2026高考数学复习：双曲线（附答案）

双曲线

（分值:81分）

（单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分）

基础巩固练

1.已知双曲线考一9二1的左、右焦点分别为几乃,点尸在双曲线。的右支上,则|P@|-

IP尸】1=（）

A.-8B.8

C.10D.-10

2.（2025•北京,3）双曲线P4）2=4的离心率为（）

A停B停

22

4D.V5

3.（2024•全国甲，理5）已知双曲线的两个焦点分别为（0,4）,（0,-4）,点（-6,4）在该双曲线上厕该双

曲线的离心率为（）

A.4B.3

C.2D.V2

4.己知双曲线的左、右焦点分别为巧尸2,若左支上的两点人B与左焦点乃三点共

线，且△ABE的周长为8,则|AB|二（）

A.2B.3

C.4D.6

5.（2025•广西柳州模拟）在平面直角坐标系中，点5,B的坐标分别是（-5,0）,（5,0）,直线相

交于点M且它们的斜率之积是g,则点M的轨迹方程为（）

A『奢1锌±5）B皂奢回±5）

4-济1（*±5）D.（—常收±5）

6.（2025•河南南阳模拟）已知双曲线。的中心为坐标原点焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线

方程为产±V5.t,则双曲线。的离心率为（）

A.2B.3

C.3或苧D.2或竽

7.（2025♦四川自贡模拟）双曲线的离心率为V5,则该双曲线的焦点到它的渐近线的距

离为（）

A.lB.2

C.V5D.3

8.（2020•全国HI,理11）设双由线。:《-捺=1（〃＞0力＞0）的左、右焦点分别为人尸2,离心率为

石.P是。上一点，且RP_LF2P.若△PFE的面积为4,则。二（）

A.lB.2C.4D.8

22

9.（2025•江西八所重点中学联考）若双曲线。|：器一%二1（心0力＞0）的渐近线与圆Cr.（x-

2）2+/=3有公共点，则双曲线G的离心率的取值范围为（）

A.（0竽B.（l,当C.（0.2]D.（L2]

10.（2025•安徽江淮十校模拟）设双曲线。:圣-，=1（〃〉0）＞0）的两条渐近线的倾斜角分别为

&人若则双曲线。的离心率为.

综合提升练

11.（2026•浙江宁波高三上学期高考模拟）双曲线昂-。力＞0）的左、右焦点分别为

为上,P是以FE为直径的圆与双曲线E的一个交点，若IPKI+IP月|二冲周,则双曲线七的

离心率为（）

22

12.（2025•天津,9）已知双曲线今一%=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为乃，以B为焦点的抛

物线）2=2/尔/＞0）与双曲线在第一象限的交点为P.若|PFi|+|P后|=3尸1闩|,则双曲线的离心率

为（）

A.2B.5C.竽D.等

13.已知双曲线C:捻一御（〃＞0力＞0）的左、右焦点分别为Fig.过点乃作直线/与双曲线C

的右支交于A,B两点.若△QA8的周长为10〃,则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.ly,V5]B.[y,V3]C.[i,2]D.[2,+8）

14.（多选题）已知点P在双曲线—9=1上,Fi,后分别是双曲线C的左、右焦点，若

△PFi尸2的面积为20,则下列说法正确的有（）

A.点P到x轴的距离为弓B.|PFi|+|PB|二日

CAPF1F2为钝角三角形D.ZFIPF2=^

2

15.P为双曲线右支上一点,M,N分别是圆（x+4）2-）2=4和（六4+9与上的点，则|PM|-

|PN|的最大值为.

16.（2023•新高考I,16）已知双曲线。（一/=13＞0力＞0）的左、右焦点分别为人人,点A在

C上，点B在），轴上了/1耳瓦质1=]用，则C的离心率为.

〈•no解

参考答案

双曲线

1.A解析因为双曲线C的左、右焦点分别为尸1,后,点P在双曲线C的右支上，所以|P@|-

|PFI|=-2〃=-8.

2.B解析由题意得双曲线的标准方程为~y7-4,/-1/一〃十〃2-5,(/-2,c-V5,则

e=-=看.故选B.

a2

3.C解析设点P(64),FI(0「4),&(0,4)，则右袅右=2.牧选C.

4.A解析因为双曲线C:P)，2=1,所以昕1.由双曲线的定义得|AF2|-|AF||二2«二2,|BB|-

|BFl|=2〃=2,两式相加得|AF2|+|5F2HA8|=4a=4.△AM2的周长为8,即|A尸2|+田冏+|4B|=8,

两式相减得|AB|=2.

