2026年高考数学一轮复习（核心题型讲义+专项突破练习）不等关系与不等式（学生版+解析）

第03讲不等关系与不等式

Q题型梳理

易错分析题型方法

易错点一比较大小时忽视。这个特殊值题型一比较数或式的大小

题型二利用不等式的性质求取值范围

Q知识清单

i.两个实数比较大小的方法

a—b,

作差法，。一》=00。__4（。，bER）

4―b<0<=>ab.

2.等式的性质

性质I对称性：如果。=4那么；

性质2传递性：如果。=A，b=c,那么；

性质3可加（减）性：如果〃=力，那么”±c=/?±c；

性质4可乘性：如果a=b,那么知=如

性质5可除性：如果c,WO,那么.

3.不等式的性质

性质1对称性：a>b0；

性质2传递性：a>b,b>c=:

性质3可加性：Qb0a+c>〃+c；

性质4可乘性：〃>力，c>0=>：a>b,c<0=>

性质5同向可加性：a>b,c>d=>；

性质6同向同正可乘性：〃>〃>（）,c>d>00

性质7同正可乘方性：〃22）.

常用结论

1.若C?Z»O,且〃㈡!4.

廿,ccbb-\-m

2.若/?/>0=>-<-;~；

aa-rm

...,bb+m

才Tb>a>0,m>0=>~>~~.

aa十〃？

J易错分析

【易错点一】比较大小时忽视（）这个特殊值

【例1】（2024•辽宁・模拟预测）若〃>/，，则下列说法正确的是（）

225s

A.a>bB.lg(«-/?)>()C.a>bD.网>阴

【举一反三】【变式1】（2024•北京丰台•二模）若且”>〃，则（）

1]

A.a2+\<b2+\B.u-b>ab~

、a+bi

C.a2>ab>b2D.a>------>b

2

【变式2】（多选）（2025・河南•三模）已知log2a>bg2〃，c为实数，则下列不等式正确的是（）

A.谪B.ac2>be2C.+->2D."―sin"—sin"

【变式3］（多选）（2025•山东临沂・二模）已知则下列不等式正确的是（）

A.-----<------B.ab2>cb~C.a+b>cD.+c2>b'

a-ca-b

Q题型方法

【题型一】比较数或式的大小

222

【例1】（2025•云南昆明•一模）已知x>0,x-2xy+z=（）tx<yz,则（）

A.y>z>xB.X>y>zc.D.z>x>y

解题技巧

比较大小的常用方法

（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

⑵作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

（3）构造函数，利用函数的单调性比较大小.

【举一反三】【变式1】（2024.河南驻马店•二模）已知。>/?><:>（）,则下列说法一定正确的是（~~F

A.a>b+cB.a2<be

C.ac>b'D.ab+be>b2+ac

【变式2】（2020•山东•模拟预测）已知为实数，则2/+!〃+]________而+加（填“>”、“<"、""或

4

【变式3】（2023•全国•模拟预测）（I）设m为正实数，求证：，二之如心.

a+b4

、几,蛇—、Ta'b'c3、ab+be+ac

（2）设处b,c为正实数，求证：--+-——+----2------------------.

a+bb+cc+a2

【题型二】利用不等式的性质求取值范围

【例2】（2025•河北沧州•模拟预测）已知2<aW4,…W。,则2a-〃的取值范围（）

A.[4,9）B.（4,9）C,（5,8]D.（5,8）

解题技巧

求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.

【举一反三】【变式1】（2023・江苏南通模拟预测）已知。-〃£[05,。+〃£[2,4],则44-%的取值范围是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【变式2】（2025•四川自贡•二模）已知实数a,b,c满足Y+ZZ+HG,a+〃_c=l,则/+加—/的取值范围是

【变式3】（2023•浙江•模拟预测）已知VA4c中，内角ARC所对的边分别为〃也c,且满足.

sinn+sinCb

（1）若C=],求8；

（2）求中的取值范围.

b

u好题必刷

一、单选题

1.（2025♦山西临汾•二模）若3W〃K5,-2K〃K1,则2。一。的范围是（）

A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]

