广东省深圳市深圳某中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（解析版）

深圳高级中学2025-2026学年第一学期期末测试

初二数学

注意事项：

1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2〃铅笔涂写在答题卡上.

2、每小题选出答案后，用23铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦

干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.

3、考试结束，监考人员将答题卡收回.

第一部分选择题

一.选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分）

1.下列实数中，是无理数的是（）

A.j35B.GC.1D,^27

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了无理数，掌握无理数是无限不循环小数是解题关键.

根据无理数的定义逐项判断即可.

【详解】解：A.[.35是循环小数，属于有理数，不符合题意：

B.G是无限不循环小数，属于无理数，符合题意：

C.1■是分数，属于有理数，不符合题意；

D.炳二3是整数，属于有理数，不符合题意.

故选B.

2.下列各式正确的是（）

A.72+73=5/5B.后x应=12

C.>/i2-yf3=3D.厄+百=2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键.根据二次根式的运算法则逐项判断即

可.

【详解】解：A：&+百无法合并，故A错误;

B：5/6x72=Vl2=2>/3.故B错误.

C：屈一百二26一百=6,故C错误.

D：疵+6=，12+3=4=2，故D正确.

故选:D.

3.如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图.若表示嘴部点A的坐标为表示

尾部点8的坐标为（3,-1）,则表示足部点。的坐标为（）.

A.(0,-2)B.(-1,-2)C.。,-2)D.(0,-1)

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关犍.

根据点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点C的坐标.

【详解】解：嘴部点4的坐标为（-2,1）,表示尾部点8的坐标为（3,-1）,建立直角坐标系如下：

则点C的坐标为：（-2）.

故选：C.

4.下列四组数，不能作为直角三角形三条边的长度的是（）

A.2,1,石B.6,B10C.7,40,41D.5,12,13

【；1C

【解析】

【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键.若三角形较小的两边的平方和等于

第三边的平方，则该三角形为直角三角形.直接利用勾股定理逆定理进行判断即可.

【详解】解：A,12+22=（＞/5）2,故此三边可为直角三角形的三边；

B、62+82=102»故此三边可为直角三角形的三边；

C、72+402^412,故此三边不可为直角三角形的三边；

D、5?+122=132,故此三边可为直角三角形的三边.

故选:C.

5.下列命题中，假命题的是（）

A.全等三角形的面积相等

B.位于第三象限的点，横纵坐标都为负数

C.两直线被第三条直线所截，同旁内角互补

D.组数据的众数可以不唯

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了真假命题的判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.熟悉课本中的性

质定理是解题的关键.根据全等三角形的性质，象限内坐标特点，平行线的性质，众数定义，逐项进行判断

即可.

【详解】解：A.全等二角形的面积相等，此命题为真命题，不合题意；

B.位于第三象限点，横纵坐标都为负数，此命题为真命题，不合题意；

C.只有当两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，原命题缺少两直线平行的条件，故原命题

为假命题，符合题意；

D.一组数据的众数可以不唯一，此命题为真命题，不合题意.

故选:C.

6.若一次函数＞="+〃的图像经过第二、三、四象限，则一次函数》=一公+%的图像是（)

D.

Ox

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，由一次函数y=Ax+〃的图像经过第二、三、四象限，则函

数值）'随x的增大而减小，k<0,h<0,从而可得一次函数）=-Z?x+女的一次项系数一〃>0,常数项

k<0,所以一次函数y=一法+女的图像经过一、三、四象限，掌握一次函数的图像与性质是解题的关

键.

【详解】解：•••一次函数y=日斗〃的图像经过第二、三、四象限，

・••函数值）'随X的增大而减小，k<0,b<0,

・•・一次函数）=一>1+女的一次项系数一8>0,常数项z<0,

・••一次函数>=一法+A的图像经过一、三、四象限，

选项C符合题意，

故选：C.

7.兔年来临，小兰要做玩偶兔子司福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做鱼子25只，

或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好陀套做成了礼

物.若设用x米布做兔子，用），米布做福袋，则可列出方程组为（）

x+y=36y=36

x+y=36x+y=36',

A.B.〈C.40vD.〈2.xy

y=2x25x=2x40y25x=^~—=^-

ii22540

【答案】C

【解析】

【分析】根据“小兰去市场买了36米布”、“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”即可列出二元一次

方程组.

