2026年高考数学一轮复习专练：函数中的构造问题（附答案）

§3.4函数中的构造问题

【重点解读】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式

的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.

题型一利用yu)进行抽象函数构造

命题点1利用兀X)与X构造函数

例1(2024・绵阳模拟)已知函数yix)满足大耳=/(一工)，且当(—8,0］时，火幻+｛打］)>0,若。=

3。2.心。2),b=\n2•加2),c=log3i/(log31),则a,b,c的大小关系是()

A..a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

答案A

解析令政工)二就工)，入eR,

因为—x),所以g(一幻=一碉一工)=一.式()=一以幻,

所以其幻为奇函数，

又因为当工仁(一8,0］时,4)+刈'(%)>0,

所以当x£(—8,0］时，8。)=/但+4口)>0,所以四)在(一8,0］上单调递增，

又g。)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，

又因为〃=3。-2负3。-2)=以3。2),

/?=ln2-/ln2)=g(ln2),

c=1噌/(log31)=g(log32)=g(—2),

-2<0<ln2<lne=1=3°<302,

所以g(—2)<g(ln2)<如3。2),即a>b>c.

思维升华⑴出现矶r)+M\x)形式，构造函数尸(力=吗2.

(2)出现短(幻一班工)形式，构造函数F*)=".

命题点2利用凡r)与e•'构造函数

例2函数火x)是定义在R上的奇函数，对任意实数工恒有人幻一凡。>()，则()

A./-1)>0B./3)>e/(2)

C.eV(1)<eV(1)D.然3)/4)

答案B

解析设g(%)=等,

则g,(加丝与费空=售0,

由条件可知，/(幻一/(幻>0,所以g'(x)>0,

则函数g(x)在R上单调递增，

因为函数凡。是定义在R上的奇函数，

则10)=0,

由等<与，得八-1)<0,故A错误；

由装翠，

得］3)>42)，故B正确；

由争鸟,得电9<£尼)，故C错误；

由詈等，得q/(3)勺⑷，故D错误•

思维升华(1)出现八幻+班x)形式，构造函数F(x)=e"7U).

(2)出现八幻一/巩r)形式，构造函数网工)=得.

命题点3利用、心)与sinx,cos』•构造函数

例3(2025・杭州模拟)已知定义在R上的函数危)满足於)sinx+f(x)cos心>0,贝4()

A/(9<何停)B/妙向⑨

3(少础)DJ◎何图

答案B

解析令尸(》=黑，用+加，旧，

故这吧等出竺>0恒成立

故抬尸照在（*+八»"）,旧上单调递增，

故，即暮名通华=/（%何（»

633"2

思维升华函数7U）与sinx,cosX相结合构造可导函数的几种常见形式

F(x)=X.v)sinx,

F,(x)=f(x)s\nx+./U)cosx；

f(x)

F(x)=

sinx

/'(x)sinx-f(x)cosx

FQ)=

sin2x

F(x)=Xx)cosx,

尸'(K)=Fa)cosx-«x)sinx;

/(X)

F(x)=cosx

/-,(x)cosx+/(x)sinx

F'(X)=

cos2x

跟踪训练1（1）（2024・齐齐哈尔模拟）已知函数人工）的定义域为（（），7i）,其导函数是/口）.若对任意的

（0,兀），有/（x）sinx—J（x）cosx<0,则关于x的不等式,火幻>2/管）皿x的解集为（）

A.（0,9B.（0,=）C.（9"）D.（9n）

答案B

解析令函数以幻=祟，］£（（）,兀），

则>（v）=/7x）sinz-r（x）cosx<0

°sin2x

因此函数以幻在（0,兀）上单调递减，不等式危）可②sin一黑球

6

即g。）“停），解得o〈e，

所以原不等式的解集为（0,

⑵(2024•南通模拟汜知函数府汲其导函数八幻的定义域均为(0,+8),若4")<贺幻，贝1]()

A.4e十2)v16/(e)<e2/(4)

B.e次4)v4e次2)<1^e)

C.e2/(4)<16/(e)<4e^2)

D.16Ae)<e2A4)<4e2/(2)

答案c

解析方法一设8。)=等，xe(o,+8),

•：xfXx)<2/(x),

・%。)=，，(?丁六)<0,

则g。)在(0,+8)上单调递减，

；・g(2)>g(e)>g(4),

.../(2空；空4)

即4e：A2)>16Ae)>e2A4)，故C正确.

方法二设人工)=1,又。2<[6<41,C正确.

(3)(2024.扬州模拟)已知函数共幻的导数为八划，对任意实数x,都有凡r)—八幻>0,且川)=1,则

a)>e「的解集为()

人.(一8,1)

B.(l,+8)

C.(一1,1)

D.(-°°,~I)U(1,4-oo)

答案A

解析由Ax)>e'->,可得当七=”，

exee

令g。尸等，结合/u)―/a)>°，则⑶<0，

所以观幻在R上单调递减，

故g(N)>g⑴=K1,

则原不等式的解集为(一8,1).

