2026年福建省湘教版高二数学选修第11章知识点巩固习题

2026年福建省湘教版高二数学选修第11章知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第11章《参数方程与极坐标》中，若曲线的参数方程为x=2cosθ，y=2sinθ（θ为参数），则该曲线的普通方程为（）A．x²+y²=4B．x²-y²=4C．x+y=4D．x-y=4解析：由参数方程x=2cosθ，y=2sinθ，两边平方相加得x²+y²=4cos²θ+4sin²θ=4，故普通方程为x²+y²=4，选A。2.设直线l的极坐标方程为ρsin(θ+α)=1，其中α为锐角，则直线l的斜率为（）A．tanαB．-tanαC．cotαD．-cotα解析：将ρsin(θ+α)=1转换为直角坐标方程为y=1/ρ•ρsin(θ+α)=sinα•x/cosα+cosα=1，即y=-tanα•x+1，斜率为-tanα，选B。3.极坐标方程ρ=4cosθ+3sinθ表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：将方程转换为直角坐标方程为ρ²=4ρcosθ+3ρsinθ，即x²+y²=4x+3y，配方得(x-2)²+(y-3/2)²=13/4，为圆，选A。4.若点P的极坐标为(3,π/3)，则其直角坐标为（）A．(3√3/2,3/2)B．(-3√3/2,-3/2)C．(3/2,3√3/2)D．(-3/2,-3√3/2)解析：x=3cos(π/3)=3/2，y=3sin(π/3)=3√3/2，选C。5.参数方程x=t²-1，y=2t+1（t为参数）表示的曲线不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：消去参数t得y²=4(x+1)，为抛物线，顶点(-1,0)，开口向右，经过一、二、四象限，不经过第三象限，选C。6.极坐标方程ρ²=2sin2θ表示的曲线的对称性为（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线θ=π/4对称解析：原方程可化为ρ²=4sinθcosθ，即ρ=2sinθcosθ，转换为直角坐标方程为x²+y²=2xy，即(x-y)²=0，表示直线y=x，关于直线θ=π/4对称，选D。7.参数方程x=1+2cosφ，y=3+2sinφ（φ为参数）表示的曲线的焦点坐标为（）A．(1,3)B．(3,1)C．(±√5,3)D．(1,±√5)解析：消去参数φ得(x-1)²+(y-3)²=4，圆心(1,3)，半径2，焦点在x轴上，坐标为(1±√5,3)，选C。8.直线ρcos(θ-α)=d的倾斜角为（）A．αB．π-αC．α-π/2D．π/2-α解析：转换为直角坐标方程为xcosα+ysinα=d，斜率为-tanα，倾斜角为π/2-α，选D。9.参数方程x=2t-1，y=t²+1（t为参数）表示的曲线的渐近线方程为（）A．y=x+2B．y=x-2C．y=-x+2D．y=-x-2解析：消去参数t得y=(x+1)²+1，为抛物线，顶点(-1,2)，对称轴x=-1，渐近线为x=-1，即y=x+2，选A。10.极坐标方程ρ=2a(1+cosθ)表示的曲线的面积等于（）A．πa²B．2πa²C．3πa²D．4πa²解析：为心脏线，面积S=2∫₀¹[2a(1+cosθ)]²d(cosθ)=8a²∫₀¹(1+2cosθ+cos²θ)d(cosθ)=8a²[cosθ+cos²θ/2+sin²θ/2]₀¹=8a²(1+1/2-1/2)=4πa²，选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若点A的直角坐标为(1,2)，则其极坐标为__________。参考答案：(√5,arctan2)解析：ρ=√(1²+2²)=√5，θ=arctan(2/1)=arctan2。2.极坐标方程ρ=4sinθ表示的曲线的直角坐标方程为__________。参考答案：x²+(y-2)²=4解析：ρ²=4ρsinθ，即x²+y²=4y，配方得x²+(y-2)²=4。3.参数方程x=3cosα，y=3sinα（α为参数）表示的曲线的参数方程为__________。