【详解】解：•••“小兰去市场买了36米布”

/.x+y=36

•・•“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”

，福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍

・•・25x晋

y=36

故：，

25人也

2

故选：C

【点睛】本题考查配套问题.注意1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物=福袋的数量是玩偶免子数量的

2倍.

8.张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距5(X)km,汽车出发前油箱中有油25L,途中加油若干汁(加油时间

忽略不计)，加油前、后汽车都以100km/h的速度匀速行驶，已知油箱中的剩余油量y(L)与行驶时间/(h)

A.当0V/V2时，y(L)与f(h)之间的函数表达式为y=-8r+25B.途中加油21L

C.汽车加油后还可行驶4hD.汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为6L

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数图象中的数据，可以写出当0V/V2时，y(L)与/(h)之间的函数表达式，从而可以判断

A；根据函数图象中的数据，可■以计算出途中加油的升数，从而可以判断B：根据函数图象中的数据，可以

计算出汽车加油后还可行驶的时间，从而可以判断C；根据题意和函数图象中的数据，可以计算出汽车到达

乙地时油箱中的剩余油量，从而可以判断D.

[详解]解：由图象可得,当0</<2时，y(L)与/(h)之间的函数关系为一次函数，设)，=灯+〃，将点(0,25)

[25=〃仅=一8八

和(2,9)代入可得〜f,解得匕“所以y(L)与/(h)之间的函数关系式为>=一法+25,故选项

[9=2攵+力[Z?=25

A穴符合题意；

途中加油30-9=21(L),故选项B不符合题意；

汽车加油后还可行驶：30+互*=3.75(小时)，故选项C符合题意：

2

汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为：30-(500-100x2)-100x^-^=6(L),故选项D不符合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键.

二，填空题：(每小题3分，共计15分)

9.g=.

【答案】-2

【解析】

【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键.根据立方根的定义计算即可.

【详解】解：•・•(一2)3=-8,

**«V-8——2•

故答案为一2.

10.小文参加了学校广播站招聃小记者的三项素质测试，成绩(百分制)如下：采访写作90分，计算机操

作70分，创意设计80分.若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按50%,20%,30%的比例

计算最终成绩，则她的素质测试的最终成绩为分.

【答案】83

【解析】

【分析[本题考查加权平均数，掌握相关知识是解决问题关键.根据加权平均数的定义，将各科成绩乘以

对应的权重比例后求和

【详解】解：90x50%+70x20%+80x30%=45+14+24=83(分).

故答案为83.

11.若一次函数旷二依+〃的图像与)，=一91的图像相交于点"(3,m)，则关于x,)，的方程组

Ziv+Zj-y=0

”=0的解是

fx=3

【答案】\A

[y=-4

【解析】

【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关犍.方

程组的解即为两个一次函数图像的交点坐标，将交点代入），=-gx求出”的值，再得到方程组的

解.

【详解】解：•・•点M（3,〃?）在函数），二—上，代入得：

.•・一人—

3

即点M（3,-4）.

kx+b-y=0y=kx+b

方程组《4八

可化为，4

—x+y=0y=——x

・•・方程组的解即为两直线的交点坐标（3,T）.

[x=3

故答案为《.

[y=-4

12.如图1,在RtZ\A3C中，ZC=90°,动点P从点A出发，沿着A13—C的路径运动到点C停

止，过点P作PQ-L4C,垂足为Q.设点尸的运动路程为x,R2-AQ的值为》），随x变化的函数图

象如图2所示，则AB的长为

【解析】

【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点〃到达点8时，此时点。与点C重合，当

点P在8c上运动时，点。的位置始终保持不变，当点。运动到尸C=AC时，此时x=4,当P点与C点重

合时，此时PQ-4Q=-2,即：AC=2,设点P运动到PC=AC时，BP=a,进而得到A3=4—。，

BC=2+a,利用勾股定理列出方程求出。的值，进而求出A8的值即可.

【详解】解：如图，

由图象可知，当点?到达点8时，此时点。与点C重合，当点P在3C上运动时，点。的位置始终保持不

变，AQ的值为4C的长，为定值，）'随着大的增大逐渐减小，当点/，运动到。C=AC时，此时x=4,

y=0,当p点与。点重合时，此时尸。=0,y=PQ-AQ=0-AC=-2,即：AC=2；

设点P运动到尸C=AC时，则：48二4—。，BC=2+a,

在RtA48C中，由勾股定理，得：（4—a）2=（2+a『+22,

2

解得。=；，

3

AAB=4--=—,

33

故答案为：

3

13.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=36,。为BC上一点，连接4力，过点A作

AE_LAD，取AE=AD，连接他交4。于E若4七=所，则AD=.

