2025-2026学年浙教版八年级数学下册《正方形》同步练习题

2025・2026学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步自主达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,则添加下列条件，能判定菱形力BCD是正

方形的是（）

A.Z.0AB+/.AB0=90°B.Z.BCA=Z.DCA

C.AB=ACD.0A=0D

2.如图：正方形/18C。的对角线4c与8D相交于点O,则下列说法不正确的是（）

A.AC1BDB.Z.DAC=Z-BACC.DO=COD.AD=AO

3.如图，正方形ABC。的边长为6,E是BC的中点，DFLAE,与4B交于点巴则D尸的长

为（）

A.2V5B.3V5C.4V5D.9

4.如图，在正方形力8CD中，点M在对角线AC上，连接BM并延长交AZ）于点N,连接UM,

若44DM=28°,则ZJ9MN的度数为（）

A.34°B.32cC.30°D.28c

5.如图，在正方形力BCD的外侧，作等边ADCE,连接AC,AE,则4E/C的度数为（）

B

A.30°B.35°C.20°D.15°

6.如图,在平面直角坐标系中,正方形4BCD的顶点坐标为4（-2,0）,8（2,m）,6（0,n）,则

正方形力8co的面积是（）

A.13B.20C.25D.34

7.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示

的图形，并测得=60°,对角线4C=10cm,接着调整学具成为图2所示的图形，测得乙8=

90°,则图2中对角线4?的长为（）.

A.10cmB.10夜cmC.10>/6cmD.20或cm

8.如图，在△ABC中，BC=12,AM上BC于点、M,交GE于点、N,AM=3,四边形A5FG和

/1CDE都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）“4E=

Z-GAC；（2）若连接BE,CG,则BE=CG；（3）BE1CG；（4）△AEG的面积为18,且被直

线MN平分；其中正确的说法个数有（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（满分24分）

9.若正方形对角线的长为3&cm,则面积为cm2.

10.如图，在团ABCD中，AC=BD.再添加一个条件，就能判定四边形A8C。是正方形.这

个条件可以是.（只填一个条件即可）

A

'D

C

11.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把AAOE绕点力顺时针旋转90。到的

位置.若四边形AEC厂的面积为144,AE=13,则DE的长为.

12.如图，等边△?!£尸的顶点E,尸分另IJ在正方形A8C。的边8C,CO上，贝I」乙AE8=

13.如图，已知正方形ABCO的边长为8,。是对角线8。上一点，PE上BC于点E,PFLCD

则EF的最小值为

14.如图，正方形ABCD中，/.EAF=45°,连接£/，BD,则8M,MN,ND之间的数量关

系为

15.如图，正方形力8C0的对角线相交于点O,以。为顶点的正方形OEGF的两边。£0尸分

别交正方形的边48、BC于点M、N.记△力OM的面积为SIACON的面积为Sz，若正方形的

边长A8=10,Si=16,则S2的大小为

AD

3N\C

F

G

16.如图，在矩形A8CD中，4B=9,BC=8,E为BC口点、,G为48上动点且GF1CD,连

接A尸、GE,则AF+GE的最小值为.

三、解答题（满分72分）

17.（6分）如图，在正方形4BCD中，点E、尸分别是这48、BC的中点，连接CE、DF.求

证：乙BEC=CCFD.

⑴请用圆规在BD上取点F,使得。F=B£（保留作图痕迹）

⑵连接结合（1）中画的。尸=BE,求证：四边形力ECF是菱形.

19.（6分）如图，在正方形48C。内部取一点E,连接AE、BE,使44EB=90。.将线段.4E绕

点4逆时针旋转90。得到线段4E',连接E'D,延长E'D交BE的延长线于点心试判断四边形

4E/E'的形状，并说明理由.

20.（8分）如图，E,F,M,N分别是正方形A8CD四条边上的点，且BE=CF=DM=AN.

⑴求证：四边形EFMN是正方形.

