高中数学：直线与平面平行

8.5.2直线与平面平行

【学习目标】1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的平行关系，

掌握直线与平面平行的判定定理以及直线与平面平行的性质定理.（重点）2.能利用直线与平面平行的判定定

理和性质定理解决问题.（难点）

【导语】

在三维空间的深邃舞台上，直线与平面的关系如同无声的对话——若直线始终与平面保持恒定的距离，既

不靠近，亦不远离，一者便达成了“平行”的默契.从天花板垂落的灯线完美避开地面，到棱柱侧棱与底面

的优雅共处，这种平行关系以隐形的规则编织着立体几何的美感.但如何确认一条直线与整个平面保持平

行？是方向的选择，还是距离的坚守？让我们穿透表象一起来解开直线与平面平行背后的空间密码？

一、直线与平面平行的判定定理

问题1在前面学习直线与平面的位置关系时，我们是如何定义直线与平面平行的呢？

提示直线与平面没有公共点.

问题2如图，门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的

一边与墙面平行吗？

提示无论门扇转到什么位置，因为转动的一边与固定的一边息是平行的，所以它与墙面没有公共点，且

与墙面是平行的.

问题3如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘A8所在直线（A3离开桌面）与桌面所在

的平面有什么样的位置关系？通过上面的3个问题，试着总结一下，如何判定直线与平面平行呢？

B

提示A8平行于桌面所在平面.由问题1可以看出，当直线与平面没有公共点时，可以得出线面平行；由

问题2,3可知，在转动门和翻书的过程中，门和书的边缘始终与墙面和桌面中门和书的另一边缘保持平

行，从而确保了线面平行.由此，我们可以归纳出：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么

该直线与此平面平行.

知识梳理直线与平面平行的判定定理

文字语言如果平面外二条直线后此平面内的二条直线平行\那么该直线写此平面平行

符号语言Ma,bua,旦a"a

--------a

图形语言口

简记线线平行，则线面平行

例1已知直线〃与直线〃平行，直线a与平面a平行，则直线b与平面a的关系为（）

A.平行

B.相交

C.直线〃在平面a内

D.平行或直线人在平面a内

答案D

解析依题意，直线。必与平面a内的某条直线平行，

又则人与该直线平行或重合，因此直线人与平面a的位置关系是平行或直线力在平面a内.

反思感悟判断直线与平面是否平行的注意点

（1）平行问题是以无公共点为主要特征的，直线与平面平行即直线与平面没有公共点，紧紧抓住这一点，平

行的问题就可以顺利解决.

（2）熟冻掌握直线与平面的位置关系和正确理解直线与平面平行的判定定理是解决此类题目的关键，可以采

用直接法，也可以使用排除法.

跟踪训练1（多选）下列说法正确的是（）

A.若直线/平行于平面a内的无数条直线，则/〃a

B.若直线a在平面a外，贝lja〃a

C.若直线a与平面a内的任意一条直线都不相交，则。〃“

D.若直线〃〃4bua,那么直线“就平行于平面a内的无数条直线

答案CD

解析A错误，直线/还可以在平面。内；B错误，直线。在平面。外，包括平行和相交；易知，C,D正

确.

二、直线与平面平行的判定定理的应用

例2（课本例2）求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.

己知：如图所示，空间四边形ABCO中，E,产分别是48,A3的中点.

求证：EF〃平面BCD.

证明连接80.

\*AE=EB,AF=FD,

:・EF〃BD.

又EFC平面BCD,"Du平面BCD,

.•.石尸/平面BCD.

例2如图，四边形A8CO是平行四边形，P是平面A8C£＞外一点，M,N分别是A8,PC的中点.求

证：MN〃平面尸AD

证明方法一（平行四边形）

如图，取P。的中点G,

连接GA,GN.

P

VG,N分别是△POC的边P。，尸。的中点，

:.GN〃DC,GN=-DC.

2

为平行四边形ABCD的边A8的中点，

.\AM=-DCAM//DC,

2t

:.AM"GN,AM=GN,

，四边形人MNG为平行四边形，：,MN//AG.

又MMC平面PAD,AGu平面PAD,

〃平面PAD.

