2026年高考数学复习讲义+强化训练：与球有关的切、接问题的（4大核心压轴题型）学生版+解析

压轴13与球有关的切、接问题的4大核心题型

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体

的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，•般出现在压轴小题

位置

A题型01空间几何体的外接球

技法指导

（1）求几何体外接球半径的方法

①补体法：把几何体补成长方体、正方体、正吗面体，再利用它们的外接球半径公式求解；②性质法：

球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直.

（2）确定球心的常用结论

①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心

连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球

心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.

1.（2022・新高考全国II卷•高考真题）已知正三楼台的高为1,二、下底面边长分别为3百和46，其顶点

都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.100兀B.128兀C.14471D.1927t

2.已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在球。上，NBAC=C,NACB=5，AC=J5,P8_L平面ABC.若

26

tan/PAB=2G，则球。的体积为（）

3.已知四面体A6C。的4个面为全等的等腰三角形，且C4=C6=2A6=4,A,6,C,。四点在同个球面

上，则该球的表面积等于（）

A.8TTB.127tC.187tD.24兀

4.（2023•全国乙卷T16）已知点S,A,8,C均在半径为2的球面上，VABC是边长为3的等边三角形，SA_!_平

面ABC,则S4=.

A题型02空间几何体的内切球

技法指导

空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截而中求

半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

5.（2025・吉林长春•模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（）

A72口右「N/6-V2nR+&

A.o•V.----------------U.----------------

3324

6.（2025•江西南昌•模拟预测）已知正三棱锥夕-人4。的体积为3m3,侧面积为2m2,底面积等于1m"则这

个正三楂锥内切球的体积为（）

A.36兀B.1271m'C.108TIm3D.—nm3

3

7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均用切，则这个

圆台的体积为（）

A.39兀B.6071C.78兀D.Win

8.12025新高考II卷T14）•个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内

有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

A题型竺空间几何体的棱切球

技法指导

解决棱切球问题的常用方法

（I）外形：转化为内切球求解；

（2）找切点=定球心=构造直角三角形求解.

9.（2026•江西南昌•期末）正三棱难尸-A8C的底面边长为2g,侧棱长为2&，若球”与正三棱锥所有的

棱都相切，则这个球的表面积为（）

A.工"万B,（44—i6>/6）7rC.D.32乃

N

R

10.（2026•山东莉泽二模）已知正三棱柱ABC-A同G的体积为18,若存在球。与三棱柱ABC-AKG的各

棱均相切，则球。的表面积为（）

A.8乃B.12万C.167rD.18乃

A施型04与球切、接有关的最值问题

技法指导

求解与球切、接有关的最值问题的策略

（1）转化为函数最值问题：通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的

最值问题来解决；

（2）转化为平面几何问题：根据题目的特征，寻找或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他

条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决；

（3）利用基本不等式：可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用基本不等式求其最值.

11.（2022.全国乙卷.高考直题）已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面

上，则当该四棱锥的体积最大时，其而为（）

A.-B.；C.3D.正

3232

12.（2025・山东•模拟预测）一个轴截面是边长为26的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球。2后，

还可以放入一个半径为I的小球。…则小球。2的体积与容器体积之比的最大值为（）

1.（2025・广东中山・二模）如图，在圆柱。。2内有一个球O,该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若。。2=2,

则圆柱的表面积为（）

A.4兀B.57tC.67rD.7兀

2.（2025・河南・三模）已知圆锥的母线长为石，侧面展开图的面.积为2百兀，则该圆锥的外接球的表面积为

).

A.25冗B.10nC.9兀D.4n

3.（2025・甘肃白银•三模）如图，在三棱锥P-48C中，AB_L4cp4平面48C,/%=3,AB=1,AC=2,

8c的中点，则三棱锥尸的外接球的表面积为（）

9兀

C.—D.3兀

222

4.（2025•江西・二模）在三棱锥尸-A8C中，平面A8C_L平面尸AC,PAVPC.ACLAB,A8=AC=10,

若点P、A、3、C均在球。的表面上，则球O的体积为（）

A.200兀B.20（）后C.”竺叵D.］（）0（）0冗

3

5.（2025・河南鹤壁•二模）如图，在三棱锥A-AC。中，V/WC和△&?£＞均为边长为名的等边三角形，若

二面角A-/3C-。的大小为9（），则三棱锥A-AC。外接球的表面积为（）

A.5兀B.87c

C.6nD.9兀

6.（2025・四川德阳•三模）六氨化疏分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面

S

体的内切球表面积为S，外接球表面积为邑，则才的值为（）

A.IB-I

C.3D.4

7.（多选）（2025•甘肃金昌•二模）如图，在圆柱0。中，轴截面A4C。是边长为2的正方形，M是以40?

