2026华东师大版九年级数学上册第22章《图形的相似》教案

第22章图形的相似

22.1成比例线段

1.成比例线段

【教学目标】

1.学习并掌握比例线段的相关概念及其性质；（重点）

2.掌握成比例线段的判定方法.（难点）

3.了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值.

【教学过程】

一、情景导入

请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？

EBI一

Oo8

这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段

的长度不同.

二、合作探究

探究点一：线段的比

【类型一】求线段的比

的H已知线段AB=2.5m,线段CD=40知m,求线段AB与CD的比.

解析：要求AB和CD的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB和CD的单

位统一.

解：VAB=2.5m=250cm,

.AB2505

"CD=400=8,

方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.

【类型二】比例尺

由在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm,则甲、乙两地的实际

距离是m.

图卜距离

解析：根据“比例尺=嬴瑞£可求解.

设甲、乙两地的实际距离为xcm,则有1：50000=3：x,解得x=150000.150000cm=1500m.

故答案为1500.

方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.

探究点二：成比例线段

【类型一】判断线段成比例

砸1下列四组线段中，是成比例线段的是（）

A.3cm,4cm,5cm,6cm

B.4cm,8cm,3cm,5cm

C.5cm,15cm,2cm,6cm

D.8cm,4cm,1cm,3cm

解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线

1

段成比例.四个选项中,只有C项排列后有9卷故选C.

方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：

(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等

做出判断；

(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等

作出判断.

【类型二】由线段成比例求线段的长

硒1已知：四条线段a、b、c、d,其中a=3cm,b=8cm,c=6cm.

(1)若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；

(2)若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.

解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.

解：(1)由a、b、c、d是成比例线段，得

3r26

7=彳，即解得d=16.

bd8a

故线段d的长度为16cm；

(2)由b、a>c、d是成比例线段，得

r?9d解得d=*

9

故线段d的长度为彳cm.

方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为

相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.

网3已知二条线段长分别为lcm,V2cm,2cm,请你再给出一条线段，使得它的长与前面二

条线段的长能够组成一个比例式.

解析：因为本题中没有明确告知是求1,镜，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是

前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.

解：若x：1=取:2,则x=乎；若1：x=y/2：2,则x=隹；若1：y/2=x：2,贝ljx=，^；

若1：y[i=2：x,贝ijx=2*.

/9-L

所以所添加的线段的长有三种可能，可以是A乎cm,^2cm,或29cm.

方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为

其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.

探究点三：黄金分割

【类型一】利用黄金分割进行计算

颓51如果点C是线段AR的黄金分割点，且AC>RC,BC=mAB,求m的值.

2

解：;点C是线段AB的黄金分割点，・,・元=/=3—.又・・,BC=inAB,・・・AC=(l-nDAB,・•・

ADAC乙

(1—m)ABm一1口一击一1.3一季

---=2'即—m=2'・・小=2.

方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC,BC,AB之间的表达式，再利用BC=mAB变形,

求出m的值.

【类型二】黄金分割的实际应用

丽如图所示，乐器上有一根弦AB,两个端点A、B固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近

点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，若DC的长度为d,试求这根弦AB的长

度.

ACBD乖T一］

解：根据黄金分割的定义，可知正=麻=七一，・・・AC=BD=mYLAB,・・・AD=AB—BD=AB

ZkOAO乙乙

CD=AC-AD=-(AB-也7AB)=(m-2)AB=d.

乙乙

・・•・ADB—=/r-［』=(m+2)&

4一2

【板书设计】

’线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线

段AB.CD的长度分别是m.n,那么

这两条线段的比就是它们长度的比，

即AB：CD=m：n,或写成

CDn

<

成比例线段：四条线段a,b,c,d,如果a与b的比

等于c与d的比,即那么这

bd

四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，

、简称比例线段

比例中项：AP2=AB-PB,贝ijAP为AB和PB的比例中项

2.黄金分别黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点

黄金比：较长线段：原线段二较短线段：较长线段二：1-0.618

2.平分线分线段成比例

【教学目标】

1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；(重点)

3

2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）

【教学过程】

一、情景导入

梯子是我们生活中常见的工具.