（2）若48=7,AE=3,求四边形ErMN的周长.

21.（8分）如图，在正方形4BCD中，E是边CD上一点,将△ADE沿AE翻折至△AD'E,延

长ED咬BC于点、F.

⑴求证：BF=»F；

（2）若力B=15,DE=10,则BF的长是.

22.（8分）已知正方形4BCD和等腰RtABEF,BE=EF,乙BEF=90°,按图放置，使点E在

8C上，取DF的中点G,连接EG、CG.

⑴请添加一条辅助线，构造一个和△/EG全等的三角形，并证明它们全等.

⑵探索EG、CG的数量关系和位置关系，并证明.

23.（8分）如图，四边形ABCD是正方形，G是边8C上任意一点，DE14G于点E,BFIIDE

且交4G于点尸.

（1）求证：AE=BF；

⑵连接。入CE,探究线段。尸与CE的关系并证明.

24.（10分）如图，在四边形A8C。中，AB=AD,Z.EAF=^BAD.

图1

⑴已知四边形ABCD是正方形.

①如图1,E,“分别是边8C,CD上的点,则线段BE,DF和Er之间的数最关系为

②如图2,点E,产分别在C8,OC的延长线匕则线段BE,。尸和EF方间有怎样的数品关

系?请写出你的猜想，并证明.

⑵如图3,/-ABC+^ADC=180°,E,尸分别是边BC,CD延长线上的点，②中的结论是否

仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间新的数量关系，并证明.

25.（10分）【问题呈现】已知正方形88CZ）中，点尸为对角线8。上一点，点E在8c的延长

线上，连接EF.

（1）如图1,连接。/，若/9=3CK=6,求CF+EF的最小隹［；

（2）如图2,在正方形ABCD中，点/为对角线BO上一点，点G在边力B上，FF1FG,若

AB=6,DF=2V2,求四边形FG8E的面积；

【拓展运用】

（3）如图3,将EF绕点尸逆时针旋转90。得到尸G,连接EG交。。于点〃，试探索BE、D尸满

足怎样的数量关系时，点，恰为GE的中点；

参考答案

A、由菱形A8CD可得ACJ.BD,那么iOAB+N4B0=90°,则A选项多余，不能判定菱形

力BCD是正方形，故不符合题意；

B、由菱形43co可得28a4=4C4则B选项多余，不能判定菱形力BCD是正方形，放不

符合题意；

C、=不能判定菱形A8CD是正方形,故不符合题青：

D、由菱形4BCD可得4c<L8。，而。4=。。，则=N004=45。，因为菱形对角线平

分一组对角，贝吐B4D=2N04D=9O。，故菱形4BCD是正方形，故符合题意；

故选：D.

2.D

【分析［本题主要考查了王方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一

条对角线平分正方形的一组对角，据此nJ■得答案.

【详解】解：团正方形力BCD的对角线4c与8D相交于点。，

^AC1BD,Z.DAC=/-BAC=45°,DO=CO,

^AD>AO,

回说法不正确的只有D选项，

故选：D.

3.B

【分析】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练

掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键.由正方形的性质得出404尸=^B=90。,

BC=AB=AD=6,由E是8C的中点，得出BE=3,由勾股定理得出4E=3通，证明△

三△BAE(ASA),即可得出答案.

【详解】解：团四边形4BC。是正方形，

团乙OAF==90°,BC=AB=AD=6,

^Z.AFD-^/.ADF=90°,

回后是8C的中点，

圆BE=3,

BAE=7AB2+BE?=3炳,

团OF_L4E,

^Z-AFD+Z.BAE=90°,

^/.ADF=Z.BAE,

0A4。/三ZiBAElASA),

WF=AE=3V5.

故选：B.

4.A

【分析】本题主要考杳了正方形的性质,全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理，由

正方形的性质可推出乙CDW的度数，再证明ABCM三△"M(SAS)得到4cBM的度数，进而

求出NBND的度数，再由三角形内角和定理可得答案.

