高一数学：平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加、减运算的坐标表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

课标要求借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标

表示平面向量的加、减运算.

【引入】我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即

它的坐标)来表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？

一、平面向量的正交分解及坐标表示

探究1如图，在光滑斜面上的一个木块，其重力可以分解为哪两个力的作用？

这些力之间有什么关系？

提示该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力

Fi的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力尸2,也就是说，重力G

的效果等价于力B和也的合力的效果，即6=油+/2.

探究2如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分

别为i,j,取｛i,力作为基底.对于平面内的任意一个向量“，可以用"，/｝表示成

什么？

提示由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得a=xi+M

【知识梳理】

1.平面向量正交分解的定义

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把I可量作正交分解.

2.平面向量的坐标表示

(1)向量的坐标表示：

(2)向量坐标与点的坐标的关系:

在平面直角坐标系中，以原点O为起点作为=〃，设为=耳+M，则向量万^的坐

标(x,v)就是终点A的坐标;反过来，终点A的坐标(x,y)也就是向量。的坐标.

温馨提示(1)向量的坐标只与表示此向量的有向线段的起点、终点的相对位置有

关，而与它们的具体位置无关.

(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，坐标不

变.

例1(链接教材P29例3)如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量

{i,力作为基底，若⑷=W，9=45。，则向量Q的坐标为()

A.(l,1)-1)

C.(V2,的D.(f,一也)

答案A

解析由题意，得“=(啦8545。》+(啦5m45。)/=+/=(1,1).

思维升华求点和向量坐标的常用方法

⑴求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.

⑵求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负

需要注意方向.

(3)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即

是该向量的坐标.

训练1已知。是坐标原点，点A在第一象限，|晶|=4，5,ZxOA=60°,求向量

昂的坐标.

解设点A(x,y),贝1/=|况|cos600=4Scos600=2小，)，=|E|sin600=4\/5sin

60。=6,即42小，6),所以8=(2小,6).

二、平面向量加、减运算的坐标表示

探究3己知〃=(xi,yi),b="2,"),你能得出。+儿〃一人的坐标吗？

提示a+力=(月i+y।j)+(X2i+yy)

=(xi+x2)i+(yi+")/,

即a+5=(xi+12,yi+ya).

同理可得a—8=(xi—12,yi~y2).

探究4如图，己知AQi,)，i),3(X2,户)，怎样求牯的坐标？

提示AB=OB-OA=(xi,)，2)一(XI,yi)=(x2—XI.yi—yi).

【知识梳理】

1.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的利差).

设向量。=(如，yi),b=g”),则有

符号表示

加法a+b=Cn+x2,yi+v2)

减法g—b=(x\—X2yyi-V2)

2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.例如,

己知A(xi,y\)f8(X2,J2),则翁=(X2—XI,V2—w).

温馨提示向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，与它们的具体位置无关.

例2(链接教材P29例4)已知点A(0,I),5(3,2),向量加=(一4,一3),则向

量选=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-l,4)D.(l,4)

答案A

解析设C(x,y),则它=(x,y-l)=(-4,-3),即工=-4,y=-2,

故C(-4,-2),则反：=(一7,-4).

思维升华平面向量坐标运券的技巧

⑴若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行求解.

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐

标运算.

训练2己知点4-2,4),3(3,-1),C(-3,-4),设筋=〃，BC=h,C4=c,

且由=c,CN=b.

⑴求。+求一。；

(2)求点M,N的坐标及向量疝V的坐标.

解由已知得。=(5,-5),b=(—6,-3),。=(1,8).

(\)a+b-c=(5t-5)+(-6,-3)-(1,8)

=(-2,-16).

(2)设O为坐标原点.

*：CM=dM-dC=c,

，OAf=c+OC=(l,8)+(—3,—4)=(—2,4),

AM(-2,4).

又:丽=痂_沆=。，

•=ON=b+OC=(—6,—3)+(—3,—4)

=(—9,-7),

・・・M—9,-7),

工曲=(一9,一7)一(—2,4)=(-7,-11).

三、平面向量坐标运算的应用

角度1由向量相等求参数的值

例3已知点A(2,3),B(5,4),AC=(5L7A).^4>=A&+AC(AeR),试求A为

何值时：

⑴点。在第一、三象限的角平分线上？

⑵点尸在第三象限内？

解设点P的坐标为(x,y),

则Q=(x,y)~(2f3)=(x-2,y-3),

AB+AC=(5f4)-(2,3)+(5九72)

=(3,l)+(52,7夭)=(3+52,1+7/1).