题型二构造具体函数关系

例4(1)(2025•昆明模拟)设"二黑，。=粤，则()

6101Z

A.c<h<aB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

答案A

解析设7（%）=迈,x>o,

则公尸上詈，

令八3）=0,得工=粕，

则.”）在（（）,逐）上单调递增，在（粕，+8）上单调递减，

b=Jl区）,c=k®,贝Uh>c,

所以c<b<a.

(2)(2024・南昌模拟)142857被称为世界上最神秘的数字，142857X1=142857,142857X2=285714,

142857X3=428571,142857X4=571428,142857X5=714285,142857X6=857142,所得结果

是这些数字反复出现，若。=e0142857,/?=lnl.205714+1,。=“285714,则()

A..a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cV).a>c>b

答案D

解析由题意知，a=e°」42857,c=41.285714=1+2x0.142857,

设y(x)=er—x—l(x>0),/(x)=ev—I,

当x£（0,+8）时，/（x）>0，段）单调递增,

所以x—1MO)=0,

所以c'x+1(x>0).

因为.C+2V+1>1+2A(AX)),

所以.i+l>IH-2X(A>0),

得e'〉l+2x(x>0),

所以e。142857>i+2x0.142857,即a>c；

由er>A-+l(x>0),得x>ln(x+l)QX)),

所以x—l>lnx(x>1),即x>ln1+1(A>1),

所以，1.285714>ln所.285714+匚”】？?7〔4+〔，即(>从

综上，a>c>b.

思维升华通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不

等式：sinx<x<tanA(0<%<1)>ln(x+l)<x(x>0),InxWx—1Wx2—x(x>0),er^x+l(x>0),ev>e.v>XA>0).

跟踪训练2(1)(2025・九江模拟)已知a=sin二,/?=ln1,c=\,则()

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.a>c>b

答案D

解析方法一«=sin^>sin7=1=c,

562

设./U)=lnx+1—x,JO1,

则八K)=V<。，

故外)在(1,+8)上单调递减，

故外)S/U)=o,即\nx<x-\(x>\),

所以b=\n|<|—1=c,故a>c>b.

方法二tz=sin->sin-=-=c,Z?=ln-<lnVe=-=c,

56222

所以a>c>b.

(2)已知e是自然对数的底数，。=仁,/7=e2sin-,c=^-，则()

2invneln2

A..a>b>cB.c>a>b

C.a>c>bD.b>c>a

答案B

解析构建凡丫）=言,x>e,

则八K）=寝>°在仁，+8）上恒成立，

（in町

可知其r）在（C,+8）上单调递增，

7T

因为〃=C=_L=_L

⑷力"21n而Inn'Cln2ln4>

可知7(4)次兀)»e)=e,

即c>a>e；

构建g(x)=x—sinx,.r>0,

贝1］8。)=1一8$工与0在(0,+8)上恒成立，

可知暴力在(0,+8)上单调递增，

贝|JgQ)>g(O)=O,即x>sinx,x>0,

可得」>sin-,且e>(),

AP

则e>e2sin-,即e>h,

e

综上所述，c>a>b.

课时精练

［分值：52分］

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.(2025・福州模拟)已知〃=扣g,b=\n(\n3),c=~\,则()

A..a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aV).c>a>b

答案B

解析因为b=ln(ln3)>ln(lne)=0,

而白=扣|<0,c<0,所以〃最大，

构造函数、/U)=Mnx(x>0),因为八二)=Inx+1(x>0),

当时，/(x)<0,当工弓时，/(x)>0,

所以刎在(0,J上单调递减，在仁，+8)上单调递增，

又因为«=/Q),c=/Q),

所以，即〃>c，

故b>ci>c.

2.(2024・北海模拟)已知。=ln(&e),〃=匕匚，c=乎+1,则。，〃，c的大小关系为()

e5

A.c>GbB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

答案B

解析由题意，4=竽+1=号+1,b=—+1,C=^+1,

24e5

设危尸?，则戊励=等，

当(Rr<e时J(x)>0，%)单调递增;当x>e时，/U)<0,儿6单调递减，

因为c<4<5,

所以b=y(e)+1>。=火4)+1>c=/(5)+1,故b>a>c.

