2026高考数学二轮复习-随机变量及其分布

第2讲随机变量及其分布

r探究真题明确方向一

1.（2025•全国I卷，T14）有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次，每次

取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则XR勺数学期望E（X）=.

2.（2025・天津，T13）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,若第一

次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为

0.6,6圈的概率为04小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑II圈为运动量达标，则连续跑4

周，记合格周数为X,则期望反㈤=.

3.（2025•北京，T18）有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙

校有75人答对，用频率估计概率.

（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；

（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望；

（3）若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有85%的概率做

对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为

1八,乙校学生掌握该知识点的概率为P2,试比较巧与P2的大小（结论不要求证明）.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为1377分.

考查方向：

一是求离散型随机变量的分布列及其均值与方差：二是分布列、均值与统计图表的综合应用；三是利用分

布列、均值与方差进行决策或分析，此类试题的阅读量大，综合性较强.

1较案—

La乐25

解析方法一依题意，X的可能取值为1,2,3,

总的抽取方法数为53=125,

其中X=1表示3次抽取同一标号的球，选择球的标号有5种方式，

故尸（X=l）=^去

m2表示恰好两种不同标号的球被取出（即一球出现2次，另一球出现1次），

选择出现2次的球有5种方式，选择出现1次的球有4种方式，

其中出现1次的球第几次被取出有3种可能，故事件六2的可能情况有5X4X3=60（种），

故PC"2）U|；

看3表示三种不同标号的球被取出，

可能情况有5X4X3=60（种）,

故尸（*=3）喂受，

所以E(X)=1义导2X导3噗.

方法二依题意，假设随机变量X，其中i=l,2,3,4,5,

苴中匕_。，这3次取球中一号球至少被取出1次，

其中％一(0,这3次取球中,i号球1次都没被取出，

5

则工=Z%,

i=1

易知所有E(X)相等，

55

则E(,Y)=E(2%)=力E(X尸5E(X),

I=1I=1

由题意可知，，号球在单次抽取中未被取出的概率为今

由于每次抽取相互独立，则3次均未取出，•号球的概率为P(X=O)=Q)喂，

因此i号球至少被取出I次的概率为尸(％=1)=1-急瑞，

故E(XA露,

所以EC¥)=5凤"尸5X券合

2.答案0.63.2

解析设小桐一周跑11圈为事件上第一次跑5圈为事件4,第二次跑5圈为事件C,

则P(/4)=P(8)P(aB)+P(B)P(qB)=0.5X0.6+0.5X0.6=0.6；

设运动量达标为事件。，则P(D)=P(A)+P(B)P(C\B)=0.6+0.5X0.4=0.8,

所以心8(4,0.8),E(A)=4X0.8=32.

3.解(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，这个人做对该题目的概率为黑耳.

(2)设力为“从甲校抽取1人，这个人做对该题目“，贝UP(4)W，尸(m=t

设8为“从乙校抽取1人，这个人做对该题目“，则尸伊尸急3,尸出)4，

设C为“恰有1人做对”，故尸(C)=P(/lg)+P68尸尸(/1)P(B)+P(幻尸(8)Tx浜义号，

而X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=P(襦得X—,Pgl)得，。(六2)^X14

故X的分布列为

X012

173

P

20205

故a30X导IX弃2乂导.

(3)设。为“甲校学生掌握该知识点”，

因为甲校学生掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目,

未掌握该知识点的学生都是从四个选项里面随机选择一个，

故P(D)心1孑(。)尸0.8,

即2+*(1-2|)=0.8,故PIW1，

同理有0.85p2gx(1-〃2)=0.75,故P2=1，

故P1<P2・

考点一分布列性质及应用

例1(1)随机变量4的分布列如表，若则。©等于()

J-1012

p2aa2ab

答案D

解析由1-2a+0+2十+2b=)

