2025-2026学年北师大版八年级下学期期末测评卷五

2025-2026学年北师大版八年级下学期期末全真测评卷五

用时：120分钟总分:120分得分：

一、选择题（本大题共10小题,每小题3分，共30分）

1.下列数学符号中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.

A.>B.rC.4-D.

2.下列代数式中，是分式的是（）.

3.如图,在四边形ABCD中，AB〃CD,添加下列f条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）.

A.ZADB+ZCBD=I8O°B.AB=BC

C.AD=BCD.AD〃BC

（第3题）

4.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（

A.『-4=（x+2）（x-2）B.xfx+i^+x

C.*-4+3尸。+2）（工-2）+3工D.x2+4x-2=.r(x+4)-2

5.已知a>3b,根据不等式的性质，下列不等式中错误的是（）.

A.a+l>3b+lB.-aN-3bC.^a>bD.a-2>3b-2

6.小李家装饰地面,已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖

在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是（）.

A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形

7.解分式方程分+1=孑时,去分母后得到的整式方程是（）.

2v-ll-2x

A.x-2+（2x-l）=-1.5B.x-2+l=1.5（2x-l）

C.x-2+l=-1.5（2x-l）D.x-2+（2x-l）=1.5

8.如图在^ABC中,/C=90o,AC=2,点D在BC上,/ADC=2NB,AD=逐厕BC的长为（）.

A.V3-1B.V3+1C.V5-1D.V5+1

9.如图,若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个

数为().

A.10B.9C.8D.7

10如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的

图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点Ai（0,2）变换到点A2（6,0）,得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点

A2变换到点A3（6,0）,得到等腰直角二角形③；第二次滚动后点A3变换到点为（10,4g）彳导到等腰直角二角

形④；第四次滚动后点A4变换到点为（1。+12&，0）得到等腰直角三角形⑤依此规律，则第2025个等腰直

角三角形的面积是（）.

A.4050B.2"C.22025D.24050

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

II请举出一个生活中不等关系的实例：

12用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，正确的顺序应为

□人□8+匚090+90+DO180,,这与三角形内角和为180。相矛盾,所以□/=匚5=90不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设三角形的三个内角NA,ZB,ZC中有两个直角,不妨设门4=匚8=90.

13在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，那么关于x的一元一次不等式kx+b<2

14如图，在△ABC中,NB=100。.点D在△ABC内部,且到三边的距离相等，则NADC=

15如图,△ABC为等腰三角形,AB=BC,AC=I6,BO是AC边上的高.BO=6动点P,Q分别在边AC,AB上（点P

不与点A,C重合）满足/BPQ:NBAO.当△PQB为等腰三角形时,CP的长为

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16.(8分)(1)分解因式：2V3-8X;

（2）利用因式分解进行简便计算：1832+183*34+172.

17（8分）如图，在平面直角坐标系中，口14c的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位1）网格的格点上.

(1)△ABC的形状是________(直接写答案);

⑵将△ABC向右平移3个单位长度得到匚小小G，请画出匚小为。1，并写出点Ci的坐标

(3)将^ABC绕点C顺时针旋转90。得到EM282C2,请画出A2B2C2.

(第17题)

18(8分)下面是小明同学进行分式化简求值的过程，请认真阅读并完成任务.

先化简信一三).六然后从-2<X<2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.

解：原式=-寿1口”出且第一

L("3)(x-3)(x+3)Cv-3)」x

_<-3.L(2F+6X)口(户3)(X-3)第二步

(.r+3)(x-3)

FTV-ZPFY(产3)(尸3)第二步

(x+3)(.v3)x—

=•七匚空出包第四步

("3)(x-3)x

=-x+3.第五步

(1)以上化简步骤中：

①第步是进行分式通分,通分的依据是

②第步开始出现错误，错误的原因是—

⑵请你写出正确的解答过程.

19.(9分)(1)解不等式2x+5W3(x+2j,并把其解集表示在数轴上(如图).

2x+3>l,D

⑵解不等式组｛2xi^<L并写出其整数解.

-5-4-3-2-1012345

(第19题)

20(9分)如图在匚48时,AB=AC,过点B作AB的垂线,过点C作AC的垂线,两条垂线交于点P.作直

线AP交BC于点O.

A

（1）求证:AP垂直平分BC;

⑵若AP=5,AB=4,求BC的长.

（第20题）

21.（10分）⑴回归课本

请用文字语言表述三角形的中位线定理：.