方法二（中位线）

如图，连接CM并延长，交OA的延长线于点。，连接PQ,

•・•在底面ABC。中，M为48的中点，AB//CD.

・""〃。。且4人。（7,

2

.•.在△QCO中，AM为△QC。的中位线，

:・M为QC的中点.

又•・•在△PQC中，N为PC的中点，

:.MN〃PQ,

又平面2A。，户Qu平面PAD,

；・MN〃平面PAD.

反思感悟证明线面平行的方法：利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键在于在平面内找到

该直线的平行线，即要证直线。与平面Q平行，必须先在平面”内找到直线"并证明直线。与人平行，

从而实现由立体向平面转化.在寻找平行线时，常考虑平行四边形、中位线定理或平行线分线段成比例定理

的逆定理等.

跟踪训练2如图，在三棱柱A8C-48G中，E,尸分别是4G，BC的中点.求证：GP〃平面A8E.

证明取AB的中点G,连接EG,FG,

B

因为E,F,G分别是4G,BC,A6的中点,

所以FG〃AC,且/G=/C,ECI=1A)C|.

因为4C〃4G,且AC=4G,

所以FG〃EG,且尸G=EG,

所以四边形/GEG为平行四边形，所以C1〃EG.

又因为£Gu平面A8E,GRZ：平面A3E,

所以G尸〃平面ABE.

三、直线与平面平行的性质定理及应用

直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面壬红，如果过该直线口勺平面与此平面相交，那么该直线

文字语言

与交线平行

符号语言a//a,auB,anB=b=a〃b

图形语言

/ab/

简记线面平行，则线线平行

例3（课本例3）如图所示的一块木料中，棱8c平行于面AC.

（I）要经过面A'C内的一点P和棱笈。将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？

⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？

解（1）如图所示，在平面4c内，过点P作直线EG使E尸〃B'C,并分别交棱AB,DC干点E,E连接

BE,CF,则E凡BE,CF就是应画的线.

（2）因为棱BC平行于平面4C,平面8U与平面AC相交于BC,所以8c〃万。.由（1）知，EF//B'C\所以

E尸〃8c而8c在平面AC内，E尸在平面AC外，所以E/7〃平面AC

显然，BE,。尸都与平面AC相交.

例3如图所示，在四棱锥P-A8C。中，底面A8C。是平行四边形，AC与BO交于点O,M是PC的

中点，在。M上取一点G,过G和AQ作平面交平面8DM于G”,求证：AP//GH.

证明如图，连接MO.

•・•四边形A8CO是平行四边形,

・・・O是AC的中点.

又M是PC的中点，

又AAU平面8QM,OMu平面8OM,

・・・AP〃平面BDM.又APu平面APGH,

平面4PG”n平面:.AP〃GH.

反思感悟利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤

找找一个与平面相交且过该直线的平面

—7确定两平面的交爱

(由性质定理列条件，下结论

跟踪训练3如图，在四棱锥A48C。中，底面A8C。为梯形，AB//CD,A8=4,C£)=2,点M在棱

PD上.

P

(1)求证：CO〃平面PA&

(2)若P8〃平面MAC,探索平面MAC的哪条线与P8平行，作出此线，并求黑的值.

MD

(1)证明因为CD"NB、COU平面PAB,A8u平面PAB,

所以8〃平面PAB.

⑵解连接8。交AC于点。，连接M。,

因为尸8〃平面MAC,且P8u平面PB。,

平面PBZm平面M4OM。,

所以PB//MO,

则△OOMS^DR，，可得袈=器，

MDOD

又因为CO〃A8,可知△COQSAA。'

则得等2,

ODCD

因此黑=2.

MD

■课堂小结•

1.知识清单：

(1)直浅与平面平行的判定定理及应用.

(2)直浅与平面平行的性质定理及应用.

2.方法归纳：转化与化归.

3.常见误区：证明线面平行时漏写线在平面外(内)：利用线面平行时找不到交线.