【详解】解：(3四边形ABCD是正方形，

团BC=DC,LBCA=Z-DCA=45°,匕ADC=90°,AD||BC,

田乙CDM=/.ADC-zL40M=62°,Z.BND+乙CBN=180°；

又(3CM=CM,

0ABCMOCM(SAS),

田4CBM=乙CDM=62°,

⑦乙BND=118°,

0ZDM/V=180°-乙DNM-乙MDN=34°,

故选：A.

5.A

【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决

此题的关键是判断出△4DE是等腰三角形；根据正方形和等边三角形的性质，得到力。=DE,

判断出△4DE是等腰三角形，算出其底角的度数，进而利用乙瓦4c=ND4C—ND4E得到答

案即可.

【详解】解:13在正方形力BCD的外侧，作等边ADCE,

团AO=DE/ADC=90°,4coz=60",4OAC=450,

团NADE=/-ADC+^CDE=90°+60°=150°,

斯。=DE,

^Z.DAE=Z.DEA=18O°-1SO°

^EAC=^DAC-LDAE=45°-15°=30°,

故选：A.

6.B

【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明△40D三

△BMA(AAS)是关键.过点4作BMJ.X轴于点M,证明△4OD三△8M4(AAS),求出。。二

AM=4,得至M。2=22+42=20,由此即可得出正方形的面积.

【详解】解：过点8作8M_L%轴于点M,

回四边形/9C。是正方形，

EL4O=AB,4DAB=90°.

^Z.DAO+/-BAM=4BAM+乙ABM=90°,

I3Z.DAO=/.ABM,

^Z.AOD=Z.BMA,

团△力OD三A8M力(AAS),

WA=BM,AM=DO

•.•正方形力BCD的顶点坐标为4(-2,0),8(2,m),

WA=2,OM=2

团。。=AM=4

.••心=22+42=20,

•••即正方形力BCD的面积是20.

故选：B.

7.B

【分析［本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱

形和正方形的性质，连接.4C.在图1中，证△A8C是等边三角形，得出力8=8C=4C=

10cm.在图2中,由勾股定理求出4c即可.

【详解】解：如图1,图2中，连接4c.

图I图2

图1中，•.•四边形是菱形，

:.AB=BC,

v乙B=60。，

••.△4BC是等边三角形，

AB=BC=AC=10cm,

在图2中，•••四边形4BCD是正方形，

--.AB=BC,48=90。，

是等腰直角三角形，

AC=y/2AB=1072(cir.)；

故选：B.

8.D

【分析】由正方形的性质可得484G=^CAE=90°,再由=/BAG+^GAE,^CAG=

LCAE+Z.GAE,即可判断(1)；证明△BAEWAG4c(SAS)即可得到BE=CG,再根据角之

间的关系可得8EICG,即可判断(2)(3)；作GHtMN交MN于H,E1工MN交MN于1,

证明△BAM=△HG〃(AAS),△CAM=△A£7(AAS),△GHN=△£7N(AAS),得到三角形之

间的面积关系，即可判断(4).

【详解】解：•.•四边形力BFG和4CDE都是正方形，

：.AB=AG,AC=AE,/.BAG=Z-CAE=90°,

vZ.BAE=乙BAG+Z.GAE,Z.CAG=Z.CAE+Z.GAE,

/.BAE=£CAG,故(1)正确，符合题意；

在△871E和

AG=AB

Z-BAE=Z.CAG,

AE=AC

.-.△5/1F=A(7/1C(SAS),

BE=CG,^ABE=^AGC,故(2)正确，符合题意;

