人教A版必修第二册高一数学下册-总体取值规律的估计

9.2用样本估计总体

第1课时总体取值规律的估计

【学习目标】1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法.2.掌握用频率分布直方图

估计总体.

知识梳理

知识点频率分布直方图

作频率分布直方图的步骤

1.求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的基

2.决定组距与组数

将数据分组时，一般取等长组距,并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的

分布规律能较清楚地呈现出来.

3.将数据分组

4.列频率分布表

々,为"W小组频数

各小组的频率—样本容量•

5.画频率分布直方图

频率频率

纵轴表示肃，病;实际上就是频率分布直方图中各小长方形的宜度，小长方形的面积=组

距、襦频率=频率•

思考要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？

答案分组，频数累计，计算频数和频率.

-思考辨析判断正误

1.频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.

(V)

2.频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数.(X)

3.频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.(V)

4.样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的频率分布就越准确.(V)

题型探究

一、频率分布概念的理解

例1一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下:

分组[0,10)110,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数1213241516137

则样本数据落在[10,40)上的频率为()

A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64

答案C

解析由题意可知样本数据落在[10,40)的频数为13+24+15=52,所以频率为赤=0.52.故

选C.

反思感悟顺率分布是指各个小范围内的样本数据所占比例的大小.

跟踪训练1容量为100的某个样本，数据拆分为10组，若前七组频率之和为0.79,而剩

下的三组的频率依次相差0.05,则剩下的三组中频率最大的一组频率为.

答案0.12

解析设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x,则另两组的频率分别为x—0.05,x—0.1,

而由频率和为1得0.79+5一0.05)+(工一0.1)+工=1,解得x=0.12.

二'画频率分布直方图

例2为了了解中学生身体发育情况，对某中学15岁的60名女生的身高(单位：cm)进行了

测量，结果如下：

154159166169159156166162158159

156166160164160157151157161162

158153158164158163158153157168

162159154165166157155146151158

160165158163163162161154165161

162159157159149164168159153160

列出样本的频率分布表,绘出频率分布直方图.

解第一步，求极差：上述60个数据中最大为169,最小为146.故极差为169—146=23(5).

第二步，确定组距和组数，可取组距为3cm,

则组数为2年3=721可将全部数据分为8组.

第三步，分组口455148.5),[148.5,151.5),[151.5,154.5),[154.5,157.5),[157.5,160.5),

[160.5,163.5),[163.5,166.5),[166.5,169.5].

第四步，列频率分布表：

分组频数频率

1145.5J48.5)1().017

[148.5J51.5)30.050

[151.5,154.5)60.100

[154.5,157.5)8().133

[157.5,160.5)180.300

(160.5,163.5)110.183

[163.5,166.5)100.167

[166.5,169.5]30.050

合计601.000

第五步，根据上述数据绘制频率分布直方图:

反思感悟（1）分点的决定方法：若数据为整数，则减去。.5作为分点数；若数据是小数点后

一位的数，则减去0.05作为分点数；依次类推.

频率

（2）画频率分布直方图中小矩形的高的方法：①小矩形的高=7777：②假设频数为1的小矩

形的高为〃，则频数为女的小矩形的高为A7?.

跟踪训练2为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级女生身高

进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：

分组频数频率

[145.5,149.5)10.02

[149.5,153.5)40.08

[153.5,157.5)200.40

[157.5J61.5)150.30

[161.5,165.5)80.16

[165.5,169.5]mn

合计MN

(1)求出表中〃?，〃，M,N所表示的数分别是多少；

⑵画出频率分布直方图；

(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以

上的频率.

解(1)方法一N=1.00,〃=1-(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,精,

，机=2,M=1+4+20+15+8+2=50.

方法二知=忐=50,相=50—(1+4+20+15+8)=2,

N=1.0(),n——0.()4.

频率

(2)作出直角坐标系，组距为4,纵轴表示后河，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所

示.

(3)由频率分布直方图可知,样本中身高在［153.5,157.5)范围内的人数最多，且身高在161.5cm

以上的频率为0.16+0.04=0.2,由此可估计全体女生中身高在［153.5,157.5)范围内的人数

最多，九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率为0.2.