如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB=BC=CD,

AA1//BB1/7CC1/7DD1,那么A1B1和B1C1相等吗?

二、合作探究

探究点一：平行线分线段成比例

如图，直线11//12//13,直线AC分别交这三条直线于点A,B,C,直线DF分别交这三

7

条直线于点D,E,F,若AB=3,DE=~,EF=4,求BC的长.

乙

7

解：・・,直线且AB=3,DE=-,EF=4,

・・・根据平行线分线段成比例可得黑=当，

BCEr

EF4

即X3

---・-274

BCDEAB-7

2-

方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线

段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解

方程求出待求线段长.

的■如图所示，直线下列比例式中成立的是（）

ADCE

A-=一

DFBC

犯等

BEAF

C理犯

DFBC

4

AF_BE

D，DF=CE

ADRCADAF

解析：由平分线分线段成比例可知D而r=而CE，故A选项不成立；由BmCBE可知B选项不成立;

由证=7K可知C选项不成立；D选项成立.故选D.

DFAD

方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关,

关键是线段的对应，可简记为：“下上=上卡，上不=不1：，*下=下去”或“王上=下玄=全*.

探究点二：平行线分线段成比例的推论

例1如图所示，在AABC中，点D,E分别在AB,AC边上，DE〃BC,若AD：AB=3：4,AE=

6,则AC等于（）

B.4

C.6

D.8

解析：由DE〃BC可得非=笔，即；・AC=8.故选D.

/VOx/IL/

易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不

能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.

砸！如图，在aABC的边AB上取一点D,在AC上取一点E,使得AD=AE,直线DE和BC的

延长线相交于P,求证：界=常

CPCE

解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP：CP,又含有BD,故可考虑过点C

作PD的平行线CF,便可以构造出,=辞，此时只需证得CE=DF即可.

LrlyI

BC

5

证明：如图，过点C作CP〃PD交AB于点F,则而=后，俞=岩

CPD卜D卜CE

BPBD

VAD=AE,ADF=CE,

CPCE

方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成

比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件,

再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.

【板书设计】

基本事实：两条直线被一组平行线所截，

平行线

所得的对应线段成比例

分线段＜

推论：平行于三角形一边的直线与其他

成比例

两边相交，截得的对应线段成比例

22.2相似图形

【教学目标】

1.了解相似多边形和相似比的概念；

2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；（重点）

3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.（难点）

【教学过程】

一、情景导入

观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？

探究点一：相似多边形的判定

的O下列图形都相似吗？为什么？

（1）所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有等腰三角

形；（6）所有等腰梯形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形.

解析：利用定义判断边数相同的多边形是否相似，要从两方面进行判断：（1）对应角相等;

（2）对应边成比例，两者缺一不可.

解：（1）相似，因为正方形每个角都等于90°,所以对应角相等，而每个正方形的边长都相

等，所以对应边成比例；

（2）不一定，虽然矩形的每个珀都等于90°,对应角相等，但是对应边不一定成比例，如

图①；

二口OO

图①图②

（3）不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边一定成比例，但是它们的对

应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的：

（4）相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边一定成比例,

并且对应角都等于60°；

6

（5）不一定，如图③，对应边不成比例，对应角不相等;

△/、口口

图③图④

（6）不一定，如图④，对应边不成比例，对应角不相等；

（7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°,45°,90°,所以对应角相等，而

且每一个三角形的三边的比都是1：1：/，所以对应边成比例；

（8）相似，因为正五边形的各角都等于108°,所以对应角相等，而且正五边形的各边都相

等，所以对应边成比例.

方法总结：（1）相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，

必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即

可.（3）所有边数相等的正多边形都相似.

探究点二：相似多边形的性质

由已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH和四

边形ABCD的相似比.

解：・・•四边形ABCD与四边形EFGH相似，且NA=NE=80°,NB=/F=75°,

EF63

AAB与EF是对应边.•・•盛=[=不

Ar5o4

3

...四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为7.

方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应

边和对应角的方法.

探究点三：相似多边形的应用

砸1如图所示，在四边形ABCD中，AD/7BC,EF〃BC,EF将四边形ABCD分成两个相似四边形

AEFD和EBCF.若AD=3,BC=4,求AE：EB的值.