为直径2的圆上一动点（异于点儿O?）,AM与圆柱的底面圆交于点N,则（）

A.MO?〃平面

B.平面平面AN。1

C.直线N8与直线AQ有可能垂直

D.三棱锥M-AQOz的外接球体积为定值

8.（多选）（2025•四川自贡•三模）如图1,在VA8C中，AC1BC,Zfi=y,A8=8,。、E分别在A8,

AC上，且4QE=3B。.将VAOE沿DE翻折得到图2,其中"'1记三棱锥A-AC。外接球球心为。1，

球。|表面积为5,三棱锥A-ECO外接球球心为02,球02表面积为§2,则在图2中，卜.列说法正确的他）

图1图2

A.BDLAD

B.直线AA与。E所成角的正弦值为巫

5

C.00//平面BCDE

D.S+$2=78乃

9.（2025•陕西西安•模拟预测）已知圆台的高为3,上、下底面圆的半径分别为1和2,它的两个底面的圆

周在同一个球的球面上，则该球的表面积为.

10.（2024•河南新乡•二模）在直三棱柱AMG-ABC中，A8_LEC,A&==4,则该三棱柱的体积的最

大值为.

11.（2025•上海徐汇•一模）如图，在V/1BC中，ZACB=90,ZABC=30°，BC=0,在三角形内挖去一

个半圆，圆心。在边8c上，半圆与AC,分别相切于点CM,与BC交于另一点N,将VA5C绕直线8C

旋转一周得到一个旋转体.

A

（1）求该旋转体中间空心球的表面积的大小；

⑵求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.

12.（2025・四川成都・模拟）已知球内接正四棱锥P-A8CZ）的高为3,AC、80相交于0,球的表面积为等,

若E为PC中点.

⑴求证：OE//平面尸AO；

（2）求二棱锥C—EOB的体积.

13.（2025•黑龙江大庆•模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上

盒盖.可放小球的最大半径为2.若是放入一个正方体，合上盒盖，则可放正方体的最大棱长为（）

心“

A.2+0B.3^/1C.；（夜+l）D.

JJ

14.（2025・浙江•三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值

范围为.

压轴13与球有关的切、接问题的4大核心题型

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体

的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题

位置

A题型01空间几何体的外接球

技法指导

（I）求几何体外接球半径的方去

①补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用它们的外接球半径公式求解；②性质法：

球心与微面圆心的连线与横面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直.

（2）确定球心的常用结论

①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心

连线的中点：③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球

心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.

1.（2022•新高考全国II卷高考真题）已知正三楼台的高为1,二、下底面边长分别为3百和4百，其顶点

都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.10（）71B.128兀C.144兀D.192兀

【答案】A

【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小弓，所以叵,20=*-,即a=3仍=4,设球心

sin60sin60

到上下底面的距离分别为球的半径为R,所以4=JFM，W=,迷—16,故14-4|=I或4+d?=1，

叫庐》_在叫=1或病有十屈元=1，解得芯=25符合题意，所以球的表面积为

s=4兀店=1（X）7：.

故选：A.

2.已知三棱锥〜一八AC的四个顶点均在球。上，N84C=5,4CB=2，AC=G,尸B_L平面ABC.若

26

tan/PA8=2jL则球。的体积为（）

4兀门16兀-32兀八64K

A.——B.—C.——D.——

3333

【答案】C

【解析】在VA3C中，ZBAC=-,Z/1CB=-MC=V3,

26

所以A8=4Ctan工=1,所以BC=2.

6

因为PB_L平面ABCAB.RCu平面ARC,

所以心_LA3,P8_L8C.

又tan/PA8=25/5,所以P8=ABtanNPAB=.

则三棱锥P-ABC的外接球就是长方体的外接球，

长方体的体对角线PC是长方体的外接球的直径，球心为PC的中点.

又PC?=PB、BC2=16,即尸c=4,所以球。的半径为2,

故球O的体枳V=?x23=竽.故选C.