2.（2024•北京•三模）已知且工>丁，则（）

A.---<0B.tanx-tany>0

xy

C.（m<0D.ln|x|-ln|y|>0

3.（2025・上海宝山•二模）”“>力”的一个必要非充分条件是（）

A.ln（tz-/?）>0B.T>2hC.（g）<1D.ay>by

4.（2023•山东潍坊•模拟预测）若正数。/满足M=a+8+3,则a+力的取值范围是（）

A.[6,+oo)B.[9,+00)C.(0,6]D.(0,9)

173

5.（2024.湖北黄冈・二模）已知“"G。'分别满足下列关系：6=15力=嘎”电叫小丁行/二匕仁，则的大

话162

小关系为（）

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<h<dD.a<d<b<c

二、多选题

6.（2023・全国•模拟预测）下列说法正确的有（）

A.若Ovavl,贝ljlna+—!—<—2B.若lga<©,贝

Ina

C.若4<〃<C,4+〃+0=(),则(c-“川>0D.若2“<2〃(a力eN),则a—AV—l

7.（2025•广东茂名•一模）下列命题正确的是（）

A.若“,〃，则

B.若a<。v0,Ki]lr<ab<a~

一*，八bb+mn-

C.若a>b>0,—>------,PMm<0

aa+m

D.若+〃一〃<2,贝Ij3<3a+4vg

8.（2025・河北廊坊•模拟预测）若lna>lnAceR,则下列说法正确的是（）

Ad〃b+c

abaa+c

C.a>b3D.a\nci>b\nb

9.（2024.广西.二模）已知实数a,4。满足且〃+力+。-0,则下列结论中正确的是（）

A.a+b>()B.cic>be

q

C.—D.(a-c)(b-c)<-c2

a-bh-c

三、填空题

10.（2024.全国•模拟预测）已知实数工，y满足-ivxvyvl,则x+y的取值范围是

11.（2024•吉林•模拟预测）请写出一个鬲函数/a）满足以下条件：①定义域为似依）；②/"）为增函数；③对任意

的王，王€[0,+8）,都有丝吟B1,则/0）=.

12.（2024・浙江•模拟预测）对X，），定义一种新运算7,规定：7（乂回=等生（其中。力均为非零常数），这里等式

2x+y

右边是通常的四则运算，例如：7（0」）="黑：：1,已知丁（1,-[）=-2,7（4,2）=1,若关于小的不等式组

（T（2W.5-4/?7）＜4

L2。/0恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是.

13.（2024.北京西城.二模）在数列｛%｝中，/=?,1=?：：5=2,3,•）.给出下列三个结论：

3-4-1+7

①存在正整数N,当〃2N时，/＞2；

②存在正整数N,当，此N时，«„＞；

③存在正整数N,当〃27时＞小＞%；"，

其中所有正确结论的序号是.

四、解答题

14.（2024•重庆•模）已知函数〃K）-川nx（＞l＞O）,g（K）-二~^（。＞0,入＞0）,曲线＞=〃x）与＞=g（x）有公共点，.且

X

在该点处的切线相同.

⑴用丸表示。，并求。的最小值；

（2）求证：当x＞0时，/（x）Ng（x）；

⑶已知=若方程〃（力=加有两个不等实根为,当，证明：|为一引＜〃7+1.

15.(2025•河北•模拟预测)已知函数=。)山+(〃-1)工

(1)当。〉0时，求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数〃x)存在大于1的极值点,证明：函数/*)的极小值小于『+3〃.

16.(2024・四川乐山.三模)设不等式0<k一2卜门+1|<2的解集为

(l)i止明：|3。+5目<4；

⑵比较2,+可与|1+々川的大小.

17.(2024・四川德阳•三模)已知a、b、c、d均为正数，且ad=bc.

(1)证明:若。+d，则1〃一〃1>1〃-cl;

(2)若寿.正高=曲/+病彳，求实数/的取值范围.

18.(2024.河南信阳•模拟预测)已知函数〃力=仙吠，//(x)=V^(x-l)(x>0).

⑴试比较/(“与的大小；

(2)若/(力=。-1)(5-0+1)恒成立,求。的取值范围.