⑵回顾证法

证明三角形中位线定理的方法很多，下面是其中一种添加辅助线构图的方法.请结合图⑵，补全求证及证明过

程.

已知:如图（1）*在□川?。中，点D,E分别是AB,AC的中点.

求证:.

证明：过点C作与DE的延长线交于点F.

22.（11分）下面是小红学习了“分式方程的应用''做的课堂学习笔记：

课堂例题1

小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价

比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少I本这种科普书和这种文学书的单价各是多少元？

方法分析问题列出方程

设…

15151

解法一--——=1

xl.5x

等量关系：所买的文学书数量一所买的科普书数量=1

设…

15153

解法二——X一

等量关系：科普书单价二文学书单价x|x-\x2

(1)请根据笔记内容选择上面两个方程中的一个进行解答，并解释所选方程中X所表示的含义.

⑵若小明所在的学校图书室计划购进这两种书共200本，其中科普书的数量不少于文学书数量的|,问所需资

金最少是多少元?

23.(12分)如图，在口力伙刀中，口"C=60，月B=4,BC=6.点E在BC边上且BE=4,连接AE.

(1)△ABE的形状为

(2照BE绕点B逆时针旋转a得到BF.

①当a=120时，连接AF,求证：四边形AFBE是平行四边形；

②在旋转过程中，当BFAC^i,,请直接写出4C用)面积.

1.B［解析］本题考查了分式有意义的条件.

•・•分式RW意义.・・・x-2和，即x#2.故选B.

2.C［解析］本题考查了中心对称图形的辨别.

由于A,B,D选项中的图形找不到对称中心,而C选项中的图形可以找到对称中心.故选C.

3.Q解析］本题考查了因式分解的概念.

A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意.故选C.

4.D［解析］本题考查了多边形的内角和与外角和.

根据题意得（n-2）x180*5x360。,解得n=12.故选D.

5.A［解析］本题考直了解一元一次不等式组以及在数轴表示不等式的解集.

解不等式x-100,得x<1,

解不等式x+3>（［得x>-3,

所以不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示如图所示.

-4-3-2-1012

（第5题）

故选A.

6.C［解析「・•四边形ABCD是平行四边形.・・・AB〃CD./1=NEBA.

由折叠的性质.得/EBD二NABD,

匚匚［石84=^口1=28,

/.ZA=180°-Z2-ZABD=180°-42°-28°=110°.S^C.

7.C［解析］本题考查了一次函数与一元一次不等式.

:不等式ax+bvO的解集是x<-2,

・••当x<-2时.函数y=ax+b的值为负数.即函数y=ax+b的图象在x轴下方.故选C.

8.D［解析］本题考查了正多边形的内角与外角.

,・,五边形ABCDE叫地形，

2）；8O=］08.

•・•西边形AHIE的内角和是（（4-2）x180=3603,*6789

NA+NE+NEIH+NAHI=360。，

「匚E/H+n/H/=36（）-108-108=144.

•・・a=NAHIF=NEIH,・・・a+P=144。.故选D.

9.B［解析］如图过点C作CH_LAB于点H.

A

8c

(第9题)

VCA=CB,ZACB=110°,

匚匚力C"=g匚/。4=551匚/。£>=70<H=BH.

•・•ZECD=15°,,ZACF=ZACD-ZECD=55°,

AZACH=ZACF=55°,ACA平分NHCF.

VAF±CE,CH±AB,AAH=AF=6

匚48=2力〃=26.故选B.

10B|解析］当5>x时，原方程为9=2,解得-器经检验，后是原方程的解，且*5,即广海合题意；

当5Vx时，原方程为々=2解得x=10.经检验，x=10是原方程的解,且10>5,即x=10符合题意.故选B.

x-5

lid-2a)(1+2a)［解析］本题考查了多项式的因式分解一平方差公式.

1-4a2=(1-2a)(1+2d).

12.(2,-3)［解析］本题考查了关于原点对称的点的坐标特征.

与点依23)关于原点对称的点的坐标是(2,-3).

知识拓展对于点(a,b)来说，有关对称的关系：

关于原点对称(-a,-b)

对

称

关于X轴对称(a,-b)

性

关于y轴对称(-a,b)

关于x=m对称(2m-a,b)

关于y=n对称(a,2n-b)

关于y=x对称(b,a)

13.①②④［解析］本题考杳了平移的性质、平行四边形的判定.