如图，令BE和4G交于点0,8E和CG交于点尸，

vLOBA4-LBOA=90°,LBOA=LGOE,

•••^AGC+LGOE=90°,

v乙GOP+LOGP+LGPO=180°,

乙GPO=90°,

：.BEA.CG,故(3)正确，符合题意；

作G”1MN交MN于“，£/1时/7交"/7于/,

•••四边形48尸G是正方形，

.'.AB=AG,LBAG=90c,

•••4BAM+Z,BAG+Z-GAH=180°,

:.Z.BAM+Z-GAH=90°,

vAM1BC,GH1MN,

:.Z.AMB=44MC=Z.GHA=90°,

:.Z-BAM+Z-ABM=90。，

:./.GAH=Z-ABM,

在ABAM和△AGH中，

(Z.ABM=匕GAH

△AMB=4GH4=90°,

(AB=AG

BAM以4GH(AAS),

SA?18AL^hGAHfGH=AM,

同理可得：△&4M三△4E/(AAS),

El=AM»SMCM=S^EAi，

•••GH=El,

•••乙GHN=乙EIN=90°,4GNH=乙ENI,

•••△GUN£7N(AAS),

S&GHN=S&EIN'

•­-、AGN=•GH,S*EN=・EI,

S&AGN=S^AEN'

•*,S&AGE=S4AGH-S4GHi+S&AE1+^AENI

=SAABA4+4cM

=S^ABC

1

=-BCxAM

乙

1

=-x12x3

乙

=18,故(4)正确，符合题意；

综上所述，正确的有(1)(2)(3)(4),共4个，

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握

正方形的性质以及三角形仝等的判定与性质，找准各个图形之间的面积关系，添加适*的辅

助线，是解此题的关犍.

9.9

【分析】本题考查了勾股定理和正方形面积的知识，解题的关键在于发现正方形的对角线与

边的关系：

本题根据对角线的长，可力勾股定理求出其边长，面积又等于边长x边长，通过作图可以使

题目更加清晰明了；

【详解】解：如下图所示：下图ABDC为对角线40=3鱼cm的正方形，

设正方形的边长为：xcm,

在RtZkAC。中，AC=CD=xcm,AD=3V2cm,

由勾股定理得：AC2+CD2=AD2,

即％2+/=（3或『，

解得，x=3cm；

团该正方形的面积为：3x3=9cm2.

故答案为：9：

10.AC1BD（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了王方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题的关键.根据矩形的

判定定理及正方形的判定定理即可解答.

【详解】解：由在图A8CD中，AC=BD,可知四边形4BCD是矩形，根据有一组邻边相等或

对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=8c或8c=或CD=DA

或=或AC1BO.

故答案为：ACLBD（答案不唯一）.

11.5

【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，根据旋转的性质可得出

S^ADE=S"BF，根据等式的性质可得出S四边形AFCE=S正方形A8C。，根据正方形的面积公式可

求出边长力。二12,然后在Rta/IDE中，根据勾股定理求解即可.

【详解】解：团AADE绕点彳顺时针旋转90。到△力8凡

回SAADE=SAABF，

回S0DE+S四边形.BCE=S^ABF+S四边形48CE'即$四边形.修=$正方形

又四边形力EC尸的面积为144,

番正方形48CD=144，

回边长4D=7144=12,

又力E=13,4。=90°,

0DF=V/1F2-AD2=5,

故答案为：5.

12.75。/75度

【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内

角和定理.，熟练掌握相关性质定理是解题的关键.

根据正方形的性质和等边三角形的性质，易证得RtZi/WFwRt44BE(HL),进而得到

/-BAE=LDAF,利用/AE8=180°-LB-z/ME求解即可

【详解】解：•.・四边形ABC。是正方形，

:.AD=43、乙D=乙B=Z.DAB=90°,

•••△4E/是等边三角形，

AE=AF.Z.FAE=60°,

^BAE+乙DAF=4DAB-Z.FAE=90°-60°=30°,

在RtaAD/和RtaABE中，

(AD=AB

lAF=AE'

Rt△ADF三心△ABE(HL),

•••^BAE=匕DAF=1x30°=15°,

•••LAEB=180°-Z-B-LBAE=180°—90°-15°=75°.

