确定圆的条件 课时练习-2025-2026学年北师大版九年级下册数学

【北师大版九年级数学（下）课时练习】

§3.5确定圆的条件

一、单选题（共30分）

1.（本题3分）下列说法正确的是（）

A.三点确定一个圆B.长度相等的弧是等弧

C.平分弦的直径垂直于弦D.直径所对的圆周角是直角

2.（本题3分）已知八3=7cm,则过点A,B,且半径为2cm的圆有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

3.（本题3分）如图，在直角三角形A8C中，ZAC8=90。，点〃在AABC外接圆上，且CO平分NAC8,

则/8AO的大小为（）

A.30°B.45°

C.60。I）.随点。的位置变化而变化

4.（本题3分）下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等；

④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧-定大于劣弧.正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（本题3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点力、B、aD、E、尺G都在小正方形的顶

点上，则AABC的外心是（）

6.（本题3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点。4R,。均在格点（两条网

格线的交点叫格点）上，以点。为原点建立平面直角坐标系，则过A,8,。三点的圆的半径为（)

C.x/ioD.2V2

7.（本题3分）在RtaABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,则AABC外接圆的半径为（）

A.10B.5C.6D.4

8.（本题3分）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大

小一样的圆形镜子，小明带到商后去的碎片应该是（）

C.③D.@

9.（本题3分）下列说法正确的是（）

A.平分弦的直径垂直于弦B.相等的圆心角所对的弧也相等

C.等弧所对的弦相等D.过平面上三点可以画一个圆

10.（本题3分）己知线段A3=IOcm,则经过儿/＜两点且半径为6cm的圆有（)

A.0个B.2个C.1个D.无数个

二、填空题（共15分）

11.（本题3分）下列命题是真命题的有（填序号）.

①经过平面内任意三个点可以确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④

圆内接四边形的对角互补.

12.（本题3分）如图VA8C外接圆的圆心坐标是

13.（本题3分）若直角三角形的两直角边长分别为3和4,则它的外接圆的半径为

14.(本题3分)点/为△ABC的外心，且NWC=150。，则—4的度数为

15.(本题3分)如图，0P与x轴交于点A(-5,0),8(1,0),与y轴的正半轴交于点C.若248=60。.

(1)圆心P的坐标为；

16.(本题6分)设A8=女。］，作图说明满足下列要求的图形.

⑴到点力和点8的距离都等于2cm的所有点组成的图形.

⑵到点力和点8的距离都小于2cm的所有点组成的图形.

17.(本题7分)在如图所示的方格纸中存在△ABC,其中，点A,B,C均在格点上.

(1)用直尺作出4ABC的外接圆圆心0；

(2)若方格纸中每个小正方形的边长为2,求VA3C外接圆半径R的长.

18.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，AABC各顶点的坐标分别为A（-l,-3）,B（0,-4）,C（3,-l）.

（1）将△ABC绕点。逆时针旋转90。后对应得到请写出点A,小，C的坐标；

（2）结合图形，请写出外接圆（7坐标，并求能够完全覆盖这个三角形的最小圆面积（结果保留“）.

19.（本题8分）。是△ABC的外接圆入B=AC,尸是©O上一点.

（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中/尸的平分线;

（2）结合图②，说明你这样画的理由.

20.(本题8分)如图，在6x6的方格纸中，已知AABC是格点三角形(顶点均在格点上)，请按要求作图.

(1)在图1中标出aABC外接圆的圆心0.

(2)在图2中画格点线段8。，使得把AC分为1:2的两条线段.

21.(本题9分)如图，以。为顶点的抛物线y=-『+2x+3交x轴于A、3两点，交轴于点C.

(1)求点A,B,C,。的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上找一点尸，使PC+PA的值最小，求点尸的坐标；

(3)试判断点8、点C、点。这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明;

若不在同一个圆上，请说明理由.

22.(本题9分)已知和Rt"8。，NACB=NADB=9()。.

(1)求证：A,B,D,。四点在同一个圆上.

(2)请用无刻度的直尺和圆规画出上述圆，并标出圆心.(保留作图痕迹，不写作法)

⑶如果NA8C=30。，£是上述圆上任意一点，请直接写出NAEC的度数.

【北师大版九年级数学（下）课时练习】

§3.5确定圆的条件

一、单选题（共30分）

1.（本题3分）下列说法正确的是（）

A.三点确定一个圆B.长度相等的弧是等弧

C.平分弦的直径垂直于弦D.直径所对的圆周角是直角

解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；

B、同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意；

C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；

D、直径所对的圆周角是直角，原说法正确，符合题意；

故选：D.