三,频率分布直方图的应用

例3为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将

所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为

2：4：17：15：9：3,

(1)第二小组的频率是多少？样本容最是•多少？

（2）若次数在110以上（含110次）为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约是多少？

解（1）频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，

4

因此第二小组的频率为2+4+17+15+9+3=°

E幺班—3合第二小组的频数

因为第一小组的频率一一样本容量—,

*H程东充口第二小组的频数12

所以样本在量-第二小组的频率-008T50.

⑵由直方图可估计该校高一年级全体学生的达标率约为冰占100%=

匕I■I19I

88%.

反思感悟（1）频率分布直方图的性质

频率

①因为小矩形的面积=组距X%=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，

频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于I.

③相应的频率=样本谷量.

⑵频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某

一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可耗性.

跟踪训练3从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时〕的数

据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

组号分组频数

1[0,2)6

2[2,4)8

3[4,6)17

4俗,8)22

5[8,10)25

6[10,⑵12

7[12,14)6

8[14,16)2

9[16,18]2

合计100

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的比例：

（2）求频率分布直方图中的”，〃的值；

⑶假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周

课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）.

解（1）根据频数分布表知，1（X）名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2

+2=10（名），

所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1—徭=0.9.

故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的比例为0.9.

（2）课外阅读时间落在［4,6）组内的有17人，频率为0.17,所以。=薪频率=宏017=0.085.

课外阅读时间落在［8,10）组内的有25人，频率为0.25,

叱山，频率025八…

所以b一组距一—2—-0.125.

（3）样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.

随堂练习

1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是（）

A.总体容量越大，估计越精确

B.总体容量越小，估计越精确

C.样本容量越大，估计越精确

D.样本容量越小，估计越精确

答案C

解析由用样本估计总体的性质可得.

2.一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：

分组110,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数234542

则样本在[10,50)内的频率为()

A.0.5B.0.24C.0.6D.D.7

答案D

解析因为样本在［10,50）为的频数为2+3+4+5=14,样本容量为20,所以在［10,50）内的

14

频率为西=0.7.

3.某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重.将所得的数据整理后，画出

了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40〜45kg的人数是（）

A.10B.2C.5D.15

答案A

频率

解析由题图及频率=言乂组距，知体重在40〜45kg的女生的频率=0.02X5=0.1.，女

生中体重在40〜45kg的人数为0.1X100=10.

4.某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直

方图，为了了解工薪阶层对月工资的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1000人中抽

出100人做电话询访，则月工资在区间［30,35）内的工薪阶层应抽出_______人.

答案15

解析月工资落在区间［30,35）内的频率为1—（0.02+0.04+0.05+0.05+0.01）X5=0.15,

所以月工资在区间［30,35）力的应抽出100X0.15=15（A）.

5.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况，将所得的数据

整理后，画出了频率分布更方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为

1：2：3,其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为.

答案48

解析设报考飞行员的总人数为〃，

设第一小组的频率为“，则有。+2a+3a+（O.O13+O.O37）X5=l,解得4=0.125,

所以第2小组的频率为0.25.

又第2小组的频数为12,

1?

则有0.25=",所以〃=48.

-课堂小结-------------------------------------------------------------------------

1.知识清单：

（1）频数与频率.

（2）频率分布表.

（3）频率分布直方图.

2.方法归纳：图表识别、数据分析.

3.常见误区：频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义易错.

课时练习

基础巩固

1.从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下（单位：克）：

12512012210513011411695120134

则样本数据落在［114.5,124.5）内的频率为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.05

答案C

解析在125,120,122,105,130114,116,95,120,134这10个数字中，落在［114.5,124.5）内的有

116,120,120,122,共4个，

4

・••样本数据落在［114.5,124.5）内的频率为m=0.4.故选C.

2.在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，［小。）是其中的一组，该组的频率为小,

该组的频率分布直方图的高为〃，则|。一〃|等于（）

A./Z/HB.yC.-+

hm

答案B

频率频率m

解析阳阳故心一引=组距=-7,­=不

3.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表:

组号12345678

频数1013X141513129

第三组的频数和频率分别是()

A.14和0.14B.0.14和14

C.吉和0.14D5和古

答案A

14

解析x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=100-86=14,第三组的频率为丽=0.14.