13.4或

【分析】连接PC,由正方形可得上BCD=90。，BD=80再可得四边形PECF是矩形，则

”的最小值即为PC的最小值，当PCLBD时,PC最短，利用等面积法求出0C即可.

【详解】解：如图，连接PC,

Jr---------------71。

回正方形4BCC的边长为8.

0ZBCD=90°,BD=V5C2+CD2=V824-82=8VL

0PE1BC,PF1CD,

团四边形PECF是矩形,

HPC=EF,

I3EF的最小值即为PC的最小值,

回尸是对角线80上一点,

团当PC18。时，PC最短，此时S“CD

回PC=*=屋=4&，

BD8\I2

团EF的最小值为4a.

14.MN2=BM2+ND2

【分析1本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理

的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键.

将4A8M逆时针旋转90。得仆ADM'.在4NM'D中依据勾股定理可证明NM"=ND2+DM巴

接下来证明aANM三得到MN=NM',再由8M=DM',然后代入NM'?=ND2+

DMA即可解答.

【详解】解：如图：将逆时针旋转90。得△40ML

团四边形4BC。为正方形，

^ABD=Z.ADB=45°,乙BAD=90°,

国乙NDM'=90°,

©NM'2=ND2+DM?

^LBAD=乙BAM+Z-MAD=90°,

团ZEAM'=LDAM'+/.MAD=LBAM+Z-MAD=90°,

^LEAF=45°,

^EAF=乙EAM'=45°,

在△力MN和△力NAT中，

(AM=AM'

ZM力N="TAN，

(AN=AN

0A力NMwaANM'(SAS),

团MN=NM'.

团8M=OM',

团M2=ND2+BM2.

故答案为：MN2=ND?+BM2.

15.9

【分析】本题考杳了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出。3=

OC,Z-OBA=AOCB=45°,^BOC=£.EOF=90°,推出乙E08=zT。尸，证出△OBM三4

OCN可得答案.

【详解】解：团四边形力BCD和四边形OEGF都是正方形，

WB=OC,Z,OBA=Z.OCB=45°,^BOC=LEOF=90°,

⑦匕EOB=Z.COF,

在AOBM与AOGV中，

(Z.OBM=乙OCN

OB=OC,

(Z.BOM=Z.NOC

0AOBM^AOC/V(ASA),

团SAOBM=S^OCN»

团S[+52=Si+S^0BM=S^0AB=[S正方形aucD=-x10x10=25,

0S2=25—16=9,

故答案为：9.

16.15

【分析】先利用轴对称的性质说明=LABC=LE'BG,再利用矩形的性质得出

/.ABC=Z-C=90°,GD=AF,DC=AB=9,从而可得HF+GE=GO+GE,再利用勾股

定理求得口D,再说明当G、0、。在同一直线上时，GO+GE有最小值，从而可得力尸+GE的

最小值为15.

【详解】解：作点E关于08的对称点E',连接E'D,GD,

E'BE

则E8=8E',乙ABC=LE'BG,

团四边形A8G0是矩形，AB=9,

Z.ABC=zC=90°,GD=AF,DC=AB=9,

AF+GE=GD+GE,LGBE'=90°,

E'在C8的延长线上，

•••乙C=90°,

E'D=yjCD2+CE'2,

vBC=8,E为BC中点、,

二BE=-BC=4,

2

・•.BE'=EB=4,

:.E'D=>JCD2+CE,2

=Q+(8c+BE，尸

=J92%(8+4)2

=15。

当G、？、D在同一直线上时，GD+GE有最小值,即力广+GE的最小值为15,

故答案为：15.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，矩形的性质，解题关键

是掌握上述知以点并能熟练运用求解.

17.见解析

【分析】本题考查正方形为性质、全等三角形的判定和性质，要证明48£。二乙。产。，只要

证明ABEC三△(：「£)即可.

【详解】证明：•••四边形/BCD是正方形，

AB=BC=CD,乙ABC=乙BCD,

•••点£、厂分别是边AB、BC的中点,

AE=BE=BF=CF.