19.(2025・云南•一模)定义：若函数y=/(x)对于定义域内的任意不々(工尸石)，都有

2

则称函数y=/(x)为“下凸函数”；反之，若―；"4)<《一£),则称函数)=/'(力为"上凸函数”.已知函数

f(x)=ax2+bx+c(〃=0).

⑴当。=1,h=2,c=3时，判断函数/(力是"上凸函数''还是"下凸函数”，并说明理由.

(2)若函数/(x)是“下凸函数”，求。的取值范围.

⑶若函数“X)在区间［，儿，”上是“下凸函数”，/(“在区间［，〃,〃］上不单调，且/(x)在区间［科〃1上的最大值为M,

最小值为町)，求证：M-/«0<a(n-nif.

第03讲不等关系与不等式

B题型梳理

易错分析题型方法

易错点一比较大小时忽视。这个特殊值题型一比较数或式的大小

题型二利用不等式的性质求取值范围

Q知识清单

1.两个实数比较大小的方法

a-b>0<^a>b,

作差法""一人=（）今。=力，（a,

g—b<0㈡。<b.

2.等式的性质

性质1对称性：如果a=b,那么b=a；

性质2传递性：如果。=人，b=c,那么a=c；

性质3可加（减）性：如果a=b,那么&c=Hc；

性质4可乘性：如果4=方，那么acic；

性质5可除性：如果。=6,。/0,那么?=£

3.不等式的性质

性质1对称性：a>b—b<a；

性质2传递性：a>b,b>c=>a>a

性质3可加性：a>b^a+c>b+c；

性质4可乘性：a>b,c>O^ac>bcia>b,c<O=>tzc<Z?c；

性质5同向可加性：〃>〃，c>d^a+c>b+d；

性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>Onac>bd；

性质7同正可乘方性：a>b>O=>a,>>b,,（nEN,n^2）.

【常用结论】

1.若。力>0,且

...bb+m

2.若心0=一<~;—；

aa-rm

bb+〃i

右b>a>0,心0"一-.

aa-rtn

u易错分析

【易错点一】比较大小时忽视0这个特殊值

【例1】（2024.辽宁・模拟预测）若“>/，，则下列说法正确的是（）

2255

A.a>bB.lg（f；-Z?）>0C.a>bD.卜［>忖］

【答案】C

【分析】利用特殊值判断A、B、D,根据基函数的性质判断C.

【详解】对于A：当〃=0、b=-\,满足但是/v//2,故A错误；

对于B：当。=0、b=-\,满足”>〃，但是电（。一份=怆1=0,故B错误：

对于C：因为），=/在定义域R上单调递增，若a>b,则故C正确

对于D：当々=1、b=-i,满足但是M=M，故D错误.

故选：C

【举一反三】【变式1】（2024•北京丰台•二模）若©"eR,且心〃，则（)

A.J,<,B.u-b>ab2

+1/?'+1

C.a2>ab>b2D.

2

【答案】D

【分析】举反例即可求解ABC,根据不等式的性质即可求解D.

【详解】由于取。=1,/?=-1,一二=产二二?，a2b=ab2=\,无法得到一匚<77］，a2b>ab2,故AB错误，

cr+1b-+\2a+1+1

取a=0,b=-2,则万=0,加=0,从=4,无法得到">面>〃，c错误,

由于a>6,则加>。+a>2/?,所以a>———>b,

2

故选：D

【变式2］（多选）（2025・河南•三模）已知log2a>bg*，c为实数，则下列不等式正确的是（）

A.B.ac2>be2C.^+―>2D."―sin"—sin"

【答案】AC

【分析】由题意可得利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可.

【详解】由题意可得人>0,

A项:由产对单调递增，知故选项A正确；

B项:c=0时选项B不正确；

C项:由0。>0,则/合2后=2,当且仅当。时等号成立，•・・〃>〃>（）,・••等号不成立，故选项C正确；

D项:构迨函数y=x-sinx,d=l-cosx?0，,N=x-sinx单调递增，又a>b>0,得a-sina>Z?—sinb,故选项D

不正确.

故选:AC.

