第19节：对数（含答案）

第19讲：对数

【知识梳理】

知识点一对数的有关概念

一般地，如果〃=MeO,且存1),那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log〃N,其中。叫做对

数的底数，N叫做真数.

常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数，

logioN可简记为lgN,logeN简记为InN.

知识点二对数与指数的关系

一般地，有对数与指数的关系：若〃>0，且存1,则出二NologJV=X.

x

对数恒等式："呜"=N}\ogao=x(a>0，且即).

知识点三对数的性质

1.1的对数为零.2.底的对数为1.3.零和负数没有对数.

知识点四对数运算性质

如果a>0，且分1,M>0,N>0,那么：

M

(1)log«(M-A0=logi/Af+\ogaN；⑵log<w=log^Vf・logJV；⑶二川og“M(〃€R).

知识点五换底公式

二式。>，且。；且；

1.logJ?lOgt-cZ0#1c>0,c¥lb>0).

2.对数换底公式的重要推论：

⑴logW=记台(N>0，且；。>0，且存1)；

⑵10gH"二?og"(a>0，且在1,b>0)；

(3)log疝log/K、log,d=logac/(a>0,b>0,c>0,cl>0，且,b^\,c¥l).

【例题详解】

题型一、指数式与对数式的互化

1.（25-26高一上•四川南充•阶段练习）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（）

」111

A.e°=l与lnl=OB.83=-^log-=--

2283

C.1叫9=2与£=3D.■77=1与7=7

【答案】ABD

【分析】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案.

【详解】对于A,由e°=l,得lnl=O,A正确；

对于B,由,得1。以；=-；，B正确；

对于C,由陶9=2,得32=9,C错误；

对于D,由log;7=l,得7=7,D正确；

故选：ABD

2.（25-26高一上•上海杨浦•期末）已知。=1%3,2嚏7,贝.

【答案】i

【分析】利用对数式与指数式的互化得出入3,再利用指数幕的运算性质可求得所求代数式的值.

［详解】因为。=1W23,则13,

2a33

又因为2〃=7，贝1」2"筋=可=>=布.

故答案为：臣.

3.（25-26高一上•全国•课前预习）将下列指数式与对数式互化：

（l）log327=3；

⑵log8=-3.

(Mg

【答案】⑴于3=27；

⑶%9=一2.

(4)Iog2i=-2.

【分析】(1)(2)(3)(4)利用指数式和对数式的互化关系式求解即可.

【详解】(1)首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式"=川04=1。院八,

对于14327=3,可化为3,=27.

(2)对于嗔8=-3,可化为(J=8.

(3)对于(丁=9，可化为嗔97.

(4)对于2々=：,可化为噫；=-2.

题型二、对数的运算

4.(2026高三•全国・专题练习)计算：2电6-电4一；=()

A.1()B.1C.2D.Ig5

【答案】B

【分析】根据对数运算性质即可得到答案.

【详解】原式=lg(x/5)2+lgV4=Ig5+lg2=lgl0=1.

故选：B.

5.(25-26高三上•天津•阶段练习)计算式子IgZ-lgg-e2m2的值为()

A.-3B.-2C.—1D.--

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用对数运算求得答案.

2,n2ln222

【详解】lg2-lg|-e=lg24-lg5-e=lglO-2=-3.

故选：A

6.(25-26高二下•吉林长春・期末)下列运算正确的是()

A.a2=\fa(a>0)B.Ig22+lg23=1g26

C.a"=e""a>0)D,^=

【答案】C

【分析】运用根式性质，指数幕性质和对数性质化简计算即可.

23

【详解】对于A,a-=。2.宗=。2.于2=a.a.a2=a-yfa，故A错族

对于B,Ig22+lg23=lg22+21g21g3+lg23-21g21g3

=(lg2+lg3)2-21g21g3=lg26-2lg21g3,故B错误；

对于C,/=8"=e""a>0),故C正确；

对于D,标州厂2„N.