2.（本题3分）已知48=7cm,则过点八，B,且半径为2cm的圆有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

解：•・•半径为2cm的圆的直径为4<7

・・・过点A,B,且半径为2cm的圆没有

故选：A.

3.（本题3分）如图，在直角三角形A8C中，46=90。，点〃在AABC外接圆上，且CO平分/ACB,

则的大小为（）

A.30cB.45c

C.60°D,随点。的位置变化而变化

解：VZAC«=90°,C/）平分?BCDACB45?,

•・•点〃在AABC外接圆上,.\ZBAD=ZBCD=45°；故选B.

4.（本题3分）下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等;

④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧一定大于劣弧.正确的有（）

A.1个B.2个C.3个1）.4个

解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；

③等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；

④三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，不符合题意；

⑤优弧不一定大于劣弧，故原命题错误，不符合题意.

正确的有1个，

故选：A.

5.（本题3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点力、B、a〃、E、EG都在小正方形的顶

点上，则AABC的外心是（）

解：结合网格，画出A8,8。的垂直平分线如图所示:

则AABC的外心是点。.

故选：A.

6.（本题3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点。A8。均在格点（两条网

格线的交点叫格点）上，以点。为原点建立平面直角坐标系，则过4B,C三点的圆的半径为（)

A.75B.3c.晒D.2&

解：如图,圆心如的坐标（-1,-2）,

V4（0,1）,

故选：C.

7.（本题3分）在RlZXABC中，ZC=9O°,AC=8,BC=6,则△ABC外接圆的半径为（）

A.10B.5C.6D.4

解：VZC=90%AC=8,BC=6,

・•・AB=y]AC2+8C2=V82+62=764+36=7100=10»

又1•48是外接圆的直径，

・•・外接圆的半径=m=5.

故选：B.

8.（本题3分）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），史中四块碎片如图所示，为了配到与原来大

解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线

的交点就是圆心，进而确定圆即可.

故选：A.

9.（本题3分）下列说法正确的是（）

A.平分弦的直径垂直于弦B.相等的圆心角所对的弧也相等

C.等弧所对的弦相等I）.过平面上三点可以画一个圆

解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，A错误：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误；

等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，则等弧所对的弦相等，C正确；

不在同一直线上的三点确定一个圆，D错误；

故选：C.

10.（本题3分）已知线段43=IOcm,则经过44两点且半径为6cm的圆有（）

A.0个B.2个C.1个D.无数个

解：设中点为他则AM=^AB=5cm.

•・•圆心。在A3的垂直平分线上，且。4=6cm,

・•・在RtAOAlA中，OM2=OA2-AM2=62-52=36-25=11,

；・OM=Vncm，

vVn>o,

・•・存在两个点。（在垂直平分线上两侧），分别对应两个圆.

故选:B.

二、填空题（共15分）

11.（本题3分）下列命题是真命题的有（填序号）.

①经过平面内任意三个点可以确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④

圆内接四边形的对角互补.

解：①经过平面内任意三个点不一定能确定一个圆，当三点共线时无法确定圆，故①错误；

②平分弦的直径垂直于弦的前提是弦不是直径，否则不一定成立，故②错误；

③相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，否则不成立，故③错误；

④圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的性质，故④正确.

故答案为：④.

12.（本题3分）如图VA8C外接圆的圆心坐标是.

23456x

解：如图，点0(6,2)即为^ABC外接圆的圆心坐标

故答案为：(6,2).

13.(本题3分)若直角三角形的两直角边长分别为3和4,则它的外接圆的半径为

解：;直角三角形的两直角边长分别为3和4,

斜边长=出品万=J9+16=病=5,

二•外接圆半径=,.

故答案为：!

14.(本题3分)点,为^ABC的外心，且N8/C=150。，则/力的度数为.

•・•点/为的外心，ZB/C=150°,

AZA=-ZB/C=-xl50°=75°,ZA*=180°-75o=105°,

22

故/A的度数为：75。或105。.

故答案为：75。或105。.

15.（本题3分）如图，0P与x轴交于点A（-5,0）,8（1,0）,与y轴的正半轴交于点C.若248=60°.