【变式3］（多选）（2025.山东临沂.二模）已知。则下列不等式正确的是（）

A.------<-------B.ab2>cb1C.a+b>cD.a1+c2>b~

a-ca-b

【答案】AD

【分析】对于A,可以用作差法判断，对于BC,举反例判断即可，对于D,分。>0,力=0/<0三种情况讨论即可判断.

11i(a-b)-(a-c)c-b

【详解】对于A,--------------=7--77,因为。>6>C,

a-ca-b(a-c)(a-b)\a-c)\a-b)

c-b八I|

所以即7-------------7T<0,所以----<-故A正确；

[a-c)[a-t7)a-ca-b

对于B,取a>〃=0>c,止匕时a/=d/=o，故B错误；

对于C,取〃=一1>方=-2>c=-3,则a+〃=c=-3,故C错误，

对于D,若a>b=O>c,则a?+/>〃一。显然成立，

若a>b>0>c,则/+<?>片>//成立，

若a>0>b>c,贝ijc『+c?>c?成立，

综上所述，只要就一定有/+/>〃，故D正确.

故选：AD.

3题型方法

【题型一】比较数或式的大小

222

【例1】(2025•云南昆明•一模)已知x>0,x-2xy+z=0tx<yz,则()

A.y>z>xB.X>y>zc.v>zD.z>x>y

【答案】A

【分析】根据题意，由原式可得y=立《，然后由作差法分别比较y与X,)'与z的大小关系，即可得到结果.

2x

【详解】由x>0,且V-Zxy+z?=0可得2.。=/+z?,即),=土上二，

x2+z2x2+z2-2x2z2-x2

则y—x=-----------x=-----------------=---------

2x2x2x

又Ve即乙化简可得2人“八。,

即（X-Z）（2/+AZ+Z2）<0,其中2/+XZ+Z2=26+（J+（Z2>0,

所以x-z<0,BP0<x<z,所以fvz一

22

所以y-I=_L二A_>0,所以）>X,

2x

又y一±!巨_7='+32m=在二1〉0,所以y>z,

2xlxlx

综上所述，y>z〉x.

故选：A

解题技巧

比较大小的常用方法

（1）作差法：①作差；②变形；③定号：④得出结论.

⑵作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

⑶构造函数，利用函数的单调性比较大小.

【举一反三】T变式1］（2024.河南驻马店•二模）己知则下列说法一定正确的是（）

A.a>b+cB.a2<be

C.ac>b2D.ab+bc>b2+ac

【答案】D

【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利川不等式的性质来比较大小.

【详解】当。=3,b=2,c=l时，a=b+c,且acv〃，故A,C项错误；

因为a>c>0,所以a'A,故B项错误;

ab+be-(/?2+ac)=(/?-c)(a-b)>0,故D项正确.

故选：D.

【变式2］（2020•山东•模拟预测）已知为实数，则2a2+［尸+1_______而+加（填“>，，、“<”、“之"或”，，）.

4

【答案】>

【分析】作差法解决即可.

【详解】由题知，

+，/+1)一(4b+2〃)=

-ab+—b2+a2-2a+\=\a--bI+(4-1)-20,

42

当且仅当。=1,〃=2时，取等号.

故答案为:>.

⑴设为正实数‘求证：气之号

【变式3】（2023・全国•模拟预测）

cfb'c3、ab+be+ac

（2）设。,b,。为正实数，求证:——+---+---->----------

a+bb+cc+a2

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】(1)（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证羽.

因为,号=需"

【详解】(1)a,人为正实数,

所以铝巳>0,所以工N包心，当且仅当。=〃时，取等号.

4（。+〃）a+b4

(2)由(1),得二"

a+b4

i=i工田阳"3h2-hed3c2-ac

同理，得^；——>--------,------>---------

b+c4c+a4

3a2-ab+3b2-bc+3c2-ac

所以-7+——+----->

b+cc+a~7~

3(«'+b2+c2)-ab-be-ac>^(ab+be-ac)-(ab+bc+ac)_ab+bc+ac,

-4一4-2-

当且仅当。=〃=c时，取等号.

【题型二】利用不等式的性质求取值范围

【例2】(2025•河北沧州•模拟预测)已知2<aW4,—iMo,则%-〃的取值范围()

A.[4,9)B.(4,9)C.(5,8]D.(5,8)

【答案】B

【分析】由不等式的同向可加性得到结果.