\a\,n=2k,nGN

故选：c.

题型三、对数运算性质的应用

21

7.（25-26高二下•宁夏银川・期末）若3*=4>=6，贝匕+二=（）

x）

3

A.1B,-C.2D.3

【答案】C

【分析】由对数的运算性质即可求解.

【详解】若3、=4「=6,贝打=整,），=等，

In3In4

2

mii2I21n3In4ln（3x4）21n6,

贝IJ—+—=----+—==----乙=-----=2.

xyIn6In6In6In6

故选：C.

8.（25-26高二下・山东德州・期末）已知6"'=。,1呜匕=〃，若〃，+〃=-；，则而=（

A±

BC.x/6D.36

・36f

【答案】B

【分析】利用指数、对数运算法则计算即可得出结果.

【详解】由6"=4可得机=146。,

由m+"=-；可得log6a+log6b=log6ab=;

所以而=6'=5=

故选：B

(2/，X-2，则四始12)=()

9.（2026高三逢国•专题练习）已知函数/（幻=<

f(x-l),x>2

17

A-3B.-6D.-3

【答案】A

【分析】由1脸12=2+1%3且1。氏3£（1,2）结合分段函数，依次判断代入求值.

【详解】由Iog212=2+log23且log23e(l,2),

3

得/(log212)=/(2+log23)=/(l+log23)=/(log23)=('啕③=2-^=1

故选：A

题型四、对数换底公式的应用

1（）.（25-26高一下•江苏盐城期末）设。=怆2,Z.=lg3，则log/0=（）

A.2a+bB.2b+ac•六D•烹

【答案】D

IglO

【分析】利用换底公式可得,然后运用对数运算法则即可求解.

igl2

lgio_I1

【详解】I。&21。=

Igl2Ig4+lg321g2+lg32a+b，

故选：D.

11.(25-26高一上逢国•课前预习)k)g35xlog46xlog57xlog68xlog79=

【答案】3

【分析】利用换底公式结合对数的运算性质求解即可.

【详解】由换底公式得Iog,5xlog46xlogs7xlog«8xlog79=£x^x^x^x^

Jg8xlg9Jg23xlg32_31g2x21g3_3

Ig3xlg4Ig3xlg22Ig3x21g2.

故答案为：3.

12.(25-26高一上•全国•课前预习)计算：

(l)lg20+logIOO25；

⑵(晦125+log425+log85)(log⑵8+log2s4+log52).

【答案】d)2

⑵13

【分析】(1)(2)利用对数的运算性质求解即可.

【详解】(1)怆2。+即25=1+怆2+黑

=l+lg2+^^=2=l+lg2+lg5=2.

(2)(log2125+log425+log85)•(logl258+log^4+log52)

3232

=(log25+log2；5+log2j5)(log512+logs22+iog52)

=3+l+-|log25.(l+i+l)log52=­-3=13.

i3J3

题型五、运用换底公式证明恒等式

13.（23-24高一・上海•课堂例题）设〃、〃是两个不等于1的正数，求证：log,«=-1-.

【答案】证明见解析

【分析】利用换底公式转化、化简即得证.

【详解】因。、〃是两个不等于1的正数，则1°瓦。=*=，

logf

211

14.（25-26高一上•陕西渭南•阶段练习）已知：2，=3'=12\1,求证：一+二二二.

XyZ

【答案】证明见详解

【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.

【详解】设2'=3>=122=〃=|,显然4>0,

则x=k)g2&y=log3Gz=log|2a,可得'=log“2二二log”3,；=12,

.1yz

~211

所以-+-=21og“2+loga3=log“4+log“3=log.12=-.

xyz

15.(25-26高一上•上海・随堂练习)(1)利用关系式log.N=6o/=N证明换底公式：log„N

(2)利用(1)中的换底公式求值：log2251og341og59；

(3)利用(1)中的换底公式证明：log*logz,clog"=l.