参考答案：x=3cosθ，y=3sinθ（θ为参数）解析：与原方程相同，只是参数名称不同。4.直线ρcos(θ-π/3)=1的直角坐标方程为__________。参考答案：(√3/2)x-y+2=0解析：cos(π/3)=√3/2，sin(π/3)=1/2，方程为√3/2x+y/2=1，即√3x-y+2=0。5.极坐标方程ρ²=4cos2θ表示的曲线的直角坐标方程为__________。参考答案：(x²-y²)²=4x²解析：原方程可化为ρ²=4(cos²θ-sin²θ)，即x²-y²=4x²，整理得(x²-y²)²=4x²。6.参数方程x=2t+1，y=t²-1（t为参数）表示的曲线的顶点坐标为__________。参考答案：(-1,-2)解析：消去参数t得y=(x-1)²-2，顶点坐标(-1,-2)。7.极坐标方程ρ=2cosθ+√3sinθ表示的曲线的圆心直角坐标为__________。参考答案：(1/2,√3/2)解析：转换为直角坐标方程为x²+y²=2x+√3y，配方得(x-1/2)²+(y-√3/2)²=1，圆心(1/2,√3/2)。8.参数方程x=t²-3t+2，y=t+1（t为参数）表示的曲线的对称轴方程为__________。参考答案：x=5/4解析：消去参数t得y=(x+1)+1，即y=x+2，对称轴为x=5/4。9.极坐标方程ρ=2a(1-cosθ)表示的曲线的面积等于__________。参考答案：3πa²解析：为心脏线，面积S=2∫₀¹[2a(1-cosθ)]²d(cosθ)=8a²∫₀¹(1-2cosθ+cos²θ)d(cosθ)=8a²[cosθ-cos²θ/2+sin²θ/2]₀¹=8a²(1-1/2-1/2)=4πa²，修正为3πa²。10.直线ρcosθ=2与圆ρ=4cosθ的交点极坐标为__________。参考答案：(2,0)，(2,π)解析：联立方程得cosθ=1/2，θ=0或π，代入ρ=4cosθ得ρ=2，交点为(2,0)，(2,π)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.参数方程x=cos²t，y=sin²t（t为参数）表示的曲线是圆。参考答案：×解析：消去参数t得x+y=1，为抛物线的一部分。2.极坐标方程ρ=3sinθ表示的曲线关于y轴对称。参考答案：×解析：转换为直角坐标方程为x²+(y-3/2)²=9/4，圆心(0,3/2)，不关于y轴对称。3.参数方程x=2cosθ，y=2sinθ（θ为参数）与极坐标方程ρ=2表示的曲线相同。参考答案：×解析：前者为圆心在原点的圆，后者为以(1,0)为圆心，半径为1的圆。4.直线ρcos(θ-α)=d的斜率一定等于tanα。参考答案：×解析：斜率为-tanα，与tanα相反。5.参数方程x=t²，y=2t（t为参数）表示的曲线是抛物线。参考答案：×解析：消去参数t得y²=4x，为抛物线的一部分。6.极坐标方程ρ=4cosθ+3sinθ表示的曲线是椭圆。参考答案：√解析：转换为直角坐标方程为x²+y²=4x+3y，配方得(x-2)²+(y-3/2)²=13/4，为椭圆。7.参数方程x=1+cosφ，y=2sinφ（φ为参数）表示的曲线是圆。参考答案：×解析：消去参数φ得(x-1)²+(y/2)²=1，圆心(1,0)，半径1/2，不是标准圆。8.极坐标方程ρ=2a(1+cosθ)表示的曲线是双曲线。参考答案：×解析：为心脏线，不是双曲线。9.参数方程x=t+1/t，y=t-1/t（t为参数）表示的曲线关于原点对称。参考答案：√解析：令t'=1/t，x+y=t+1/t，x-y=t-1/t，关于原点对称。10.直线ρcosθ=1与极轴垂直。参考答案：√解析：转换为直角坐标方程为x=1，与极轴垂直。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求极坐标方程ρ=4sinθcosθ表示的曲线的直角坐标方程。参考答案：x²+y²=2xy解析：原方程可化为ρ=2sin2θ，转换为直角坐标方程为x²+y²=2xy。2.求参数方程x=2cosα，y=3sinα（α为参数）表示的曲线的普通方程。参考答案：4x²+9y²=36解析：消去参数α得4cos²α+9sin²α=1，即4x²+9y²=36。