【详解】因为2<aW4,得4<2aK8,O<-Z><1,所以4〈加一Z?v9.

故选:B.

解题技巧

求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.

【举一反三】1变式I】(2023•江苏南通模拟预测)已知a-〃G[05M+〃e[2,4],则4a-%的取值范围是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【答案】B

【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.

(详解]i^,4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,

tn-n=4tn=3

所以」解得｛i，

m-n=21〃=I

所以4a-2Z?=3(a-〃)+g+/?),

又a-/e[0,l]M+bw[2,4],

所以3(。-3目0,3],4.—2/242,7],故A,C,D错误.

故选：B.

【变式2](2025・四川自贡•二模)己知实数a,b,c^^a2+b2+c2=\,a+〃—c=l,则步+6—J的取值范围是

【答案】

【分析】根据/+尸+c、l,a+b-c=\,得到他=c，c,利用(a-人)飞0得到c的取值范围，将表示成

关于c的三次函数，利用导数求最值即可求得取值范围.

【详解】因为a+〃-c=l,所以c=a+b-l,因为/+//+/=],所以《2=।一/一〃2,

所以(a+0-lf=1-〃-〃，整理得=a+b-(/+/)=3+])一(]一'2)=。2+。,

因为(。叫丁/+从一2"=1一/一2(/+。)=-3。2-2。+120,

解得-1,

a"+Z>3-Cy=(.+〃)(/_〃人+〃2)_。3=(c+l)(]-/—/_0)_03=_攵3—攵2+],

设/(c)=-3c3-3/+l,ce-1,1,则/'(c)=-9/-6c,

/、9

令r(c)=o得c=o或。=-§,

当ce-1,一：)时，r(c)<0,/(c)单调递减，

当ce(-|,0)时，/'(c)>0,〃c)单调递增，

当ce(oj时，r(c)<。，/(c)单调递减，

因为/(T)=_3X(_1)3_3X(T)2+]=1,=-3xf--1+1=-,

\3/\3/9

/(0)“《J-3x(J-3x(J+1=|.

所以"C)a=l，

所以，+〃-廿的取值范围是

故答案为:

【变式3】（2。23・浙江•模拟预测）已知VA“中，内角AB,C所对的边分别为。也，，且满足舄*式厂

(1)若C=■^,求A；

（2）求审的取值范围.

b

【答案】（14

0

⑵。，5）

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及余弦定理求得。=屈，再由直角三角形求得答案.

（2）由（1）得到，=从+必，求得竺£=£+±-1,再求出搭的范围，借助不等式性质求出范围.

bb~bb

【详解】（1）在V4BC中，由.旅..一=F及正弦定理,得二=?,整理得/="+从，

sin/3+sinCbb+cb

而。二^,由余弦定理得1=/+2"cosg,即/="+加一必，

联立解得。=»,c=®,因此从+(?=/,A=[,所以3=9

26

2_人2

(2)由(1)知。2=/『+必，则。=「一,且c>/?,

b

由/?+(?>“=^——,得bvcv2匕,g|J1<—<2,

bb

c2-b2ccc...u、

因此"£="=+

bbb

所以牛的取值范围是（L5）.

b

u好题必刷

一、单选题

1.（2025•山西临汾・二模）若则2〃-人的范围是（）

A.[8,9]B,[4,8]C.[5,8]D.[5,12]

【答案】D

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【详解】由34。工5,-2«。41可得6«为410,—14一匕£2,

故5aW12,

故选：D

2.（2024•北京•三模）已知x,yeR,且工>>,则（）

A.----<0B.tanx-tany>0

C.（!]_gjv0D.ln|x|-ln|y|>0

【答案】C

【分析]根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求

解.

11V-r

【详解】对于A中，——=2—,其中y-x<0,但个的符号不确定，所以A不正确；

%），冷’

对于B中，例如工=兀,>'=2,此时tanH一tany=0-l=-1<（）,所以B不正确；

4

对于C中，由函数/（x）=QJ在R上为单调递减函数，

因为x>y,所以可得EJ-QJv。'所以C正确；

2

对于D中，例如x=2,y=-3,此时ln|x|-ln|），|=ln2Tn3=ln§<0,所以D不正确.