【答案】(I)证明见解析；(2)8;(3)证明见解析；

【分析】(1)由题设条件结合对数的运算证明即可；

(2)利用换底公式证明即可;

(3)利用换底公式证明即可.

【详解】解答：(1)证明：

设/'=N,则log,"不=log”,N,化为。log,"a=log,"N,

又。=log.N,所以唾〃=量;；

(2)解：1。氏25」唱4」唱9=需・鬻-翳=8；

(3)证明：

log,力•log/,C-10gt.。=臀.岑•臀=

IgaIgbIge

所以1%》1呜。1。&。=1.

题型六、对数的综合应用

16(25-26高二下•北京昌平•期末)某城市甲区域的人口总数A约为2?「乙区域的人口总数8约为3“：

4

则下列各数中与6最接近的是()(参考数据：怆2。0.30,1g3«0.48)

ri

A.().5B.1C.710D.1()

【答案】C

【分析】由对数运算法则求出IgJ，然后与选项中的各数的对数值比较可得.

D

21

A7A?21

【详解】-=-rn-,Mig-=1g.=211g2-121g3々21x0.30-12x0.48=0.54,

43“B3

又|gl=0,lgI0=l,|g厢=o.5,所以J与师最接近，

O

故选：C.

17.（25-26高一上•全国・周测）求下列各式中的x的值.

（l）10g5（10g2A：）=l；

,2

⑵鸣刖）不?=

【答案】（l）x=32

（2）^=1.

【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出；

（2）化简看,再利用对数的定义即可.

【详解】（1）因为1限（嚏㈤=1,所以1限》=5,所以x=2=32.

（2）因后=（石7）（石+1）=6+1，所以叫加京二叫国）（6十1）二］7,

所以ml.

18.（19-20高一逢国•课后作业）计算：（1）已知1吗3=〃3=7,试用表示1呜256;

2

(2)lg25+-lg84-lg5-lg20+(lg2)2.

【答案】(1)鬻；(2)3

【分析】（1）由题设可得〃=啕7,l=log52,由换底公式及对数的性质可得啕?56=端膏

从而可用表示1呜?56.

（2）利用对数的运算性质及对数的性质可将原式化为2+lg5+lg2（lg5+lg2）,利用吆5+旧2=1可得所求

的值.

【详解】（1）由3〃=7,得〃=1%7

由1叫3=。得一=岫2,

,〃log,56Iog3(7x2,)

log.,56=——=----7----rv

2

晦12Iog3(3x2)

=log/+31%2=b+3xg二帅+3

1+21(^2-I+2xl~a+2,

a

(2)原式=lg(25x4)+lg5(l+lg2)+(lg2)2

=2+lg5+lg2(lg54-lg2)=2+lg5+lg2=3.

【点睛】对数的性质、运算规则可分成三大类；

(T)log^M+logwN=logu(MN)(a>0,N>0);

M.

log。M-logaN=log.—(a>0,401,Al>0,N>0)

(2)log,.M"=2]0g“M>0,«=1,M>0,〃工0)；

③】og/=(a>0,t?l,c>0,C7tl,Z?>0)

log,。

解题中注意根据题设中对数的形式选择合适的计算方法.

【专项训练】

一、单选题

1.(25-26高一下•河南郑州•开学考试)已知机=1呜5,〃=唾86，则g呜=()

A,B.逑C,D,巫

5566

【答案】D

【分析】先指数对数互化，再根据指数幕运算法则将屋《进行变形，再结合已知条件进行计算.

Q8"'

【详解】根据指数幕运算法则，可得82=-.

82

„“)18'"

再根据指数幕运算法则，对8^进行变形可得83=(8丁=(次)”，所以82=而.

已知切=1。&5,根据对数与指数的关系，可得8"=5.

同理，因为“=1。8%6,所以夕=6.

将8"，=5和8"=6代入看中计算结果

把8阳=5,8"=6代入可得：

V8n86

故选：D.