得。=洁,

O

所以D(>(T-g)X%(。-J乂在(1-9义乎(2一3X-

(2)(多选)已知。>0,/?>0,c>0,且a,b,c成等差数列，随机变量X的分布列为

X123

Pabc

下列选项正确的是()

B.a+c=1

A.p=4-•J

48

C.j<£W<-D.OCY)的最大值为:

答案BCD

由,a+c=2b,

解析对于A,B,田la+b+c=l,

b=L

得32Afi吴，B正确；

a4-c=-,

22

对于C,由a+c=j,a>0,c>0,得

贝ijE(X)=a+2h+3c=2c^e(l,小，C正确；

$'33，

对于D,D(X)=a[l-(2c+—(2c+-(2c+§1

=(|_c)(2c+j24(2c—|)2+C(2C-1)2

…条Xc—Jg,

当&时，。(㈤取得最大值，且最大值为aD正确.

［规律方法］分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.

跟踪演练1(1)(多选)若随机变量¥服从两点分布，其中P(X=O)q,E(X),。(㈤分别为随机变量X的

均值与方差，则下列结论正确的是()

\.P(X=\)=E(X)B.E(3R2)=3

2

C.a㈤与D.D(3X+2尸4

答案ABC

解析随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=|,

所以尸(六1港，

12

所以E(X)F，D(X)=T.

对于A,P(X=\)=E(X)t故A正确；

对于B,E(3X+2)=3E(X)+2=3,故B正确；

对于C,。(㈤肯，故C正确；

2

对于D,O(3X+2)=9。(㈤=9X丁2,故D不正确.

(2)(2025•齐鲁名校联考)小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错减1分，设

他每道题答对的概率均为且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为X,

则当凤X)+D(X)取得最大值时，p等于()

A.；B4C.|D.,

答案C

解析设答对题的个数为匕由已知可得卜8(3,p),

所以E(y)=3p,。⑴=3p(l-p),

因为每道题答对得2分，答错减1分，X为小王答完3道题的总得分，

所以后2y-(3-y)=3K3,

所以ECY)-3E(y)-3—9〃-3,

。(㈤=9。(K)=9X3p(1・〃尸27〃(1-p),

所以E(A)+。(㈤=-27p2+36〃-3=-27(p-|)2+9,

又0中＜1,

所以当pq时，E(X)+O(X)取得最大值，最大值为9.

考点二随机变量的分布列

考向1相互独立事件

例2(多选)(2023・新课标H卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概

率为«(0＜«＜1),收到0的概率为l-a；发送1M，收到0的概率为以0＜尸＜1),收到1的概率为1/•考虑

两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复

发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收

到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).()

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-。)(1/)2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为以I/)?

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为以1/)4(1/)3

D.当0＜夕＜0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为。的概

率

答案ABD

解析对于A,依次发送1,0,1,则依次收到I,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接

收1这3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为/尸(1-。)(1/)2,故A正确;

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送

1接收0、发送1接收1这3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1/)以1/)=伙1/)2,故B正确；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1；0,I,1和1,1,1这4

个事件的和，

它们互斥，所求的概率为髭以1/)2+(1/)3=(1/)2(1+2在)，故C错误；

对于D,三次传输，发送0,则译码为0的概率尸=(1-亦(1+2以

单次传输发送0,则译码为0的概率P'=l-a,而0＜。＜0.5,

因此P-P，=(l-ay(i+2«)-(1-«)=«(l-a)(l-2a)＞0,即P＞P,故D正确.

考向2超几何分布

例3(2025•济宁模拟)为了解高三1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生

参加数学建模能力比赛(满分100分)，成绩如下：

数据1(高三1班)：68,80,58,75,65,70,54,90,88,92：

数据H(高三2班):72,55,83,59,56,90,83,52,80,95.

(1)求数据I(高三1班)的第80百分位数；

(2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自高三2班的学

生人数为X,求X的分布列和均值.

