八年级数学上册：一次函数函数的解析式（解析版）

第十讲一次函数图像及其性质

目录

必备知识点..............................................................1

考点一一次函数解析式...................................................2

考点二两直线相交......................................................7

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必备知识点

知识点1待定系数法求直线解析式

1.待定系数法：先设函数关系式中的未知系数，然后根据条件求解未知系数，

从而求出这个函数关系式的方法叫待定系数法，其中未知系数也称为待定系数。

2.步骤：“一设二列三解四还原”

知识点2两直线交点求法

直线A:y\=k\x+b\;直线，2:yi=kix+bi,相交于点P。

联立方程组求解｛二：；：：£；,

解得｛yZb，

则P(a,b)

知识点3一次函数与几何图形的面积

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

方法：

1.求点-一围成图形的.页点坐标。

2.确定底边一-找到与坐标轴平行或者在坐标轴上的边长作为底边。

作辅助线：(切割法)过点作y轴的平行线切割图形。

3.求出线段长。

4.带公式求出面积。S△二X底X高

①割补求面积(铅垂法)

S^APU=1/2•PM•(X8—XAj—

A

考点一一次函数解析式

1.根据下列条件分别确定函数的解析式：

(1)丁与%成正比例，当x=5时，y=6；

(2)直线)，=履+5经过点(3,6)与点(12,-12).

【解答】解：(1)•・•)，与x成正比例，

，函数解析式为)，=匕(&W0),

•・•当x=5时，)，=6,

：・6=5匕

:.卜=曳,

5

・•・函数的关系式为：_＞，=2r.

5

⑵根据题意，得俨+b=6.

12k+b=-12

解得尸2.

lb=12

・••函数的解析式为y=-2x+12.

2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A(6,-3)和点8(-2,5).

(1)求这个一次函数的表达式.

(2)判断点C(-1,4)是否在该函数图象上.

【解答】解：(1)设一次函数解析式为)，=履+力，

把A(6,-3)与8(-2,5)代入得：(6k+b=-3,

-2k+b=5

解得：修1,

lb=3

则一次函数解析式为)=-x+3；

(2)把尸-1代入一次函数解析式得：尸1+3=4,

则点C在该函数图象上.

3.如图，直线y=-*+8与x轴、y轴分别交于点A和点B,M是。8上的一点，若将△

ABM沿AM折叠，点8恰好落在x轴上的点夕处.

(1)求4、8两点的坐标；

(2)求S^ABO.

(3)求点O到直线A8的距离.

(4)求直线AM的解析式.

【解答】解：(1)当x=0时，y=--lv+8=8,即B(0,8),

3

当)，=0时，x=6,即A(6,0)；

(2)•・•点A的坐标为：(6,0),点B坐标为：(0,8),NAO8=90°,

：.OA=6,08=8,

^^=VOA2-K)B2=1。，

.』A8O=20A・。8=上义6><8=24；

22

(3)设点O到直线AB的距离为瓦

VSMBO=—OA,OB=XAB・h,

22

.\AX6X8=AX10/?,

22

解得力=4.8,

・••点O到直线A8的距离为4.8；

(4)由折叠的性质，得：AB=AI3'=10,

：.OB'=AB'-04=10-6=4,

设则=8-x,

在Rt4OMZT中，Ol^+OB'2=B'M2,

即/+42=(8-x)2,

解得：x=3,

.•・M(0,3),

设直线AM的解析式为)，=h+4把(0,3)；(6,0),

代入可得＞，=・/+3.

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在)，轴的正半轴上，点4在x轴的正半轴上，

=04=1().

(I)求直线人8的解析式；

(2)若点P是直线A8上的一点，且P的横坐标为4,C(6,0),求△OPC的面积.

【解答】解：(1)设直线的解析式为y=h+〃，

•・•点A在y轴的正半轴上，点/，在x轴的正半轴上，。A=OB=1().

・"(0,10),B(10,0)，

.(b=10,

"l10k+b=0，

解是A=-I,b=10,

・•・直线AB的解析式为)，=-A+10；

(2)丁尸在直线AB上，且横坐标为4,

，将x=4代入y=-x-10中，得y=-4+10=6,

:.P(4,6),

VC(6,0),

，OC=6,

ASAOPC=AX0CXyp=18.

乙

5.如图，直线/W与x轴，1y轴分别交于点4,B,已知。4=8,08=6,点C在x轴上,

且OC=6.

(1)求直线A8的表达式；

(2)若点、P(x,)，)是直线A8上在第二象限内的的一个动点，试求出在点P的运动过

程中，△OPC的面积S与x的函数关系式；

(3)试探究：在(2)的条件下，点。在什么位置时，aopc的面枳为9?