故选：C.

3.（2025•上海宝山•二模）“，＞/，”的一个必要非充分条件是（）

A.ln（«-Z?）＞0B.2"＞2，C.（g）GD./“

【答案】C

【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即

可求解；对于D,利用不等式的性，即可求解.

【详解】对于选项A,由得至即a＞〃，所以＞0可得，故选项A错误，

对于选项B,由2"＞2〃，得到所以2“＞2匕可得故选项B错误，

/।ya-bz.\a-b

对于选项C,由一＜1,得至I」。一〃20,即。之力，所以一VI推不出

但〃可以得出＜1,故选项C正确,

对丁选项D,由/＞人得到/一〃=（。一〃）（/+2+/）=（〃—＞）十京）十，2＞0,

又，++[〃N0，当且仅当a=0=0时取等号，显然4=。=0不满足题意，

则即a＞力，

又当，＞6,有/＞〃，所以是的充要条件，故选项D错误，

故选：C.

4.（2023•山东潍坊•模拟预测）若正数〃力满足而=々+。+3,则a+6的取值范围是（）

A.[6,+oo）B.9+8）C.（0,6]D.（0,9）

【答案】A

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】由题意知〃力为正数，且用=。+〃+3,

所以=a+b+>化简得一4（。+人）一1220,解得0+/226,

当且仅当。=8=3时取等号，所以。+6,”），故A正确.

故选：A.

173

5.（2024.湖北黄冈•二模）已知分别满足下列关系：16"=15力=log|/6,k）g|5c=”，d=tan；,则a,〃,c,d的大

i6162

小关系为（）

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<b<dD.a<d<b<c

【答案】B

【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得利用指对数函数的单调性，通过构造函数判

断单调性可推得c<〃，最后利用正切函数的单调性可得力<4.

【详解】由16。=15,可得4=1/15,

lnl5lnl6Inl5/nl7-(lnl6)2

<7-Z?=logl615-logl716=

lnl6Inl7ln16-lnl7

115+lnl7和255丫fln256\

因el…nl51…1117V<-h--------Y二（In16尸，

I2)

Xlnl61nl7>0,故。一。vO,即a<)；

15

因1陶5。=*,则0/"r

由c1615ln!6ln16lnI5,

1616

16。log161516ln151615

由函数产用#等，因］>e时，y<0,

即函数y若在（…）上单调递减，则有0〈瞿一曙,故得。2

37C

由。=log]716<1,而d=tan->tan—=1,即

24

综上，则有c<a<b<d.

故选：B.

【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，

（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；

（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较;

（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.

二、多选题

6.（2023•全国•模拟预测）下列说法正确的有（）

A.若Ovavl,贝B.若Igavlgb,则〃2<62

hi“

C.若4<方<G〃+〃+c=（）,则化一"）从>0D.若2“〈2'3力61<）,则4—1

【答案】ABD

【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.

【详解】选项A：当0<avl时，（』"）+（二：“产,

所以Ina+J-K-2,当且仅当lna=」，即。二1时等号成立，故选项A正确：

InaInae

选项B：由Igavlg〃得0<a<〃，所以〃〈从，故选项B正确；

选项C：令。=-3,/?=0,c=3,满足av〃<c,a+力+c=0,但>0不成立，故选项C错误;

选项D：由2"<2'得。<〃，因为a/eN‘，所以a+lKb,所以。一/?二一1,故选项D正确.

故选：ABD.

7.（2025•广东茂名.一模）下列命题正确的是（）

A.若a>b,则

B.若a<。<0,Mb-<ab<a~

—cbb+tn八

C.若a>br>0,—>,则〃?<0

aa+m

D.若2<〃+/?<3,-1<。一〃<2,则3V3a+0v8

【答案】BCD

【分析】举出反例即可判断A,由不等式的性质代入计算即可判断BD,由作差法即可判断C.