3.已知四面体A8CO的4个面为全等的等腰三角形，RCA=CB=2AB=4,A,B,C,。四点在同一个球面

上，则该球的表面积等于（）

A.87tB.127rC.18兀D.24n

【答案】C

【解析】依题意可知八4=C8=O8=AC=4,DC=AB=2.

如图，将四面体43CO放入长方体中，

设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,将四面体补形为长方体模型，

x2+y2=4,

0)

则x-+z-=16,解得|y=&,

22

y+z=16,z=X/M.

四面体ABC。的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为扭=正运运=逑，

22

故所求表面积为5=4山?2=4兀孚）=18冗，故选C.

4.（2023•全国乙卷T16）已知点S,A,8,C均在半径为2的球面上，VABC是边长为3的等边三角形，SA_1平

面ABC,则S4=.

【答案】2

【解析】如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱SMN・ABC,

设VA8C的外接圆圆心为。…半径为

AB3

or-__3/3

则“sinZACB旦~,可得r=6，

T

设三棱锥S-ABC的外接球球心为0,连接0AoQ,则。4=2,。«=；SA,

因为。42=OQ：+QW，即4=3+,弘2,解得胡=2.

4

A题型02空间几何体的内切球

技法指导

空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截而中求

半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

5.（2025・吉林长春•模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（）

AA.V5RD.erC.-瓜-----nU.-瓜--+--近--

3324

【答案】C

【解析】依题意，所有棱长都是2的正四棱锥的高〃=隹-（&）2=&,

体积V='X22X&=S2,表面积S=4x近X2?+22=4（6+11,

334

设该棱锥的内切球半径为，，则!Sr=乙

故选C

S4(6+1)2

6.（2025•江西南昌•模拟预测）已知正三楂锥P-A8C的体积为3n?,侧面积为2m底面积等于ln『则这

个正三棱锥内切球的体积为（）

A.36nnvB.12nm5C.108兀m’D.—nm5

3

【答案】A

【解析】因为三棱锥P-ABC的体积：V=|s-r,

其中S为三棱锥P-A8C的表面积，「为其内切球的半径.

所以3=gx（2+l）»n「=3.

所以这个三棱锥内切球的体积为：\r3=^7ix33=367C（mD，故选A

7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，•个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均用切，则这个

圆台的体积为（）

A.39兀B.60兀C.78兀D.117TI

【答案】C

【解析】如图，作圆台的轴截面:

22

所以圆台的体积为：V=^rr+(3r)+r.3rlHG=787C.

故选：C

8.12025新高考II卷T14)一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内

有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

【答案】|

【解析】圆柱的底面半径为4cm,设铁球的半径为r,且r<4,

由圆柱与球的性质知AB2=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,

即4产-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0,r<4,：.r=-.

►题型03空间几何体的棱切球

技法指导

解决棱切球问题的常用方法

(1)外形：转化为内切球求解；

(2)找切点=定球心=构造直角三角形求解.

9.(2026•江西南昌•期末)正三棱维P-A8C的底面边长为2石，侧棱长为2&，若球”与正三棱锥所有的

棱都相切，则这个球的表面积为()

A.-B.(44—\6\/6)7rC.5乃D.32%

【答案】B

【解析】设底面4AC的外接圆的圆心为O,连接尸。AO,延长40交区C于N,

球”与棱PABC分别切于M,N,设球〃的半径为「，

则40=旦26=2,ON=®2痒2=1,

32

而PO_L底面A8C,所以PO_LAO,可得PO=后4=2，

在直角三角形OM7中，O〃=VPTT，1<"26，

在直角三角形中，PM=MH=r,PH=五八

所以PO=PH+OH,即有2=血r+^/7^T，解得r=2拒—JJ，

则这个球的表面积为4乃/=4；rx（2x/I-=（44-16#）万.

故选：B

10.（2026・山东前泽二模）己知正三棱柱人A用G的体积为18,若存在球。与三棱柱四c-ABG的各

棱均相切，则球O的表面积为（）

A.8乃B.127rC.167rD.18%

【答案】C

【解析】设正三棱柱ABC-4与G的底面边长为。，高为〃，上底面中心为。1,下底面中心为G,

连接。。，则球。的球心。在。。的中点上，设球。切棱AA于"，切棱8c于E,

则广、上分别为所在棱的中点，

a

HIOF=AG=---=~~6

囚为tc.兀3，GrrE7=——a1

2sin—6

3

又。G=g,所以OE=JOG以GE?=+5，

所以4a=5+J解得。=〃，②

联立①②可得。=b=2>/3>

所以球。的半径为R邛〃=2,

所以球。的表面积为S=44片=4TFX2?=16不，故选C.

