2026-2027学年华东师大版八年级数学上册《平方根》教学设计

第十章数的开方

10.1平方根和立方根

第1课时平方根

一、教材分析

本节课《平方根》是华东师大版初中数学八年级上册笫一章第一节的内容.平方根和算术平方

根是在学生掌握有理数运算基础I:展开的，是后续学习立方根、实数的基右，对完善数系认知意义

重大.

从求面积为25cm2的正方形边长这一实际问题出发，引发学生对已知平方求原数的思考，让学

生感知学习平方根的必要性，体现数学源于生活.借助复习求一个数的平方运算，逆向探究已知平

方求原数，通过具体数字实例，逐步引出平方根概念.再以正数。为例，区分算术平方根与平方根

,帮助学生理解两者联系与区别.明确平方与开平方互为逆运算关系，通过教材例题、经典例题，

让学生掌握求平方根的方法，包括直接根据平方根意义求解，以及利用计算器求算术平方根，提

升学生运算能力.

二、教学目标

1.了解平方根和算术平方根的概念，会用符号表示正数的平方根和算术平方根，并掌握它们的

性质.

2.了解开平方与平方互为逆运算，会求某些非负数的平方根.

3.会用计算器求一个数的算术平方根.

4.通过学习平方根和算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维.

三、教学重难点

重点：平方根和算术平方根的概念，会用符号表示正数的平方根和算术平方根.

难点：会求某些非负数的平方根，会用计算器求一个数的算术平方根.

四、教学过程

（一）本章引入

问题：

1.2024年4月25口，神舟十八号载人飞船发射取得成功。4月26日，在轨执行任务的神舟

十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”。5月28日，神舟

十八号航天员乘组圆满完成笫一次出舱活动。其飞行速度大于第一宇宙速度修，而小于第

二宇宙速度5,%,匕满足片=2gR,匕2=2gR.

教师提问：同学们思考，如何求弘，匕呢？

设计意图：通过实际问题，引出开方运算，激发学生兴趣，自然导入本章学习内容.

2.同学们，想剪出一张面积为25c律的正方形纸片，可不知道边长是多少.大家能帮老师想想办

法不？

25cm27

1

我们知道，正方形面积=边长X边长，25=边长2,那么边长应该等于多少呢？

这就是本章要学的有关数的一种新的运算-开方.通过开方运算，不光能解决这类求正方形边长

的问题，还会认识新的数一无理数！接下来，咱们就开启这章的学习之旅.

设计意图：通过求正方形纸片边长的实际问题，引出开方运算，激发学生兴趣，自然导入本章

学习内容.

(二)复习回顾

填空：

(1)22=,(-2＞二：

⑵(沪——，(-沪——；

(3)0.82=,(-O.8)2=.

提示：求一个数的平方，实际上是相同的两个数相乘.

预设：(1)4,4；⑵京.(3)0.64,0.64.

反过来，如果己知一个数的平方，怎样求这个数呢？接下来我们就一起来探究.

师生活动：教师填一填，带领大家回顾如何计算求一个数的平方，接着提出问题，引出新课.

设计意图：通过填空练习，让学生回顾求一个数平方的运算，巩固旧知.再由已知平方求原数

的问题，制造认知冲突，自然引出新课，激发学生探究欲望，为后续学习开方运算做铺垫.

(三)探究新知

活动一：平方根

试一试：本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25cm2,求这个正方形的边长.

预设：因为52=25,所以这个数可以是5；所以，这个正方形的边长是5cm.

上述问题实质上就是要求一个数，这个数的平方等于25.

师生活动：学生结合复习回顾环节进行解答，教师给出答案.

思考：一个数的平方等于25,这个数除了5之外还有哪些数？

预设：因为(-5)2=25,所以这个数可以是-5；除了5和-5外，任何一个数的平方都不等于25.

如果一个数的平方等于25,那么这个数是5或-5.

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答.

探究：根据上面的研究过程填写下表：

4

1163649药

X

预设:

4

X21163649

25

2或，

X1或-14或-46或-67或-75B5

师生活动：鼓励学生填一填，小组讨论.

你发现了什么规律？

预设：互为相反数的两个数的平方等于同•个数.

设计意图：通过求正方形边长实例，引导学生思考已知平方求原数，再经填表探究，让学生在

实践中发现规律.培养学生逆向思维与归纳能力，自然引入平方根概念，为后续学习奠基.

【概括】

如果一个数的平方等于4那么这个数叫做a的平方根(,匐〃。2root).

因为52:25,所以5是25的一个平方根.

又因为(-5)2=25,所以-5也是25的一个平方根.

这就是说，5和-5都是25的平方根.

根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来探求一个数的平方根.

设计意图：通过具体数字示例，从“数的平方等于。”的角度自然引出平方根概念，让学生直

观理解平方根与平方运算的关联，明确求平方根的方向.

活动二：算术平方根

试一试：(1)144的平方根是什么？

(2)0的平方根是什么？

(3)-4有没有平方根?为什么？

预设：(1)因为122=144,(-12)2=144,除了12和T2外,任何一个数的平方都不等于144,

所以144的平方根是±12.

(2)因为。2=0,除了0外仔何一个数的平方都不等干0,所以。的平方根是0.

(3)因为任何数的平方都不可能是负数，所以没有一个数的平方为-4,即-4没有平方根.

请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答.

思考：通过试一试，你有什么启发？

预设：①一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.

注意：知道了这两个平方根中的一个，立即可以得到另一个.

②0的平方根只有一个.

③任何有理数的平方都不可能是负数，所以负数没有平方根.

师生活动：鼓励学生自主尝试，并结合试一试内容，自己编题，由小组内其它同学解答，最后

小组讨论.