2.（25-26高一上♦全国・周测）若对数式1。&-（3一）有意义,则实数/的取值范围是（

【答案】B

【分析】根据对数式有意义可得出关于/的不等式组，由此可解得实数/的取值范围.

'3/-2>0

“、9

【详解】要使对数式log（3,-2）（3T）有意义，需3—2工1,解得♦</<3且ri,

3T>0、

所以，实数/的取值范围是

故选：B.

3.（25-26高一下•北京・期末）已知/（力=2,，则/（1+噫3）=（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】由指数、对数运算即可求解.

【详解】已知〃x）=2,,则川+蜒23）=2"俎3=2x2啕3=2x3=6.

故选：A.

2,x>4

4.（2025•云南丽江•三模）已知函数二4，则/（2+盛3）的值为（）

A.24B,4C.12D.8

【答案】A

【分析】由2+1呜3<4,则〃2+1喳3）=/（3+脸3）,从而可求解.

【详解】因为2+1（^3<4,pJf^/（24-log23）=/（34-log23）,

3+33k3

又3+log23>4,pJfU/（3+log23）=2^=2x2^=8x3=24.

故选：A.

5.（25-26高一下•河北保定期末）已知lnx+l”=2,则1+：的最小值是（）

入y

2e

A.-B.-C.eD.2e

e2

【答案】A

【分析】由对数运算化简可得x〉=e2,再由基本不等式可得:+:的最小值.

xy

【详解】由题意,lnx+lny=ln⑻=2,则孙=e?,且x>0,y>0,

所以LL山=4嶂=2,

xyxye-e'e

11?

当且仅当x时取等号，所以：+二的最小值是二.

xye

故选：A.

6.（2025•山东临沂•二模）已知实数•%）‘满足1帙（1叫/）=1毁（1。氏#=1,贝”+>'=（

A.11B.12C.16D.17

【答案】D

【分析】由指对互化公式即可求解.

【详解】因为1。%。。当月=10&0。之力=1,所以工+丁=321+2*=9+8=17.

故选：D.

7.（25-26高三下,重庆阶段练习）已知2、=3、'=5二（乂），,2工0），且；+：=?，则

xyz

5

A.log，3B.log，C.log35D.log56

【答案】D

【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解.

【详解】设2、3、=52=&伙>0）,5llJx=log2^j=log3^,z=log5^,

由1+1=@得7~^+7~^=1。8*2+108《3=108上6=。108£5

xyzlog,klog3k'

因此6=5"，故。=1呜6.

故选：D.

8.（25-26高二下•山东日照期末）若log"=2,/=,〃，贝ijbg,”（而）=（）

AlB.1

ciD-1

【答案】c

【分析】先根据指数式和对数式互换得出1。耳机=3；再根据对数的运算法则及换底公式可求解.

【详解】由〃=〃?可得：1附机=3.

则log."（而）=log/+log,/

」0g/Jog/

log,"log即

=—1F-1

23

5

=—

6,

故选：C

9.（25-26高一下•陕西安康期末）已知函数/（"=［，25©：1641,则川川0））=（）

igx，）>1

A.2025e+iB.1C.2026D.2025e

【答案】A

【分析】先求/（I。）,再求/（〃10））即可.

【详解】由题意可得〃1（））=1⑻（）=1,

故/（〃10））=/⑴=2025e+l.

故选：A.

10.（25-26高一下•河南新乡期末）已知“刈是定义在R上的奇函数，当时，/（刈一/十3，则

Iog3［/（0）+/（-3）］=（）

A.l+log32B.2+log32C.ID.2

【答案】A

【分析】根据函数为奇函数，得到/（0）=0J（-3）=6，代入求解即可.

【详解】由题意得/（。）=0，/（-3）=-八3）=-（-9+3）=6,

所以喝"（0）+/（-3）］=log.6=1+log,2.

