山东青岛市莱西市2025-2026学年高一下学期学业水平阶段性检测（三）数学（解析版）

高一学业水平阶段性检测（三）

数学试题

本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘

贴在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，请将答题卡上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.列锥的底面半径为1,高为G，则该圆锥的表面积为（）

A.2nB.37rC.4兀D.10

【答案】B

【解析】

【分析】先求出母线长，再根据圆锥表面积公式求解即可

【详解】圆锥母线长/=反？=2,表面积S=/xl2+gx2；Txlx2=3；T

2.已知向量4=（1,2）,b=（2a）f若〃与〃垂直，则实数/的值为（）

33

A.0B.—1C.---D.一

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求值.

【详解】〃一人=（一1,2—，），且〃二（1,2）,

由题意可知，6/-（f/-/?）=-lxl+（2-r）x2=0,得/=,.

故选：D

3.如图所示,在二棱台中,沿平面A3C截夫二棱锥4一43c.则剩余的部分是（）

A.三棱锥B.四棱锥

C.三棱柱D.三棱台

【答案】B

【解析】

【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论.

【详解】三棱台A'8'C'_A8C中，沿平面A'BC截去三棱锥剩余的部分是以4为顶点，四边

形BCC'B'为底面的四棱锥Af-BCCB.

故选：B.

4.在VA8C中，内角A,B,C的对边分别为小b,c,。=2,b=币,3=60。,则。=()

A.1B.石C.3D.1或3

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理，/=/+。2一2。。858,即7=4+C2-2C，(C-3)(C+1)=0,解得C=3.

故选：C

5.卜列条件中，能判断两个平面平行的是

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面；

B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

【答案】D

【解析】

【详解】设ac〃=/,auaM/〃，则所以A错误；%〃///〃，贝必//月///△所以B错误;

。内有无数条与/平行的平行直线,则这无数条百线平行£:所以C错误:

D正确.是线面平行的概念.故选D

6.在矩形A8CD中，M,N分别为8C,CO的中点，若AC=2AM+〃8N,则义+〃=()

28

A.B.1D.

5UI5

【答案】D

【解析】

AM=AB+-AD

2

【详解】在矩形"CO中，由M,N分别为3CCO的中点,

BN=-LAB+AD

2

一4——2—•

AB=-AM——BN

55«C

解得因此AC=AB+4O=—4M+*BN,

5

AD=-AM+-BN

55

A9

而4c=4AM+//8N,且向量AM,8V不共线，则4=—,

5

Q

所以％+〃=一.

7.在VA8C中，CO为角。的平分线，若B=2A，3AD=48D,则cosA等于()

八1-23

A.0B.：C.-D.-

234

【答案】C

【解析】

A(J4

【分析】由CO为角C的平分线，340=480,可得——=-,设AC=4x,BC=3x,然后在

BC3

4r3x

V/U?C中利用正弦定理可得；；一；——化简计算可得答案

2sinAcosAsinA

An

【详解】因为CO为角。的平分线，所以一=—

BDBC

AT4

因为3AO=48O,所以——=-

BC3

所以不妨设AC-44，BC-3x

因为在VA3c中，笑=冬，B=2A

sinBsinA

..,.ACBC4x3x

所rr以------=-----=------------=-----

sin2AsinA2sin4cosAsinA

因为在VABC中，sinAwO,xwO

4x3x4「

所以------------=-----=>-------=3

2sinAcosAsinA2cosA

所以cosA=2.

3

故选：c

-.b

8.在VA8C中，内角A,B,。的对边分别为a,b,c,=2ACAB'则一的取值范围为()

c

A.^2--\/3,4-cojB.(2+>/^,+cc)

C.(0,2+@D.(2-5/3,24-x/3)

【答案】D

【解析】

【分析】设BC=2,3C中点为。，化简区c2=2AC-A8可得卜4=6,再根据余弦定理结合余弦函

数的范围可得，（7-46,7+4间，进而可得g的取值范围.

［详解］不妨设8C=2,8c中点为O,则即4=2（AO+OC）（4O+O4）,故

而+人。（。。+。8）+。。。8=2,即加_］=2，AD=瓜

c2AD2+DB--2AD-08cosZADB

2-gcos/4DC_4

-1,因为ZAOC£(0,TI),故2+6cosNAQCe(2-6,2+6),

2+\/5cosZ4DC2+V5cosZ/lDC

则2+gc：sN辰c（8-468+时,故/（7—4石,7+4@故g的取值范围为（2-后2+@.