A题型04与球切、接有关的最值问题

技法指导

求解与球切、接有关的最值问题的策略

口）转化为函数最值问题：通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的

最值问题来解决；

（2）转化为平面几何问题：根据题目的特征，寻找或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他

条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决；

（3）利用基本不等式：可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用基本不等式求其最值.

11.（2022・全国乙卷・高考真题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面

上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.；C.BD.—

3232

【答案】C

【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCQ，四边形48C。所在小圆半径为广，

设四边形ABC。对角线夹角为。，

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四楂锥的顶点。到底面48CD所在小圆距离一定时，底面A8CO面积最大值为2/

又设四棱锥的高为力，则产+//=/,

22

1.2,x/2/,，廿/五1（r+r+2h\4x/3

%八"/>=一.2广•力=—Vr-r-2/r—J----------=——

°-ABCD333虱3J27

当且仅当，=2//即人”时等号成立，故选：C

【利用导数求最值】

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为“，底面所在圆的半径为一则/•=正〃，

2

所以该四棱锥的高力=「^，令/=«°々<2）,厂=：卜［，设M

3f2

0<r<pr（r）>0,单调递增，g</<2,单调递减，

JJ

所以当f=g时，V最大，此时力=「^=等.故选：C.

12.（2025・山东•模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球。2后,

还可以放入一个半径为1的小球。3则小球Q的体积与容器体枳之比的最大值为（）

A.-B.-C.—D.—

2432438181

【答案】A

【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径〃高力=3.

因为边长为2遥的正三角形的内切圆半径斗='x2』x*=l,

所以轴截面是边长为26的正三角形的圆锥的内切球半径为1,

所以小球。1与容器的侧面，底面均相切.

要使小球。2的体积与容器体积之比最大，则小球。2的半径3最大，所以只需小球。2与小球。1，

圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时弓=?2'+2弓=-,

产4

所以小球。2的体积与容器体枳之比的最大值为手一二=，故选A.

-nrh243

3

1.（2025・广东中山・二模）如图，在圆柱。。2内有一个球。，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若。02=2,

则圆柱GQ的表面积为（）

o

A.47tB.57rC.6TTD.771

【答案】C

【解析】由题意知，圆柱底面半径/'=第=1，母线长/=&。2=2,

所以圆柱«。2的表面积S=2nr2+2nrl=2n+4n=6n-

故选：C

2.（2025・河南・三模）已知圆锥的母线长为石，侧面展开图的面积为2石兀，则该圆锥的外接球的表面积为

).

A.25nB.10nC.9nD.4兀

【答案】A

【解析】若圆锥底面半径为「，则6"=2有加，可得厂=2,故圆锥的高/2=V^Z=1,

若圆锥外接球的半径为R，则球心到圆锥底面距离d=1火一川,

所以/+/=*,即R2_2R+5=W,可得R=|,

故外接球的表面积为%及2=25几，故选A

3.（2025・甘肃白银•三模）如图，在三棱锥夕—A8C中，/^，4。/4，平面48。，PA=3,AB=\.AC=2,

BC的中点，则三棱锥4-/）£户的外接球的表面积为（）

D.3兀

22。谓

【答案】B

PK

【解析】

设棱/W,AC,R4的中点分别为连接HF,MF,DG,EG、DH,EM,

构造长方体DGEN-HAMF,则长方体/X羽V-H4M/外接球的表面积

3I

即为三棱锥A-D所外接球的表面积.依题意‘HD=Q,HF八HA=*

设长方体ZX龙N—H4A〃”卜接球的半径为R,则（2R）2=（；）2

所以其外接球的表面积5=4制?2=.