在△BEC和△CT。中，

BE=CF,乙EBC=LFCD,BC=CD,

BECCFD(SAS),

•••乙BEC=乙CFD.

18.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查作线段等于已知线段的尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定与性

质，菱形的判定，通过证明三角形全等得到边相等是解题的关键.

(1)以点。为圆心，8E的长为半径画弧，交80于点E则点/为所求；

(2)根据正方形的性质得到45=BC=CD=AD,Z.ABD=Z.CBD=Z.ADB=/.CDB=45°,

即可.证明△ABE三△C8E三Zk/IDF三△CORSAS),得至必E=CE=力尸二C/，根据菱形的

判定即可证明.

【详解】(1)解：如图，点尸为所求.

(2)证明：如图，连接AF,CF,

因四边形力BCD是正方形，8。是对角线,

圆A8=BC=CD=AD,Z.ABC=/.ADC=90°,

乙ABD=乙CBD=底ABC=45°,乙ADB=乙CDB=-LADC=45°

22

(3ZA8D=Z.CBD=Z.ADB=乙CDB

团BE=DF,

0AABE=△CBEADFCD尸(SAS),

0z4E=CE=AF=CF,

团四边形AECr是菱形.

19.四边形是正方形，理由见解析.

【分析】本题考查正方形的判定与旋转的性质，结合全等三角形的判定与性质是解题关键.通

过旋转得到线段与角的等量关系，利用正方形的性质证明三角形全等，进而推出四边形的角

为直角且邻边相等，以此判定四边形形状.

【详解】解:判断:四边形4EFE'是正方形.

理由：将线段AE绕点4逆时针旋转90。得到线段AE',

AE=AE\Z-EAEr=90°,

在正方形ABC。中，AB=AD,Z.BAD=90°,

:Z.BAD-Z.DAE=Z.EAE'-Z-DAEf

:.Z-BAE=乙DAE',

在4B4E和4n4E'中，

AE=AE'

Z.BAE=/.DAE'

AB=AD

••.△BAE=ADAEf(SAS),

/.BEA=/.DE'A,

vZ.AEB=90°,

•••^DErA=^AEB=90°,

乙4EF=180°-Z-AEB=90°,

:.LAEF=LEAE'=乙FE'A=90°,

••・四边形AEFE'是矩形，

-AE=AE\

••・四边形/WE'是正方形.

20.⑴见解析

(2)20

【分析】(1)先利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合已知线段相等，证明四个三角

形全等，得出四边形ErMN的四边相等，再通过角的关系证明其有一个直角，从而判定为正

方形；

(2)根据和AE的长度，算出AN的长度，用勾股定理求出四边形EFMN的边长，再订算

其周长.

【详解】(1)(1)证明：•••四边形4BCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,Z.A=z.8=Z.C=Z.D=90°.

•:AN=DM=CF=BE,

--AE=BF=CM=DN,

・••△ANEDMNCFM8ZJ'F(SAS),

NE=MN=FM=EF,/-ENA=乙NMD,

，四边形"MN是菱形.

•••乙NMD+乙DNM=90°,

Z.ENA+乙DNM=90°,

乙ENM=90°,

四边形EFMN是正方形.

(2)解：•••4B=7,AE=3,

AN=BE=AB-AE=7-3=4,

:.EN=>/AN2+AE2=VP+32=5.

•.•四边形"MN是正方形，

四边形EFMN的周长=5x4=20.

【点睛】本题考杳了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握正方形的i力

与角的性质、全等三角形的判定方法，及勾股定理的应用是解题的关键.

21.⑴见解析

(2)3

【分析】(1)连接力凡结合正方形的性质和折叠的性质证明Rt^AB广三立△4)7,即可

解题：

(2)设。尸=%,贝结合勾股定理计算即可.

