函数：

_12

(2)号1=--=1一一—,其任(1,+8)上单调递增，

x+1x+\

又y=In1在(0,+。)上单调递增，

根据复合函数的单调性可知/(x)在(1，+8)上单调递增，

乂根据(1)其为奇函数可得/(6在上单调递增，

所以函数/(X)的单调增区间为(-00,-1),(1，+8)；

(3)・.・/(>+2)>/(2〉)，且函数/(可在(1,+8)上单调递增得>+2>2加>1，

解得—&<〃?<一变或立<〃1<◎♦

22

第四章测评

10

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知关于x的不等式6）"4>37则该不等式的解集为（）

A.[4,+oo）B.（-4,+oo）

C.（s「4）D.（-4,l]

2.函数yU）=lnQ2/）的定义域为（）

A.（0,l）B.[0J]

C.（-8,O）U（1,+8）D.（-8,O]U[l,+8）

3.设fix）=3、J2,则在下列区间上，使函数4i）有零点的区间是（）

A.JO.l]

D.l-1,0]

4.下列函数中，是偶函数，且在区间（・8,0）上单调递增的为（）

A..y=x2B.产国

C.y=2kl

5.已知«=33,Z）=logAc=logi工,则（）

35e

A..a>c>hB.c>a>b

C.a>b>cD.c>b>a

6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量），（单位:

只）与引入时间x（单位:年）的关系为）=。1。82*+1）,若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们的数

量为（）

A.300只B.400只

C.600只D.700只

7.在直角坐标系中,函数），二鼻的图象大致是（）

8.已知函数於尸｛黑，已若正实数a,b,c互不相等，且/S）=@）=/（c）则abc的取值范围为（）

A.（e,e2）B.（l,e2）C.（-,e）D.（-,e2）

ee

二、选择题:本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6

分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.[2024江苏高一阶段练习]下列等式不成立的是（）

A.log2（8-4）=log28-log24

11

BS=,0-2!

C.log38=3iog32

D.log2（8+4）=log28+logz4

io.已知函数/）=｛；：：：*:'的图象如图所示,则下列说法正确的是（）

y

1--小

O1X

A.fl=l

B.A=-1

C.函数产於+1）是偶函数

D.关于x的不等式Ar）*的解集为（0.2）

11.关于函数风r）=|ln|2-刈，下列描述正确的有（）

A次x）在区间（1,2）上单调递增

B.卢巩0的图象关于直线A-2对称

C.若为分24口）=7*2）,则X|+X2=4

D.yu）有且仅有两个零点

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.[2024广东云浮高一期末]若3“=6力=log26,则：+*=.

13.写出一个同时具有下列三个性质的函数次x）=.

①函数g（x）=/（x）-l为指数函数；

②Ax）在R上单调递增；

③川）>3.

14.已知函数以六括：&，、/（幻=於）-”〃,若函数g（x）存在3个零点，则实数a的取值范围

（J乙，u,Z

为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）⑴求值:64?+9辅言）

⑵若.Hog32=1,求2*+2*的值;

（3）已知a=lg2,Z>=lg3JIJa,b表示logs18.

16.（15分）设函数於）=『气1，+初求函数四）=段）_的零点.

U2-2X,XG（-OC,1）,4

12

17.(15分)已知函数次幻=1。-电>0且"1)的图象过点(9,2).

(1)求实数。的值；

⑵若g(x)M2-x)+/(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间.

18.(17分)[2024广东惠州高一期末]随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从

心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起,得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平

台的会员，主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数，仅供参考):

建立平台第1年1234

会员个数V千人14202943

⑴依据表中数据，从卜.列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台第Mx£N〉年后平台会员人数)，(单位:

千人)，并求出你选择模型的解析式：

①>0);@y=〃logrX+s(d，(V>0且存1);③)〃邛0,〃〉0且存1).

(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过卜(3'伏>0)千人，依据(1)中你选择的函数模型

求i的最小值.

分)已知函数"r)=lo&-且时1).

19.U7X-1

(1)求函数犬幻的定义域.

⑵若a=2,求函数户｛2')的值域.

(3)是否存在实数。也使得函数/U)在区间(〃,|。)内的值域为(1,2)?若存在，求实数a.b的值;若不存在，请说明理

由.

答案：

1.B依题意可知，原不等式可转化为3j+4>3-2;

由于指数函数产3、为增函数，所以-x+4>2a解得x>-4.故选B.

2.C由Fx>。,得%>1或x〈0,故选C.

3.D显然，函数./U)的图象是连续的.

V/-2)=3-2-(-2)2=—<O/-l)=3-,-(-l)2=-<OAO)=3o-O2=l>OAl)=3-l=2>O/2)=32-22=5>O,.\y(-l)AO)<O,

93tt

工使函数,x)有零点的区间是[-1,0].

