二次函数的线段周长问题-浙教版数学九（上）知识点训练（含答案）

二次函数的线段周长问题一浙教版数学九(上)知识点训练

一、选择题

1.如图，函数y=-/+12的图象与x轴交于A,B两点，点C是以M(0,2)为圆心，2为半径的圆上

的动点，P是4C的中点，连结0P,则线段0P的最小值是()

A.1B.V3C.2D.V7

2.已知抛物线y=ax24-4ax4-4G4-l(a0)过A(in,3),B(〃，3)两点，若线段A8的长不大于4,

则代数式a2+a-1的最小值是()

A.iB.-iC.1D.-5

4424

二、填空题

3.如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y=aM上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点

B、F,分别过点E、F作X轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点E(2,4),四边形CDFE为正方形时，则线

段AB的长为.

4.如图，抛物线y=ax2・2ax+3(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线

的顶点，若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点，则线段PB的长为.

5.“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌.已知线段48,对于坐标平面内的一

个动点P，如果满足乙APB—30%则称点P为线段力6的“U点”，如图，二次函数”疗十3%十汐x轴交

于点A和点B.(1)线段A8的长度为：(2)若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”

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6.如图，抛物线y=/一.+c交工轴于点A。,。)，交y轴于点8,对称轴是久=2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使△P4B的周长最小？若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，请说明理由.

7.如图，抛物线y=。＞2+/+«口。0)与％轴交于力(_3,0)、8(4,0)两点，且。8=OC.

(1)求抛物线解析式；

(2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接力H、CH、AC,求出当△4CH的周长最小时点”的坐标.

8.如图，直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点B、A,抛物线y=Q(X-2/+k经过点4、B,其顶点为C.

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(1)求抛物线的解析式.

(2)求的面积.

(3)点P为直线48上方抛物线上的任意一点，过点P作PD〃7轴交直线48丁点。，求线段P0的最大值及

此时点P的坐标.

9.如图，直线y=%+2与抛物线丫=Q/+以+6(口工0)相交于力(2,擀)和点P是线段AB上异于

4、8的动点，过点P作PClx轴于点0,交抛物线于点C.

(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值?若存在，求出线段PC的最大值；若不存在，请说明

理由；

(3)当点P在抛物线的对称轴上时，抛物线上存在点Q,使得d/WQ的面积恰为△48。面积的一半，请

直接写出点Q的坐标.

10.如图，已知二次函数y=/+加经过A,B两点，BClx轴于点C,且点力(一l,0),。(4,0),

AC=BC.

(1)求抛物线的解析式;

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(2)点E是线段AB上一动点(不与A,B重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F,当线段E9的

长度最大时，求点E的坐标.

(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求

出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，已知抛物线y=。X2+也+(:(。。0)的图像与乂轴交于点4(一1,0)和点8(3,0),与y轴交于点

C(0,-3).

(2)如图，点M是直线BC卜.方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MH_Lx轴于点H,交BC于点

N,求线段MN最大时点M的坐标;

(3)在(2)的条件下，该抛物线上是否存在点Q,使得，=若存在，请直接写出点Q的坐

标；若不存在，请说明理由.

12.如图，抛物线y=」/一丫一4与x轴交于点A和B,与y轴交于点C.

2

D

F

A0

()

£

\

图

图2

(1)求A、B、C三点坐标；

(2)如图1,动点P从点A出发，在线段4B上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q

从点B出发，在线段BC上以每秒加个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停

止运动，连接PQ，设运动时间为t杪，问P、Q两点运动多久后AP8Q的面枳S最大，最大倒积是多少？

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(3)如图2,点D为抛物线上一动点，直线4。交y轴于点E,直线B。交y轴于点F,求器的值.

13.在平面直角坐标系中，直线y=-2与不轴交于点力，与y轴交于点8,抛物线y=a/+bx+C(Q>0)

经过A,8两点，并与x轴的正半轴交于点C.

(2)当a=9时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；

4

(3)当a=l时，若点Q(m,n)是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD1于点D.当m取何值

时，线段Q。取最大值？并求出QO的最大值.

14.如图，抛物线y=/+以+。与x轴交于点4(一1,0)和点儿与y轴交于点。(0,-4),其顶点为。.