故选：A

11.（25-26高二上•广东广州•期末）根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米的故事中，最

后一个格子需放米粒的数量M为*，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10，。.则下列各数中

N

与京最接近的是（）（参考数据：吆2。0.30）

A.106'B.IO7'C.IO8'D.109'

【答案】A

【分析】根据对数的性质可得：2=1O^«IO030，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结

果.

【详解】由题意：M=23,N'ld',

根据对数性质有：2=10婷。10°却，

.\M=263®（l0030）63«10189,

・•・齐募=1俨、与A选项最接近,

故选：A

12.（25-26高二下・北京・期末）荀子《劝学》：“不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这

告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、

学生甲的“日学习能力值''都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那

么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，至少经过了（）

（参考数据：IglOl«2.0043lg2«0.30101g3«0.4771）

A.41天B.70天C.Ill天D.181天

【答案】B

【分析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值''为。，根据题意结合增长率列出相应方程，利用

对数近似计算，即得答案.

【详解】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值''为。,设当学生甲的“日学习能力值''是学生乙的

2倍时，大约经过了犬天，

由题意得2aKa（1+0.（）1）、,即2K1.0F,所以怆24Ngl.01

由于叫01a2.0043,故1g3=Igl01-Igl00=2.0043-2=0.0043

100

所以0.301040.（X）43x,解得：70<x

从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍至少经过了：70天.

故选：B

二、多选题

13.（25-26高一上•全国•课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（）

A.e'l与log/=。B.8T=2与腌8；=-!

C.1%9=2与/=3D.蚓77=1与7=7

【答案】AD

【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可.

【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式"=N=x=log.N,

对于A,5=1可化为1。乳1=。，故A正确，

对于B,8T=2可化为嘀2=-：，故B错误，

对于C,l。g39=2可化为32=9，故C错误，

对于D,1"77=1可化为7:7,故D正确.

故选：AD

14.（25-26高二下•吉林长春•期末）下列表达式正确的是（）

A.V7=aBf/j.

C.log231og32=lD.Ig2(lg2+lg5)+lg5=l

【答案】BCD

【分析】由根式、有理数指数幕的运算判断A、B;由对数的运算性质判断C、D.

【详解】A:若"0B寸，后=-a,错；

8V23x324t

B:『)3=(V=?，对;

I27)

C：log231og32=log23—!—=1,对；

lOg?5

D：lg2(lg2+lg5)+lg5=lg21gl0+lg5=lg2+lg5=lgl0=l,对.

故选：BCD

三、填空题

15.（25-26高一上•湖北・期末）计算：（|尸+3"峭4=.

【答案】3

【分析】直接利用分数指数幕与者对互化求解即可.

【详解】（|）-2+3卜嗝4=图2+3X3*;=^+3x1=3.

故答案为：3.

16.（25-26高三上•山东青岛•开学考试）lg401g250+lg1=.

【答案】4

【分析】利用对数运算将目标式转化为关于怆2的表达式，然后展开整理即可.

【详解】1g401g250+lg-=（lg4+l）（3-lg4）4-（lg2-lg5）2

_（2怆2十1）（3—21g2）十（21g2—l）2

=-4（lg2）2+41g2+34-4（ig2）2-4lg2-f-l=4.

故答案为：4

17.（25-26高二下•江西新余•期末）4喝370g29xlog，2+lg[+21g2-（；尸=

【答案】1

【分析】把题目分解为多个部分分别计算，利用对数和指数的性质化简，最后合并结果.

【详解】计算4喝3：

根据对数的性质,10gi=l,所以10gj3=l.代入指数表达式，4嗝3=4=4.

计算log29xlog*：

利用对数的换底公式和幕的性质：

2

2

log29=log23=21og23=-~-

1%2'

2

所以~--^2=2.

log：2

计算*+21g2：

利用对数的减法法则和幕的性质：

Ig|=lg5-lg2,

lg|+21g2=lg5-ig2+21g2=lg5+lg2=lg（5x2）=lgl0=l.