【详解】(1)证明：连接4F,如图，

团四边形48CD是正方形，

团48=AD=BC=CD,LB=Z.D=90°,

由折叠的性质可知，AD=AD1,Z.ADfE=Z.D=90°,

^LAD'F=180°-90°=90°=乙B,

^AB=AD>

^AD'=AB,

在Rt^AB尸和RtAAD午中,

(AB=AD'

lAF=AF

0Rt△ABF三Rt△4///(HL),

0BF=D'Fi

(2)解：^AB=15,DE=10,

0CD=AB=15,D,E=10,

HCE=CD-DF=15-10=5,

设D'F=x,则=

0CF=CB-BF=15-x,EF=ED1+D'F=10+x,

在RtAECF中，EC2+CF2=EF2,

052+(15-x)2=(lO+x)2,

解得％=3,

团B尸=3.

22.(1)图见解析，ADHGZAFEG,证明见解析

(2)EG=CG,EG1CG,证明见解析

【分析】(1)通过添加辅助线(延长EG交CD于点H),构造出aDHG,利用平行线性质(EFICD)

得到角相等，结合中点定义和对顶角定理，证明△CHGw^FEG；

(2)利用全等三角形的性质转移线段长度(EF=OH,EG=HG),结合正方形和等腰直角

三角形的性质，推导出CH=CE,从而证明△CHE是等腰直角三角形.最后应用斜边中线定

理，得出EG=CGH.EG1CG.

【详解】(1)解：延长EG交CD于点H,如图，

贝三△rEG.

证明：^Z-BEF=90°,

国EF1BC,

而CD1BC,

团EFIICO,

0Z.1=42,

团点G为OF的中点，

MG=FG,

在ADHG和AFEG中，

(Z2=Z1

IDG=FG，

(Z4=Z3

(?]△DHG三△FEGG4s4)；

(2)EG=CG,EG1CG.

MF明：0ADHG三"EG,

0FF=DH,EG=HG,

回BE=EF.

ME=DH,

团CB=CD,

®CD-DH=CB-BE,艮]CH=CE,

0ACHE为等腰直角三角形，

0EG=GH,

团CG1EH,CG=EG=GH,

即EG=CG,EG1CG.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS),

全等三角形综合问题，三线合一，斜边的中线等于斜边的一半，根据正方形的性质证明等知

识点，解题关键是掌握上述知汉点并能运用来求解.

23.⑴见解析；

(2)。尸二。5且。/1。5,证明见解析.

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质熟记性质并确定出三角形全等

的条件是解题的关键.

(1)根据垂直的定义和平行线的性质求H"AEZ)=4BR4=90。，根据正方形的性质可得

AB=AD,乙BAD=乙ADC=90"，再利用同角的余角相等求出=^ADE,然后利用“角

角边”证明△4尸8和4。区4全等，根据全等三角形对应边相等可得力E=BF；

(2)根据同角的余角相等求;」"凡4D=乙EDC,根据全等三角形对应边相等可得4r=。凡

根据正方形的性质可得皿=C。，然后利用“边角边〃证明△凡4。和△EDC全等，根据全等三

角形对应边相等可得OF=CE,全等三角形对应角相等可得乙IDF=4CE,再求出乙。CF+

乙CDF=90。，然后根据垂直的定义证明即可.

【详解】(()证明：•••DE14G,BF||DEt

:.BF1AG.

:.^AED=LBFA=90°.

团四边形力BCO是正方形，

・•・AB=AD,乙BAD=/-ADC=90°.

Z.BAF+Z.EAD=90°.

vZ.EAD+乙ADE=90。，

:.Z.BAF=Z.ADE.

•••△AFB三△DEA(AAS).

AE=BF.

(2)DF=CE且DF1CE.

证明：vLFAD+LADE=90°,LEDC+Z.ADE=LADC=90°,

:./.FAD=Z.EDC.

•••△AFB=△DEA,

:.AF=DE.

又团四边形4BCD是正方形，

•••AD=CD.

FAD三△EOC(SAS).