(1)求抛物线的表达式及顶点。的坐标；

(2)在y轴上是否存在一点M,使得ABOM的周长最小.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明

理由；

(3)若点E在以点P(3,0)为圆心，I为半径的。P上，连结AE,以AE为边在4E的下方作等边三角形

AEF,连结BE求3尸的取值范围.

15.如图，在平面直角坐标系中，二次函数/=。/+匕%+。(。*0)的图像经过原点和点4(4,0).经过点4的

直线与该二次函数图象交于点8(1,3),与)，轴交于点C

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y.

R

(1)求二次函数的解析式及点。的坐标；

(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线4B上方时，过点P作PElx轴于点E,与直线

AB交于点。,设点P的横坐标为加

①〃?为何值时线段P0的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点P，使得ABPO与△A。。相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

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答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：连接MC,BC,BM,

当y旬时r2+12=0

解之：X\—2\[3,x]——2V3

••・4(-2后0),8(2后0)

.*.OA=OB=2V3:

•・•点P为AC的中点，

・・・€^为4ABC的中位线，

，OP另BC,

要使OP最小，则BC最小时，OP取最小值，

・•・BC+MC>BM,B|JBM-CM<BC,

・•・当点C,B,M在同一条直线上时，BC的值最小，

在RtABOM中，

MB=J[2+(2句=4,

VMC=2,

ABC的最小值为BM-CM=4-2=2,

・・・OP的最小值为1.

故答案为：A.

【分析】连接MC,BC,BM,由y=0可求出对应的x的值，可得到OA=OB=2百；利用三角形的中位线定

理可证得。尸=28C,当BC最小时，OP取最小值，利用三角形的三边关系定理可知BM-CM0BC,当点

C,B,M在同一条直线上时，BC的值最小；利用勾股定理求出BM的长，根据BC的最小值为BM-CM,

代入计算可求解.

2.【答案】R

【解析】【解答]解：y=a(x2+4x+4-4)+4a+l=a(x+2)2+1

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••・抛物线的顶点坐标为(-2,1),对称轴为直线x=-2

•・•二次函数图象经过点A(m,3),D(n,3)

・••抛物线的抛物线的开口向上，a>0

•・•线段AB的长不大于4

.\4a+l>3

解之:a>l

a2+a-1的最小值为上+劣—1=—上

故答案为：B.

【分析】先将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标及对称轴，再由二次函数图象经过点A

(m,3),B(n,3),可确定出a的取值范围；再根据线段AB的长不大于4,可得到抛物线与y轴的交点

的纵坐标大于等于3,建立关于a的不等式，求出不等式的解集；然后将a的最小值代入可得答案。

3.【答案】4V2

【解析】【解答】解：把点£(2,4)代入y=a产中,得4=4a,解得a=L

Ay=x2,

当点E(2,4),四边形CDFE为正方形，

ACD=CE=4,

・••点A的纵坐标为8,

当y=8时，则y=x2=8,

解得m=2或或m=-2鱼(舍)，

AB=2m=4\/2

故答案为：4注.

【分析】利用待定系数法求出y=x2,根据当点E(2,4),四边形CDFE为正方形，可得CD=CE=4,从而得

出点A的纵坐标为8,利用此求出点A的横坐标，继而求出AB的长.

4.【答案】竽

【解析】【解答】解：•・♦抛物线y=ax2-2ax+3(a>0)与y轴交于点A,

・・・A(0.3),抛物线的对称轴为直线x=l,

••・顶点P坐标为(1,3-a),点M坐标为(2,3)

•・•点M为线段AB的中点，

・••点B坐标为(4,3),

设直线OP解析式为丫=10<(k为常数，且厚0),

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将点B(4,3)代入得4k=3,

解得k哼

・,・直线OP解析式为y=%

将点P(1,3-a)代入得y=*x,

得3-a=1,

解得a=J,

,点P(l,|),

A2

PB=j(4-l)2+(3-1)=苧

故答案为：苧.

【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段

AB中点，得出点B的坐标：再将点B的坐标代入直线OP的解析式，用含a的式子表示出点P坐标，即可

求解出a的值，据此即可解答.

