平面向量的概念 课后练习-2025-2026学年人教A版高一数学下册必修第二册

6.1平面向量的概念

一、必备知识基础练

1.（探究点一）下列量中是向量的为（）

A.体积B.距离C.拉力D.质量

2.（探究点一）下列说法正确的是（）

A.向量的模是一个正实数

B.零向量没有方向

C.单位向量的模等于1个单位长度

D.零向量就是实数0

3.（探究点三）在“BC中,分别是48/C的中点，则下列选项正确的是（）

A.希与刀共线B.而与丽共线

C.ZE与荏相等D7方与丽相等

4.（探究点三）若|荏|二|而|且瓦5=而，则四边形ABC。的形状为（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

5.（探究点三）给出下列命题:①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相

同的两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的

非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（）

A.①②B.②C.②③D.③④

6.（多选题）（探究点一）下列说法错误的是（）

A.向量就是有向线段

B.若ei,e2是单位向量，则同=|及|

C.\CD\=\DC\

D.若|四|>|而I,则而>CD

7.（多选题）（探究点三）下列说法正确的是（）

A.若存瓦则同羊步|

B.在平行四边形ABCD中，一定有而=DC

C.若。二〃力二c,，则a=c

D.若。〃仇人〃c,则a//c

8.（多选题）（探究点一）下列说法正确的是（）

A.向量不能比较大小，但向量的模能比较大小

B.同与以是否相等与a与b的方向无关

C.向量的模一定是正数

D.若向量近与向量而是共线向量，则A,B,CQ四点在一条直线上

9.（探究点二）已知|四|二1,|m|=2,若NA8O90。,则|丽仁.

10.（探究点二、三2025河南南阳高一期末）如图£"；依次是正三角形ABC的边

AB1CHC的中点.

⑴在以A,8,C,E,F,G为起点或终点的向量中,找出与向量而共线的向量；

⑵在以A,8,C为起点，以EEG为终点的向量中，找出与向量方模相等的向量;

⑶在以E,F,G为起点，以AAC为终点的向量中,找出与向量前相等的向量.

二、关键能力提升练

11.已知四边形A8CD,下列说法正确的是（）

A.若丽=说，则四边形ABCD为平行四边形

B.若|m1=1而I,则四边形ABC。为矩形

C.若荷II前，月」照|二|而则四边形A8co为矩形

D.若|荏|二|而|,且而||瓦厕四边形A8CO为梯形

12.（多选题）如图,在菱形ABC。中,ND4B=120。,则以下说法正确的是（）

A.与四相等的向量只有一个（不包括前本身）

B.与荏的模相等的向量有9个（不包括荏本身）

C.丽的模为模的g倍

D.方与瓦?不共线

13.给出下列四个条件:①②同二族|;③a与b方向相反;④⑷=0或|b|=0.其中能使a//b

成立的条件是.（填序号）

14在四边形ABCO中，荏=尻，且而，就是单位向量，则四边形A8CD是.

15.有下列说法：

①若向量々与〃满足的也则&一定不与b共线；

②在同一平面中，若I而1=1元1=1前|#0,则点B,C,力在以A为圆心，以|四|长为半径的圆上;

③在uABCD中，一定有方=~BC\

④共线向量是在一条直线上的向量.

其中所有正确的说法是.（填序号）

16.中国象棋中规定:马走“日”字，如图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,可跳到4处，

也可跳到4处，用向量丽*与祢表示马走了“一步”,试在图中画出马在8,C处走了“一

步”的所有情况.

B

17.已知在四边形ABCD中，而=反，且|而|=|幅Jan。二百,判断四边形ABCD的形状.

三、学科素养创新练

18.（多选题）如图所示,四边形ABCQ,CEFG,CG/TO是全等的菱形，则下列结论中一定成立

的是（）

A.|A5|=|EF|B.南与丽共线

C.丽与丽共线D.CD=FG

19.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A8,点C

为小正方形的顶点，且|就|二而.

（1）画出所有的向量元;

⑵求|近|的最大值与最小值.