解⑴将数据【从小到大排列为：54,58,65,68,70,75,80,88,90,92,

因为10X80%=8,所以数据I的第80百分位数为四普89.

4

(2)数据I中60分以下的有54分，58分；

数据］I中60分以下的有52分，55分，56分，59分;

即符合题意的学生共6人，其中高三1班有2人，高三2班有4人.

可知X的所有可能取值为1,2,3,

则尸(日)爸然,

clcl123

0件2)=cl205,

C鸡

(X=3)=

尸Cl-20-5'

所以*的分布列为

X123

131

P

555

E(㈤=IX*2义|+3乂92.

考向3二项分布

例4(2025・皖獴联盟联考)某科技公司研发了一种新产品，每件产品上市前需要分别进行两项测试，

第一项测试通过的概率为0.7,若笫一项通过，则第二项通过的概率为0.9；若第一项未通过，则笫二

项通过的概率为0.4.

(1)已知某件产品在两项测试中仅通过一项，求其第一项测试通过的概率；

(2)规定至少通过一项测试的产品为合格品，现对10件该产品独立地进行测试，记其中的合格品件数为

X,则攵取何值时，P(AMr)最大？

解(1)设事件4为“第一项测试通过”，事件8为“第二项测试通过”，事件。为“仅通过一项测试”.

则PC4C)=P(4月尸尸(4)尸(阴彳)=0.7X(1-0.9)=0.07,

尸(。=尸(力丹+尸(了8)=2(4月)+尸(3)尸(8闭)=0.07+(1-0.7)X0.4=0.19.

P(71Q0.077

所以P(A\Q=P(C)40.19=19,

(2)由己知及(1)可得，每件产品检测为合格品的概率为0.19+0.7X0.9=0.82,

所以心5(10,0.82),P(A5)=Cb()82Ao.18m,IWkWlO,%£N',

"(X=k)C§oO.82S18iip.82(ll-k)9.02-k

叭丁="1)一％0.8210.181一—"""0.18k~=10.18k,

当1WAW9时，P[X=ky>P(X=k-\),

当>9时，P(X=k)<P(X=k-\),

所以当心9时，P(六%)最大.

［规律方法］求随机变量X的均值与方差的方法及步骤

(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；

(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列：

(3)由均值和方差的计算公式，求得均值反㈤，方差。(㈤；

(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均

值和方差的公式求解.

跟踪演练2(2025•乌鲁木齐模拟)某地举行中学生科技知识挑战赛，挑战赛分预赛和决赛两个阶段，

预赛为闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次，如果一个人闯关失败，再

派下•个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛阶段比赛胜利，无需继续闯关，进入决赛.

决赛设置了3个问题，每完整答对1个问题，该队决赛成绩记3分，否则记0分，未进入决赛的参赛

队决赛成绩记0分.已知华夏队的甲、乙、丙三名选手在预赛闯关阶段以及决赛阶段每次完整答对1个

问题的概率均为P，夕，r(0vr<夕文<1),每次回答是独立的，V表示华夏队的决赛总成绩.

(1)若p=|,9芸，得，依次派甲、乙、丙进行闯关，求该小组进入决赛的概率；

(2)预赛阶段，若乙只能安排在第二个闯关，要使派出人员数目的均值较小，试确定甲、丙谁先闯关：

(3)决赛阶段，若只能选出一人参加比赛，当E(y)最大时，决赛阶段应由哪个选手参加？

解(1)依次派甲、乙、丙进行闯关时，设事件4表示“该小组进入决赛”，

贝UP(4)=Hx货X；X制，

则该小组进入决赛的概率为得.

(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，设派出人员的数目为X,均值为后，依次派丙、乙、甲进行闯关，设派

出人员数目的均值为民，则

X123

PP(i-p)q(1乎)(i・q)

所以Ei=p+2(1-p)q+3(T-p)(l-q)=pq-2p-q+3,

同理殳=%-2--q+3,

则Ei-E?=pq-2P・q+3-(rq-2r-q+3)=(p-r)(q-2),

因为0〈r<pVgVl,所以£r£2<0,

即8<及，

所以要使派出人员数目的均值较小，应先派出甲.

