山东省2025-2026学年高一年级下册期中数学试题（解析版）

济南一中2025级高一下学期期中学情检测

数学试题

本试卷满分150分考试时间120分钟

一、单选题本题共12题，每小题5分，共60分.（每小题只有一个选项符合题目要求.）

1.已知复数z满足z・(l+i)=l-2i,则|z|=()

百Vio

rA\.----B.yf52C.D.2

2r

【答案】C

【解析】

【分析】利用更数的运算法则及复数模定义计算即可.

l-2i(l-2i)(l-i)_-l-3iI3.

【详解】由题意z=--------1

l+i(l+i)(l-i)222

3?_x/10

故目=LI+

2)2

2.已知复数z满足|2『一2忖-3二0的复数2的对应点的轨迹是（)

A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆

[)A

【解析】

【详解】因为|z『—2忖-3=0,所以以|=3」z|=3（负舍）

因此复数z的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.

3.在VA8C中，B=30,〃=2,c=2>/5，则角A的大小为()

A.45B.135°或45°C.15D.105°或15

【答案】D

［华茴斤］

【分析】利用正弦定理求得角C,根据三角形内角和，即可求得答案.

【详解】由题意知VA3C中，B=30/=2,°=2夜，

故心._csinB2>/2xsin30电,

Hn,即sine=-------=----------------

sinBsinCb2一2

1

由于c〉〃，故。＞8=30°，则。=45-或135、

故A的大小为18。-30°-45°=105°或180-30°-135°=15%

故选：D

4.已知平面向量不,方且通=4+2方，元=一5万+66,也=7万—25,则一定共线的三点是（）

A.A,B,。B.A，B,CC.B,C,DD.A,C,。

【答案】A

【解析】

【分析】先考虑向量讥B共线时，AB,。,。的位置关系，再考虑向量比3不共线时，利用向量共线定理

和平面向量基本定理逐项判断即可.

【详解】若向量值出共线，则而，比，而共线，此时A8,C,D共线，

当向量色/；不共线时，

对于A选项，^b=^C+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4h=2AB，所以4民。三点共线，A正

确：

对于B选项，设羽=〃品，则2+2日=〃（-5〃+66）,即无解，B错误；

对于C选项，设阮二〃?C万，则-5U+6万二利（7万一2b）,即:,无解，C错误；

'7[-2m=6

对于D选项，AC=AB+BC=a-¥2b-5a+6b=-4a+Sb，设％=，

即YM+8B=〃（7万一沙）,即一二,无解，D错误.

\）-2/?=8

故选：A

5.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发

源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉.如图，计划在猫儿山的两个山顶

例,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点A&C，在A处

测得山顶MN的仰角分别为60“和30"，测得两个山顶的高分别为MC=500xQm,N8=250&m,且测得

NM4N=45"，则M,N间的距离为（）

2

N

A

A.5(X)mB.250x/6mC.500GmD.50()底m

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件先求出△MAA中的两边，再利用余弦定理求即可.

【详解】由题意，可得/历4。:60,/乂48=30°,加。=5006111,/78=250&01,“加47=45',

MC

且/MC4=NNB4=9O，在Rt~4CA/中，可得人M=-----=1000m,

sin60*

在Rt/XABN中，可得AN=』一二500&m,

sin30

在△AMN中，由余弦定理得：

MN?=AM2+AN2-2AM-ANcos/MAN=500222+(V2)2-2x2x72x同=500000

所以MN=500&m.

故选：D.

6.数系的扩充过程以自然数为基础,德国数学家克罗内克(Kronecker,1823—1891)说“上帝创造了整数,

其它一切都是人造的”.若i为虚数单位，4=(l+4i)(3+i),Z2=x-2i(qx£R),且冬=z2,»()

A.x=-4,a=1B.x=4,a=-\C.x=-4,a=-1D.x=4,a=1

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘法与复数相等的条件求解即可

【详解】4=(l+ai)(3+i)=3-a+(3a+l)i,由Z]=Z2=x-2i,

可得3a+l=—2,/.a=—l,即得工=3—4=4.

故选:B.

,A

7.在VABC中，内角4.仇。的龙边分别为。力,。,如由。+方=2反05~—+讹058,则丫48。一定为()

2

A.直角三角形B.等腰三角形

3

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，

所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角

之间的关系，进而判断三角形的形状.