5.【答案】4；(0,2遍-式)或(0,2V3+V7)

【解析】【解答】解：当y=0时，1X2+3X+1=0

解之：Xl=-I,X2=-5,

・,•点A(-1,0),点B(-5,0),

.\AB=|-1-(-5)|=4；

如图，作过点A,B的圆，交y轴于点D,E,连接CA,CB,CD,AE,BE,过点C作CFJ_AB于点F,

CH_LDE于点H,

:.ZCFO=ZCHO=ZFOH=90°,

，四边形CFOH是矩形，

ACH=OF,HO=CF；

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・・・线段AB的“U”点落在y轴的正半轴上，

.*.ZADD=ZAED=30°,

・••点D和点E是线段AB的“U”点；

/>

•AB=AB'

.,.ZACB=2ZADB=60°,

/.△ACB是等边三角形，

AC=BC=CD=AB=4,

BF=1AB=2,

在RtABCF中，

CF=OH=>JCB2-BF2=V42-22=2百，

丁点B(-1,0)

AOF=CH=2+1=3,

在RtACDH中

DH=-JCD2-CH2=V42-32=6

・•・OD=DH+OH=26+小

・••点D(0,2V3+V7)；

VCHIDE,

:・DH=HE=6

：・OE=OH-HE=2百一近，

・••点E(0,2V3-V7),

・•・线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为(0,28+夕)或(0,2V3-V7).

故答案为：(0,2』+⑺或(0,2V3-V7)

【分析】由户0,可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A,B的坐标，然后求出线段AB的

长；作过点A,B的圆，交y轴于点D,E,连接CA,CB,CD.AE,BE,过点C作CFJ_AB于点F,

CH_LDE于点H,易证四边形CFOH是矩形，利用矩形的对边相等，可证得CH=OF,HO=CF：利用线段48

的“U”点落在y轴的正半轴上，可知NADB=/AEB=30。，即可得到点D和点E是线段AB的“U”点；利用圆

周角定理可求出NACB=60。，由此可证得△ACB是等边三角形，利用等边三角形的性质可知

AC=BC=CD=AB=4,同时可求出BF的长；在RsBCF中，利用勾股定理求出CF,OH的长，利用点B的

坐标求出OF,CH的长；在RSCDH中，利用勾股定理求出DH的长，根据OD=DH+OH,可求出OD的

长，即可得到点D的坐标；利用垂经定理可证得0H=HE=V7，由此可求出OE的长，可得到点E的坐

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标；综上所述可得到线段48的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标.

/1b+co

n-

<

lb

6.【答案】(1)由题意得,l2

k2一-

解得匕=4,c=3,

••・抛物线的解析式为：y=X2-4X+3；

(2),•点A与点C关于直线x=2对称，

•••连接"与直线％=2交于点口，则点P即为所求,

根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3,0),

y=x2-4x+3与y轴的交点为B(0,3),

•••设直线BC的解析式为：y=kx+b,

(3k+b=0

tb=3

解得，k=—1,b=3,

直线BC的解析式为：y=-x+3,

则直线BC与直线x=2的交点坐标为：P(2,l)

•••点P的坐标为：(2,1).

【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，最短路径问题.(1)根据抛物线经过点4(1,0),对

称轴是直线％=2,将点代入抛物线的解析式和抛物线的对称轴放可列出方程组，解方程组求出b、c的值，

进而可求出抛物线的解析式；

(2)因为点4与点。关于x=2对称，根据轴对称的性质可求出C点和B点的坐标，设直线8C的解析式为：y=

kx+b,将B点和C点的坐标代入解析式可求出直线BC的解析式，连接8C与直线％=2交于点P,求出直线

8c与直线x=2的交点，据此可求出点P的坐标.

/1b+CO

i-

<b

(1)由题意得,i2

一-

\2

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解得b=4,c=3,

•••抛物线的解析式为：y=X2-4X+3；

(2)•••点A与点C关于直线％=2对称，

・••连接BC与直线％=2交于点P,则点P即为所求,

根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3,0),

y=%2-4x+3与y轴的交点为8(0,3),

.•・设直线8C的解析式为：y=kx+6,

[3/c+b=0

td=3

解得，k=-1,b=3,

直线BC的解析式为：y=-x+3,

则直线BC与直线x=2的交点坐标为：P(2,l)

•••点P的坐标为：(2,1).