ADFF

解析：根据相似多边形的对应边成比例，可得到后=正，可以求出EF的长，从而可求AE：

ErBC

EB的值.

解：因为四边形AEFDs四边形EBCF,

AD_EF

所以厢=证'

所以EF2=AD-RC=3X4=12,

所以£尸=仃=2■.

7

因为四边形AEFDs四边形EBCF,

所以AE：EB=AD：EF=3：2小=小:2.

方法总结：若两个多边形相似，则它们对应的边成比例，根据此特性，可列等式或比例式求

解.

的U在AB=20m,AD=30m的矩形花坛ABCD的四周建筑小路.

（1）如果四周的小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩

形ABCD相似吗？请说明理由；

（2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值是多少时，能

使小路四周所围成的矩形卜B'C'＞和矩形ABCD相似？

解析：（1）根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似；

（2）根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出x与y的比值.

解：（1）矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.理由如下:

假设两个矩形相似，不妨设小路宽为xm,

则3=”必

解得x=0.

人」3020

•・•由题意可知，小路宽不可能为0,

・•・矩形A'B'.D'和矩形ABCD不相似;

（2）当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似.理

由如下：

若矩形A'B'.D'和矩形ABCD相似,

3O+2x20+2y—.X3

则30=20,所以

・••当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形ZC'6和矩形ABCD相似.

方法总结：因为矩形的四个角均是直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需看对应边是否

成比例，若成比例，则相似，否则不相似.

【板书设计】

〃相似多边形：各角分别相等、各边

成比例的两个多边形

相似比：相似多边形对应边的比

相似多边形《性质：相似多边形的对应角相等，对

应边成比例

判定：各角分别相等，各边成比例，

＜二者缺一不可

22.3相似三角形

1.相似三角形

【教学目标】

8

1.了解相似三角形的有关概念；（重点）

2.掌握利用平行线法判定二角形相似，会应用平行线法判定三角形相似来解决问题；（重点）

3.应用平行线法判定三角形相似来解决问题.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

如图，在aABC中，D为边AB上任一点，作DE〃BC,交边AC于E,用刻度尺和量角器量一量,

判断4ADE与aABC是否相似.

二、合作探究

探究点一：相似三角形的有关概念

醐1如图所示，已知△OACs/\OBD,且0A=4,AC=2,0B=2,ZC=ZD,求:

（l）ZXOAC和△OBD的相似比;

(2)BD的长.

解析：（1）由△OACs/XOBD及NC=ND,可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；（2）

根据相似三角形对应边成比例，可求出BD的长.

解：（1）VAOAC^AOBD,NC=ND,・••线段0A与线段0B是对应边，则△（）/'（：与△OBD的相

“0A42

似比为丽=5=1；

⑵•・・△0ACM0BD,.端端一・闻=与詈=竿=1.

方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法.

探究点二：利用中位线判定三角形的相似

【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长

m如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分NCAB,交DE于点F.若DF=3,

则AC的长为（）

3

A."B.3C.6D.9

乙

解析：・・・D、E分别为AC、BC的中点，・・・DE〃AB,・・・/2=/的又一AF平分NCAB,Z1=Z3,

/.Z1=Z2,.*.AD=DF=3,.*.AC=2AD=6.C.

方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质.解题的关键是熟记性质

并熟练应用.

【类型二】运用三角形的中位线性质进行证明

砸1如图，在aABC中，AB=5,AC=3,点N为BC的中点，AM平分NBAC,CM1AM,垂足为

9

点在延长CM交AB于点D,求MN的长.

解析：为证MN为ABCD的中位线，应根据三线合一，得到DM=MC,即可解决问题.

解：TAM平分NBAC,CM1AM,AAD=AC=3,DM=QI.VBN=CN,，MN为ABCD的中位线,

.'.MN=^(5—3)=1.

方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点.如已知一个

三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我

们一个中点.

探究点三：相似三角形的判定

【类型一】利用平行判定三角形相似

硒！如图，在口ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE,DE与BC相交于点F,请找出图

中所有的相似三角形，并求出相应的相似比.

解析：由平行四边形的性质可得：BC/7AD,AB/7CD,进而可得△EFBs^EDA,AEFB^ADFC,

再进一步求解即可.