(3)若甲、乙、丙三人分别参加决赛，决赛阶段答对的题目个数分别为他，〃2,小，得分分别为匕，丫2，

丫3，

则仍〜8(3,p),〜8(3,0〃3〜8(3,厂)，

所以E(〃1)=3p,E(y,)=E(3小)=9/7,

同理E(Y2)=9q,E(y3)=9r,

因为0<yp<g，所以反丫2)>£(匕)>双匕)，

所以决赛阶段应由乙选手参加.

考点三正态分布

例5(1)(多选)(2024•新课标I卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶

出口.为了解推动出口后的亩收入］单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的

样本均值还2.1,样本方差/RO,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(L8,QU),假设推

动出口后的由收入丫服从正态分布N(5,s2),贝戈)

(若随机变量Z服从正态分布M/i,/)，P(Zv〃+。户0.8413)

A.PQ>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.F(»2)>0.5D/(»2)<0.8

答案BC

解析依题可知，x=2.1,52=0.01,

所以上M2』，0.12),

故尸(A2)=尸(A2［-0.1)=尸(k2.1+01)=0.8413,所以C正确，D错误；

因为,hML8,O.l2),

所以P*l.8+0.1户0.8413,

所以P(A>1.8+0.1户1-0.8413=0.1587,

而P(X>2)=P(X>1.8+2X0.1)<P(X>1.8+0.1)^0.1587,

所以B正确，A错误.

(2)(多选)(2025•豫西模拟)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录

了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为

36：骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时丫都服从正态分

布，则()

A.P(X>32)>P(Y>32)

B.尸(XW36)=P(YW36)

C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车

D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车

答案BCD

解析由条件可知¥W(30,62),bN(34,22),根据正态曲线的对称性可知P(E>32)>0.5>Pq>32),故A

错误；

产(AW36)=尸(AW30+6),P(丫W36)=尸(丫W34+2),所以尸(AW36)=P(丫W36),故B正确；

产(XS34)>0.5=P(yW34),所以尸(XW34)>P(YW34),故C正确；

P(XW40)vP(XW42)-P(XW30+2X6),P(K<40)-P(34+3X2),所以「(XW40)vP(yW40),故D正确.

［规律方法］利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线厂"对称，

及曲线与x轴之间的面积为1,注意下面三个结论的灵活运用：

(1)对注意的4,有P(¥3-4)=P(X》+4).

(2)尸(右Xo户l-P(X》Xo),

⑶尸尸P(X〈b)-P(XWa).

跟踪演练3(2025・湖南名校联合体模拟)在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为以单

位：m,下同)，且。〜/V(2,0.012).

(1)若出产这样的成品圆钢10000根，试估计长度在［1.97,2.03］内的圆钢根数；

（2）从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根，求这两根圆纲其中一根的长度在区间［L98,1.99）,另

一根的长度在区间［2,2.02］内的概率（精确到0.01）.

参考数据：若片M",标），则尸3-。・痣〃+（7户0.6827,P（〃-2OWXW〃+2（7）X）.9545,PQI-

3o〈XW〃+3亦0.9973.

解⑴由已知得〃=2,（7=0.01,

所以P（L97W4W2.03）=P（〃-3oW£W"+3。户0.9973,

所以长度在［L97,2.03］内的圆钢根数约为10000X0.9973=9973.

（2）圆钢的长度在区间［1.98,1.99）的概率P尸尸（1.98W0<1.9%=PQ-2bW3"p）

=1［PC.2°WjW〃+2（7）-P（〃-crW4W〃+0）］kO.1359,

圆钢的长度在区间［2,2.02］内的概率

尸2=尸（2<4或2.02）=尸（〃^^^"+2。）=»（"-2。<^^"+2。户0.47725,

因此这两根圆钢其中一根的长度在区间［1.98,1.99）,另一根的长度在区间［2,2.02］内的概率约为

P=2P\P2-2X0.1359X0.47725-0.13.