7.【答案】(1)解：由题意可得，OC=OB=4,

・・・。(0,-4),

把4(—3,0)、8(4,0)、C(0,—4)代入y=ax2+b%+C(Q丰0),

(9a-3b+c=0[a=j

得16+4b+c=0,解得乙1，

=-

Ic=-4r3

(c=-4

・••抛物线解析式为y=ix2-1x-4;

<2)>'=|X2-1X-4,

・•・抛物线的对称轴为％

乙

•・工(一3,0)、8(4,0)两点关于x=J对称，点”是抛物线对称轴上的一个动点，

：.AH=BH

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，△ACH的周长为AC+CH+AC=AC+CHBH,

・••当B、C、II二点共线时，△AC〃周长的最小，

如图所示：连接BC交对称轴于点“，则△40/周长的最小;

V5(4,0),C(0,-4),

设直线8c的解析式为y=kx-4,

代入B(4,0)可得：4k-4=0,解得：k=1,

.•.直线BC的解析式为y=.r-4,

当％=g时，y=—

【解析】【分析】(1)根据题意，0B=0C先求出C的坐标，然后利用待定系数法代入A、B、C三点的坐

9Q-3b+c=0[a=3

标，得到16+4b+c=0,求得1,即可求解；

c=-4r=-3

lc=—4

(2)将先求得抛物线的对称轴，连接8C交对称轴于点H,则点H即为所求，求得直线BC的解析式，令％=,，

即可求解.

(1)解：・・・8(4,0),

：.B0=4,

YOB=0C,

・・・0C=4,

把4(-3,0)、8(4,0)、C(0,—4)代入y=ax2+bx+c(aH0),

(9Q-3b+c=0

得16+4b+c=0,

(c=-4

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・•・抛物线解析式为y=±X2-1X-4;

2

(2)解:y-lx_lx_4=一瑞，

・•・抛物线的对称轴为x

如图所示：连接BC交对称轴于点H,则△4CH周长的最小;

F(-3,0)、8(4,0)两点关于刀另对称,

乙

VF(4,0),C(0,-4),

设直线BC的解析式为y=kx-4,

则4k-4=0,解得：k=1,

；・直线8c的解析式为y=%-4,

当％=g时，y=一；，

・•・"出告

8.【答案】(1)解：当第=0时，y=-3,

当y=0时，％=3,

•••4(0,-3),8(3,0),

由题意得：那黄二3,

解得:｛葭不

二抛物线的解析式为：y=-(x一2>+1=-x24-4%-3；

(2)解:由抛物线的顶点式得：C(2,l),

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设4c的解析式为：y=bx-3,

则2b-3=1,

解得：6=2,

的解析式为：y=2x—3,

令4c与x轴交于点E,

当y=0时，2x—3=0,

解得：%=1.5,则E(1.5,0),

•,SAAAC=SAARE+SACRE=聂E•\XA\4-3BE-\xc\=④X(3—1.5)X(1+3)=3;

(3)解：设AB的解析式为：y=Tn%-3,

则：0=3m-3,

解得：m=1,

•••48的解析式为：y=x-3,

.••点P为直线A8上方抛物线上的任意一点，过点P作PO〃y轴，

设点。3，--+4%-3),(0<x<3)

则。。,第一3),

:.PD=-%2+4%-3-(%-3)=-x2+3x=-(%-1.5)2+2.25,

•••当》=1.5时，PD有最大值，为2.25,

此时尸(1.5,0.75).

【解析】【分析】(1)先由一次函数解析式求出4、8的坐标，再根据待定系数法求解抛物线解析式；

(2)先根据抛物线的顶点坐标求出AC解析式，再确定AC与x轴交点E的坐标，琼后将三角形ABC分成

三角形ABE和三角形CBE,由三角形面积公式即可求解；

(3)先求出AB解析式，表示出点P、点D的坐标，即可写出PD长度的表达式，再根据二次函数的性质

求出PD的最大值，此时x的值就是P的横坐标，进而求出其纵坐标.