计算（》T：

J

2

把各部分结果代入原式：

4-2+1-2=1

故答案为：L

18.（2024•上海三模）若正实数J丁满足1%》1唱k1,则》+2）的最小值为.

【答案】4

【分析】根据对数的运算公式，求出实数-J）'满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值.

【详解】由题意得log"+log2y=噫肛=1,可得个=2,

由对数性质可知，根据基本不等式可知x+2.y2珀可=4，当且仅当％=2），，即x=2,），=l时，

等号成立，所以x+2），的最小值为4.

故答案为：4.

2A+3,A<0,则//卜的值等于

19.（2025・广西南宁•模拟预测）已知函数/（”=•

log2x,>0

【答案】1

【分析】根据分段函数，代入求值即可.

【详解】/1£）=2£|+3=2,

所以;/⑵=1呜2=1.

故答案为：1.

20.（2025•江西萍乡•三模）已知飞=；,则与+皿；=,

【答案】M3

【分析】利用对数的运算法则计算即可求解.

【详解】依题意，In弋=ln%-Xo=Tn'-Xo=Tn3,故％+In，=ln3.

e%%

故答案为：In3.

21.（25-26高一上•天津•阶段练习）log62=〃d=7，则用〃和）表示1.9x21的结果为

\+h-a

【答案】

a+2b

【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解.

【详解】由6:7,得1暇7=力，而1呜2”,

o6x7

所以"，［二22一脸6+1叫"皿_1+八4.

S2

log6(2x7)log62+21og67a+2h

\+b-a

故答案为：

a+2b

四、解答题

3S

22.（25-26高三下•山东・强基计划）已知。也cdeZ+,有log*、,log4^=-,〃-c=9,求/的值.

【答案】93

【分析】利用对数式化为指数式，再化根式为整式，然后利用正整数的乘积问题来分析即可得解.

【详解】由已知得》=（&『，"=（叼:设〃=加(皿，),得*7=9,

即（〃?+叫（〃一叫二9,因为《bcdeZ+,所以有以下两种可能：

(T)m+n'=3jn-n~=3=>m=3,n=0(舍去)；

②〃?+〃2=9,m-n~=1=>=5,n=2,

贝Ij力=125,4=32,即匕一d=93,

故答案为：93.

23.（25・26高一上•全国・周测）（I）已知2〃=5=1000,求的值；

ab

32

（2）已知32,=43〉=126,求一+—的值.

xy

【答案】（1）卜昌；（2）1

【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案.

【详解】（1）由已知，〃=1呜1。00=言方=1叫1。00二2,所以』+：=:（吆2+电5）=:.

修/塔。aD3J

（2）因为32，=4"=12。，所以2x=log312'=610g,12,解得x=31og312=log*12,

6

^3y=log412=61og412,解得y=21ogJ2=logzK,

所以污=嬴+氤=3喻冉+2*2=*(3x22)=啕12=1.

24.(25-26高一上•全国•课前预习)计算：

⑵1g5(怆8+lg1()0())+(1g丫+电，+怆006

【答案】（DO

(2)1

【分析】(1)(2)利用换底公式结合对数的运算性质求解即可.

.10।5

【详解】(1)原式=T+log£(二)，UT=0・

1g——1g-

404

(2)原式=lg5(31g2+3)+3(lg2)2-lg6+lg6-IglOO

=3-lg51g2+31g5+31g22-2

=31g2ilg5+lg2)4-31g5-2

=31g2+31g5-2=3(lg2+lg5)-2=3-2=l.

25.（25-26高一上•辽宁丹东•期末）已知〃=9.

（1）求kg3a的值；

⑵设4'=（"=喀。，求证：X=L

2

【答案】（l）log3«=j

（2）证明见解析

【分析】（1）将/=9两边取对数化简即可得解；

（2）由（1）解得乂了，代入;+：计算即可得解.

xy

【详解】解：（1）将/=