故选：B

4.（2025•江西•二模）在三楂锥P—A8C中，平面A8CJ_平面抬C,PALPC,ACYAB,AB=AC=\0,

若点2、A、3、C均在球。的表面上，则球O的体积为（）

A.200兀B.200拉兀C.照叵D.I000上兀

3

【答案】C

【解析】因为平面A8C_L平面P4C,平面A8C1平面尸4C=AC,AB1AC,

/Wu平面Q43,所以A6_L平面PAC,

因为尸Cu平面P4C,所以A8_LPC,

因为P4_LPC,PA（AB=AfPA.A8u平面Q4B，所以PC_L平面

因为P8u平面as，所以PC_LPA,

取线段RC的中点。，连接OP、Q4,则OP=Q4=」8C=O8=OC,

2

故BC为球。的直径，故球。的半径/?=生=返三H

=5夜,

22

所以球。的体积为丫=殍J吗况

故选：C.

5.（2025・河南鹤壁•二模）如图，在三棱锥A-88中，VA8C和△88均为边长为石的等边三角形，若

二面角A-8C-O的大小为90,则三棱锥A-8CZ）外接球的表面枳为（）

A.5兀B.87c

C.6兀D.9兀

【答案】A

【解析】设E是BC中点，连接4£。石，设V48C的外心为。1,△8C。的外心为。

。是四面体外接球球心，

由于VA8C和△88都是边长为万的正三角形，

所以AE_LBC,DE上BC,AE=DE=

且。1，。2分别在DE,AE靠近E的三等分点处.

根据二面角A-AC-。的大小为90,及球的性质可知：

。。_1_平面8。。，OQJ■平面46C,所以Oa_LQE,Oa_L4E,

由于。E=。2民A£•!DE,所以四边形0。七。2是正方形,

112

E0t=EO2=-DE=~,O}D=-DE=\,

设四面体外接球的半径为火，则"=［十1'=亭.

所以夕卜接球的表面积为4兀乃=4兀x?=5兀.

4

故选：A

6.（2025・四川德阳•三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面

体的内切球表面枳为S，外接球表面积为$2,则,的值为（）

43

A.—B.-C.3D.4

32

【答案】C

【解析】如图正八面体，连接AC和〃力交于点。，

因为E4=EC,E£>=£8，所以EO_LAC,EO1BD,

乂ACu平面ABC。，3£)u平面A4cO,ACBD=O,

所以£OJ_平面人BCD,

设正八面体的外接球的半径为R,内切球半径为「，

假设正八面体的棱长为2,

则EB=EC=BC=2,OA=OC=我，EO=dEB?-OB?=0，

,△EBC=~T~X2?=/，^^OBC=_X2x1=1,

42

因。A=OC=OE=&，则宠=&，旦。为正八面体的中心,

则点0到平面的距岗为内切球半径「，

=X

因为^E-OBC^O-EHC,:邛~XS^OBCEO=~XS^EHCxr,

KP-xlx\/2=-x>/3xr,所以厂=丞,

333

区=皿=四_=3

所以工4nr2（6],故选：c.

7.（多选）（2025•甘肃金昌・二模）如图，在圆柱中，轴截面A4C。是边长为2的正方形，M是以40?

为直径2的圆上一动点（异于点儿。2），AM与圆柱的底面圆交于点N,则（）

A.MQ〃平面N8O1

B.平面MO。2人平面AN。

C.直线N〃与直线人Q有可能垂直

D.三棱锥M-AO02的外接球体积为定值

【答案】ABD

【解析】对于A,因为〃,N都是对应圆周上的点，AO2，A8是相应的圆的直径,

所以O2M_LAM,N8_LAN,所以加。2〃冲，

因为MQa平面NBQ,NBu平面NBQ,所以例Q〃平面NB。-A项正确：

对于B,因为aa_LAN.aacMa=a，所以AN。平面M。。?，

因为ANu平面ANO]，所以平面Ma。?，平面ANO-B项正确；

对卜C,若NBLAOi，因为NB1AN,AN\人旦=AAN,AQu平面ANQ,

所以NB1平面ANO1,NB上NO1,则0再=7NB，+03?>O、N,

因为。0_平面"MO02=2,BO2=NO2=1,所以qN=。或=V?7F=逐，

这与。乃〉QN矛盾，故直线N8与直线不可能垂直，C项错误；

对于D,因为▲AMOgAaq均是以A。1为斜边的直角三角形，

所以三棱锥M-AQ.的外接球的球心为A。1的中点，由于4@=在方=石，

故三棱锥M-AqQ的外接球体积为定值，D项正确.