【答案】2岳

【解析】

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，过点E作

EF工AC于点H,构造全等三角形▲的g./CZXAAS）,aEHF区BCF（AAS）,利用全等三角形的

性质和等腰三角形的性质得到边的关系，再结合勾股定理求解AO的长度.

【详解】解：如图，过点E■作£FJ_AC于点”.

E

•；EA=EF,EH1AF,

:•AH=HF.

•・・E4J_AD，

・•・ZE4D=ZEHA=ZC=90°.

•・•/LEAH+ACAD=90°,ACAD+ZADC=90°，

・•・ZEAH=ZADC,

在，切4和MC"中，

/EAH=ZADC

<ZEHA=ZC=90°

AE=DA

・・・,.E/M@.ACZXAAS），

AH=CD,EH=AC=CB,

在二EHF和YBCF中,

ZEFH=ZBFC

</EHF=NC=90。

EH=BC

••.△EHFgBCF（AAS）,

:,FH=CF,

AH=FH=CF=CD,

：,CD=AH=-AC,

在RtZsAC。中，由勾股定理得

AD=y/AC2+CD2=J（3#）+（述）=J54+6=^60=2\/\5-

三,解答题：（共计61分,14题9分，15题7分，16题7分，17题8分，18题8分，19题

10分，20题12分）

3x-y=6

(2)解方程组:

x-3y=2

x=2

【答案】⑴3；(2)

y=0

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算法见和消元法是

解题的关键.

(1)先计算二次根式的除法、乘方和零指数累，然后计算加减即可；

(2)利用消元法解方程即可.

【详解】(1)解：原式=j?+囱—J£[+i

=2+3-34-1

=3

3x-y=6①

(2)解:\x-3y=2®

由②得x=3)，+2③

将③代入①，得3(3)，+2)—y=6,

解得y=o,

将y=0代入③，得x=2,

x=2

所以原方程组的解为《八.

y=()

15.学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制

且为整数)进行整理、描述和分析(成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.90<x<100；

B.80<x<9()；C.70<x<8()；D.6()<x<70),下面给出了部分信息：

七年级20名学生竞赛成绩在3组中的数据是：83,84,84,84,85,87,88.

八年级20名学生竞赛成绩是：63,63,65,71,72,72,75,78,81,82,84,86,86,86,89,95,

97,98,98,99.

七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数8282

中位数aC

方差278.9134.7

七年级所抽取学生竞八年级所抽取学生竞

赛成绩扇形统计图赛成绩箱线图

….b

根据以上数据分析信息,解答下列问题:

（1）上述图表中。=，b=in=

（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选________年级更合适（填“七”或

“八”):

（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于

90分的学生人数共有多少？

【答案】（1）84,72,83,30

（2）A（3）该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人

【解析】

【分析】本题主要考查扇形统计图与频数分布表、中位数、众数、样本估计总体等知识点，熟练掌握扇形

统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键.

（1）利用扇形统计图即可求出。组和C组的人数，结合B组的人数，求出A组的人数，再利用中位数定

义即可求出〃和c的值，求出第一四分位数即可确定〃，最后求得A组所占的百分数即可求得，〃的值：

（2）根据方差进行分析即可解答；

（3）利用样本估计总体进行求解即可.

【小问1详解】

解：七年级20名学生竞赛成绩在。组中有20x10%=2（人），C组所占中有20x25%=5（人），

根据题意可得8组中有7人，故人组中有20-7-2-5=6人，

•・•七年级竞赛成绩的中位数〃是数据从小到大排列后的第10和II个数据的平均数，且数据从小到大排列

后的第10和11个数据是84,84,

・84+84Qd

..a=---------=84，

2

•・•八年级竞赛成绩的中位数。是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10

和II个数据是82,84,

…—=83,

2

由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：力是第一四分位数，即八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据

的中位数，即第5个数据72,故8=72.

•・•七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据共6个，

.二〃?％=—x100%=30%,即m=30.

20

故答案为：84,72,83,30.

【小问2详解】

解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差134.7小于七年级方差278.9,成绩比七年级稳定，故

八年级更合适.

故答案为：A.

【小问3详解】

解：560X30%+500XA=293(人).

20

答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人.