4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为〃的样本，其频率分布

直方图如图所示,其中支出(单位：元)在［50,60］内的学生有30人,则〃的值为()

A.100B.1000C.90D.900

答案A

解析由题意可知，

前三组的频率之和为(SO1+0.024+0.036)X10=0.7,

，支出在［50,60］内的频率为1-0.7=03,

Il=nq=100.

U・J

5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子

元件中寿命在100〜300h的电子元件的数量与寿命在300~600h的电子元件的数量的比是

()

A.1：2B.1:3

C.1:4D.l：6

答案C

解析由题意，知数量的比即为所对应的小矩形的面积和之比，即1：4.

6.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余4个

小长方形面积之和的/且中间一组的频数为10,则这个样本容量是.

答案40

解析设中间长方形的面积为X,样本容量为〃.由题意得人=|(1-X),解得x=；,即中间一

组的频率为:，・•・¥=；,〃=40.

7.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制

的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),

[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中

净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是_______.

答案90

解析•・•样本中产品净重小于100克的频率为

(0.050+0.100)X2=0.3,频数为36,

・•・样本容量为恶=120.

•・•样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)X2=

0.75,

・••样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120X0.75=90.

8.已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分

布直方图如图所示，则这40()辆汽车中在该路段超速的有辆.

声率

组小

0.031---------——

().01------

°1()50607080速度(千米/时)

答案80

解析速度在［70,80］之间的频率为

1-<0.01X10+0.03X104-0.04X10）=0.2,

••・在［70,80］内的频数为0.2X400=80.

9.某电视台为宣传本省，随机对本省内15〜65岁的人群抽取了〃人回答问题“本省内著名

旅游景点有哪些“，统计结果如图表所示.

组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率

第1组[15,25)a0.5

第2组[25,35)18X

第3组[35,45)b0.9

第4组[45,55)90.36

第5组[55,65]3y

⑴分别求出a，b,x,y的值.

（2）从第234组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取

多少人？

9

解（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为康=25,再结合频率分布直方图可知

25

〃=:1f）f）

0.025X10'

所以a=100X0.01X10X0.5=5,

Z>=100X0.03X10X0.9=27,

183

.V=2Q=0.9»y=y^=0.2.

（2）第2,3,4组回答正确的共有18+27+9=54（人）.

所以利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别推取的人数为第2组：”X6=2（人）;

279

第3组：且X6=3（人）；第4组：豆X6=1（人）.

10.从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整数）的分布，将样本分成5

组，绘成频率分布直方图（如图所示），从左到右各小组的小矩形的高之比为2：3：6：4：1,

最左边的一组频数为6.

⑴求样本容量；

⑵求105.5〜120.5这一组的频数及频率：

(3)如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率..

解在频率分布直方图中频数之比等于频率之比且样本的所有频率之和等于1.

(1)小矩形的高之比为频率之比，

・•・从左到右的频率之比为2：3：6：4：1.

・••最左边的一组所占的频率为看=/

.W$户频数6八

••样本不量=频率=[=48.

8

6

-3

一-

〜这一组的频率为CS

(2)105.5120.516

3

・•・频数为48Xx=18.

O

4I15

(3)成绩大于120分的频率为一^-=布，

•••考试成绩的优秀率为专乂100%=31.25%.

综合运用

11.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已

知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()

C.450D.I20

答案B

解析:•少于60分的学生人数为600X(0.05+0.15)=120,

・•・不少于60分的学生人数为480.

12.样本容量为100的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据

落在［6,10）内的频数为样本数据落在［2,10）内的频率为d则小b分别是（）

频率

湎

().09

().08

0.03

0.02

O2(>1U141822样本数据

A.32.0.4B.8,0.1

C.32,0.1D.8,0.4

答案A

解析样本数据落在［6/0）内的频率为0.08X4=0.32,

则“=100X0.32=32；

由于样本数据落在［2,6）内的频率为0.02X4=0.08,

则样本数据落在［2,10）内的频率力=0.08十0.32=0.4.

13.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如

图所示），由图中数据可知。=.若要从身高在口20,130）,［130,140）,［140,150］三组

内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在［140,150］内的学

生中选取的人数应为.

频率

组距

0.010

0.005

100110120130140150身高/cm

答