解：•・•四边形ABCD是平行四边形，・・・BC〃AD,AB#CD,AAEFB^AEDA,AEFB^ADFC,A

△DFC^AEDA,VAB=3BE,二相似比分另ij为1：4,1：3；3：4.

方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序.

【类型二】利用平行判定相似三角形并求线段的长

的@如图，已知AB〃EF〃CD,AD与BC相交于点0.

(1)如果CE=3,EB=9,DF=2,求AD的长；

(2)如果BO：0E：EC=2：4：3,AB=3,求CD的长.

解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF=6,则AD=AF+FD=8；(2)根据平行线AB〃CD

分线段成比例知BO：OE=AB:EF,结合已知条件求得EF=6；同理由EF/7CD推知EF与CD之间的

数量关系，从而求得CD=10.5.

・E2-E0MIF0AF

解:(1)VCE=3,EB=9,.・.BC=CE+EB=12.・.・AB〃EF,AAF=EB，则而=而，又,.・EF〃CD,

FOE0F0FDAFFDAF2

AFD=EC，R,JE6=EC,•e，EB=EC,即5=》'AF=6,・・.AD=AF+FD=6+2=8,即AD的长是8；

0EEF

(2)VAB#CD,ABO：OE=AB：EF.XVBO：0E=2：4,AB=3,AEF=6.VEF^CD,A7^=77：.

10

「0E4EF47

又TOE：EC=4：3,・・・M=T・・加一铲ACD=-EF=10.5,艮CD的长是10.5.

'JvI\^Ui

方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误.

【板书设计】

1.相似三角形的定义及有关概念；

2.利用三角形的中位线得相似；

3.利用平行判定三角形相似.

2.相似三角形的判定

第1课时利用两角判定两个三角形相似

【教学目标】

1.理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形

和符号语言表示；（重点）

2.会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题.（难

点）

【教学过程】

一、情景导入

如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？

探究点一：两角分别相等的两个三角形相似

的O在AABC和AA'BzC'中，NA=/A'=80°,ZB=70°,ZCZ=30°,这两个三角

形相似吗？请说明理由.

解：△ABC^AA/B'C'.

理由：由三角形的内角和是180°,

得NC=1800-ZA-ZB=180°-80°-70°=30°,

所以NA=NA'，NC=NC'.

故△ABCS^A，B'C'（两角分别相等的两个三角形相似）.

方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一股地，在解题

过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.

探究点二：两角分别相等的两个三角形相似的应用

AFEF

福已知：如图，ZWC的高AD、BE相交于点F,求证：「加.

A

,可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与

△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.

证明：・・・BE_LAC,AD±BC,

11

・・・NAEF=NBDF=90°.

又・・・NAFE=NBFD,

AFEF

△

.,.AFE^ABFD,**BF=DF,

方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三

角形的对应边成比例得到相关比例式.

例1如图所示，已知DE〃BC,DF/7AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm,求线段BF的长.

解：方法一：因为DE〃BC,所以NADE=NB,ZAED=ZC,所以△ADES/\ABC,

「「「ADDE冏,=包

所以疝=丽'U|4+8-BC,

所以BC=15cm.又因为DF/7AC,

所以四边形DFCE是平行四边形，

所以FC=DE=5cm,

所以BF=BC—FC=15—5=10（cm）.

方法二：因为DE〃BC,所以NADE=NB.

又因为DF〃AC,所以NA=NBDF,

所以△ADEs/\DBF,

所以黑荒，即在普

DDDrot）r

所以BF=10cm.

方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角

形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.

【板书设计】

相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.

第2课时利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似

【教学目标】

1.掌握相似三角形的判定定理2和判定定理3；（重点）

2.能熟练运用相似三角形的判定定理2和判定定理3.（难点）

【教学过程】

一、情景导入

ARAC

画AABC与AA'C’,使NA=NA',门「和77k都等于给定的值k.设法比较NB与

ZB,的大小（或NC与NC'的大小），AABC与B'C'相似吗？

二、合作探究

探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

的II如图，已知点D是AABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABCs^BDC的

是（）

12

c

A.AB・CD=BD・BC

B.AC-CB=CA-CD

C.BC2=AC・DC

D.BD2=CD•DA

解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等,

则这两个三角形才相似.本题中，/C是aABC和ABDC的公共角，关键是找出/C的两边对应成比

CDCB

彳列，即左=亦或BC2=AC・DC.故选C.

