2026年高考数学第一轮练习：基本不等式（附答案）

§1.4基本不等式

（分值:80分）

ID知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.已知心（），〃＞（）,,则〃z+"的最小值是（）

A.9B.18C.9V3D.27

2.（2025•滨州模拟）已知/+/=5,则专的最小值为（）

A.9B.7C.-9D*7

3.函数Av）=^±viU＞1）的最小值为（）

X—1

A.2V3B.3+2V3

C.2+2V2D.5

4.（2024・潦河模拟）设正实数x,），，？满足丁制+），0=0,则三的最大值为（）

A.4B.2C.3D.1

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.下列说法正确的是（）

A.函数）=lnx+a的最小值是4

B.函数y=A+^（A＜0）的最大值是-4

C.函数尸儒的最小值是2

D.若x+y=4,则/+）2的最小值是8

6.（2024・重庆统考）已知x,拆都为正数，且x+2尸4,则下列说法正确的是（）

A2T），的最大值为4

B.f+4）7的最小值为12

c.”■的最小值为：

yx4

D.正+历的最大值为2V2

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.设心＞2,则函数尸及-11；的最小值为__________.

X—2

8.已知实数x,y满足3.口+）2=1,y＞（）,则2x+），的最小值是.

四、解答题（共28分）

9.（13分）已知x>0,_y>0,x+2y+x）=30,求：

（1）x），的最大值；（6分）

（2）2厂），的最小值.（7分）

10.（15分）已知x,y都是正数.

⑴若2x+3.y=3,求xy的最大值；（7分）

（2）若++/=2,且*”，求x+y的最小值.（8分）

IE能力拓展

每小题5分，共10分

11.正数a,b满足〃>儿ab=4,则4吟的最小值为（）

A.2B.3C.4D.6

12.（2024•山东济南实验中学模拟）已知x,y为正实数，且户）=1,则江8的最小值为（）

A.24B.25

C.6+4V2D.6V2-3

答案精析

I.B［因为〃>0,〃>0,

由基本不等式m+2，nm得,

〃?+〃218,当且仅当m=n=9时，等号成立，

所以加+〃的最小值是18.］

2.C［因为〃+从=5,

所以《+专

心+斜面+力区

=2答+浦)

邛+2历)=.

当且仅当当二［且〃+/=5,

Q/

即〃=£〃=争寸，等号成立，

所以2+/的最小值为副

3.B［因为工>1,所以x・1>0,

所以式幻二日言1

二七)2:『)+3=(］.1)+皆+322.-1).才3:2闻3,

当且仅当一二三

即x=V5+1时取等号，

所以函数火x)=的最小值为3+2V3.］

4.D［因为正实数x,y,z满足x2-xy+9・z=0,

贝ijz=.r+/-xy,

所以苫二』二点忘病:「

当且仅当土二Nx〉O,k0）,即x=y时，等号成立，故"的最大值为1.]

yxz

5.BD[A选项，由于In/可能小于0,即），=Inx+意的函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，故A

错误；

B选项，对于函数），=x+gx<0）,

x+^=-[（-%）+三|W-2J（r）心二・4,当且仅当7=5，即产-2时等号成立，故B正确；

C选项，），=[上二=1%2+9+_1|%2+9.-=^=2，但卜2+9=_^无实数解，所以等号不

b2+9Xk+9卜+9X卜+9

成立，所以最小值为2不成立，故C错误；

27

D选项，由基本不等式得三子2（字），所以*+）?22（等，=2X22=8,当且仅当x=），=2时等号成

立，故D正确.]

6.ACD【由题意知正数满足

x+2y=4.

/\2

对于A,2p="2）W（望）=4,当且仅当户2y=2时取等号，A正确；

对于B,f+4户（、+2斤；（1斤2扣+2yy=8,

当且仅当x=2.y=2时取等号，

B错误；

对于C，＞!/X+2)%+3=X5+S+§)"，

当且仅当工=y二：时取等号，C正确；

对于+=Jx+2y+2jx•2yW」4+%+2丫=2四,

当且仅当x=2y=2时取等号，D正确J

7.15

解析因为入＞2,所以x-2＞(),

所以p=4工・1+±二4(工・2)+±+722/4(%-2)--+7=15,

•x-2''X-27'X-2

当且仅当4。・2)=工，

即x=3时等号成立，

所以函数），=4x-1+-上的最小值为15.

O2正

8亏

解析因为实数X,）满足3町，+）2=1,）>0,所以工=空，

贝ij2x+y=+丫=擀+5

■3y3y3

>2^=这，

>/3y33

当且仅当片二5，

3y3

即），二衣时，等号成立，

所以〃+），的最小值是苧.

9.解（1）因为x>0,）>0,

根据基本不等式，30=x+2y+孙22淄石+大），（当且仅当x=2y=6时取等号），

令同=/（/>（））,

贝IJr+2或，・30W0,

解得・5&WW3或，又分0,

所以0<W3或，

即0<国忘3加,

所以0<RW18,

故xy的最大值为18.

（2）由尤+2），+4，=30可知，y=牛>0,0<v<30,lv+y=2r+—=2（x+2）+--5

2।x2-x2।x

间2（%十2）言.5=U,

当且仅当2（x+2）=*,即x=2时取等号，

2+x

所以2x+y的最小值为11.

10.解（1）因为x,）、都是正数，

贝ij2JC+3y22j2x•3y

=,即2^^药<3,

解得当且仅当2x=3y,

O

(x=l

即1时取等号，

所以孙的最大值为

8

(2)已知都是正数，且x>y,

令x-y=in,2y=n,

所以j心0,n>0,—+-=2,

tnn

所以x+y=m+n

=(小+呢c+m

=工(2+2+%)

2\mn/

若X(2+2)=2,

当且仅当m=〃=1,即片|,)W时，取等号，所以x，的最小值为2.

11.C[由题意得a>0,h>0,a-b>0,

33222

m.ia+da+b-ab(a-b)+4；,4〜。V,7?~.

当且仅当。■力=2且而=4,即。=花+1,。二遥・1时，等号成立.]

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