2026年高考数学一轮复习专练任意角和弧度制及三角函数的概念

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念

A夯实基础B素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（24-25高二下•广东深圳•期末）已知角a终边上一点P（2.1）,则归善=（）

cos2a

A.-3B.—C.-D.3

33

2.（24-25高一下•四川泸州•期末）在平面直角坐标系中，角a的顶点在坐标原点，始边与

,34、

”轴的非负半轴重合，且a的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则lan2a=

（）

A24°24-24c24

A.B.C.—D.—

257725

3.（24-25高二下•甘肃在银•期末）某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一

周的栅栏总长C=8（）m,则此扇形花池的面积S的最大值为（）

A.200m2B.300m2

C.400m2D.50()m'

4.（25-26高三上•全国•阶段练习）利用单位圆写出符合条件sinaN3的角。的集合是（：）

2

2〃

A.a2k7T+—<a<2k+——,keZ、B.a2k^+—<a<2k7r+—,keZ

3366

C.«aIkjr--<a<2k;t+—yk&7.■D.a1kx--<a<2k7r+—kGZ-

6633y

5.（24-25高三下•上海宝山•阶段练习）已知角。终边上一点P（2,m）,若sina=@,则实

5

数机的值为（）

A.1B.2C.±1D.±2

6.（2025高二上•北京•阶段练习）在平面直角坐标系xOv中，角0以0为顶点.以Qr为始

边，终边经过点（1,」），则角々可以是（）

7.（24-25高三下•辽宁朝阳•阶段练习）已知某扇形的周长为8,则当此扇形的面积最大时,

半径为（）

DB

A.2B.4

u1.5

8.（24-25高三下•安徽•阶段练习）sinl（)

A.大铐B.大于当c.小于《D.小于立

23

二、多选题

9.（24-25高一下•陕西汉中•阶段练习）若角。与角7+70°的终边相同，角/与角的

终边相同，则。一夕的值可能为（）

A.90°B.360°C.420°D.810°

10.（24-25高一下•广东佛山•期中）已知角。的终边经过点4-3,4）,则下列结论正确的是

（）

./、4.（吟3

A.sin（a-7c）=-B.sina4--=--

l'5I2）5

247

C.sin2nr=-------D.cos2/2=一

2525

三、填空题

11.（24-25高二下•上海•期末）已知角。的顶点在原点，始边与“轴的正半轴重合，终边上

有一点（3,—4）,则cos（兀+6）=.

12.（2025高三•全国•专题练习）如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮

涌"，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，

设弧A。的长度是乙，弧8c的长度是4,儿何图形A3CD的面积为S.扇形的面积为

52,若)=2,则］=

12%

19thAsianGames

Hangzhou2022

图1图2

四、解答题

13.（24-25高三下•全国•周测）（1）写出与。=-1910°终边相同的角的集合，并把集合中

适合不等式-720。W夕＜360。的元素夕写出来；

（2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合;

(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.

14.(24-25高三下•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习)在平面直角坐标系中，锐角。，4均以。x

35

为始边，终边分别与单位圆交于点A,B,已知点A的纵坐标为点笈的横坐标为

⑴求tan(«-p)和cos2a的值；

2sin(几一a)+sin(—+a)

⑵求一端-----------——的值；

cos(~-a)-cos(3n+a)

B素养提升

1.（24-25高一下•安徽蚌埠•期中）下列命题不正确的有（）

A.3xe(0,—),sinxvxB.3xG(0,—),x+cosx>—

222

C.V.VG(0.—),x<tanxD.Vx€(0,-),X4-------->一

22tanx2

2.（24-25高一上♦江苏扬州•期末）在平面直角坐标系立万中，单位圆上的动点P、。同时

从点A。,。）出发，点p按逆时针方向每秒钟转弓弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转号弧度.

88

若两点相遇时的坐标是一孝，孝，则此时它们可能是第（）次相遇.

A.10B.11C.12D.13

3.（24-25高一上•吉林长春•期末）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次

后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧4c的长是（）

4.（24-25高一下•上海杨浦•阶段练习）已知。是第三象限的角，比较sin（cosa）、cos（sina）、

cosa的大小关系是.（用"<”号连接）

5.（24-25高一上•云南昆明・期末）如图所示，角的终边与单位圆。交于点忆41,0）,

过产作％轴的垂线，交x轴于M,过A作x轴的垂线交射线0P于Q.