专题强化练

［分值：90分］

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2025・湖南名校联考）甲同学每次投篮命中的概率为p,在投篮6次的试验中，命中次数X的均值为2.4,

则X的方差为（）

A.1.24B.1.44C.1.2D,0.96

答案B

解析根据题意可得命中次数X服从二项分布，即片8（6,〃），

可得均值为E（X）=6p=2.4,解得p=D.4,

所以X的方差为D（X）=6X0.4X（l-0.4）=1.44.

2.一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品

的概率为（）

A2B竺C-D巨

50°45-15510

答案B

解析根据题意，恰有1个不合格品的概率为户署嗡.

3.（2025・南充模拟）某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分

布M100,1。2）,则测试成绩在［90.100］内的学生人数约为（）

附：为X〜N",标），则夕（〃-。〈*・4+。户0.6827,尸（〃-2b〈X0计2。户0.9545.

A.2717B.2718

C.6827D.9545

答案c

解析因为尸(90WXW100)《X0.6827=0.34135.

所以测试成绩在［90,100］内的学生人数约为20000X0.34135=6827.

4.(2025•乌鲁木齐模拟)甲、乙、丙三人各自计划去河南洛阳旅游，他们在3月25日到3月27日这三天中

的一天到达河南洛阳，他们在哪一天到达河南洛阳相互独立，互不影响，且他们各自在3月25日、3月26

日、3月27日到达河南洛阳的概率如表所示.

到达日期3月25日3月26日3月27日

尸甲0.30.403

P乙0.40.50.1

P丙0.20.30.5

设甲、乙两人在同一天到达河南洛阳的概率为白，甲、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为〃2,乙、丙

两人在同一天到达河南洛阳的概率为P3,则()

C.P1>P3>P2D.P2>P3>”

答案A

解析由题意可知P1=O.3x0.4+0.4X0.5+0.3X0.1=0.35,

〃2=0.3X0.2+0.4X0.3+03X0.5=0.33,

.=0.4X0.2+0.5X0.3+0.1X0.5=0.28,

故PI>P2>P3・

5.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为右向右移动的概率为*

若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率为

()

1111111111

-4-3-2-10123456x

A里B—c—D-

2430,512~512^,81

答案C

解析由题意，

设质点向右移动左次，向左移动5/次.

，最终位置为x=k+(5-k)X(・1尸2h5,

解得0WxW2,

・・・0W2h5W2,解得就人《

•.Z为正整数，，仁3,

・•・质点向右移动3次，向左移动5-3=2(次)，

.••该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率为

。二以伊义(丁=10乂泳表若.

6.柯西分布(Cauchydistribut沁n)是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布为

x〜3,X。,其中当尸1,祀=0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为.危)=^西.已知人。(1,

0)，尸(凶三手)W，P(^<X<1)=^,则尸(因W1)等于()

AiBlC；D.g

答案D

解析函数、心)-舟西的图象关于沙轴对称，

由「(凶工乎)q可知，

p(o<x<^)4

且pgvxwi)*,

1111

则p(x>iFm，

所以P(|A1<1)-1-2x1-1

1乙

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2025・渭南质检)下列说法正确的是()

A.数据5,7,9,11,13,14,15,22的平均数为12

B数据6,7,7,8,10,12,14,16,19,21的第30百分位数为7

C.若随机变量片为(10,p),且E(㈤=8,则。(㈤=1.6

D.若随机变量hN(10,/),且尸(k6)=0.3,则P(6<«14)=0.4

答案ACD

解析对于A,这8个数的平均数为5+7+9+11+：+14+15+22=[2,故A正确；

对于B,由10X30%=3可知，这10个数据的第30百分位数为岑=7.5,故B错误；

对于C,因为片8(10,p),所以由E(X)=8得10〃=8,即p=0.8,

因此D(A)=10X0.8X(l-0.8尸1.6,故C正确;

对于D,因为y〜M10,标)，P(y<6尸0.3,

所以P(6〈k10户0.5-0.3=0.2,

因此P(6<Y<14)=2P(6<Y<10)=0.4,故D正确.