(1)圆心P的雁标为

尸石_LOC于E,

;PA=PB,

：.ZPAB=Z.PBA=3(T,

4(-5,0),B(LO),

AB=6,

:.AD=BD=3,

PD=75»PA=PB=PC=2瓜

PD1AB,PEA.OC,ZAOC=90P,

二•四边形PEOO是矩形，

OE=PD=yf3,PE=OD=2,

・•・圆心产的坐标为（一2,61

故答案为：（-2,石）；

（2）,:PC=20,PE=2

：.CE=y]PC2-PE2=J（2可—2?=2右，

二.OC=CE+OE=2s/2+43,

•••点C的纵坐标为2及+>/3,

故答案为：2&+G.

三、解答题（共55分）

16.（本题6分）设/^二女!!!，作图说明满足下列要求的图形.

（1）到点A和点8的距离都等于2cm的所有点组成的图形.

⑵到点力和点S的距离都小于2cm的所有点组成的图形.

•・•到点8的距离等于2cm的点组成的图形是以6为圆心、以2cmK为半径的圆，

到点力的距离等于2cm的点组成的图形是以力为圆心、以2cm长为半径的圆，

・•・到点8和点力的距离都等于2cm的所有点组成的图形为，A和：8的交点，即点〃和点C；

（2）解：作图如下：

到点B和点A的距离都小于2cm的所有点组成的图形为A和8的公共部分（不包括公共部分的两条弧）,

即图中的阴影部分.

17.（本题7分）在如图所示的方格纸中存在△ABC,其中，点A,B,C均在格点上.

(1)用直尺作出AABC的外接圆圆心0；

(2)若方格纸中每个小正方形的边长为2,求VA3c外接圆半径R的长.

(I)解：如图，点。即为所求；

(2)解：连接。乩

OB=d于+G=2而・

故外接圆半径R的长为2后.

18.(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，AABC各顶点的坐标分别为A(T,-3),5(0,-4),C(3,-l).

(1)将△ABC绕点。逆时针旋转90。后对应得到请写出点/V,B',C的坐标;

(2)结合图形，请写出AE。外接圆(7坐标，并求能够完全覆盖这个三角形的最小圆面积(结果保留兀).

解：(1)

如图，即为所求，A(3,—1),阳4,0),C(l,3)；

(2)由图形可得，A'lTC外接圆0,坐标为(7(2,1),

半径为：＞/12+22=X/5

则能够完全覆盖一A9C的最小圆面积

7TX=5兀.

19.(本题8分)。是△ABC的外接圆八B=AC,尸是。上一点.

①

(1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中/尸的平分线;

(2)结合图②，说明你这样画的理由.

(1)解：如图①，连接AP,4。即为所求角平分线;

•・•AB=AC,

:.^APB=ZAPC,

JAP平分/8PC；

如图②，连接AO并延长，与。。交于点〃，连接PO,PO即为所求角平分线,

•：AB=ACt点0为AABC外接圆圆心，

:.AD±BC,

・・BD=CD，

/BPD=NCPD,

:.PD平分NBPC；

AA

pD

①②

(2)・・・AB=AC,点。为VABC外接圆圆心9

:.ADJ.BC，：,BD=CD，

:./BPD=NCPD,

:.PD平分NBPC；

20.(本题8分)如图，在6x6的方格纸中，已知AABC是格点三角形(顶点均在格点上)，请按要求作图.

1.4L.4..4—：—L

C!!I1!1

(1)在图1中标出aABC外接圆的圆心0.

(2)在图2中画格点线段8。，使得8。把AC分为1：2的两条线段.

(1)解：根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，可得如图，点。即为所求

(2)解：如图，线段80即为所求作:

21.(本题9分)如图，以。为顶点的抛物线y=[d+2x+3交/轴于A、笈两点，交y轴于点C.

(1)求点人，B,C,。的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使PC+PA的值最小，求点P的坐标：

(3)试判断点8、点。、点。这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明;

若不在同一个圆上，请说明理由.

⑴解:令y=0,则0=-f+2x+3,

解得：x=3或工=-1,

・•・点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0),

令工=(),则y=3,

・••点C的坐标为(0,3).

*.*y=-x2+2x+3=-(x-l)~+4,

，顶点。的坐标为(1,4)；

(2)解：J•抛物线的解析式为：y=-r2+?r+3=-(r-1)2+4,

・••其对称轴为直线％=

连接3C,过。作9_Lx轴交3c于点P,连接AP,如图所示,

X

•・・B(3,0),C(0,3)

・•・设直线BC的解析式为），=kx+b（k