⑴由正弦函数、正切函数定义可知，sinxlanx的值分别等于线段MP,AQ的长.

（i）求SOAP,S成形,”，SOAQ的值；

(ii)判断sin(cosl),cosl,cos(sin1)的大小关系；

⑵设点P的横坐标为与，点P的纵坐标为)》，求£+的最大值.

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念

A夯实基础B素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（24-25高二下•广东深圳•期末）已知角。终边上一点P（2,1）,则1+）

cos2a

A.-3B.—C.D.3

33

【答案】D

【分析】由终边过点P（2J）,可得tana=g,再利用二倍角公式化解，再根据齐次式可解.

【详解】根据三角函数定义，可得tana=g,

则1+sin2a（sina+cosa）_sina+cosatana+1

cos勿cos%-sin%cosa-sina1-tancr

故选：D.

2.（24-25高一下•四川泸州•期末）在平面直角坐标系中，角1的顶点在坐标原点，始边与

工轴的非负半轴重合，且4的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点外-不彳，则lan2a=

（）

24242424

A.------B.------C.—D.—

257725

【答案】C

【分析】先根据三角函数定义求出tana,进而由正切二倍角公式计算即可

4

«4

【详解】由题意得lana=^=-£,

-5

故选：C

3.（24-25高二下•甘肃白银•期末）某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一

周的栅栏总长C=80m,则此扇形花池的面积S的最大值为（）

A.200m2B.300nr

C.400nrD.500nr

【答案】C

【分析•】根据扇形面积公式和基本不等式，求出面积的最大值即可.

【详解】设扇形的弧长为/，半径为「，则2r+/=80,

所以S=%=/2-小竽J

=400,当且仅当2厂=2=40时，S有最大值400.

故选：C.

4.（25-26高三上•全国•阶段练习）利用单位圆写出符合条件sinaZ且的角。的集合是（：）

2

A.*a2k7T+—<a<Ikn+—,A:GZ>B.*a2k^+—<a<2k^+—,kEz\

33J66I

C.■a2k7V-—<.a<2k7T+—,keZ>D.<a2k^--<a<2k7r+—,keZ

6633

【答案】A

【详解】如图，作直线y=*交单位圆于A,B两点，连接04,08,则。4与08围成的区

域（图中阴影部分）即为角夕的终边的范围，故满足条件的角a的集合为

rr7T

\a\2k^+-<a<2k7r+—,keZ

33

5.（24-25高三下•上海宝山•阶段练习）已知角。终边上一点P（2,M,若sina=赵，则实

5

数机的值为（）

A.1B.2C.±1D.±2

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解.

【详解】依题意，sina=/==《，解得〃?=L

V4+/M-5

故选：A

6.（2025高二上•北京•阶段练习）在平面直角坐标系工内中，角。以。为顶点.以Or为始

边，终边经过点（卜1）,则角夕可以是（）

717t71

A.B.C.D.兀

242

【答案】B

【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解.

【详解】由角。终边经过点（1,」），

可知tana=-l,且。为第四象限角，

故选：B

7.（24-25高三下•辽宁朝阳•阶段练习）已知某扇形的周长为8,则当此扇形的面积最大时，

半径为（）

88

A.2B.4C.-D.-

35

【答案】A

【分析［设扇形所在圆的半径为「，弧长为/，得到/=8-2-，结合扇形的面积公式和二次

函数的性质，即可求解.

【详解】设扇形所在圆的半径为「，弧长为/,可得/=8-2-，

所以扇形的面积为S=g0=g（8-2/*）"=-产+4r=-（r-2）Z+4,

所以，当厂=2时，扇形的面积最大.

故选：A.

8.（24-25高三下•安徽•阶段练习）sinl（）

A.大于gB.大于立C.小于9D.小于正

2223

【答案】A

【分析】根据正弦函数单调性得到sinl>sin45。,sinl<sin60。，得到答案.

【详解】因为sinl®sin57°18>>sin45°=^^,sinI«sin57°18*<sin60°=，

22

故选:A.

二、多选题

9.（24-25高一下•陕西汉中•阶段练习）若角a与角y+70。的终边相同，角夕与角7-20。的

终边相同，则。-6的值可能为（）

A.90°B.360°C.420°D.810°

【答案】AD

o

【分析】由题意得1=7+70。+〃?-360。,/”€2,^=Z-20+n360°,neZ,两式相减即可得

解.