①由平移的性质可得.AD二CF二BE,因此①正确：

②由平移的性质可得AD〃CF.所以/ACF+NDAC=I8O。,因此②正确；

③平移的方向是点C到点F的方向，因此③不正确；

④由平移的性质可得.AB〃DE,AD〃CF〃BE,AC〃DF,BC〃EF,所以四边形ACFD,BCFE,ABED为平行四边形，

因此④正确.综上所述，正确的有①②④.

归纳总结平移的性质：⑴经过平移后的图形与原图形的对应线段相等，对应角相等；⑵图形的形状与大小

都没有发生变化，即平移前后的两个图形全等；(3)对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等.

144［解析］本题考查了等边三角形的性质、轴对称——最短路线问题.

如图，连接BE与AD交于点P,此时PE+PC的值最小，

VAABC是等边三角形.AD_LBC,卜

.\PC=PB,/.PE+PC=PB+PE二BE,/》

即BE就是PE+PC的最小值.

BDC

,/△ABC是等边三角形,，NABC=NBAC=60。，（第14题）

/.ZBAD=30°,AAB=2BD,AD=<AB2-BD2=V3BD=6,ABD=2V5

VAABC为等边三角形，E为边AC的中点，

・・・BE_LAC,，NBEC=90。，

/.ZEBC=30°,/.BP=2DP.

匚DA=BA_BN=QDP）2_Q6S,

・•・PD=2,1.AP=AD-PD=6-2=4.

方法诠释本题是求有公共端点的两条线段之和的最小值，应用了“将军饮马”模型：两条线段的和最小的问题,

一般都是通过作对称点来解决问题，解题时需要先找出两个定点和一条定直线以及在定直线上运动的动点，然后作

出定点关于定直线的对称点，再利用线段垂直平分线的性质，根据两点之间线段最短来解决问题.

157［解析］本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质.

如图，过点A作AF/7BC且AF=BD,连接EF,BF,

过点E作EM_LAF交FA的延长线于点M.

（第15题〉

・・・西边形ADBF是平行四边形，

IAF=BD=50,AD=BF.

ZC=45",/.ZFAE=135°,ZMAE=45",/.AAME是等腰直角三角形.

VAD1BE于点H,AZFBE=ZBHD=90°.

在等腰直角三角形AME41,VAE=3,/.AM2+ME2=2^^2=JE2,L,

［：FM=AF+AM=^,

「EF=1j/+M£2=J（苧j+（乎）2=炳

在RtAEBF中、BF^EF^-BE^J（V89）2-（2A/T0）2=7,

AAD=7.

16.(1)解不等式x+3>4x彳导xvl,解不等式3x-lW5(x+l)彳导xN-3.将这两个不等式的解集在数轴上表示如图：

-5-4-3-2-1012345

（第16«）

・.・原不等式组的解集为-3WXV1.

⑵。-汩吟

a2-2a+l_a

=-----3--

aa-1

(q-l)~a.

=---a----□—a-]=a-l,

要使分式有意义，a是整数且满足-2<a<2,

**•a^0,a^l,a只能取-1,

当a=-1时，原式=-1-1=-2.

17.(1)V四边形ABCD是平行四边形,:.AD//BC.

•・・E为AB的中点，CE与DA的延长线交于点E2两条平行线之间有中点，一定会出现全等三角形

・・・AE=BE,/AFE=NBCE.

在△AEF和仆BEC中,

二AEF=DBEC,

｛二AFE=DBCE,

AE=BE,

△AEF^ABEC（AAS）,AEF=EC,

・・・西边形ACBF是平行四边形,；・BF〃AC.

（X）^AB=CD=A^AE=BE=^AB=1.

VAC=3,BC=AD=5,

CJ524-JC2=42+32=25^C2=52=25,

212

l：AB+AC=BCi

•••△ABC是直角三角形，且NBAC=90。,

匚EC=>!A^AC1^22+32=V13,

AEC的长是713

18.(1)设该服装店购进第一批T恤衫每件的进价是x元，则购进第二批T恤衫每件的进价是(x+1())元，根据题

得

X=舞.解得x=50.经检验，x=5()是所列分式方程的解,且符合题意一・・x+10=50+10=60.故该服装店购

进第一批T恤衫每件的进价是50元,第二批T恤衫每件的进价是60元.(2)等+詈=300(件).

JUOU

设每件T恤衫的标价是y元，根据题意得(300-20)y+20x0.7y2(：0000+6000)x(1+60%),解得y>87.1.

故每件T恤衫的标价至少是88元.