5.A解析设点M(x,y),由kAM-kBM=-^-•心=-^―=*¥±5),可得412-9产100田±5),即得点

M的轨迹方程为1-黑=1(/±5).故选A.

40*UU

6.D解析由题意，双曲线的渐近线方程为产士百工当双曲线C的焦点在X轴上时，可得3=

V5,所以e=：=Jl+()2=V5=2;当双曲线C的焦点在y轴上时，可得5=看所以吟=

综上,双曲线。的离心率为2或厚.故选D.

7.B解析在y2-^=1中,〃=1,故，c=Z，故/=。2-〃2=5-1=4,故8=2,所以双曲线的焦点坐标

为(0,土遥)，渐近线方程为)，=±夕,即x±2y=(),所以该双曲线的焦点到它的渐近线的距离为

等;2.故选B.

;=底

8.A解析不妨设点P在第一象限，设|PR|=〃2,|PF2|=〃,则，心也依题意得」9nm=%解

mz+n2=4c2,

\m-n=2a,

得a-X.

9.D解析:双曲线的渐近线为/?壮@=0,且与圆。-2y+产=3有公共点，

22222

,圆心到渐近线的距离不大于半径，即胃・<V3,b<3ay/>=6?-61<3«,1<e=%2.#：ife

va2+b2a

D.

10.V2解析因为a=3夕,a+叩以所以a丹加三.

44

双曲线-卷=1(〃>06>0)的两条渐近线方程分别为y=±1,若0=36，则y+的倾斜角为

从尸夕的倾斜角为即tanA=£==Ve2-l=l,Xe>l,所以可得e二企，则双曲线。的

离心率为应.

11.D解析如图，不妨令点P在)，轴右侧，则|PFi|-|P3|=2a

FtU0

因为|PFi|+|PF2|C|FE|二：c,所以|PFi|="・+。,尸臼二)《

4244

因为点P在以RE为直径的圆上，所以△PFiE是直角三角形,|PR|2+|PF2|2二|FF2|2,

即("+〃)2+&?-〃)?Fc2,化简得序二二/,所以离心率或£-H.故选D.

4416a7

12.A解析由双曲线的定义知|PQ|-|Pb2|二2〃,而|PQ|+|PF2|二3|RF2|=6C,

・•・|PR|=a+3c,|PB|=3c・a又舁c,・“=2c,即r=4cx

如图，设P（x。,泗）,过点P作PH垂直于准线x=^H为垂足

由抛物线定义得IPRI=xo+c=3c-a,•\xo=2c-a.

又丑”|=奴尸2|,上印2+4=上F1|2,・・・|尸尸2|2+%二|尸川2,・・・泗\伊川2・注尸2|2=4^.代入方程

)2=4cx,得12ac=4c(2c-a).2tz=c,JS1]e=2=2.故选A.

13.A解析由双曲线的定义可得|AFi|-|AF2|=2“,|BQ|-|8B|=2a,两式相加可得

|AFi|+山尸］|=4o+|AB|,则△FiAB的周长为|AFi|+|B尸i|+|AB|=4«+2|4B|=10仇即|AB|二5加2a.由

|A8|片，可得5砂2/N2/,解得:<乏2.故吟=Jl+$2若，病.故选A.

14.BC解析设点P（XPJP）.因为双曲线—所以C=V16T9=5.XSAPFIF2=

，2c|M=，10x|yp|二20,所以|）力|=4,故A错误.将|yp|二4代入三一±二1得,-得枕尸|含

44JL。zxOxJ

由双曲线的对称性，不妨取点尸的坐标为常,4）,得|P¥|二J（g-5）2+42=（由双曲线的定义

得『R|二|PB|+2a=?+8=?所以|户川+|尸乃|=?+?=?故8正确.在^^乃乃

中,|PFI|=?>2C=10>|PF2|二之且cos/PBF尸胃篝驾二卷<0,则NPBR为钝角，所以

332|。尸2画坛|13

△PF1F2为钝角三角形，故C正确.由余弦定理得cosNBPB二胃察解二

2|PF1||PF2|

出Wa所以/尸出人吟，故D错误.故选BC.

15.5解析双曲线的两个焦点爪-4,0）尸2（4,0）分别为两圆的圆心，

圆为与圆人的半径分别为门=2,f2=l,易知|PM|max=|PFl|+2,|尸N|min=|Pb2|-l,故