第十章 第2节事件的相互独立性

§10.2事件的相互独立性

【学习目标】1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念2结合古典概型，能利用相互独立事件同时发

生的概率公式解决一些简单的实际问题.3.会利用相互独立事件的概率公式求比较复杂的概率问题.

一、相互独立事件的概念

问题I分别抛掷两枚质地均匀的硬币，"第一枚硬币正面朝上”，13="第二枚硬币反面朝上”.计算

P(A),P⑻,尸(48),你有什么发现？

知识梳理

对任意两个事件A与8,如果P(AB尸成立，则称事件A与事件B相互独立.

例1判断下列事件是否为相互独立事件.

(1)甲组3名男生，2名女生：乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，

“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

(2)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个

球中任意取出1个，取出的是白球”.

跟踪训练1(多选)下列各对事件中，M,N是相互独立事件的是()

A.掷一枚质地均匀的骰子一次，事件”出现的点数为奇数”，事件N=“出现的点数为偶数”

B.袋中有5个白球、5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M:“第1次摸到黄

球”，事件心“第2次摸到黄球”

C.分别抛掷两枚相同的、质地均匀的硬币，事件"第一枚为正面”，事件N="两枚结果相同”

D.抛掷一枚硬币两次，事件M="第一次为正面”，事件2"第二次为反面”

二、相互独立事件的性质

问题2如果事件A与事件3相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？

知识梳理

1.如果事件A与事件B相互独立，那么4与万，彳与8,彳与后也都相互独立.

2.一般地，如果事件4,A2,…，4相互独立，那么这〃个事件同时发生的概率等于每个事件发生的

概率的乘积.

例2一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用4表示“第一次摸得白球”，4表示

“第二次摸得白球”，则事件4与瓦是()

A.相互独立事件B.不相互独立事件

C.互斥事件D.对立事件

反思感悟互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互

独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响：互斥的两个事件可以相互独立，

相互独立的两个事件也可以互斥.

跟踪训练2事件A,B,C相互独立，若P(AB)=jP(BC)=k。("亍足，则尸(8)=_______.

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三、相互独立事件概率的计算

例3某田径队有甲、乙、丙三名短跑运动员，根据平时训练情况统计三人100米跑(互不影响)的成

绩，成绩在13s内(称为合格)的概率分别为g若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行分

析，求：

(1)三人都合格的概率；

(2)三人都不合格的概率；

(3)出现儿人合格的概率最大？

跟踪训练3根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买

甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.

(1)求一位车主同时购买甲、乙两河।保险的概率；

(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；

(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率.

四、相互独立事件的综合应用

例4有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4,甲

队胜丙队的概率是0.3,乙队胜丙队的概率是0.5,现规定比赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第

一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者

对前一场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求：

⑴第四场结束比赛的概率；

⑵第五场结束比赛的概率.

跟踪训练4某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答

错得0分.在竞赛中，假设中队每人回答问题的止确率均为:，乙队每人回答问题的止确率分别为3;，

?且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响.

4

⑴求甲队总得分为3分的概率；

(2)求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率.

■课堂小结•

1.知识清单：

(1)相互独立事件的判断.

(2)相互独立事件的性质.

(3)相互独立事件概率的计算.

(4)相互独立事件的综合应用.

2.方法归纳：列举法、定义法、构造方程(组)、正难则反思想求概率.

3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆.

随堂演练

1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A为“出现偶数点”，事件4为“出现3点或6点”，则事件4,13

的关系是()

A.互斥但不相互独立

B.相互独立但不互斥

C.互斥且相互独立

D.既不相互独立也不互斥

2.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A,B,。三种医用外科口罩，甲、

乙购买A,B,。三种医用外科口罩的概率分别如表：

购买A种医用外购买B种医用外购买。种医用外

科口罩科口罩科口罩

甲0.10.4

乙0.30.2

则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为()

A.0.24B.0.28

C.0.30D.0.32

3.某篮球队队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为甘，则该队员

每次罚球的命中率为()

B.|

Cq

4.已知A,B是相互独立事件，且P(A)［,贝lJP(A耳尸,P(AB)=.

答案精析

问题I用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为。={(1,1),(1,0),

(0,1),(0,0)),

包含4个等可能的样本点.而A={(L1),(1,0)),«={(1,0),(0,0)),所以4k{(1,0)}.由古典概型概率

计算公式，得

P(A)=P(B)=LP(AB)=-.

24

于是P(AR)=P(A)P(R).

结论：积事件AB的概率尸(A8)恰好等于P(A)与P(8)的乘积.

知识梳理

P(A)P(B)

例1解(1)事件“从甲组中选出1名男生”的概率为之事件“从乙组中选出1名女生”的概率为之这

OO

两个事件同时发生的概率为L即汉所以它们是相互独立事件.

25o525

⑵可看作“从8个球中任意不放回地取出2个球”，则“从8人球中任意不放回地取出2个，第1个是白

球”的概率为［“从8个球中任意不放回地取出2个，第2个是白球”的概率为J,“从8个球中任意不

OO

放回取出2个，2个都是白球”的概率为工而已注［所以它们不是相互独立事件.

148814

跟踪训练1CD

问题2相互独立.

例2A

跟踪训练2i

例3解记甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,。相互独立，则

尸(A)=|2,3P(B)=p1P(O=*

543

设恰有〃人合格的概率为

户欧=0,1,2,3).

(1)三人都合格的概率为

P5=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

=l-X-=-.

5X4310

(2)三人都不合格的概率为

P()=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(<1-|)X(1-*)X(1_g

1

-io,

(3)恰有两人合格的概率为

P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=^XX(1-1)+|x(1-X$(l-§磊

恰有一人合格的概率为

PI=LPO-P”PF1-—.

1060106012

综上可知，恰有一人合格的概率最大.

跟踪训练3解记A表示事件“购买甲种保险”，8表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与&A

与与，彳与B,耳与彳都是相互独立事件，

且/(A)=0.5,P(B)=0.6.

(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，

贝UOA&所以P(O=P(A3)

二产(4)P(6)=0.5X0.6=O3.

(2)记。表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，

贝|」£>=了&所以P(O)=P(彳8)

=P(7)P(B)=(l-0.5)X0.6

=0.3.

(3)记后表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，

方法一则事件E包括彳&AB,AB,且它们两两互斥.

所以P(E)=P(ABUABUAB)=

P(AB')+P(AB)+P(AB)=0.5X0.6+0.5X0.4+0.5X0.6=0.8.

方法二事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件"日、乙两种保险都不购买”为对立事件.

所以P(E)=\-P(AB)

=1-(1-0.5)X(l-0.6)=0.8.

例4解(1)因为甲连胜四场的概率P尸0.4X0.3X0.4X0.3=0.0144.

乙连胜四场的概率

22=0.6X0.5X0.6X0.5=0.09,

所以第四场结束比赛的概率P=P|+2