9：AP=AB^AC,且⑥与危不共线，

工-2=3+5九以=5+52,

,贝心,

y—3—1+7A,(y=4+72.

⑴若点P在第一、三象限角平分线上，

贝15+52=4+7%,/.A=-

,5+52<0,

(2)若点。在第三象限内，则。,「八

[4+72<0,

/.2<—1.

角度2向量坐标运算在平面几何中的应用

例4(链接教材P30例5)己知平面上三点的坐标分别为4-2,1),5(-1,3),

C(3,4),求点。的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.

解设。点的坐标为(尤y).

当平行四边形为A3C。时，

由罚=(1,2),DC=(3~X94-J),

且筋=反，得。(2,2).

当平行四边形为ACDB时，由猫=(1,2),CD=(x-3,y-4),且加=Cb,得

0(4,6).

当平行四边形为AC8D时，

由危=(5,3),DB=(-l-x,3—)，)，

且危=方及得£)(-6,0),

故。点坐标为(2,2)或(4,6)或(一6,0).

思维升华坐标形式下向量相等的条件及其应用

(1)条件：相等向量的而应坐标相等.

⑵应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某

些参数的值或点的坐标.

训练3已知点0(0,0),A(L2).

⑴若点B(3/,3r),OP=OA^OB,贝h为何值时，点尸在x轴上？点尸在)，轴上？

点尸在第二象限？

(2)若8(4,5),尸(1+3],2+3。，则四边形OA8P能为平行四边形吗？若能，求/

值；若不能，说明理由.

解⑴d>=dX+丽=(1,2)+(3f,3r)

=(1+3/,2+3/),

2

若点P在x轴上，则2+3f=0,・1=一].

若点尸在y轴上，则1+3/=0,.7=-g.

14-3/<(),

若点尸在第二象限，则」.八

[24-3r>0,

.2I

・.一铲『

(2)醇=(1,2),PB=OB-OP

=(3—3f,3—3/).

若四边形0ABp为平行四边形，则昂=而，

[3-3z=l,

・・・ccc该方程组无解.

13-3/=2,

故四边形0ABp不能成为平行四边形.

【课堂达标】

1.已知向量。=(1,2),b=(3,I),则力一。等于()

A.(-2,1)B.(2,-1)

C.(2,0)D.(4,3)

答案B

解析由题意得力一〃=(3,1)-(1,2)=(2,-1).

2.若A(3,1),B(2,—1),则旗的坐标是()

A.(—2,—1)B.(2,1)

C.(b2)-2)

答案C

解析丽=(3,1)-(2,-1)=(1,2).

3.如果用3/分别表示x轴和)，轴正方向上的单位向量，且A(2,3),B(4,2),则

福可以表示为()

A.27+VR4/+?/

C.2i-jD.-2i+j

答案C

解析设。为坐标原点，・・・42,3),8(4,2),

・••昂=2i+歹，dB=4i+2/,

：.AB=OB-OA=4i-\-y-2i-3j=2i-j.

4.已知边长为单位长度的正方形ABCD,若A点与坐标原点重合，边AB,A。分

别落在x轴、)轴的正方向上，则向量协一册+启的坐标为.

答案(2,0)

解析依题意A(0,0),5(1,0),D(0,1),0(1,1),

AA&=(1,0),AC=(1,1),

BC=(1,1)-(1,0)=(0,I),

故麴一反汁病=(1,0)-(0,1)+(1,1)=(2,0).

------------------------课时精练------------------------

一、基础巩固

1.(多选)下列说法正确的是()

A.相等向量的坐标相同

B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标

C.一个坐标对应唯一的一个向量

D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应

答案ABD

解析由向量坐标的定义可知一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，易

知ABD均正确.

2.己知向量。=(2,4),。+方=(3,2),则方等于()

A.(l,-2)B.(l,2)

C.(5,6)D.(2,0)

答案A

解析h=a~\~h—〃=(3,2)—(2,4)=(1,-2).