故选：D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是（）

（13、

A.向量q=（2,-3）,能作为平面内所有向量的一组基底

B.已知△OA8中，点。为边A/e的中点，则必有OP=g（QA+OB）

C.若PA-PB=PC=PC，PA，则"是VA6C的垂心

D.若G是VA8c的重心，则点G满足条件GA+G3+CG=0

【答案】BC

【解析】

【分析】对A,根据基底向量不共线判断即可；对B,根据基底向量的运用判断即可；对C,化简

夕月.尸。可得C4,P9=0,进而根据垂心的性质判断即可：对D,由重心可得G4+G8=CG，

即可判断

【详解】对A,q=%,故q,/共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A错误；

对B,根据平面向量基本定理可得△0A8中，点。为边A8的中点，则必有。尸=；（QA+OB）,故B正

确；

对C,由尸4・尸3=尸6尸。可得（尸4一0。）?"=0，即CA•尸6=（），故C4_L必，同理C9_LPA,

AB上PC,故P是VA8C的垂心，故C正确；

对D,若G是VA8C的重心，则点G满足条件G4+G5=CG，则G4+GB+CG=2CG，故D错误；

故选：BC

10.在VA8C中，内角A氏C的对边分别为〃/,c,则下列说法正确的是（）

A.若sin24-sin26,则VA8C为等腰三角形

B.若，一=一2一，则VA8c为等腰或直角三角形

cosAcosB

C.若VA3C为锐角三角形，则sim4>cos8

D.若A=30，b=4,。=3,则VA3C有两解

【答案】CD

【解析】

【分析】对于A,由题意可得2A=28或2A+23=7t,即可判断；对于B,由正弦定理可得tanA=tan3,

所以A=8,即可判断；对于C,根据A+即4＞弓-3,结合正弦函数的单调性即可判断；对于D,

根据人sinAv。vb即可判断.

【详解】对于A,因为sin2A=sin2B,0＜4+8＜兀，

所以2A=28或24+28=兀，

当2A=28时，即4=3,此时VA8c为等腰三角形，

当2A+2B=TT时，即A+B=工，此时VABC为直角三角形，

2

故VA8c为等腰或直角三角形，故A错误；

a「八.ab―一1sinAsinB

对于B,由正弦定理-----=-----可化为AL-----=-----,

cosAcosBcosAcosB

即lanA=tan8,又A£（0,冗），8£（0,兀），

故A=8,所以VA3C为等腰三角形，故B错误；

对于C,因为VA3c为锐角三角形，所以A+3＞］,即

71（71（兀、

又Ac--Be0,-,正弦函数在0,大上单调递增,

I2J2I2）I2）

所以sin即sin4>cos8,故C正确;

对于D,因为4=30，〃=4,a=3,所以〃sin,

所以VA8C有两解，故D正确.

271兀上单调，且），=/（/）的图象关于点（一］,。卜寸

11.已知函数/(x)=cosa)x-^(◎>0)在

一兀,2

3)

称，则（）

A.“X）的周期为2兀

B.若|/（百）一/（七）|=2,则后一々L=2兀

C.将/（力的图象向右平移三个单位长度后对应的函数为奇函数

D.函数y=/（1+*在［0,可上有1个零点

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,根据题意确定周期范围，再根据图象关于点一々,0对称，结合正弦函数的对称中心求

ID）

解即可；对于B,由Af（x）=cos（；x+H结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C,根据

三角函数平移性质判断即可；对于D,根据余弦函数值直接求解即可.

[77T|7T

【详解】对于A,因为函数=?"卜。>0）在一兀节上单调，所以/（幻的最小正周期7

满足一2--,即一2-—»所以0<,

22co23

因为f（x）的图象关于点对称，所以-+4=g+EM€Z,得3二；一3女,女£Z,

\/.3.3ZZ

1T—@__47r

所以当&=0时，（。=不，所以‘一1一”兀，故A错误;

23

对干B,/(x)=cos

则/（内），/（犬2）分别为I1，财与一天|.为半周期，即2兀，故B正确：

对于C,将/（X）的图象向右平移楙个单位长度后得g（x）=cosg卜一三卜半=—singx的图象,

g（x）为奇函数，故C正确;

cosf-x+—1+—=0,即cos(L+&]=

对于D,

123J2U3)2

令i=+如，当xe[0,7i]时,271771,故仅有[=龙，故D正确.