【详解】在VA3C中，asinC+/?=2bcos2—+tzcosB,

2

।+coSiA

则tzsinC+b=2bx-----------+acosB,即asinC=bcosA+acosB，

2

则sinAsinC=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+,即得sinAsinC=sinC,

由干C£(0,兀),sinCwO,故sinA=l,结合Aw(0,7t),可得A=^|,

即VA3c一定为直角三角形，

8.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为()

।2-34

A.-B.—C.-D.一

2345

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件•，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解.

【详解】设圆锥底面圆半径为「，母线长为/,依题意，27n〜兀/,则/=2r,

所以该圆锥侧面积与其表面积的匕为兀”，=2厂，=2.

nrl+兀厂2广+厂3

故选：B

9.已知向量满足M=(-1,3)3=(-2,1),则乙在5上的投影向量为()

A.(-2,1)B.(-2,3)CD.(一1,3)

【答案】A

【解析】

【洋解】已知日=(-1,3),5=(-2,1).

所以G/=(—l)x(—2)+3xl=2+3=5.

因为|B|=J(一2产+12=/口=6,所以|方『=5.

4

H-h-

由投影向量公式可得,在方上的投影向量=,入，〃

\b\-

所以不在6上的投影向量为|/=6=（—21）.

10.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形48'0',若O'夕=3,O'A=2,则原三

C.8D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根据直观图可得原图为直角三角形，求出原图的直角边长后可得三角形的面积.

【详解】由题设可得三角形A80为直角三角形，且/AO8为直角，AO=4,80=3,

故其面积为6,

故选：B.

11.已知2=（—2,-1）,3=（兀1）,若[与方的夹角a为钝角，则入的取值范围为（）

B.一；,2卜（2，+8）

A.-1.00D.(-2,2)

I2

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得入的取值范围.

【详解】因为〃=（一2,-1）,5=（k,l）,所以7月=一2九一1，

•・,a,b的夹角为钝角；

.•.」力<0，且Z,B不平行;

—21—1<0

••[-2+入工0；

解得入〉—,且九土2；

2

.•2的取值范围为：（一g,2）u（2,+oc）.

5

故选:B.

12.如图，在梯形/1BCD中，AB//DC,BCA.AB,ZA=-,AB=2CD=4,E为线段AB的中点，先将梯

4

形挖去一个以8£为直径的半圆，再将所得平面图形以直线A8为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为

()

28TI22兀__

A.-----B.-----C.7兀D.6TI

33

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得几何体体积为个圆锥加个圆柱体积再减去个球的体积，据此可得答案.

【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到.

由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB,

又4B〃OC,BC_LAB,NA=2,A3=2CO=4,则OE_L4B,DE=CB,

4

三角形AOE为等腰直角三角形，则。E=。3=24区=2,

又由题可得圆柱，圆锥的高均为2,

।32

则圆柱，圆锥体积之和为：一兀x22x2+7tx22x2=—兀，

33

।।44

乂注意到球体半径为一E8=-AB=1,则球体体积为：一兀xF=一兀,

2433

32-428

则几何体体积为一--兀二=兀.

33

故选：A

二、多选题本题共3题，每小题6分，共18分.(每小题有多项符合题目要求，全部选对

得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.)

6

13.已知复数2=—彳是Z的共枕复数，则下列说法正确的是（）

1-1

A.5的虚部为一;iB.|z-i|=V2

C.z在复平面内对应的点位于第二象限D.z为方程2/+2工+1=0的一个根

【答案】CD

【解析】

【分析】根据复数的四则运算化简得z=±l,求出对应点的坐标判断C,求出共趣复数及虚部判断A,

2

代人方程求解判断D,求出z—i后求模长判断B.

iii（l+i）-1+i（1\\

【详解】z=—y=—=v7,对应点为一；,彳在第二象限，故C对；

l-il-i（l-i）（l+i）2\22）

又彳二土1,虚部为一,，故A错，

22

上十仔-旧三小冬故R错：

2・|=匚）+2（二^）+l=—i-l+i+l=O,故z为方程2d+2x+l=0的一个根，D对.