3.求直线ρcos(θ-π/4)=2的斜率。参考答案：-1解析：cos(π/4)=√2/2，sin(π/4)=√2/2，转换为直角坐标方程为√2/2x+√2/2y=2，斜率为-1。4.求参数方程x=t²-2t+3，y=t+1（t为参数）表示的曲线的顶点坐标。参考答案：(2,2)解析：消去参数t得y=(x-1)+1，即y=x+2，对称轴x=1，顶点(2,2)。5.求极坐标方程ρ=2cosθ+√3sinθ表示的曲线的圆心极坐标。参考答案：(2,π/6)解析：圆心直角坐标为(1/2,√3/2)，转换为极坐标为(√(1/4+3/4),arctan(√3/2))=(2,π/6)。6.求参数方程x=1+2cosφ，y=3-2sinφ（φ为参数）表示的曲线的焦点坐标。参考答案：(3,1)解析：消去参数φ得(x-1)²+(y-3)²=4，圆心(1,3)，半径2，焦点在x轴上，坐标为(3,1)。7.求极坐标方程ρ=3(1+cosθ)表示的曲线的面积。参考答案：9π解析：为心脏线，面积S=2∫₀¹[3(1+cosθ)]²d(cosθ)=18∫₀¹(1+2cosθ+cos²θ)d(cosθ)=18[cosθ+cos²θ/2+sin²θ/2]₀¹=18(1+1/2-1/2)=9π。8.求直线ρcosθ=3与圆ρ=2cosθ的交点极坐标。参考答案：(3,0)，(3,2π)解析：联立方程得cosθ=3/2，θ=0或2π，代入ρ=2cosθ得ρ=3，交点为(3,0)，(3,2π)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知点A的极坐标为(5,π/3)，点B的极坐标为(4,π/6)，求AB的距离。解：点A的直角坐标为(5cos(π/3),5sin(π/3))=(5/2,5√3/2)，点B的直角坐标为(4cos(π/6),4sin(π/6))=(2√3,2)，AB距离为√[(5/2-2√3)²+(5√3/2-2)²]=√[(-3.196)²+(3.536)²]=√[10.215+12.497]=√22.712≈4.76。参考答案：AB≈4.762.求曲线ρ=2a(1+cosθ)与ρ=a的交点极坐标。解：联立方程得2a(1+cosθ)=a，cosθ=-1/2，θ=2π/3或4π/3，代入ρ=a得交点为(a,2π/3)，(a,4π/3)。参考答案：(a,2π/3)，(a,4π/3)3.求直线ρcosθ=1与圆ρ=4cosθ的交点直角坐标。解：圆方程为x²+y²=4x，直线方程为x=1，代入得y²=3，交点为(1,√3)，(1,-√3)。参考答案：(1,√3)，(1,-√3)4.求参数方程x=3cosα，y=3sinα（α为参数）表示的曲线与直线y=x的交点参数值。解：联立方程得3sinα=3cosα，tanα=1，α=π/4，交点参数值为π/4。参考答案：α=π/45.求极坐标方程ρ=3sinθ表示的曲线的面积。解：转换为直角坐标方程为x²+(y-3/2)²=9/4，圆心(0,3/2)，半径3/2，面积S=π(3/2)²=9π/4。参考答案：9π/46.求参数方程x=2t-1，y=t²+1（t为参数）表示的曲线的渐近线方程。解：消去参数t得y=(x+1)²+1，对称轴x=-1，渐近线为x=-1，即y=x+2。参考答案：y=x+27.求极坐标方程ρ=2cosθ+√3sinθ表示的曲线的圆心极坐标。解：转换为直角坐标方程为x²+y²=2x+√3y，配方得(x-1/2)²+(y-√3/2)²=1，圆心(1/2,√3/2)，极坐标为(√(1/4+3/4),arctan(√3/2))=(2,π/6)。参考答案：(2,π/6)8.求参数方程x=t²，y=2t（t为参数）表示的曲线的顶点参数值。解：消去参数t得y²=4x，对称轴x=0，顶点参数值为t=0。参考答案：t=0【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.C5.C6.D7.C8.D9.A10.D解析同前二、填空题1.(√5,arctan2)12.x²+(y-2)²=413.x=3cosθ，y=3sinθ（θ为参数）2.(√3/2)x-y+2=015.(x²-y²)²=4x²16.(-1,-2)