【解答】解：(1)・・・。4=8,03=6,

(-8,0),B(0,6),

设直线的解析式为)，="+6

把4(-8,0),8(0,6)分别代入得「'k+bR

b=6

b=6

・•・直线AB的解析式为)，=*+6；

(2)•・•点、P(x,y)是直线AB上在第二象限内的的一个动点，

・•・)，=当+6(-8<x<0),

,4

A5=—•OC*y=—X6X(当+6)=当+18,

2244

即△OPC的面积S与l•的函数关系式为尸*r+I8(-8<A<0)；

(3)当3=9时，-ix-18=X解得％=-6,

242

当x=-6时，y=—x+6=—X(-6)+6=—,

-442

・・・。点坐标为(-6,3).

2

6.如图，已知点4(6,0)、点8(0,-2).

(1)求直线A8所对应的函数表达式；

(2)在x轴上找一点P,满足以=P8,求尸点的坐标.

【解答】解：（1）设直线4B所对应的函数表达式为.y=kx+b,

将A（6,0）、B（0,-2）代入，

得：（6k+b=0,解得：

lb=-2

b=-2

・•・一次函数的表达式为），=」■%-2：

3

（2）设点。的坐标为（〃?，（））.

•••点A的坐标为（6,0）,点B的坐标为（0,-2）,

・・・布=|〃?-6|,^=7m2+22-

'：R\=PB,

Cm-6）2=m2+l2,

・•./〃=竺

3

・••点。的坐标为（@,（））.

3

7.已知：如图，在△AO8中，点E在线段A8上，A（3,2),B(5,0),E(4,〃)，

求：

（1）直线A8的解析式；

（2）△AOE的面积.

【解答】解：(1)设直线4B的解析式为)，=依+。，

把A(3,2),B(5,0)代入得［3k+b=2,

5k+b=0

解得，尸1,

lb=5

，直线AB的解析式为)，=-x+5；

(2)把E(4,〃?)代入y=-x+5得，〃?=-4+5=1,

：.E(4,1),

115

・•・SAOAB专X5X2=5,SAOBE或X5x1或

115

•••SAAOE=SAOBA-SAOBE得X5X2苫X5X1或

考点二两直线相交

8.如图，两直线y=-x+4、/2：y=2x+l相交于点P,与x轴分别相交于A、3两点.

(1)求尸点的坐标;

(2)求S^PAB.

y=-x+4

y=2x+l

因此P(1,3).

(2)分别求得A(-A,0),B(4,0),

2

=，

••AB=IXA-XnI~~

1XAXB12

:.S△附8=9・|yp|•上=lx9x3=27.

2'2224

9.如图，直线A：y=2计1与直线，2：y=〃Lt+4相交于点P(1,b).

(1)求b,m的值;

(2)垂直于x轴的直线与直线/i,/2,分别交于点C,Q,垂足为点区设点上的坐标为

【解答】解:(1)•・•点P(1,b)在直线A：y=2x+l上,

・M=2X1+1=3；

•・•点尸(1,3)在直线/2：)，=g+4上，

，3=加+4,

m=-1.

(2)当x=a时，yc=2a+1；

当x=a时，y£>=4-a.

,:CD=2,

/.|2a+l-(4-A)|=2,

解得：4•或4=$.

33

・・・。的值为1或土.

33

10.已知直线A：y1=.计2与直线/2：”=依-1交于人点，人点纵坐标为1,且宜线4与x

轴交于B点，与)，轴交于。点，直线/2与y轴交于C点.

(1)求直线/2的解析式；

(2)连接5c求出S“8C.

户’

12

【解答】解：（1）点A在产=x+2上，A点纵坐标为1,

:.x+2=1>

解得，x=-1,即点A的坐标为（-1,1）,

点A在yi=kx-1上，

则-i=1,

解得，k=-2,

・•・直线/2的解析式为）2=・2x-l;

（2）•・•直线/】与x轴交于3点,

/•x+2=0»

解得，x=-2,即08=2,

直线12与y轴交于C点，

.•.点。的坐标为（0,-1）,即OC=1,

直线/】与），轴交于。点，

・•・点。的坐标为（0,2）,即0。=2,

・・.。。=2+1=3,

:.SA48C=工X3X2-1X3X1=2.

222

11.如图，在平面直角坐标系工2y中，已知直线A：1y=丘-3（AK0）与坐标轴分别交于点

A,点B,直线/2：y=-X+4与坐标轴分别交于点C,点D,直线，2相交于点M

2

（6»a）.

（I）求直线/I的解析式；

（2）点P是直线人上的一个点，连接PQ,若△PQM的面积为15,求点P的坐标.

【解答】解：(1)•・•直线/2：)，=・工计4与/2相交十点M(6,