一随堂演练

I.在四棱锥P-A3C。中，E,尸分别为侧棱PC,尸。上一点(不含端点)，贝ij“C。〃石尸”是“C。〃平面

BEF”的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由CO〃EECDC平面BEF,EFu平面BEF,得CD〃平面PER

由CZ）〃平面BEF,CQu平面PCD,平面PCDD平面BEF=EF,得CD//EF.

故“CD//EF”是“CO〃平面8EF”的充要条件.

2.（多选）如图，点4,B,C,M,N是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足MN〃平面

48c的是（）

BN

0-0

C

A

01s

ANM

CD

答案ACD

解析对于A,如图，

EB

c

连接E凡因为M,N为正方体棱的中点，所以MN〃EF,

又E尸〃AC,所以MN〃AC,

又ACu平面ABC,MMt平面ABC,所以MN〃平面ABC,故A正确；

对于B,如图，设。为“产的中点，连接ON,DC,AM,EF,GH,

N

匕B

因为A,B,C,M,N是正方体棱的中点，所以MN//GH,BCaEF、XGHHEF,

所以MN〃3C,

同理，AB〃DN,AM//CD.

所以A,B,C,D,M,N六点共面，即MNu平面A4C,所以MN〃平面ABC不成立，故B错误;

对于C,如图,

因为B,C是正方体棱的中点，MXBC//EF,头MN〃EF,所以BC//MN.

又8Cu平面48C,MNQ平面ABC,所以MN〃平面A8C,故C正确;

对于D,如图，

建接CM因为CN为正方体棱的中点,

所以AN^CE,则四边形AECN为平行四边形.

连接NE交AC于点F,连接BF,则尸为NE的中点，

则8/为△“可£的中位线，所以BFV/MN,

又8/u平面A8C,MNQ平面A8C,所以MN〃平面A8C,故D正确.

3.如图所示，四边形A8CO是梯形，AB//CD,且A8〃平面a,AD,3c与平面a分别交于点M,N,

且点M是AO的中点，A8=4,CZ)=6,贝ijMN=.

答案5

解析因为AB〃平面a,A8u平面A8CQ,平面平面a=MN,

所以43〃MN,

又点M是A。的中点，AB//CD.

所以MN是梯形A8CQ的中位线，

故MN=^AB+CD)=^X(4+6)=5.

4.如图1,已知在正方形A8CD中，E,尸分别是AB,CO的中点，将AAOE沿。£折起，如图2所

示，则B尸与平面AOE的位置关系是.

答案平行

解析易知BF//DE、8网平面AZ）区DEu平面AOE,故3尸〃平面ADE.

课时对点练

［分值：100分］

单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分

基础巩固

1.下列说法中，与“直线。〃平面〃”等价的是（）

A.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

B.直线a与平面a内的两条直线平行

C.直线a与平面«内无数条直线不相交

D.直线a上有两个点不在平面a内

答案A

解析直线。〃平面直线。与平面a无交点Q直线〃和平面a内的任意一条直线都不相交，A正确；

若直线。与平面a内的两条直线平行，则直线。可能在平面a内或与平面a平行，B错误；

若直线。与平面。内无数条直线不相交，则直线。可能在平面a内或与平面〃平行或与平面a相交，C错

误；

若直线。上有两个点不在平面。内，则直线a可能与平面a平行或与平面。相交，D错误.

2.如图所示，在正方体中，E,尸分别为四边形A8CO和四边形AEC'D'的中心，则正方体

的六个面中与E户平行的平面有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案D

解析由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与E户平行.

3.如图所示，在四棱锥P-A8C。中，点G,E,F,”分别是棱P8,AB,CD,PC上共面的四点，BC/1平

面GEFH,则G”与£产的位置关系为（）

A.相交

C.垂直D.异面

答案B

解析因为BC//平面GEFH,8Cu平面PBC,

且平面尸平面所以G"〃6C,

因为BC〃平面GEFH,BCu平面ABCD,且平面ABCOD平面GEFH=EF,所以EF//BC,

因此

4.已知平面a与平面A相交于直线〃?，直线〃〃直线加，贝")

A.一定有直线〃〃平面a

B.一定有直线〃〃平面

C.一定有直线〃〃平面a且直线〃〃平面［i

D.直线〃〃平面a和直线〃〃平面/，至少有一个成立

答案D

解析当〃ua时，此时相。在，由〃〃〃7,〃7或，则〃〃夕；

当〃u4时，此时〃Qa,由〃〃加，相ua,则〃〃a；

当〃Qa,且〃必时，此时由〃〃〃?和〃?ua得〃〃a,且由〃〃和〃7或得〃〃.，

所以直线〃〃平面。和直线〃〃平面少至少有一个成立.