参考答案

l.CA,B,D只有大小,C既有大小又有方向.故选C.

2.C对于A,零向量的模等于零,A错误;对于B,零向量有方向，其方向是任意的,B错误；

对于C,根据单位向量的定义可知C正确;对于D,零向量有大小还有方向,而实数0只有

大小没有方向,D错误.故选C

3.B由题意可知，而与彳？不共线,A错误;因为七分别是人民AC的中点，所以OE〃BC,

故反与方共线,B正确;因为CD与AE不平行，所以而与屈不相等,C错误;因为而与瓦5

反向，故不相等,D错误.故选B.

4.C由瓦彳=~CD^AB=CD且AB//CQ,即四边形ABCD为平行四边形.又因为

|而|二|而|,所以四边形ABCD为菱形.

5.B①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故

错误；

②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；

③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；

④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，有向线段所在的直线可能平行，故错

误.故选B.

6.AD向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故A错误;由单位向量的定义可

知，⑶|二。|,故B正确;因为所以|而|二|反故C正确;因为两个向量不能比较大

小，故D错误.故选AD.

7.BC对于A,存瓦但⑷与团可能相等，故A错误;对于B,在平行四边形ABCD中,对边平

行且相等，前,反的方向相同，所以而=尻，故B正确;对于C,由向量相等的定义知，当

a=b.b=c时，有。=c,故C正确;对于D,当力=0时不成立，故D错误.故选BC.

8.AB对于A,向量既有大小又有方向,不能比较大小，向量的模可以比较大小,故选项A

正确;对于B,⑷与网分别表示向量。与》的大小，与。力的方向无关,故选项B正确;对于

C,向量的模可能为零,故选项C不正确;对于D,若向量施与向量而是共线向量,表示通

与而的有向线段可能不在同一条直线上,得不出4,8,C,O四点在一条直线上,故选项D

不正确.故选AB.

9.V3由勾股定理可知,|8C|==V3,^|5C|=V3.

10.解⑴因为E/分别为A&BC的中点，所以EF//AC^七/二/。,所以与向量而共线的

向量是前,JC,OA,衣,CG,CAf~FE.

(2)因为△ABC是正三角形，

所以A8=4C=BC

因为E,F,G依次是正三角杉ABC的边AB.BCAC的中点，

所以AE=EB=GF=EF=GC=AG=BF=FC=EG,

所以在以A,8,C为起点，以E,EG为终点的向量中，与向量而模相等的向量为

AEfAGt~BEf~BFfCGtCF.

⑶在以E,F,G为起点，以A,8,C为终点的向量中，与向量方相等的向量为定.

ll.AA选项，若而=反,则|前|二|反|且而||尻，则四边形A8CO为平行四边形,A正

确；

B选项，如图,|尼|二|而|=2,但是四边形ABCD不是矩形,B错误；

C选项，若标II而，且|近月丽|,则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形，故C错

误；

D选项，若|而|二|而且而||三，则四边形ABCQ可以是平行四边形，也可以是梯杉,D错

误.故选A.

12.ABCA项,由相等向量的定义知，与荏相等的向量只有沆，故A正确;B项，因为

A8=8C=CD=D4=AC,所以与荏的模相等的向量除方外有9个，故B正确;C项,在RlA

ADO中,ND4O=60。,则。。二?。4,所以BD=6DA,故C正确;D项，因为四边形ABCD是

菱形，所以而与a共线，故D错误.

13.①③④若。=力,则a与b大小相等且方向相同，所以0〃瓦若|川二网，则。与力的大小

相等,而方向不确定，因此不^一定有a〃配方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a

与b方向相反,则有〃〃力;密向量与任意向量平行,所以若⑷=0或⑸=0.则a//h.

14.菱形由荏=方可知四边形ABCD是平行四边形，

又四,而是单位向量，所以|荏|二|而|=1,所以四边形ABCD是菱形.

15.②③①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以〃与h有共线的

可能,故①不正确；

②显然点B,C,。到点A的距离都等于|而