；•DF=CE,2ADF=^DCE.

vZ.ADF+乙CDF=Z.ADC=90°,

:.(DCE+乙CDF=90°.

•••DF1CE.

综上所述，

24.(1)①EF=BE+DF；@EF=DF-BE,理由见解析

(2)不成立，它们的数量关系为上7=-OF,埋由见解析

【分析】⑴①延长CB至G点，使8G=DF,连接4G.先根据SAS证明△4BG三△4D/

，则可得AG=AF,Z.GAB=/.FAD.由N8/1D=90°,Z.EAF=可得NBAE+Z.FAD=

45°,即NG4E=4瓦4F.再根据SAS证明AGAE三ZiFAE,则可得GE=EG进而可得=

BE+DF.

②在CD上截取OG=8E,连接AG.先根据SAS证明△力DG三则可得=4O4G,

AE=AG,进而可得乙GA/=L.EAF.再根据SAS证明△EAF=△GAF,则可得EF=FG=

DF-DG=DF-BE.

(2)延长CO至点G,使得OG=BE,连接4G.先根据SAS证明△40G三△4BE,则可得

Z.BAE=Z.DAG,AE=AG,进而可得々E/1G=48力0.由NE4尸=348/10可得NE4尸二

|zF/IG,进而可得NG/F=NE/1F.根据SAS证明△区4F三△G/IF,则可得EF=FG=0G—

DF=BE-DF.由此可得②中结论不成立.

【详解】(1)①如图，延长C8至G点，使BG=DF,连接力G.

团四边形ABCD是正方形，

^£ABD=Z.D=90°,LBAD=90°,

回々ABC=Z.D,

又048=AD,BG=DF,

团△/BG三△/I。尸(SAS),

EL4G=AF,Z.GAB=Z.FAD,

BZ.EAF=-Z.BAD=-x90°=45°,

22

^BAE+Z-FAD=90°-LEAF=45°,

^Z-GAE=/-EAF,

AG=AF

GAE^\LrAE中/.GAE=Z.EAF,

AE=AE

0AGAEFi4/i'(SAS),

团GE=EF,

又回GE=BE+GB=BE+DF,

^EF=BE+DF.

故答案为：EF=BE+DF.

(2)EF=DF-BE.

证明：如图1,在CD上截取0G=8E,连接力G.

由题意，得44BC=4/WC=90。，

[^Z-ADG=Z-ABE=90°.

0/1D=AB,DG=BE,

^ADG三△ABE(SAS),

团，B4E=LDAG,AE=AG.

^Z-EAF=工乙BAD,

2

^LBAE+LBAF=Z.DAG+Z.BAF=-/.BAD,

2

^FAG=-2Z-BAD,

^Z-GAF=Z.EAF.

^AF=AF,AE=AG,

0AEAF=△GAE(SAS),

0EF=FG=DF-DG=DF-BE.

（2）解：②中结论不成立，它们的数量关系为£T=BE-0凡

证明：如图2,延长CD至点G,使得。G=BE,连接4G.

图2

B/.ABC+Z-ADC=180°,Z-ADG+/-ADC=180°,

回/ADG=Z.ABE.

又0/18=ADfDG=BE,

回△48E三△AOG(SAS),

团匕O4G=Z.BAE,AE=AG.

0ZD/IG+Z.EAD=Z.BAE+4£710,

即NE/1G=乙BAD,

^Z.EAF=-2/.BAD,

^Z.EAF=-2Z-EAG,

^Z-GAF=/-EAF.

04F=AF,AE=AG,

0A区4/三△G4"(SAS),

团EF=FG=DG-DF=BE-DF.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质.正确的作出辅助线是

解题的关键.

25.(1)10；(2)16；(3)BE=0DF

【分析】(1)延长84至点。，使人0二CE,连接CE：此时CF+E尸最小，根据正方形的性

质可得BE'=BE=BC+CE=8,最后在Rt△E'BC中运用勾股定理即可求