CDAL

方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角,

而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.

探究点二：三边成比例的两个三角形相似

例3已知AABC的三边长分别为1，小，乖，ADEF的三边长分别为枷，木,2,试判断

△ABC与4DEF是否相似.

解析：因为己知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三

角形是否相似.

1/小

解:因为忑=2=5

所以aABC与aDEF相似.

方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边

是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边,所以在判定两个三角

形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.

探究点三：相似三角形的判定定理2及判定定理3的应用

例1如图甲，小正方形的边长均为1,则乙图中的三角形（阴影部分）与aABC相似的是哪

一个图形？

Jc①②③④

图甲图乙

解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长,然后根据三角形三边

是否对应成比例来判断乙图中的三角形与AABC是否相似.

解：由甲图可知AC=N12+12=，1,BC=2,413=412+33=m.

同理，图①中，三角形的三边长分别为1,乖，2小;

同理，图②中，三角形的三边长分别为1,小,乖;

同理，图③中，三角形的三边长分别为啦，乖,3；

同理，图④中，三角形的三边长分别为2,乖,麻

13

.「忑一乖f，

・・・图②中的三角形与4ABC相似.

方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然

后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可

以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确

定两个三角形是否相似.

侬14如图所示，零件的外径为a,要求它的厚度x,需求出内孔的直径AB,但不能直接量出

AB,现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC=OB：OD=n,且量得CD=3,求厚度x.

a—AR

解析：欲求厚度x,而x=^^,根据题意较易推出△AOBs/\COD,利用相似三角形的对应

边成比例，列出关于AB的比例式，解之即可.

解：因为OA：OC=OB：0D?ZAOB=ZCOD,

所以△AOBsaCOD,

..ABOA

故丽可得AB=bn,

a-bn

所以x=

2

方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2,并注意利用

图形的隐含条件，如公共角、对顶角.

的@如图，在aABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB向点B以lcm/s的速度

移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动,如果点P,Q同时出发，经过多长时间后

△PBQ与aABC相似？

解析：要证明aPBQ与aABC相似，很显然NB为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角

相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论.

解：设经过ts后，4PBQ与AABC相似.

BP_BQ

(1)当谦=丽时

△PBQ^AABC.

O—4-04.

此时解得t=4.

816

即经过4s后△PBQ与AABC相似;

14

^BP=BQ

(2)°BCBA时，△PBQS^CBA.

此时［c解得t=1.6.

1Oo

即经过1.6s后aPEQ与AABC相似.

综上可知，点P,Q同时出发，经过1.6s或4s后△PBQ与AABC相似.

易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，^PBQ的形状也会发

生变化，因此既要考虑△PBQs^ABC的情况，还要考虑APBOs/xcBA的情况.

【板书设计】

相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.

3.相似三角形的性质

【教学目标】

1.理解相似三角形的性质；（重点）

2.会利用相似三角形的性质解决简单的问题.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论.例如,

在图中，ZXABC和勿C'是两个相似三角形，相似比为k,其中AD、A'U分别为BC、B'C'

边上的高，那么AD、A'D'之间有什么关系？

二、合作探究

探究点一：相似三角形的性质

【类型一】利用相似比求三角形的周长和面积

的O如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE=EC,BD、AE相交于F点.

（1）求△BEF与△AFD的周长之比；

⑵若SABEF=6cm2,求SAAFD.

解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解.

1BE

解：⑴二•在平行四边形ABCD中，AD〃BC,且AD=BC,二△BEFs/\AFD.又・.,1^=戏（；，・••布

_BF_EF_J_BE+BF+EF1

=DF=AF=2,•••△BEF与AAED的周长之比为AD+DF+AF=5；

（2）由（1）可知△REFS^DAF,且相似比为J,.・.笠*;=少2,

/.S△AFD=4SAREF=4X6=

乙oZX/1IU乙

24cm2.

15

方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关

键.