9.【答案】(1)解：在直线y=x+2上，

m=4+2=6,

••8(4,6),

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•・・做勒)、8(4,6)在抛物线y=ax2+泣+6上,

・“二分+k+6，/，解得，

a=2

(6=16a+4b+6b=-8

.,・抛物线的解析式为y=2/-8x+6.

（2）解：设动点P得坐标为（九,九+2）,则C点得坐标为（",2/2一8几+6）,

9.49

:.PC=（n+2）一（2几2-8n4-6）=—2n2+9”-4=—2（几—4y+-g-,

.♦.当n=［时,线段PC最大且为普.

(3)解：二次函数y=2/一汝+6的对称轴为直线*=2,则D(2,0),

如图，当Q在直线AB的下方时，设直线AB交y轴于点T(0,2)过点D作直线1〃AB交y轴于点L,

・•・直线1的解析式为y=x-2,则L(0,-2),

ATL=2-（-2）=4,

取TL的中点M(0,0),过点M作直线m〃AB,交抛物线于点Q,此时枭ABQU^SAABD,

则直线m的解析式为：y=x,

联立得｛y=2仁1x+6,解得x=嘤，y出善,

・••点Q的坐标为(里等,2±善)、誉，上誉)；

当点Q在直线AB的上方时，

取点N使NT=MT=2,过点，N(0,4)作直线n〃AB交抛物线于点Q,此时SAABQ=|SAAHD,

则直线n的解析式为：y=x+4,

联立得,解得x=盘普，y=在单1

(y=2/-8x4-644

・••点Q的坐标(9+严,252质)、(?Z普，至乎号.

综上：点Q的坐标为(2±咨,2±产)、(9-浮,9―产)或(9+；存,2,1丐、(9-：存,存).

【解析】【分析】(1)先求出点B坐标，再将A、B坐标代入y=。％2+8%+6中，求出a、b值即可;

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(2)设动点P(TIM+2),则点C(X2/-8TI+6),可得PC=(TI+2)—(2/—8"+6)=—2(n—弓产+竽，

利用二次函数的性质即可求解；

(3)先求D(2,0),分两种情况：当Q在直线AB的下方时，设直线AB交y轴于点T(0,2)过点D作

直线1//AB交y轴于点L,直线1的解析式为y=x-2,则L(0,-2),可得TL=2-(-2)=4,取TL的中点M

(0,0),过点M作直线m〃AB,交抛物线于点Q,止匕时SAABC^SAABD,可得直线m的解析式为y=x,联

立抛物线解析式为方程组并解之即可；当点Q在直线AB的上方时，同理求解即可.

10•【答案】(1)解；•・•点4(1,01，0(4,0)，

：.AC=5,OC=4,

'：AC=BC=S,

A5(4,5)，

把人(一1,0)和B(4,5)代入二次函数y=/+bx+c中得：

(1—b+c=0

(16+4b+c=5'

解得：F=

=-3

，二次函数的解析式为：y=x2-2x-3：

(2)解：如图1,,・,直线48经过点4(一1,0)和8(4,5),

设直线的解析式为y=kx+b,

,（-k+b=0

••1妹+。=5

解得:K：；

・,・直线48的解析式为：y=x+l,

•・•二次函数y=M-2X-3,

，设点月(「,「+1),则尸产一21一3),

3：25

••EF=（£+1）一（户一2£-3）=一~2）+彳'

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・••当”飘，EF的最大值为手

乙1,

・••点E的坐标为停务

(3)解：存在，*•*y=x2—2x—3=(x—l)2—4,

，对称轴为直线x=1,

设P(l,m),分三种情况：

①点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2.