4.Ay=v3为奇函数,y二|x|,y=21"为偶函数，

但在(0,+8)单调递增，所以在(・8,0)单调递减，

而y=x2为偶屈数且在(・oc,0)单调递增.故选A.

5.A因为函数y=3'为单调递增函数，所以4=3§>3°=1,即a>\.

13

因为），=10g2X为单调递增函数，所以〃=10g2*<10g21=0,即/?<0.

3

因为3'=）ogix单调递减，所以logj1（log.工<logi3即0<。<1,故a>c>〃.故选A.

333e3

6.A将x=l,y=100代入产Hog2（x+1）中，得100=alog2（l+l）,解得。=100.

所以当x-1nt,y=1001og2（7+1）=300.

7.A令&）=鼻,・・・代外二处），

，负x）为奇函数.当x>0时«X）>（）,故选A.

8.A由题意，函数用户心:：?：；：*

画出函数的图象，如图所示.

设u<b<c,8'j|ln«|=|ln8即Ina+lnb=0,可得ab=\,

当.r>e时,.y=2-lnx单调递减,且其图象与x轴交于点（e1O）,所以abc=c,^Le<c<e2,

所以abc的取值范围为（e,e2）.故选A.

9.ABD解析对于A,因为log2（84）=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1,

所以Iog2（8-4）/og28-log24,所以A错误；

对于B,因为宵=警第=00g2：=log22=l,所以汽Wlog2*所以B错误；

10g24Iog22/2410g244

对于C,因为Iog38=log323=31og32,所以C正确；

对于D,因为log2（8+4）=log212=logz3+Iog24=log23+2,log28+Iog24=log223+log222=3+2=5,所以

Iog?（8+4）#og28+log24,所以D错误.故选ABD.

10.ACD由函数图象可知直线x=l为函数7U）的图象的对称轴抑函数满足人2㈤寸次），

则当x>\时,2-x<l,故22M=2前,・・・2*。=。->,则a=l.

同理当A<1时故2”-2+x=2M；.a-2+x=x-a,则a=i.

综上,。=1,故A正确,B错误；

[2ax,x>1,

将贡幻=的图象向左平移1个单位长度，即得函数），y.r+l）,x£R的图象，易知y=/u+l）的图象关于

<1

y轴对称，故y=y（x+l）为偶函数，故C正确;

当时1yU）=2R令2』与解得*2,故lWx<2;

当x<\时J（x）=2f令2'6解得x>0,故04<1,综上,0vxv2,即不等式危书的解集为（0,2）,故D正确.故选

ACD.

11.ABD根据图象变换画出函数Rv）的图象如图,

14

由图象知./U）在（1,2）上单调递增，故A正确;函数图象关于直线x=2对称，故B正确；

,心1尸仆2）=心直线y=k与函数./U）图象相交可能是4个交点，如果最左边两个交点横坐标分别是xi*2,则

Xi+X2=4不成立，故C错误；

/U）的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点，故D正确.故选ABD.

12.1因为3“=6,所以a=log36,

所以5+3=氤+^=log63+log62=log66=l.

13.3丫+1（答案不唯一）

14.10,7）函数g（x）=J（x）-^x+a存在3个零点，等价于函数外）的图象与直线y=^x-a有3个交点.

q//

西出函数凡¥）和y=--a

2

由图知，要使函数凡¥）的图象和直线产吴。有3个交点，则—v-aWO,即

15.解(1)645+9^+(—)-i=(43)t+i32p+((-)3)^=16+-+-=18.

125533

(2)xlog32=1,x=log23,

.,.2r+2-r=2l°^3+2*|O^3=3+-=—.

33

(3)Vd=lg2,/?=lg3,

.-.102518=^=lg2+lg9=匣坦段=史登

glg5lgio-lg2l-lg21-a

16.解求函数g（x）=ym）-；的零点，即求方程很）［=。的实数根.

当1时，由2v-2-i=0得

当"I时，由Ar-lv-^=O得x二巴/（舍去）或所以函数g（x）寸力：的零点是一和

17.解⑴由条件知人9）=log〃9=2,即序=9,又a>0且存l,；.a=3.

（2）以幻二人2/）+42+犬）=1083（2f）+1083（2+大）.由《：：；'0得-2<x<2,

・・・g（x）的定义域为（-2,2）.

15

V5(-x)=log3(2+x)+log3(2-A-)=^(x),

:.g(x)是偶函数.g(x)=log3(2-x)+Iog3(2+x)=iog3(4-A?),

•・•函数＞'=10g3«单调递增，函数Z/=4-A2在区间(-2,0)内单调递增，故g(x)的单调递增区间为G2,o).

18.解(1)从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①.

•・•函数增长的速