故选：CD

14.已知向量5满足冏=1,〃=1,=6,则下列结论中正确的有（）

万与夹角为§ab=

A.BB.~2

夹角为g

C.a-b-\D.a-b-

【答案】ACD

【解析】

【详解】因为a+L=同2+@+2而,

一|

所以2"反+=，所以。勿二不：所以B错误；

所以8s他%箫］，

因为（,万卜限可，所以=所以A正确；

因为区一1='（女一〃）=，同~一2c序+5=，所以C正确;

7

2

/rr\（好与5aS-b1t1

因为cos（u_5,6）=I,I==—1=—,

\/卜-邪I1X122

且k-瓦万闫0,可,所以«-很冉=处,所以D正确.

3

15.V4AC满足sinA:sinB:sinC=2:J7:3，且S△八改=66，则（）

A.VA3c三个内角A、B、。满足关系A+C=23

B.VABC的周长为10+26

C.若N8的角平分线与AC交于。，则80的长为迪

5

D.设E为VANC外接圆上任意一点，则4g.配的最大值为］4+生叵

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角

平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出8。的长度，最后借助数量积的儿何意义即可求出

最大值.

【详解】因为siaA:sin8:sinC=2:J7:3，由正弦定理得4：6:0=2：4：3，

因为S.-6\/3=—acsinB=—ac・，所以ac=24,

aAHMC222

所以。=4,c=6,b=2\/7，

对于A：由余弦定理知，cosB=a~+c~~^=4+9-7=1,因为8£（0,兀），所以B二二，

2ac2x2x32''3

2兀

所以A+C=7r-3=——，即A^C=23,故A正确；

3

对于B：因为。=4,c=6,。=2>/7,

所以△ABC的周长为a+Z?+c=10+2j7，故B正确；

对于C：若N8的角平分线与AC交于D，则NABO=NCBO=,/ABC=二，

26

因为S&ABC=S/母）+S&BD»

所以='c./OsinZABD+-a-BDsin/CBD,

22

8

即6行=’6以〉4+‘4瓦)」，解得60=后包，故C错误；

22225

对干D：因为衣-AC=|荏HAqcosNE4C=〃-kqcosN£4C=25/7|McosN£AC,

设△ABC外接圆的圆心为。，半径为R,

9R_b_2近_45,p-

由正弦定理知，'八一嬴石第一方一二厚，所以氏=会黄，

2

过点E作4c的垂线，垂足为尸，则|荏|cosNEAC=4尸，

当0E//AC,且点尸在AC的延长线上时，4/取得最大值，如图所示，

此时赫=暴。+。1"/4・2近+早=近+半,

所以赤•衣的最大值为2近・("+3")=14+与叵，故D正确.

三、填空题本题共6题，每小题5分，共30分.

16.已知mwR,i是虚数单位，复数z=〃/+m—2+(〃72—l)i.若z是纯虚数，机的值为

［父］-2

【解析】

【分析】根据亚数2=〃广+〃7-2+(〃/一l)i,可知其实部为0,虚部不为0,由此可求解.

【详解】复数z=病+〃-2+(/一)是纯虚数,

n?2+zn-2=0m=1或加=-2

故：，八，解得《故m--2.

Im~-1^0加0±1

17.在正四棱台48。。-4与。")|中，A8=2,4耳=1,4&=&，则该楼台的体积为

【答案】*#洒

9

【解析】

【分析】结合图像，依次求得aa，Ao，AM,从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过A作AMJ.4C,垂足为M,易知AM为四棱台A5C。-44GA的高,

因为A3=2，Ag=1,A4,=0,

则4a=，AG=-x42AiB]=—yAO=-AC=-xy/2AB=y/2^

22222

故AM=，（AC_AG）=也，则A*jM—w=「！=逅,

22V22

所以所求体积为V=L(4+I+、标'“直=坡.

326

故答案为：还

6

18.正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为3,则此正三棱锥的侧面积为.

【答案】6拒

【解析】

【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三

棱锥的侧面积.

【详解】已知正三棱锥底面边长为2,侧棱长为3,

则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高=存二了=2近，

侧面积S=3x,x2x2夜二6〃.

2

故答案为：6-y2

10

19.如图，在平行四边形ABC力中，E和尸分别是边C。和BC的中点，若AC=/lA&+〃城，其中

LjeR,则4+〃=.

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】设八月二Z,A£j=B,根据题意得到荏=耳£+及标=£+]B,得到"=§（馥+而"进

2

而得到兄=〃=工，即可求解.