【详解】因为角。与角7-70。的终边相同，所以。=7+70。+〃入360。,加€2,

同理得夕ny-ZOo+ArBGO'/wZ,所以。一£=90。+公360。«wZ,

故选：AD.

10.（24-25高一下•广东佛山•期中）已知角。的终边经过点A（-3,4）,则下列结论正确的是

)

兀.兀3

A.sin(a—)=1B.sin<74--

I25

c7

C.sin2a=-—D.cos2a=—

2525

【答案】BC

43

【分析】根据三角函数的定义，求得sina=w，cosa=-=,结合诱导公式和倍角公式，逐项

JJ

计算，即可求解.

43

【详解】由角a的终边经过点A（-3,4）,可得sina=m，cosa=-g

,、44

对于A中，由sin(a-7i)=-sina=-gHg,所以A错误;

(a+1)=cosa=一|,所以B正确;

对于8中，由sin

4324

对于C中，由sin2a=2sinacosa=2x-x(--)=-----,所以C正确;

5525

377

对于D中，由cos2a=2以）$2。一1=2x（-二门一1二---二一，所以D错误.

52525

故选：BC.

三、填空题

11.（24-25高二下•上海•期木）已知角。的顶点在原点，始边与人轴的正半轴重合，终边上

有一点（3,—4）,则cos（兀+6）=.

3

【答案】--/-0.6

【分析】根据三角函数的定义求出cos®的值，再利用诱导公式即可求解.

【详解・角。的顶点在原点，始边与％轴的正半轴重合，终边上有一点（3,-4）,点（3,-4）

到原点的距离r=^32+（-4）2=5,

3

・•・根据三角函数的定义可知cos。

3

/.C0S（7C+0）=-cos6^=--.

3

故答案为：・j.

12.（2025高三•全国•专题练习）如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮

涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义人潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，

设弧的长度是4,弧4c的长度是右，几何图形A8CD的面积为加，扇形40C的面积为

S，若;=2,则—=

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图1图2

【答案】3

【分析】设N8OC=a,由弧长公式及已知得。4=208,再由扇形的面积公式求结果.

由2=2,得融即04=20"

【详解】设N80C=a,

/,OD-aoti

所「j5._2a,°A2~2aOB2_OA2-OB2_4OB2-OB2

加以前=一1方—=-^-=—^-=3.

故答案为：3

四、解答题

13.（24-25高三下•全国•周测）（1）写出与a=-1910°终边相同的角的集合，并把集合中

适合不等式一720。</?<360。的元素夕写出来；

（2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合；

（3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合.

【答案】(1)答案见解析；

(2)(l)5={«|a=A:-180o^GZ}；@S={«|a=135°+A:180o,A：GZ)；③

5=。{|0=45。+〃-90。入2}；

（3）{。1-30。+匕360。“£135。+匕360°入2}

【分析】根据终边相同的侑的定义和集合表示即可得出.

【详解】（1）与。=-191>终边相同的角的集合为{"夕=-1910。+h360。/eZ}.

取攵=4,夕=-470。：取/=5/=_40。；取2=6,夕=250。.

o

（2）©S={ala=A:180^GZ};

@s={ala=135°+A:-180o^GZ}；

（3）S={a|a=45°+itl8a>,^GZ}U{a|a=135o+jtl80o^€Z}

UPS={a|a=45°+2Z:-900,A：GZ}u{a|a=450+（2A:+l）-900,A：GZ}

={0|0=45。+上90。/£2}.

（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为

{0|-30。+人360。工0N135。+匕360。,〃£2}.

14.（24-25高三下•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角。，夕均以Ox

为始边，终边分别与单位圆交于点A,B,已知点A的纵坐标为：，点3的横坐标为1.