5.如图，已知四棱锥RA8C。的底面是平行四边形，AC交BD于点O,E为AO的中点,0EPA上,

AP=L4F,PC〃平面则2的值为(

A.1

2

C.2D.3

答案D

解析设A。与8E交于点G,连接/G,

因为E为A。的中点，贝

由四边形48C。是平行四边形，可得A。〃区C,则△AEGs^CBG,

又因为PC〃平面8£居PCu平面PAC,平面BEFC平面PAC=GF,

所以“//PC,所以在煞=*=3.

AFAG

6.在正方体ABCD-ABiG。中，若平面A山G与平面ABCO的交线为/,则（）

\.l//CDB./〃AC

C./〃平面AiBiCDD./〃平面4CD1

答案D

解析因为点平面AiBG,点8£平面A8CQ,所以

又因为直线4G〃平面ABC。，ACC平面A3G,故得4G〃/,

所以！是过点B且平行于4G的直线.

对于A,因为4G〃/,AiG〃AC,所以/〃AC,故/〃。。不成立，即A错误；

对于B,因为/〃AC,而ACflAC=C,故/〃AC不成立，即B错误；

对于C,因为/〃AC,而ACC1平面48CQ=C,故/〃平面48C。不成立，即C错误;

对于D,因为/〃AC,

又4Cu平面AC0,双平面AC。，所以/〃平面人CD,即D正确.

7.（多选汝n图，正方体ABCD-AIBIG。的棱长为2,E,尸分别是A。，的中点，点尸是底面A8CZ）内-

动点，则下列结论正确的为（）

A.不存在点P,使得kP〃平面A8CQ1

B.过B,E,厂三点的平面截正方体所得截面图形是梯形

C.三棱锥G-40P的体积为4

D.三棱锥广ACO外接球的表面积为9兀

答案BD

解析对于A,如图，当P为8。的中点时，由中位线可得叮〃8。,

因为广网平面48CD1,BAu平面A8G5,

所以FP〃平面ABG。，故A错误；

对于B,由中位线可得E尸〃AA,在正方体中，易证AR〃8G,所以E尸〃BG,

又因为E/W8G,所以过8,E,尸三点的截面E8G尸为梯形，故B正确；

对于3&锥Ci/P可三棱锥PT/「沁X2X2X2与故C错误;

对于D,三棱锥AACO的外接球可以补形为长方体的外接球，半径R="^二|,

所以其外接球的表面积S=4兀宠2=9兀，故D正确.

8.（5分）如图，在三棱台。ERA8C中，AB=2DE,G,”分别为AC,8C的中点，M是AO上一点，且

AM=2MD,设点N是平面4BEO内一点，且MN〃平面R7”,则点N的位置是.（写出一种即可）

答案棱8E上靠近点E的三等分点（答案不唯一）

解析点N可以是棱BE上靠近点E的三等分点.

证明如下：

如图所示，连接

因为4历=2MQ,BN=2NE,所以

又G,H分别为AC,8c的中点，

所以GH〃AB,所以MN〃GH,

又GHu平面FGH,MNQ平面FGH,

所以WN〃平面FGH.

故当N是棱BE上靠近点E的三等分点时满足题意.（答案不唯一）

9.（5分）在三棱柱A8C-A8G中，E是棱CG的中点，。是棱BC上一点，BD=XDC,若46〃平面

ADE,则实数义的值为.

答案2

解析如图所示，连接4c交AE于点M,连接。M,

则平面AiBCn平面ADE=DM,

又・.・48〃平面4OE,且48u平面A|8C,：.AiB//DM,

又△/14Ms△ECM,七是榜CG的中点.