3.(2024.昆明模拟)设定义在R上的函数)，=/(幻满足对Vx£R,都有‘大工+2)+凡丫)=0,且当x£(0,4］时，

xf(x)-j(x)>0,若。=/(2024),〃=M2025),c=2fil026)，则a",c的大小关系是()

A..a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.b>c>a

答案B

解析由/U+2)+於)=0j"+4)+Ki+2)=0=yU+4)=/U),

即4为)，=/5)的一个周期，

所以。=42024)=/(4),

同理匕=做2025)=4/(1),c=2A2026)=2/(2),

令姆尸号nga尸半产,

由已知可得,当x£(o,4］时,g@)>0,gQ)单调递增,

所以平:当2<g=4/⑴<〃⑵勺⑷，即a>c>b.

4.(2025•成都模拟)已知函数产”)对任意的习满足/V)cosx-/WsinQ0(其中八幻是函数段)的

导函数)，则下列不等式成立的是()

A/(Y)>@(-9B/(2V(9

C.2/(0)</Q)D.A/2A0)>/Q)

答案c

解析构造函数g(x)=/a)cosX,%三(一1,,

则,gr(.v)—/(x)cosx—/(.r)sinx>0,

所以式x)在(一?9上单调递增，

则g(-%g(-9,

所以f(*)cos(-9</(-M(T,

即/(一媒<何(一：)，故A不正确；

则g(»g(3•

所以『停)c°sT>/(3cos：.

即/《)>四G)，故B不正确；

则g(O)vg信)，

所以JWcosO勺,

即2flp)<f停)，故C正确；

则g(O)vg(：).

所以贝0)cos0</(gcos：,

即用0)寸(9,故D不正确.

5.(2024•成都模拟)若函数./U)对任意的x£R,都有八x)5/U)+2成立，则纨也2)与次21n2)—2的大小关系为

()

A.2/(ln2)>/(2ln2)-2

B.2Aln2)</(21n2)-2

C.2«ln2)=A2ln2)-2

D.无法比较大小

答案A

解析令以外二驾1

则g'(x)=r，Q)-/6)-2

•・•对任意的x£R,都有八幻勺㈤+2成立，

，8")<0,即g(幻在R上为减函数,

又In2<21n2,/.^(ln2)>g(21n2),

即f(ln2)+2y⑵n2)+2

可得41n2)次21n2)-2.

6.(2024.南充模拟)设函数凡t)=sinx+e'-er-.t+3,则满足人工)+43—2])<6的x的取值范围是()

A.(-8,1)B.(l,+°°)

C.(3,4-oo)D.(—8,3)

答案C

解析/x)=sinx+ev-e^-x+3,

设ga)=/U)-3=sinx+ev—c-r—A,

又易知g(—x)=—g(x),

.”(x)为R上的奇函数，

又g'(x)=cos.r4-ev+e-t—1Ncosx+2—1=1+cosx2(),

・・・g(x)在R上是增函数，

又危)+./(3-2%)<6,

・•・□)-3]+仅3-加-3]<0,

••・g(x)+g(3—2x)<0,：.g(x)<—g(3-2x),

又g。)为R上的奇函数，

，g(力vg(2x—3),

又g。)在R上是增函数，

/.x<2x—3,/.x>3,

故满足兀0+/(3—2r)<6的x的取值范围是(3,+~).

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2024•滁州模拟)已知函数./U)的定义域为R,其导函数为/U),且对任意的x£R,都有几耳十八外>0,则

下列说法正确的是()

A.41)勺(())B.q/⑴40)

C.2/(ln2)<第1)D.2/(ln2)>e/(1)

答案BC

解析令g(x)=eVU),

所以Kx)=eTU)+e7V)=eXl/U)+Fa)]>0,

所以g(x)在R上是增函数，所以g[O)<g⑴，即火0)气/(1),故A错误，B正确；

又g(ln2)vg⑴,

所以评次比2)<。1),

即2/(ln2)<eAl)，故C正确，D错误.

8.(2025・池州模拟)下列不等关系中正确的是()

A.ln2嘿B.加I)

C.cosD.sin:+浙

43222

答案ABD

VxInx

解析对于A项，由In2=詈,构造函数段)=颗>0),则八幻=卫孑=霖，当046时，八幻>0,

则/U)在(0,e?)上单调递增，所以贝4)勺(5),即詈嘿■，故A项正确；

对于B项，设〃?(©=?,x>\,

则”(X)—在(],+—)上恒成立，

故函数相㈤在(I,+8)上单调递增，

因为a>b>\,ttm(d)>m(b),即,

ab

故bce>ach,故B项正确；

2

对于C项，因为cosL卫ocosLl一工=1—2X(工)，

4324322\4/

故构造函数/(.¥)=COSX-1+沁X>0),

则/V)=x—sinx,

令gC0=x—sinx,则g'(x)=1—cosx>0,

故gj)在(0,+8)上单调递增，

则g@>g(0),即F(x)W(0)=0，

则於)在(0,+8)上单调递增，

fQ)=COS:-,M0)=0,故C项错误；

对于D项,