.*.(4-I)2+(m-5)2+(4+I)2+52=(1+I)2+爪2,

解得：m=8,

・・・P(1,8)：

②点A为直角顶点时，由勾股定理得：P42+AB2=P82,

.*.(1+I)2+m2+(4+1)2+52=(4-I)2+(m—5)2>

解得：m=-2,

.・.P(1,-2)；

③点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2-}-PA2=AB2,

・・・(1+I)2+m2+(4-I)2+(m—5)2=(4+I)2+52»

解得：m=6或m=-1,

・••尸(1,6)或P(l,-1);

综上，点P的坐标为(1,8)或(1,-2)或(1,6)或

【解析】【分析】(I)先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的y=x2+bx+c可得到关于

b、c的方程组，求解得b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；(2)先利用待定系数法求出直线AB的

解析式，根据点的坐标与图形性质，设点E(t,t+l),则F(l,1二21-3),用两点间的距离公式表示出EF,

利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标；

(3)存在，设P(l,m),分三种情况：分别以A,B,P为直角顶点，根据勾股定理及两点间的距离公式

分别列方程，解方程即可.

11•【答案】(1)解：将点4(一1,0)和点8(3,0),。(0,-3)代入〉=。/+"+(:(。H0)得，

a—b+c=0(a=1

9a+3b+c=0,解得b=-2,

c=-3(c=-3

••y=x2-2x-3；

(2)解：设直线"的解析式为y=kx+t,

第18页

将B(3,0),C(0,—3)代入得，｛;解得d，

.*.y=x—3,

；・设M(m,瓶2-2m-3),N(jn,m-3),

:,MN=m—3—(m2—2m—3)=—m24-3m=—+,，

・•・当m时，线段MN最大，

•二将m=5代入y=m2—2m—3=一竽，

二呜-均；

(3)点Q的坐标为G，苧)或得，-粉

【解析】【解答】(3)解：如图所示，当点Q在x轴上方抛物线二时,

■:(QCB=4CBM,

:.QCIIBM,

・•・设直线8M的解析式为y=kx+t,

+o

3/c

—

代

得

M入i3

r3145A

l-+t-145

v22

5

-X-12,5一

•y2

・•・设直线CQ的解析式为y=1x+",

・•・将点C(0,—3)代入y=/+G得：门=-3,

.\y=-X-3,

5Q

；・联立y=^x—3和y=x2—2x—3得,y=2x~3

y=x2-2x-3

解得不=0,X2=1

第19页

・••将％=3代入y=—3=苧，

・••点Q的坐标为僧,苧）；

如图所示，当点Q在x轴下方抛物线上时,

♦:(QCB=ZC8M,

：.CH=BH,

•：0C=OB,OH=OH,

：.LOCH三△OBH(SSS),

J.LCOH=乙BOH,

・•・直线。〃的表达式为y=-x,

・•・联立直线。”和直线8M可得,

・•・解得x=苧，

•••将x=苧代入y=—x=—苧，

・(1515、

，设直线CH的解析式为y=px+q,

q=-3

二将C（0,—3）,H（竽,一学）代入得

15,15,

—P+Q=--

rv,

D=

；・y=/一3，

2

y=%—2x—39

••・联立直线CH和抛物线得，2二，即/一2%-3=”一3,

7=5^-35

・••解得，X\=0,%2=手

第20页

・••将x=-代入y=|x-3=一福

"偿,-汾

综上所述，点Q的坐标为G，苧)或得，-菊・

【分析】(1)根据待定系数法将点A,B,C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.

(2)设直线8c的解析式为y=kx+3根据待定系数法将点B,C坐标代入解析式可得y=x-3,设

M(m,m2-2m-3),-3),根据两点间距离可得MN=结合二次函数性质即可求

出答案.

(3)分情况讨论：当点Q在x轴上方抛物线上时，根据直线平行判定定理可得QC||BM,设直线8M的解析

5

-X-学，设直线的解析式为

式为y=kx+t,根据待定系数法将点B,M坐标代入解析式可得y2CQy=

|x+tr根据待定系数法将点C,Q坐标代入解析式可得y=,无-3,联立两直线方程，解方程即可求出答

案；当点Q在x轴下方抛物线上时，根据直线平行判定定理可得/QC8=4CBM,则CH=8”,再根据全等

三角形判定定理可得三△083(SSS),则“OH=/BOH,即直线。，的表达式为"=-霜联立直线0H

和直线8M方程，解方程可得“(学学)，设直线CH的解析式为y=px+q,根据待定系数法将点C,H坐

标代入解析式可得、=看》-3,联立直线C"和抛物线方程，解方程即可求出答案.