/G

23T,T4

故选：BCD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图所示，等腰直角三角形。W9是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'3'=2,则原图形的

周长为.

【答案】8+4&##4及+8

【解析】

【分析】根据斜二测画法可得原图形三边长，进而可得周长.

【详解】由题意，O'B'=2,则。'4=2血，故原图形中。4=4夜，03=2,

AB=+22=6，周长为8+4拉.

故答案为：8+4及

13.sin40(tan10_0)=

【答案】-1

【解析】

【分析】利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解.

Jsin10/r|..osin10cos10

【详解】由题意得：sin40(tan10-V3)=sin4Qx--------一，3=sin40nx-----------------------

、cos10,cos10

2—sin10--coslO

。I2202sin(10-60)

=sin40x--------------------------=sin40x————-~L

cos10cos10

c

o2sin(-50)2sin40sin5()

=sin40x——o

cos10cos10

2sin40sin(90-40)_2sin40°cos40、

cos1()cos1()

sin80°sin（90-10）cos10°t

cos10cos10cos10

故答案为：一1.

14.某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径/I、8两点间的距离，现在人工湖岸边取C、

D两点,测得CQ=40m,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=15°tZACB=120°,则A、B两点的距离

为m.

DC

【答案】40x/5

【解析】

【分析】在,AC。中根据角度关系易得4）=CQ=40,再在△BCD中，由正弦定理得到8D,然后在

△A3。中，利用余弦定理求解.

【详解】在.AC力中，因为N8DC=NOC4=150,4O8=135。，故NADC=150。，ZC4D=15%

所以ZACD=NC4。，则AO=CO=40.

在4BCD中，因为NBDC=15°,/BCD=135°,ZCBD=30c,CD=40,

CDBD

所以由正弦定理

sin30°sin135°

得^“=4。后

在△A3。中，因为/ADB=ZADC-4BDC=135°,AD=40,BD=40后，

所以由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2Ao-BD-cosZADB=402x5«

故AB=406m.

故答案为：4075

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知4都是锐角，s山a=叵，cos（a+/?）=-.

10v75

（1）求cos2a和tan2a+-的值；

4J

（2）求sin/7的值.

4

【答案】（I）二，7

⑵还

50

【解析】

【分析】（1）由同角三角函数的基本关系及二倍角的正余弦公式求解;

（2）根据角的变换，利用两角差的正弦公式求解.

【小问1详解】

Qa是锐角，§出（1=叵,

10

.r-「""T3M

..cosa=vl-sin（7=J1---=-----,

Vioio

cos2a=1-2sin2«=1-2x—=—,

105

sin2a=2sinacosa=一，

5

csin2a3

tan2a=-----=—,

cos2a4

c兀31

(\tanla+tan——+1

ton|2a+—|=------------==7.

I4J1-tan2crtan—1——

44

【小问2详解】

Qa,9都是锐角,

:.Q<a+

3

又cos(a+£)=g,

/.sin(a+/?)=-Jl-cos2(6z+/?)={"云=?,

sin(3=sin[(a+/?)-a]=sin(a+/7)cosa-cos(a+〃)sina

43>/io3Vio

=—x--------x----

510510

=-9-V-T-O-•

50

16.已知半圆圆心为0,直径A/=4,C为半圆弧上靠近点4的三等分点，若P为半径OC上的动点，以

O点为坐标原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

(1)求。4在OC上投影向量的坐标;

(2)若,，=雨，0,当y取得最小值时，求点P的坐标及y的最小值.

【答案】⑴

1(1向

(2)最小值为---，此时点尸的坐标为一~I-

4I44J

【解析】

【分析】(1)先求解0A在0C上投影向量大小，进而可得投影向量坐标；

(2)设OP=/OC(OWf《l),即可表示出帖、PO,再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数的

性质计算可得.

【小问1详解】

因为半圆的直径A8=4,所以力(-2,0),3(2,0),

又OC=2,Z.BOC=—,则c|2cos—^-,2sin—,即C(—

3\33J

•,、一/cOAOC2,

故。4=(一2,0),<9C=(-l,5/3),OA在OC上投影为一^~=5=1，故04在OC上投影向量的坐

11nr-(1⑻

标为冈同

【小问2详解】

设OP=/OC(OWY1),

由（1）知，OP=/（—1,5/3j=,

故PO=（，,一,PA=^—2+z,--s/3/j

Av=PAPO=t（-2+t）+3r=4t2-2t=4（t--）2--,

44

XV0<r<l,=y=PA网>有最小值为一L

44

此时点。的坐标为一1£

i44j

17.在①tan4+tan3+且=GtanAtanB；②（4/一2aO）cosC+〃="+/；③

（。+々一〃）（5足。-4114+58）=〃4113这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

问题：在VA3C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.