【详解】对于A,取4=1,力=-2,满足〃>〃，但是/<凡故A错误；

对于B,因为〃<〃<(),不等式两边同时乘以负数。，不等式方向改变，所以筋>ab，

不等式两边同时乘以负数6,不等式方司改变，所以时>〃，

所以〃〈而</,故B正确；

上.—,bb+mb(a+m)-a(b+m)bm-amm(b-a)

对于C,因为ci>"0,-------=-----7----7----=—7----;=-7-----

aa+ma(a+m)a(a+m)a(a+m)

Ah4-ntm(h-ci\,.

又因为一>——，所以一J^——;>0,而即。—〃vo,m(a+m)<0,

aa+ma(a+m)

所以/〃<(),故C正确；

对于D,]^3a+b=x(a+b)+y(a-b),即3a+Z?=(x+y)a+(x-y)8,

则〈”一解得x=2,y=l,所以3〃+力=2(々+。)+(4-〃)，

x-y=1

又2<a+〃<3,则4V2(〃+。)<6,且-l<a-〃<2,

所以3v2(a+〃)+(a—〃)<8,所以3v%+力<8,故D正确;

故选：BCD

8.(2025・河北廊坊•模拟预测)若Ina>h仍,ceR,则下列说法正确的是()

.c->>/c~0八bb+c

A.—<—B.一<----

abaa+c

C.a>b-D.a\na>h\nb

【答案】AC

【分析】先由对数函数的单调性得利用作差法即可判断AB,构造函数/%)=/即可判断C,构造函数

g(x)=xlnx,利用导数研究单调性即可判断D.

【详解】因为y=lnx在(0,侄)为增函数，由lna＞In/?有方一。＜0

对于A：由U-£i=以”0,因为。220,所以£1—£1=也生辿0()=£1«£1,故A正确；

ababababab

bb+cc(b-a)bb+cc(b-a)bbtc

对于B：由-------=-)~(,当cv0,a+c＞0时，--------=-)-；＞0,即竺二故B错误；

aa+ca(a+c)aa+c矶a+c)aa+c

对于C：令/(x)=Y,可知/(x)在R上单调递增，由a＞》＞0有a*//,故c正确；

对于D：令g(x)=xlnx,贝ijg'(x)=l+lnx,由g'(x)>0有x>,，^\x)<OWO<x<-,

ee

所以g")在(Of)上单调递减，在g,+8)上单调递增，

所以当时，g(a)>g(b)^>a\na>b\nb,

e

当0<人<4<^!•时，ge)<g(〃)=alna<Z?ln〃，故D错误.

e

故选：AC.

9.(2024•广西•二模)已知实数a,b,c满足且a+〃+c=0,则下列结论中正确的是()

A.a+b>0B.etc>be

C.D.(a-c)[b-c)＜^-c2

a-hb-c4

【答案】AD

【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.

【详解】a+b+c=0且4＞b＞c,贝。＜0,

则.十人＞0,A正确；

因为〃>/?,c<0,所以ac<Z?c,B错误;

因为a>b>c,a-b>O,b-c>(),(a-b)-(b-c)=a+c-2b=-3b,

当力>0时，0<a-b<b-c,则一—；当人<0时，a-b>b-c>0,则一—,当〃=0时，a-b=b-c,

a-bb-ca-hh-c

则一二=」，故C错误；

a-bb-c

QQ]/]Y

因为——c2=(a-c)(-a-2c)——c2=-a2-ac——c2="a¥—c<0>

44412，

当且仅当。=一:。时，等号成立，此时由4+Z?+C=0可得。=一:。，不符合

22

/]、（1AQ

所以—（a+]C=0不成立，故一a+—c<0,即-—D正确.

故选：AD

三、填空题

10.（2024.全国.模拟预测）已知实数-V满足-Ivxvyvl,则x+y的取值范围是

【答案】（—2,2）

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【详解】由一可得一1所以一2<％十丁<2,

故答案为：（-2,2）

11.（2024•吉林•模拟预测）请写出一个基函数/（x）满足以下条件：①定义域为0+8）；②/。）为漕函数；③对任意

之/(内)+/(勺)

的占，x,G[0,+X),都有，则/（，）=

\/2

【答案】J（答案不唯一）

【分析】根据鬲函数的性质可写出一个符合①②的呆函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.

【详解