12.【答案】(1)令y=0,即有：ix2—X—4=0»

利用因式分解法，求得：%i=-2,也=4,

结合图形，可知4(一2,0)、8(4,0),

令X=0,y=|x2-x-4=-4，

则有C点坐标为：C(0,-4),

即结果为：4(一2,0)、8(4,0),C(0,-4)；

(2)•・・力(-2,0)、8(4,0),C(0,-4),：.AO=2.BO=4=CO,

•••△BOC是等腰直角三角形，48=40+80=2+4=6,

:・BC=70c2+BO?=M+42=4>/2,

过Q点作QN_L48于N点，如图，

第21页

根据运动的特点，可得：AP=t,BQ=V2t，

:.BP=6-t,

FB=6,BC=4vL

••・£的取值范围为：0V”华=4,

、泛

•••△BOC是等腰直角三角形，

:.乙OBC=45°,

♦：QN1A8,

:.乙QNB=90°,

"NQB=乙OBC=45°,

•••△QNB是等腰直角三角形，QN=BN,

，：BQ=血,BQ=QBN2+NQ2,QN=BN,

:.QN=BN=t,

9

2+

'SNBQ=2xBPxQN=(6—t)t=--3)2一

VO<t<4,

・••当33时，S“BQ有最大值，最大值为3，

运动t=3秒时，有最大值，最大值为部

(3)根据题意，设点。的坐标为：D(m,2m2-m-4),设直线4。的解析式为：y=kx+8,

V71(-2,0),

4-2/c+b=0

•・km+b=im2—m—4,

z

(b=m—4

解得，m-4,

1^=—

即直线4。的解析式为：y=x+m—4，

第22页

令》=0,y—?x+m—4=?n—4,

点坐标为：（0,m-4）,

VC(0,-4),

/.CE—|m—4+4|=\m\,

同理可求出直线8。的解析式为：y=%px—2(m+2),

:•令x=0,y=-2(m+2)=-2(m+2),

.♦・F点坐标为：(0,—2m—4),

•1(0,-4),

/.CF=\—2m—4+4|=127nl,

根据题意可知：若m=0,则可知E、F、D、C四点重合，

此时不符合题意，故mHO,

.CE_|7n|_imi_1

,•无二商二丽=2'

即值为1

【解析】【分析】本题考查求解抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一

次函数解析式.(1)令y=0可得：|X2-X-4=0,解一元二次方程可求出x的值，据此可求出点A、B的

坐标，令％=0,通过计算可求出C点坐标；

(2)先根据点A,B,C的坐标，互求出4。=2、B0=4=C0,据此进而推出△80C是等腰直角三角形，利

用勾股定理可求出BC,过Q点作QNJ.48于N点，根据题意可得4P=3BQ=&t，

BP=6-3利用角的运算可得：iNQB=4BC=45。,进而可证明△QN8是等腰直角三角形，QN=BN,

利用勾股定理可推出QN=8N=3利用三角形的面积公式进行计算可得：S“BQ=3义BPxQN=_；(t—

3)2+再利用二次函数的性质可求出面积的最大值；

(3)设点。的坐标为：D(7九［巾2_巾—4),设直线力。的解析式为：y=kx+b,将A点和D点的坐标代入

函数解析式，据此可求出直线40的解析式为：丫=嘤％+巾_4,令x=0,可求出E点坐标为：(0,m—4),

进而可求出CE=|m-4+4|=|m|,同理可求出直线80的解析式为：y=超要％-2(m+2),令x=0,可求

出产点坐标为：(0,-2m-4),进而可求出CF=\-2rn-4+4|=\2m\,分两种情况进行讨论：若m=0；若m。

0,据比可求出答案.