⑴求tan（a-尸）和cos2a的值;

2sin（7t-a）+sin（-+a）

（2）求一五---------2——的值；

cos（3--a}-cos（3n+a）

337

【答案】（l）tan（a-/?）=---:cos2a=一

5625

⑵10

【分析】（1）由三角函数的定义求出sina,cos/7,由同角三角函数的基本关系求出tara,

再由两角差的正切公式及二倍角公式计算可得：

3

（2）根据诱导公式化简得齐次式，再根据同角三角函数的商数关系及tana=；即可求解;

4

【详解】（1）由锐角。，夕，得点A,8都在第一象限，而点A的纵坐标为点8的横

坐标为卷,

所以sina=3,cosfl=—,

513

则点A的横坐标为cosa=Jl-sin2a=/-11）=g,

点B的纵坐标为sinp=Vl-cos2^=12

T5

sina3.,»sin612

所以tana=-------=-，tan/=--------=—

cosa4cos25

3_\2

tana-tan/?_4533、7

所以tan(a-£)=——，cosla=2cos:a-l=—

1+tanatanp2.竺5625

45

3

(2)由(1)知tana=二,

4

3

2sin(7t-a)+sin(；+tz)2x-+l

2sina+cosa_2tana+1

所以

喈-a…………al__

4

B素养提升

1.（24-25高一下•安徽蚌埠•期中）下列命题不正确的有（)

Tln

A.3xe(0,—),sinx<xB.3xe(0,^),X+cosx>—

2

171

C.Vxe(0,-^),x<tanxD.Vx€((),-),X+------->—

2tanx2

【答案】B

【分析】利用三角函数线证明当0<x<］时sinxvxvtanm,即可判断AC,再由sinxvxvtanx

和诱导公式判断BD.

在单位圆（。中，点人（1,0；,设NPOA=xc（0,9,则理x）sx,sinx）,

过点A作直线人丁垂直于工轴，交OP所在直线于点。

IATI

由b777=tanx，得|47|=lanx，

|OA|

设扇形OQ4的面积为S,

由图知S“A<S<STON,

即sinx<x<tanx,

对于AC,由Vxe(O,£),sinx<x<Uinx,AC正确;

2

对于B,VXG(0,—),--xe(0,—),则x+cosx=x+sin(2-x)vx+2-x='，B错误;

222222

对「D,由Vxw(O,[),则g—xe(0,9),

222

sin(--x)

1COSX，，7U、兀兀

则x+----=x+———=x+--------=x+tan(——x)>x+——x=一D正确.

tanxsinx

cos(--X)、222

故选：B

2.（24-25高一上•江苏扬州•期末）在平面直角坐标系.©），中，单位圆上的动点P、Q同时

从点A（1.0）出发，点〃按逆时针方向每秒钟转5弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转?弧度.

Ko

若两点相遇时的坐标是（一4,4],则此时它们可能是第（）次相遇.

乙乙

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【分析】根据题设，经过，秒相遇，有?=学+23,3=¥+2&兀且K&eN,得

8484

2+7k、=k『再由《+华）/=2mr且〃eN,即〃=:，结合各选项判断是否满足即可.

882

【详解】由题设,两点相遇时的坐标是5-多科则P,Q分别最少旋转了去斗

,，/,10+1

贝IJ，=6+16kl=------,所以2+7占=&,

要使P，Q相遇，则《+令）”2〃兀且〃eN,即〃=£,

oo2

若〃=10,则）=20,此时4,42任N,A错;

若〃=",则‘=22,此时4=1,&=9,B*j；

若〃=12,则324,此时《人/N,c错：

若〃=13,则f=26,此时D错；

故选：B

3.（24-25高一上•吉林长春•期末）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折置两次

后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧8。的长是（）

【答案】D

【分析】过点。作于〃，由已知可得N3OC=',根据弧长公式计算即可.

6

【详解】过点。作O〃_LAB于〃，

由折叠性质可得0"=（。8,AB//CD,

所以/08"=四，所以/BOO=J,所以NBOC=三，

666

所以劣弧的长是?x2=^.

63

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据折叠性质得到线段的关系，进而得到

NBOC=注,根据弧长公式即可求解.

6

4.（24-25高一下•上海杨浦•阶段练习）已知。是第三象限的角，比较sin（cosa）、cos（sina）、

cosa的大小关系是.（用"<〃号连接）

【答案】coscr<sin（cosa）<cos（sincr）

【分析】先根据三角函数线得到当0<x<］时，sinx<x<tanx,结合函数的奇偶性得到当

—、</<()时，tanv<x<sinv,由4是第三象限的角得到sina,cosa47,0),从而求出

cosa<sin(costr)<0,cos(sina)>0,得到结论.

【详解】因为々为第三象眼角，所以sina,cosae(-l,0),

由三角函数线可知："当时，sinx<