【类型二】利用相似三角形的周长或面积比求相似比

的❷若△ABCS/\A，B'C,其面积比为1：2,则4ABC与4A'B'C'的相似比为（）

A.1：2B.^/2：2

C.1：4D.^/2：1

解析：,••△ABCS/\A，B'C',其面积比为1：2,.・.△ABC与B'Cz的相似比为1：$

=y[2：2.故选B.

方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.

【类型三】利用相似三角形的性质和判定进行计算

例1如图所示，在锐角三角形ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，Z^ABC和ABDE的面

积分别为18和8,DE=3,求AC边上的高.

解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18,求出AC的长，即可求出AC

BD

边上的高.解：过点B作BFJLAC,垂足为点F.・・・ADJ_BC,CE1AB,ARtAADB^RtACEB,A—

=7?,即第=*，且NABC=NDBE,AAEBD^ACBA,（器）2=白.又・.・DE=3,AAC

LylJ八15八八L1o

=4.5.VSAABC=|AC-BF=18,ABF=8.

乙

方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平

方来解答.

【录型四】利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题

砸！如图所示，PN〃BC,AD_LBC交PN于E,交BC于D.

（1）若AP：PB=1：2,SAABC=18,求SAAPN；

\\：

（2）若SZXAPN：S四边形PBCN=1：2,求名的值.

解析：（1）由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；（2）由4APN与四边形PBCN的

面积比可得4APN与aABC的面积比，进而可得其对应边的比.

SZ\APNAP

解：（1）因为PN〃BC,所以NAPN=NB,ZANP=ZC,AAPN^AABC,所以衍=（G）2.

oZAAnCAD

16

SAAPN

因为AP：PB=1：2,所以AP：AB=1：3.又因为S4ABC=18,所以;八；用、=(不)2=不,所以SAAPN

DZAADC6y

=2；

APAESAAPN

(2)因为PN〃BC,所以NAPE=NB,ZAEP=ZADB,所以△APEs/v\BD,所以茄=/，gA.Dr

ADADDZAADL

=(条2=(等SAAPN1,AE、。AE1也

2.因为SAAPN：S四边形PBCN=1：2,所以SAABC™W2,所以而=于=3-

方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似

比的平方.

【类型五】利用相似三角形的性质解决动点问题

圆5.如图,已知aABC中，AB=5,BC=3,AC=4,PQ〃AB,P点在AC上(与A、C不重合),

Q点在BC上.

(1)当APQC的面积是四边形PABQ面积的《时，求CP的长;

(2)当4PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长.

解析：(1)由于PQ〃AB,故△PQCs^ABC,当△PQC的面积是四边形PABQ面积的;时，Z\CPQ

与4CAB的面积比为1：4,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；(2)由

于△PQCs^ABC,根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ

的长.根据4CPQ和四边形PABQ的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长.

解：(1)VPQ^AB,AAPQC^AABC,・.・SZ\PQC=；S四边形PABQ,.,.SAPQC：SAABC=1：4,

o

VW,.•.CP=|CA=2；

CPCOPQCPCQ35

(2)VAPQC^AABC,二Lk，，CQ=R：P.同理可知PQ=RP,ACAPCQ=

CACDAb4o44

53

CP+PQ+CQ=CP+q：P+禾P=3CP,C四边形PABQ=PA+AE+BQ+PQ=(4-CP)+AB+(3-CQ)+PQ

113,5124

=4-CP+5+3--CP+-CP=12-TCP,：.CP=

442

方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问

题是解题的关键.

【板书设计】

1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

17

2.相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平

分线、对应边上的高）的比也等于相似比；

3.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的应用

【教学目标】

1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；（重点）

2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）

3.了解三角形的重心，掌握相似与几何的综合应用.

【教学过程】

一、情境导入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.在古希腊，

有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你

测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰

勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？

二、合作探究

探究点一：相似三角形的应用

【类型一】利用影子的长度测量物体的高度

的11如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m,此时，小红测得一棵被风吹斜

的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m,

求树AB的长.

解析：先利用△BDCs/XFGE得到鉴=二，可计算出BC=6m,然后在RtA\BC中利用含30

6.O1.Z

度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长.

BCEFBC2

解：如图，CD=3.6m,VABDC^AFGE,即/.BC=6m.RtAABC

LUUE3.o1.Z

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