（1）求角C；

（2）若VA8C的内切圆半径，•二火，〃=4,求VA8C的外接圆半径R

2

【答案】（1）C=-

3

⑵递

6

【解析】

【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②根据余弦定理化简，再根据正弦定理边化

角，结合三角恒等变换求解即可，选择③由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解：

57

（2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解可得。进而根据正弦定理求解即可.

22

【小问I详解】

选择①：由已知得tanA+tanB=>/3（tanAtanB-1）,

lan4+tanA

所以lanC=-ian(A+3)=一=-75»

1-tanAtanB

Jr

在VA8C中，。£（0,兀），所以C=一.

3

选择②：由题意（4/-2a〃）cosC=/+/=2accos8,故（加一〃）cosC=ccos3,由正弦定理

(2sinA-sinB)cosC=sinCeosB,即2sinAcosC=sinCcos8+sinBcosC=sin(^+C),又

sin(B+C)=sin(7i-A)=sin,故cosC=g,因为Cw(0,兀)，故C=]

选择③：由已知及正弦定理得（C+〃-b）（c-a+b）=ab,

所以/+/—(？=4〃，所以COSC=a+"———=—

2ab2

TT

因为OVCVTI,所以C=一.

3

【小问2详解】

由余弦定理得片="+〃一必=］6+/-牝，①

由等面积公式得'（。十力十（7），，=14。5也。.

22

艮fJ；(4+Z?+C)X日="立

22

整理得3〃=4+c,②

7_

联立①②，解得a=2，c=(，由正弦定理2R=1J,即R=—=—^=——

22sinC「。3273o

2x——

.I.71,

18.已知向量a=（2sinx,、Q）,b=\2cosx+—,1记函数

II3,f(x)=a-b.

⑴将/（x）化为丁=Asin（公¥+°）+8卜＞0,口＞0,冏＜］形式，并求最小正周期T；

JTJT

（2）求函数外”在区间上的值域；

一■

（3）将函数/（力图象向右平移J个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得

到y=g（x）的图象，若），=g（x）在区间［-覃］上至少有100个最大值，求a的取值范围.

【答案】（1）/（x）=2sin2犬+弓；兀

3

(2)[—6,2]

4

(3)0<a<----

199兀

【解析】

【分析】（1）利用数量积坐标公式及三角恒等变换化简即可得解;

（2）根据自变量的范围求出2戈+：的范围，利用正弦函数求解;

3

（3）根据三角函数图象变换求出g（x）,利用三角函数的性质可得.

【小问1详解】

«./?.=2.sinx-2cosx+-兀+73=2sinxcosx-2>/3sin2x+百

/W=I3j

=sin2x+\f3cos2x=2sin(2x+—).

3

,丁2兀

•=----=71

2

【小问2详解】

71兀，c兀717C4兀

当上£一,一时，2x+一€

12236'T

二.--<sin(2x+^)<1»

~\/3<2sin(2xH—)«2,

即函数/(x)在区间一盍,方上的值域为[-6,2].

【小问3详解】

将函数”6图象向右平移△个单位，得到y=2sin[2(x—2)+=]=2sin2x,

663

2

再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的。(0<。<1)倍得到g(x)=2sin-x的图象,

.L兀C〃兀，，r

令一为二一+2%兀=>x=—+％eZ,

a24

要使y=g("在区间[―1』上至少有100个最大值,

-1<----5()。兀

4

由正弦函数的性质可得〈=心高

—+49〃兀<1

4

4

199兀

19.如图，在四棱锥P—A8CZ)中，ZBCD=45>AD=1，BC=6,PD+CD=4,

ADCD=ADAB=ADPD=O^设PD=t,其中0<fv3.

p

（i）求证：平面平面PC。：

（2）若尸C=3,求二面角产一AD—3的余弦的取值范围；

（3）当N'POC=2兀时，求三梭锥尸一38的外接球体积的最小值.

3

【答案】（1）证明见解析

⑵匕.8小；

39

（3）—4

3

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直去证明面面垂直即可：

（2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解；

（3）由于是不规则四面体的外接球，转化为过三角形外接圆