【详解】设而=2,而=5,

因为E和尸分别是边。。和BC的中点，可得通二,£+反而=£+,反

22

___?____

又因为AC=a+B，所以AC=]（4E+A/）,

J

因为前1=2荏+4而，所以％=〃='!，所以4+〃=g.

4

故答案为：—.

20.在VA8C中，若C=3,C=2,其面积为百，则〃+〃二.

【答案】收

【解析】

【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出（〃十。）’的值，进而求出〃十力的值.

【详解】已知C=jSABC=B代入面积公式可得：、6j"sinE

3"A*23

则招=La/,x且，可得：ab=4.

22

II

根据余弦定理为c2=cr^b2-2ab^C，可得32=。2十/—2〃bcos]

3

则9=cJ+〃*一〃8.即9=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2-3ab,

2

把曲=4代入可得：9=(Q+与2_3x4,Bp(a+b)=9+12=21.

由于。力为边长，可得〃+Z7=JH.

故答案为：向.

7T,1.1.

21.如图，在VA8C中，ZCAB=-,。是4B上的一点，P为CD上一点,且AP=-AC+-AB,

432

若口。二血，|福卜2,则前的值为,

【答案】

3

【解析】

__1___?______.3—>

【分析】根据三点共线的结论可得AP=-AC+-4O,进而可得AO=-A8,即可根据数量积的运算律

334

求解.

__11_i2.___3

;

【详解】因为儿C,。三点共线，且从户=-4。+—4月，所以衣二二而+：7而，所以而二一通，

32334

一一一一3一

所以6=。（+4万=一,。+—/4万，

4

所以Q.比=通）（一/+［丽通丽2,

乂乙BAC=一»|AC|=\/2,|AB|=2,所以CO=—』x2——x\p2x2x+-x4=—•

4111134283

故答案为：

3

四、解答题本题共3题，共42分,（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

22.己知向量值=（1,2）,S=（2,-1）,?=（w,2）,/ZZGR.

12

(I)当他+6)M笳-5)时，求实数i的值;

(2)当♦//(£+])时，求向量口与3的夹角的余弦值.

【答案】(1)1；

【解析】

【分析】(1)由垂直关系的向量坐标表示可解；

(2)由向量平行的坐标表示求出机，再代入向量夹角公式可得.

【小问1详解】

由题意可得d+5=(3,1),"・5=(/,2/)・(2,・1)=(/-2,21+1),

因为伍+6)_L(4〃-b),所以3{/・2)+(2/+1)=0?I1.

【小问2详解】

亍+乏=(1+祇4),

rrr

因为A//(a+c),所以8+〃z+l=0?m-9,

所以工=(-9,2),

/—\a?c5V17

所以cos但c"厢"折底=一/，

即向量1与C的夹角的余弦值为一姮.

17

23.设VA3c的内角A,B,。所对的边分别为小b,c,acosC+—c=b.

2

(1)求角4的大小；

(2)若V4BC边8C上的中线AO的长度为、/,求VA3C面积的最大值.

【答案】(1)!

⑵

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理将边亿角，再由两角和的正弦公式计算可得：

13

（2）依题意可得A》=g（4月+4C）,根据数量积的运算律得到6+c?+权=24,再由均值不等式求出

〃。的最大值，即可得解.

【小问1详解】

因为acosC+'c=/?,

2

由正弦定理得sinAcosC+』sinC=sin8,

2

则sinAcosC+]SinC=sin（A+C）,

即sitiAcosC+—sinC=sinAcosC+cosAsinC，

2

z.-sinC=cosAsinC，

2

,.•Ce（0,n）,.,.sinC>0,则cosA=；,

,.•AG（0,7r）,/.4=—

【小问2详解】

因为O是8c中点，所以而=:（才万+高卜

两边平方得A）。=：（A®+=：（AB+AC+2ABAC\.

所以6=：d+b2+2Z?ccosZB/C）,BPb2+c2+Z?c=24»

又由均值不等式得I」+c2+bc>2bc-}-bc=3bc，

当且仅当人=0=2及时等号成立，所以仇?48,

所以Sj"=^Z?csinA<2\/3,即VA3c面积的最大值为2百.

24.如图，四边形A3c。为圆。的内接四边形，BD=3后.

14

4

(1)若AO=2,cos/BC