19.⑴如图,AA]BlCi即为所求.

(3)如图，点Di口2,D3均满足题意,・•.点D的坐标为(2,5)或(4,-1)或(0,1).

20(1)公式法

(2)©8或-2［解析|・・・x2+2(m-3)x+25是完全平方式,.・.x2+2(m-3］x+25=x2±10x+52.

根据多项式对应项的系数相等，得2(m-3)=±IO一・.m=8或2

②9［解析］:x2-6x+n是完全平方式，口^-6^+〃=/-6X+32.

根据多项式对应项的系数相等，得『9.

③±16［解析］(2x-a)2=(2x)2-4ax+“2=4x2+bx+16,

根据多项式对应项的系数相等，得-4广6/2=16,解得@=±45二±16.

④I.3a+b［解析］•・•9a¥6ab十廿二(32十b)"...正方形的边长为3a十b.

H.6［解析］设还需取X张丙纸片面题意，得〃2+.«仍+9力2=42±64力+(3力)2,匚尸±6.又X为非负数.•♦・x=6.

21(1)72V5［解析］由平移的性质，得平移前后不改变图形的大小一..由平行四边形经过两次切割平移而成的题

(4)的面积与口ABCD的面积相等.如图，过点D作DELBC于点E.

•・•玛边形ABCD是平行四边形，D

・•・CD=AB=4,BC=AD=6,ZDCE=ZBAD=60°,BEC

(第21题)

「匚COE=3(),匚CE=：CO=；X4=2.

在RSCED中,由勾股定理得DE=JcNYf=d绪"=2小＞,

•••□ABCD的面积==BCLZ)F=6X2V3=12V3,

・•・平行四边形经过两次切割平移而成的基本图形(题图

(4))的面积等于12V3

•・•预图(5)由6个基本图形组成,

邈图(5)的面积=6x120=72Q.

⑵①设边长为1的正三角形瓷砖每块x元，则边长为1的正六边形瓷砖每块(x+50)元,

由邈意，得&解得x=25,

X-V+MI

经检验，x=25是所列分式方程的解，且符合题意，・・・x+50=25+50=75.

故边长为1的正三角形瓷砖每块25元,边长为1的正六边形瓷砖每块75元.

②1350［解析］•・•一块边长为1的正六边形瓷蕉的面积相当于6块边长为1的正三角形瓷砖的面积而75<6x25,

・•・为了使总费用更少，则边长为1的正六边形瓷砖要尽可能用得多.

根据题图⑺可知边长为1的正六边形瓷砖最多可以使用12块，此时边长为1的正三角形瓷砖需要18块，

・•・购买瓷砖最少需要75x12+25x18=1350(元).

22.⑴如图⑴，连接AC,作AC的垂直平分线交射线AM于点D、连接CD,则四边形ABCD即为所求.

(第22题)

(2):△ABC是等边三角形，

，AR=RC,ZCAR=/ARC=/ACR=60°.

VBE平分/ABC,，ZABE=ZCBE=1x60°=30°.

•・•将EA绕点E顺时针旋转-60。得到线段ED,

/.ED=AE,ZAED=60°,/.△AED是等边三角形，

・•・ZDAE=60°,AD=AE,/.ZDAE=ZCAB,

；・ZDAE-ZCAE=ZCAB-ZCAE.

.*.ZDAC=ZBAE,AAACD^AABE(SAS),

.\ZACD=ZABE=30°,

ZBCD=ZACB+ZACD=90。，

・•・四边形ABCD为单直邻等四边形.

(3)VAB=BC=2V3,ZABC=60°,

•••△ABC是等边三角形，

.*.ZBAC=60°,AC=AB=2V3

•・,将BD绕点B逆时针旋转60。得到线段BE,

.\BD=BE,ZDBE=60o,

.,.ZABC=ZDBE,.\ZABD=ZCBE,

.,.△ABD^ACBE(SAS),

AAD=CE,ZBAD=ZBCE.

•・•ZBAD=90°,ZBCE=90°,BC_LDE,

匚匚CBE=；［DBE=30,DCE=；BE.

EBC'CE^BE)

r(2V3)2+C£2=4C£-2,nCE=2,C/lD=CE=2.5nll(2),Q：^C作CHJ_AF于点H.

•・•ZBAD=90°,ZBAC=60°,

匚匚C4D-30

匚匚4/X与［BC确面积比=笆之二.

(4)4或8［解析］过点D作DG.LCE于点G.则NDGC=90。,设BP,CE交于