8.高考数学的多选题每题6分，每题有2个或3个正确选项，全部选对得6分.若正确选项有2个，则选对

1个巨无错选得3分；若正确选项有3个，则选对1个且无错选得2分，选对2个且无错选得4分.若不选

或有错选则不得分.现假设正确选项有2个的多选题出现的概率为p(0<p<l),现随机填写某个多选题的若干

个选项，则下列说法正确的有()

A.若局,则随机填写2个选项时可以使得分的数学期望最高

B.若p《，则随机填写1个或2个选项可以使得分的数学期望最高

C.若0</Xp则随机填写2个选项时可以使得分的数学期望最高

D.随机填写2个选项得分的数学期望一定高于随机填写3个选项得分的数学期望

答案BCD

解析设随机填写源=1,2,3)个选项的得分为％,

则X的可能取值有0,2,3,

。(*=0)=〃,旨+(1・〃)旨=部，

P(X=2)=(l-〃店u，

ri1

P(Xi=3)=p•常9，

所以E(M)=0X(l+1p)+2xg-|p)+3Xy=|,

M的可能取值有0,4,6,

P(%2=0)=p(l-g)+(l-p)^=l+^,

r241

P(%=4)=(10声表〃，

P(M=6)=p^=^,

所以E(X2)=0X(l+1p)+4X(l-lp)+6X%=2-p,

出的可能取值有0,6,P(%=6尸(1-p)•昌-%,

31

P(X3=0)=l-尸(％=6)/+7,

所以E(X3)=0X弓+；p)+6X(；_；p)=|.|p.

对于D选项，现尸(2-〃)・(|—|p)亭夕>0,

所以随机填写2个选项得分的数学期望一定高于随机填写3个迄项得分的数学期望，故D正确；

1Q1

对于A选项，若户pE(X2>E(XJ=2-psp<0,即E(X2)VE(X)，故A错误；

对于B选项，若〃弓，E(X2)-E(X])=^-p=0,即E(*尸E(M)，

所以随机填写1个或2个选项可以使得分的数学期望最高，故B正确；

对于C选项，若0〈pg，E(X2)・E(X]冶叩>0,则E(Xi)vE(%),

所以随机填写2个选项时可以使得分的数学期望最高，故C正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分

的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为05乙发球时

甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人乂打了X个球该局比

赛结束.则事件“X=4且甲获胜”的概率为.

答案0.1

解析由题意可知，尸(X=4)包含的事件为“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”，

所以F(A=4)=0.5X0.6X0.5X0.4+05X0.4X0.5X0.4=0.1.

10.一个不透明的袋子里有10个除颜色外完全相同的球，其中4个红球，3个白球,3个黑球.现从袋中随机

摸出3个球，记摸到红球的个数为X,摸到白球的个数为匕摸到黑球的个数为z,若ay+z=3,且X,

匕Z均为非负整数.设随机变量占2升匕则凤。的值为.

XX+33

答案W

解析方法一由题意知，X的可能取值为0,1,2,3；

y的可能取值为0,1,2,3：

Z的可能取值为0,1,2,3.

因为中2X+Y,所以当年0,7=0,Z=3时，e0；

当月0,r=i,z=2时，餐1；

当x=o,r=2,z=i或x=i,r=o,z=2时，＜?=2；

当*=0,Y=3,Z=0或AH,y=l,Z=1时，餐3；

当AH,Y=2tZ=0或后2,y=0,Z=1时，C=4；

当不2,Y=lfZ=0时，＜f=5；

当不3,y=0,Z=0时，&6.