3.已知四边形A8CO为平行四边形，其中A(5,-1),8(—1,7),C(l,2),则顶

点D的坐标为()

A.(-7,0)B.(7,6)

C.(6,7)D.(7,—6)

答案D

解析设Q(x,y),因为筋=比，

所以(x—5,y+1)=(2,—5),

所以x=7,y=—6,

所以。(7,-6).

4.已知两点A(4,1),8(7,-3),若牯+公=0,则点。的坐标是()

A.(l,5)B.(—3,4)

C.(—1,-5)D.(4,—3)

答案A

解析设C(My),则屐?=(x—4,y—1).

又筋=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),筋+危=0.

***(3,—4)+(x—4,y—1)=(0,0),

3+x—4=0,

AC(1,5).

4+y—1=0,)=5,

5.(多选)以A((),1),B(l,0),C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶

点。的坐标可以是()

A.(2,3)B.(2,-1)

C.(4,1)D.(—2,—1)

答案ACD

解析设。(x,y),若归=前,

则(1,—l)=(x—3,y—2),

x-3=1,x=4,

即1解得「即。(4,1)；

1厂2=一1,g1,

若筋=皮，贝U(l,-1)=(3-x,2-y),

X—3=-1,x—2,

即c,解得,即0(2,3)；

7-2=1,口=3,

若废)=亦则(x,y-l)=(-2,-2),

即〔[，一x=-二2,_2,解得|[尸x=7-2,即以一2,

-1).

6.若A(2,-1),8(4,2),C(l,5),则诵+求=.

答案(一1，6)

解析法一由题意得筋=(2,3),股=(-3,3),

所以福+肚=(2,3)+(—3,3)=(-1,6).

法二筋+反?=病=(一1,6).

7.已知2026个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8,15),则其余2025

个向量的和为.

答案(一8,-15)

解析设其余2025个向量的和为。，y),

则(8,15)+(x,y)=(0f0),

A(x,y)=(-8,-15).

8.已知向量a=(2m,〃?)，〃=(〃，一2〃)，若。+力=(9,—8)。〃，〃£R),则用一〃

的值为.

答案一3

解析•・%+力=(2〃2+小机-20=(9,—8),

2m+〃=9,f/?z=2,

•••••<

2〃=­8,5=5,

/.m—n=2—5——3.

9.已知点A(3,—4)与8(—1,2),点P在直线A8上，且同|=|彷求点P的坐

标.

解设P点坐标为y).

当P在线段AB上时，◎=丽.

/.(X—3,y+4)=(­I—x,2—y),

x~3=—1—x,x=l,

」r解得

[y+4=2-y,尸T

・・・P点坐标为(1,-1).

当夕在线段43延长线上时，分+防=0.

(X—3,y+4)+(—1—x,2—)，)=((),()),

x-3=1+x,

此时无解.

j+4=-2+)，,

同理，当尸在线段84延长线上时，不合题意.

综上所述，点户的坐标为(1,—1).

10.在直角坐标系/中，已知点A(l,1),6(2,3),C(3,2),

(1)若决=靠+病，求点P的坐标.

(2)若戌+而+无=0,求标的坐标.

解(1)因为施=(1,2),危=(2,1),

所以舁=(1,2)+(2,1)=(3,3),

即点。的坐标为(3,3).

(2)设点P的坐标为(x,j),

因为丽+彷+1=0,

又成+而+4=(1-x,1—y)+(2—x,3—y)+(3—工，2—)，)=(6—3乂6—3丁).

6—3x—0,x=2,

所以＜解得，

6—3尸0,)'=2,

所以点P的坐标为(2,2),

故力＞=(2,2).

二、综合运用

11.若i，J分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取①力作为基底，设。=年

+r+1)i—(r2—丫+(其中x£R),则向量〃对应的坐标位于()

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析向量。对应的坐标为(.F+x+l,—.F+x—I).

2

,.•/+1+1=(犬+目+|＞(),

—f+x-1=一

.••向量a对应的坐标位于第四象限.

12.已知向量筋与〃=(6,—8)的夹角为兀，且而|=间，若点A的坐标为(一1,2),

则点8的坐标为()

A.(-7,10)B.(7,10)

C.(5,.6)D.(-5,6)

答案A

解析由题意知，筋与4方向相反,

且|46=同，/./4B+a=0.

设。(x,y),则福=(x+l,y-2),

gx+1+—68==0。,,解得1x=-7,

尸10,

故点8的坐标为(-7,10).