故选:ABD

8.（多选）（2025•四川自贡•三模）如图1,在VA8C中，ACA.BC,乙B吟,A8=8,D、E分别在A8,

AC上，且4QE=38C.将VAOE沿。石翻折得到图2,其中力。1记三棱锥A-8CD外接球球心为Q,

球。I表面积为S,三棱锥4-EC。外接球球心为。2,球。2表面积为§2,则在图2中，下列说法正确的有（）

图1图2

A.BD1AD

B.直线A8与。E所成角的正弦值为画

5

C.OQJ/平面BCDE

D.S、+$2=78冗

【答案】AC

【解析】选项A：由图1,在直角V/WC中，BC=ABcos-=4,AC=ABsin-=4>/3,

33

33

因为。石=-BC,所以小〃8C,\A.DE=-BC=3,

44

aIQi

AE=-AC=3y/3,CE=-AC=g,AQ=」AB=6,BD=-AB=2,

4444

由图2,在直角△4EC中，AC='AE2_CE?=2迷,

因为OE〃8C,且4C_L8C,所以力E_LEC,

所以在直角DEC中，DC=1DE?+EC?=2石，又A£>=6,

所以人。2+£>。2=AD?,所以AC_LC£>,

又因为“'_L05\CDC\CE=C,CD,CEu平面BCED，所以AC_L平面8CEO,

又BDu平面BCED,所以AC_ZBO；

在,8DC中，BD=2,DC=26BC=4,所以BD?+£>c?=8C?,

即BZ)_LC£),又ACC£>=C,八C,C£>u平面八。。，所以BZ)_Z平面人DC,故A正确；

选项B：因为BC7/OE,所以一人4。即为所求，

因为ACJ•平面8CED,BCu平面8CEO,所以ACLBC,

所以在直角VA8C中，AB=《AC?+心=J(2府+不=2而sinZA8C=条盖=半,故B不正

确；

选项C：由上可知8。上平面AOC,BDJ.AD，则A8的中点到A8力距离相等,

因为4CJL平面8DC,BDA.CD,则AB的中点到A8,C距离相等，所以01为A8的中点，

同理可知。2为AO的中点，所以01。2〃4。，。2（X平面/3CQE,3Ou平面BCDE,所以。02〃平面5CQE，

故C正确；

选项D：由选项c可知：球。1的半径飞二—二-二Ji6,球。2的半径鸟=—1=3,

所以1+52=4兀（/?：+8）=76冗，故D不正确.

故选：AC.

9.（2025・陕西西安•模拟预测）已知圆台的高为3,上、下底面圆的半径分别为1和2,它的两个底面的圆

周在同一个球的球面上，则该球的表面积为.

【答案】2071

【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图.

易得球心。在圆台内部,设球心到上底面圆的距离为“,

则球心到下底面圆的距离为3-工，由勾股定理得丁+12=（3-力，+2?,解得x=2,

则外接球的半径/<=77/=石，表面积为20%.

10.（2024.河南新乡•二模）在直三楂柱A4G-A4c中，A8_L6CAG=2AA=4,则该三棱柱的体积的最

大值为.

【答案】6

【解析】如图，AG=4,44=2,则AG=26，

由A4_L4C,则AB2+8C2=12224BBC，当A6=8C0寸，等号成立，即A98C的最大值为6,

此时三棱柱的体积最大，最大体积为耳4&8。A4,=-x6x2=6.

11.（2025,上海徐汇•一模）如图，在VA8C中，4C3=90,ZABC=30%BC=0在三角形内挖去一

个半圆，圆心。在边3c上，半圆与4cA8分别相切于点C,M,与4c交于另一点N,将VA3c绕直线8C

旋转一周得到一个旋转体.

（1）求该旋转体中间空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.

【解】（1）连接OM,钻为半圆的切线，.•.OW_L48,

设。M=〃，则O8=V5-r,

750/，44

...s\nZMBO=，解得:r=——，「•5球面=4万尸=7

3

（2）=44。4=90，N4BC=30"，BC=6：.AC=\,

将阴影部分绕直线3c旋转一周得到一个圆锥，里面挖去一个内切球,

241

二•所求体积V=%1m-%=^7rxACxRC-—7ir=—7TX

333927

12.（2025♦四川成都•模拟）已知球内接正四棱锥尸-ABC。的高为3,AC、8。相交于。，球的表面积为熠,

若E为PC中点.

p

⑴求证：。石//平面A4。；

（2）求三棱锥C-EOB的体积.

【解】（1）依题意底面43CQ为正方形，AC.80相交「。，

所以。为AC的中点，又