13.【答案】(1)解：•・•直线y=-％-2与x轴交于点4,与y轴交于点B,

，4(一2,0),5(0,-2),

第23页

将4(一2,0),B(0,-2)代入y=a/+bK+c(Q>0)。得：，/”；二°，

.\4a-2b-2=0,

；・2Q-b=1,c=-2：

(2)解：如图1,作点A关于抛物线对称轴的对称点C,连接BC交抛物线对称轴于点P,

图1

・•・AP+BP=CP+BP=BC,此时AP+BP取得最小值为BC,

/IBP的周长为AB+AP+BP,

要使△4BP的周长最小，只需4P+BP最小即可，

・•・△4B尸的周长最小值为48+BC,

当。=轲，由⑴得2乂/—=1,

.1

b——亍，

9

•,•抛物线的解析式为:22-

y=jx-ix—2=—l)4

••・抛物线的对称轴是：x=l,

VA(-2,0),

・•・由对称性可得C(4,0),

VA(-2,0),B(0,-2),

・•・/?£△力。B中，AB=>10A2+OB2=V22+22=2鱼，Rt△BOCQ口，BC=y/OB2+OC2=V22+42=2后

48P周长的最小值为2&+2A/5;

(3)解：当Q=1时，2x1=1,

b-1>

y=x24-X-2,

.•・4(-2,0),5(0,-2),C(l,0),

OA=OB,

.•.△AOB是等腰直角三角形，

Z.OAB=45°,

如图2,过点Q作QFlx轴于F,交AB于E,则△EQD是等腰直角三角形，

第24页

图2

设Q(m,血2+加-2),则E(m,-m-2),

:.QE=(―m—2)—(m2+m—2)=—m2—2m=—4-1)2+1,

QD=^QE=一¥(小+十学，

・,•当m=-l时，Q0有最大值是冬

【解析】【分析】(1)先求出A、B两点的坐标，然后将这两点坐标代入抛物线的表达式中，即可求解；

(2)作点A关于抛物线对称轴的对称点C,连接BC交勉物线对称轴于点P,由粕对称的性质得

AP+BP=CP+BP=BC,此时AP+BP取得最小值为BC,从而有△/18P的周长最小值为力B+BC,接下来求出抛

物线的解析式，得C点坐标，最后利用勾股定理求出AB、BC的值，即可得到答案；

(3)根据Q=1时，可得抛物线的解析式y=/+》一2,如图2,过点Q作Q尸1无轴于下,交4B于E,则AEQD

是等腰直角三角形，设Q(m,m2+执一2),则E(m,-租-2),表示QE的长，求得Q。最大值，进而得到答案.

(1)解：直线y=-x—2中，当无=0时，y=-2,

••・5(0,-2),

当y=0时，-x-2=0,

x=-2,

将力(一2,0),8(0,-2)代入抛物线、=。/+以+(;(。＞0)中，得：

(4a-2b+c=0

Ic=-2

2a—b=1,c=—2；

(^2)解：如图1,当a=/时，2x—b=1»

图1

,1

121

-X-2

.•・抛物线的解析式为：y42

第25页

••・抛物线的对称轴是：x=l,

由对称性可得C(4,0),

要使△ABP的周长最小，只需4P+BP最小即可，

如图1，连接BC交直线x=1于点P,

因为点4与点C关于直线x=1对称，由对称性可知：AP+BP=PC+BP,

因为两点之间线段最短，所以此时AABP的周长最小，

所以的周长最小值为AB+8C,

Rt△AOB'V,AB=y/OAz4-OB2=V22+22=2伍

Rt△BOC中，BC=>JOB2+OC2=V22+42=2遍，

：・△4BP周长的最小值为2或+2遥；

(3)解：当Q=1时，2x1=1,

•••b=1,

y=x2+x-2,

•••做一2,0),5(0,-2),C(l,0),

:.OA=OB,

••.△AOB是等腰直角三角形，

Z.OAB=45°,

如图2,过点Q作QF_Lx轴于F,交从B于E,则AEQ。是等腰直角三角形，

设Q(m,m2+机-2),则E(zn,一巾一2),

:.QE=(-m-2)—(m2+m—2)=—m2—2m=—(m+l)2+1,

QD=^QE=一¥(血+1)2+冬

・••当m=-l时，QD有最大值是乎.

14•【答案】(1)解：•・,抛物线y=/+bx+c与x轴交于点4(一1,0)和点B,与y轴交于点C(0,—4),

l-b+c=O,c=-4,

/.b=-3.

故y=/—"—4,

2

24

y=X--