二把=9二，则更二把，

AXMAXA2BDAXM2

:・BD=2DC,故2=2.

10.（10分）如图,在正方体A8CD-A31Gd中,AAi=4,E,F,G分别为CD,CG,8右的中点.

（1）求三棱锥C8E/的表面积；（5分）

（2）求证：OG〃平面BEE（5分）

⑴解在正方体ABCO-A/Q"中，A4尸4,CB,CD,CG两两垂直，

由E,歹分别为CO,CG的中点，得BE=BFZBC2+CF?=2灼,EFZCE?+CF?=2五,

等腰△比尸底边“'上的高h=」BE2-(|FF)2=3V2.

所以三棱锥C-BEF的表面积S=Sd&E卢S&CB吐S&CB/SdCEF

=ix2V2X3\^+|x4X2+ix4X2+jX2X2=16.

(2)证明连接/G,CG,BFQCG=Of连接EO,

由尸,G分别是棱CG,88的中点,得四边形8C/G是矩形，则。是CG的中点,

而E是C。的中点，因此EO〃OG,

又EOu平面BEF,QGC平面BEF,

所以DG〃平面BEF.

IC综合运用

11.如图甲,在梯形4BCD中，AB//CD,CD=2AB,E,L分别为AD,。。的中点，以A尸为折痕把△ADF

折起，使点D不落在平面A3C厂内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（）

①A/7〃平面BC。；②8E〃平面CDP；③CO〃平面8EE

图甲图乙

A.OB.1

C.2D.3

答案C

解析对于①，由题意得・••四边形A8C尸是平行四边形，・・・4/〃BC,TA网平面8C。，BCu

平面BCD,・・・A/〃平面BCD,故①正确；对于②，取。尸的中点G,连接EG,GC（图略），是AO的

中点，J.EG//AF,又AF痛BC,:・EG〃BC,EG=^C,与CG相交，；・BE与平面CDF

相交，故②错误；对于③，连接AC,交BF于点O,连接OE（图略），•・•四边形ABCb是平行四边形，・・・。

是AC的中点，，。石〃CO,又OEu平面BEF,CW平面BE/,.二。。〃平面8E尸，故③正确.故正确的结

论有2个.

12.（多选）如图，在由透明塑料盒制成的长方体容器A8CQ-Ai%G。内灌进一些水，将容器底面一边BC固

定于地面上，再将容器倾斜（不考虑水流出）.随着倾斜度的不同，下列说法正确的是（）

A.水的部分始终呈棱柱形

B.水面EFG”的面积不改变

C.棱始终与水面EFGH平行

D.水面EFGH的形状为平行四边形

答案ACD

解析根据题意，可得8c固定时，在倾斜的过程中，始终布〃尸G〃8C,

且平面AEPA〃平面。HGC,故水的部分始终呈棱柱形，故A正确；

水面E/G”的面积是改变的，因为Er的长度是变化的，而E”的长度是不变的，

所以水面EFG”的面积是改变的，故B错误；

因为AiO]〃AD〃E〃，AQ|Q水面EFGH,EHu水面EFGH,

所以Ai。〃水面EFGH,故C正确；

根据C项可知，EH//AD.FG//BC,且E”=AO,FG=BC,又A£>〃BC,KAD=BCt所以E”〃尸G,

EH=FG,

所以四边形ER7”为平行四边形，故D正确.

13.（5分）在直三棱柱A8C-A|5iG中，。为AAi的中点，点尸在侧面8CG8］上运动，当点产满足条件

时，4/〃平面8CD（填一个满足题意的条件即可）

答案P是CG的中点（答案不唯一）

解析取CG的中点尸，

连接4P,

•・•在直三棱柱45cA/Ci中，。为A4的中点，点P在侧面ACG8i上运动，

・•・当点。满足条件。是CG的中点时，人十〃。。，

•・・AiR平面8c。，COu平面8CO,

•••4P〃平面BCD.

14.（13分）在棱长为1的正方体A8CDA山iCA中,E,尸分别为4山］,4。的中点.

（1）求五面体A8Q-A//的体积；（6分）

（2）若点P在线段4G上，