所以。的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,

从10个球中随机取出3个球的组合数为琮OT^=12O.

JX4XJL

止鸿

月gc「以p/产D/X-CW一尸D/(人v-Ayn7cJj

(j—U)u.，仇Z3)C3oI?。，

CjC|Cj_3

pei)=p(x=o,Y=\.Z-2)-c；。-40*

P(p2尸P(AH),Y=2,Z—1)+P(AM,y-0,z—2)_3：'一6

7,AVpzAly_i7_1、3?

P(G3)=P(X=0,Y=3,Z-O)+P(A-1,y-1,Z-1)-C3o＜c?0—120,

£p1p2p0p2p0pli

P(『尸P(X=1,Y=2,z=o)+p(六2.r=o,Z=I)=TT^4^=4，

L1OL1O♦

P(45)=P(六2,Y=\,

/。)C?o20,

7.OC这蜩工

P(F6)=P(X=3,Y=0,Z—°)一岛30-

所以EdRX9lX力2X^3义篙4X+5X•

方法二由题意知，随机变量x,丫均服从超几何分布，则以用当长,£(y)-^7

1UOA1zAV

又会2RR则

6933

(用+仇

E©=2EK)=2XJJLUXV

四、解答题(共28分)

11.(13分)(2025・金华十校模拟)有4B两道谜语，张某猜对力谜语的概率为08猜对得奖金10元；猜对

3谜语的概率为0.5,猜对得奖金x元.

(I)猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率；(4分)

(2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求使得张某先猜力谜语和先猜4谜语所获

得的奖金期望相同的x的值.(9分)

解(1)设张某仅猜对其中一道谜语为事件"，猜对4谜语为事件4猜对8谜语为事件从

则P(M)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=0.8X0.5+0.2X0.5=0.5.

(2)设张某先猜A谜语获得的奖金为备元，先猜B谜语获得的奖金为&元，

则占的可能取值是0,10,10+x,3的可能取值是0,x,10+x,

产(d=0)=020(。=10)=0.8X0.5=0.4,

P(d=l0+R=0.8X0.5=04,

所以£(0)=0X0.2+10X0.4+(10+x)X0.4=0.4x+8;

P《2=0尸0.5,P&=x)=0.5X0.2=0.1,

P(&=10+X)=0.5X0.8=04,

所以E《2)=0X0.5+0.lx+(l0+x)X0.4=0.5x+4.

由£(&)=£仁2)得0.4x+8=0.5x+4,解得尸40.

12.(15分)(2025・聊城模拟)四名同学约好周末一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必

须参加且只能参加一个项目.四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷

出点数小于3,就体验甲项目，否则体验乙项目.

(I)求这4个人中恰有2人参加甲项目的概率；(6分)

(2)用X,丫分别表示这4个人中参加甲、乙项目的人数，记占|Y・H，求随机变量小的分布列及均值.(9分)

解(1)依题意知，这4个人中，每个人参加甲项目的概率为昌，参加乙项目的概率为1-皆，

设“这4个人中恰有女人去参加甲项目”为事件4(Q0,1,2,3,4).

则小心©右)1

故这4个人中恰有2人去参加甲项目的概率为尸①2尸第@)2.(§2吟.

(2)当看0,丫=4或X=4,y=0时，＜=|X-y|=4,

当心1,什3或石3,K=1时，c=|X-r|=2,

当六2,y=2时，舁|x-y|=o,

故j的所有可能取值为0,2,4.

由于小与43互斥，与4|互斥，故P(餐0)=尸(42)吟,

P《=2)=P⑷+尸(小)=以守义(|)MQ)3X针嗤

P(44)=尸储0)+尸(4)=以(»+第e)4岑.

所以:的分布列是

024

r\84017

P