设计意图：通过试求不同数的平方根，让学生在实践中深化对平方根概念的理解，发现正数、

0、负数平方根的特点.自编题目与小组讨论，培养学生自主探究与合作交流能力，提升对知识的运

用与归纳水平.

【概括】

正数。的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作伞，读作“根号4”；另一个平方根是它的

相反数，即

交流：你能用符号表示出正数的平方根吗？

预设：正数〃的平方根，记作士G，读作正、负根号以其中。是非负数）

注意：o的平方根只有1个，也叫o的算术平方根，记作V5,即73=0.

说一说：VHseo）表示。的算术平方根，试就〃>0和折o两种情况，分别说出它的意义.

预设：当〃>（）时，逅表示的是一个正数的算术平方根.例如，眄表示9的算术平方根.

当a=0时，伞表示的是U的算术平力根.即次表示U的算术平力根.

设计意国：先概括算术平方根概念，再通过交流引导学生用符号表示正数平方根，明璃0的情

况，最后让学生阐述声意义.帮助学生区分算术平方根与平方根，准确掌握相关符号表示及内涵.

活动三：开平方

已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算.

思考：己知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？

预设：求一个非负数。的平方根的运算，叫做开平方.

注意：将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.平方与开平方互为逆运算.

（四）应用新知

教材例题

例1求100的平方根.

分析：根据平方根的意义求解即可.

解：因为102=100,(-10)2=100,

除了10和T0以外，任何数的平方都不等于100,

所以10()的平方根是10和-10.也可以说，100的平方根是±1().

思考：你能先求出100的算术平方根，再求解吗？

预设：因为100的算术平方根是，丽=10,所以根据一个正数有两个平方根且互为相反数，得

loo的平方根是土io.

例2将下列各数开平方：

4

⑴49;⑵天

分析：先求出各个数的算术平方根，再根据一个正数有两个互为相反数的平方根进行解答.

解：(1)因为72=49,所以肉二7,因此49的平方根为土历二±7.

仿照小题(1)的解答过程，写出小题(2)的解答.

(2)因为钞三，所以层,因此卷的平方根为琮=*

师生活劭：学生先独立思考再作答.

在例1、例2中，我们是通过观察，利用开平方与平方的关系来求平方根的.通常可用计算器直

接求出一个正数的算术平方根(有时得到的是近似值).

按键顺序：

其中4为任意的数.

注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.

例3用计算器求卜.列各数的算术平方根：

(1)529(2)44.81(精确到0.01)

分析：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.

解：(1)本小题的按键顺序是：

显示结果为23,所以529的算术平方根为，529=23.

(2)本小题的按键顺序是：

显示结果为6.694027188,要求精确到0.01,所以44.81的算术平方根为瓦瓦々6.69.

经典例题

例4求下列各式中x的值：

(1)^=49;(2)9』.

分析：(1)根据平方根的意义直接求解；

(2)先将左边的系数化为1,再根据平方根的意义求解..

解：⑴因为(±7)2=49,所以x=±7.

⑵9f=4,第

因为(4户支所以尸土*

注意：(2)中左边也可以看成是(3x)2,求3x的平方根，再系数化1.

设计意图：通过这两道例题，引导学生运用千方根概念求解含未知数的方福，强化对千方根意

义的理解与运用，培养学生分析问题、转化式子及准确计算的能力，提升其代数运算素养.

(五)课堂练习

【教材练习】

1.完成下表：

被开方数149162536496481100

算术平方根

平方根

答案:

被开方数149162536496481100

算术平方根12345678910

平方根±1±2±3±4±5±6±7±8±9±10

2.说出下列各数的平方根：

4Q

(1)6400；(2)0.25；(3)?

解：(1)因为(±80)2=6400,所以它的平方根是±80.

(2)因为(±0.5)2=0.25,所以它的平方根是±0.5.

(3)因为(1)'-,，它的平方根是

7O17

3.用计算器计算：

(1)7676；(2)V27.8784；(3)^精确到0.01)

解：(1)本小题的按键顺序是：

显小结果为26,所以V676=26.

⑵本小题的按键顺序是：

显示结果为5.28,所以V27.8784=5.28.

(3)本小题的按键顺序是：

显示结果为2.055480...,要求精确到0.01,所以旧臣近言2.06.

4.下列说法正确吗?为什么？如果不正确，请了以改正.

(1)16的平方根是4;⑵危=±5

解：(I)错误，一个正数的平方根有2个，所以16的平方根是±4.

(2)错误，旧是25的算术平方根，算术平方根只有1个且为非负数.

【自选练习】

5.求下列各数的平方根.

(1)黑；(2)62；(3)0.49.

O1

解：⑴(土乎若,它的平方根是4

V817

(2)62=36,(±6产36,它的平方根是±6.

(3)(±0.7)2=0.49,它的平方根是±0.7.

6.求下列各式中x的值：

(l)f=36;(2)(X-1)2=1.

解：(1)因为(±6)2=36,所以4±6.

(2)因为(土1)2=1,所以尸1二土1.所以户2或x=O.

7.若|〃厂2|+Vn+2=0,求m+n的值.

解：因为\m-2\20,VT短20,且|w-2|+疝/=0,

所以\m-2\=0»y/n+2=0,m=2,n=-2,所以，m+n=2+(-2)=0.

设计意图：提供教材习题以外的练习题，供学生或教师选择性的使用，巩固本节课所学的内

容.

・归纳总结

师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.

1.本节课你学到了什么？

2.什么是平方根、算术平方根？如何用符号表示?

3.平方根有哪些特征？

如果一个