16.如图，在平面宜角坐标系中，VA5C的三个顶点的坐标分别为4(—5,1),B(-1,4),

斗

6

「6

(1)在图中作出VABC关于X釉的对称图形△4AG；

(2)若直线/经过点(1,0)且平行于)，轴，请直接写出点c关于直线/的对称点q的坐标

(3)VAOC的面积为.

【答案】（1）图见解析

（2）（3,-1）

（3）7

【解析】

【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键:

（1）根据轴对称的性质，画出△A&G即可;

（2）根据轴对称的性质，进行求解即可；

（3）利用网格求三角形的面积即可.

【小问1详解】

・••直线/为x=l,

,**C（—1,—1）,

・•・点C到直线/的距离为1-（-1）=2,

:.点。（一1,一1）关于直线I的对称点为G（3，-1）；

故答案为：（3,-1）：

【小问3详解】

解：V48c的面积为gx（l+4）x5-gxlx3—gx2x4=7.

17.如图，点。、E分别在VA3C的边AB,4c上，力石〃8。，点/在线段CO上，且

/DEF=.

A

（1）求证：NDFE=NBDC；

（2）若OE平分NAOC,NBDC=2NB,求的度数.

【答案】（1）见解析（2）45°

【解析】

【分析】本题主要考杳了平行线的性质与判定、角平分线的定义等知识点，熟知平行线的性质与判定是解

题的关键.

（1）由平行线的性质和已知条件可证明NAOE=NOEF，则可证明A。IEF,再根据平行线的性质即可

证明结论；

（2）由平行线的性质和角平分线的定义可证明NADC=2NB,则由平角的定义可得

2/8+2/3=180。，然后求解即可.

【小问1详解】

证明：DEBC,

:.ZB=ZADE

•:4DEF=NB，

ZADE=ZDEF

AD|EF,

:"BDC=/DFE.

【小问2详解】

解：・.•DE平分/ADC,

:,ZADC=2ZADE,

・.ZADE=/B，

ZADC=2ZB

・；/BDC=2/B,NBDC+NADC=180。，

.•.2/8+2/3=180。，

ZB=45°.

18.贴春联是中国人过年的重要习俗.春节临近，某百货超市用3960元购进A,8两种春联进行销售，春

联的进价和售价如下表所示.全部销售后可获得利润810元.

4种春联8种春联

进价（元/副）1512

售价（元/副）1814.5

（I）该超市购进两种春联各多少副？

（2）由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），

因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？

【答案】（1）该超市购进A种春联120副，B种春联180副

（2）有4种购买方案，方案一：购买58副4种春联，20副8种春联；方案二：购买41副A种春联，40副

3种春联；方案三：购买24副A种春联，60副4种春联；方案四：购买7副A种春联，80副4种春联

【解析】

【分析】本题考查是二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解的应用.

（1）设购进x副4种春联，）'副8种春联，根据表格信息建立方程组求解即可.

（2）设购进4种春联〃?副，8种春联〃副，根据题意，得20〃2+1加=1500,再利用方程的正整数解的

含义可得答案.

【小问1详解】

解：设购进工副A种春联，丁副8种春联,

15x+12y=3960

根据题意，得《

(18-15)x+(14.5-12)y=810

x=120

解得

j=180

答；该超市购进A种春联120副，8种春联180副.

【小问2详解】

解:设购进A种春联，"副,B种春联〃副，

根据题意，得20〃z+17〃=1500,

整理，得〃2=75—

20

因为〃z7均为正整数,

m=58m=41相=24m=7

所以满足题意的加，“值为”，

/?=20〃=40n=605n=80

所以有4种购买方案，

方案一：购买58副人种春联，20副B种春联；

方案二：购买41副4种春联，40副B种春联；

方案三：购买24副4种春联，60副8种春联；

方案四：购买7副A种春联，80副8种春联.

19.【定义新运算】

b33

对于正实数〃、b,定义运算，满足。例如：16。3=『=:

V164

（1）计算：201=，aQa=（〃为正实数）；

【应用新运算】

（2）对于正实数〃、4若满足40（6〃）一1O（2/?）=8,2O（2x/2«）+9O（3Z?）=10,求小〃的值.

【拓展应用】

(3)如图，记V48C的三边长分别为。、b、c,ZC4E=Zfi4F=90°,AC=AE,AB=AF,AC

[3

//EF.若a+b=5,,求(。。〃)・(。。/?).

ChA

【答案】(1)①，G；(2)J"c：(3)&岳

2[b=213

【解析】

【分析】本题考杳定义新运算，解二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握新运算

的法则是解题的关键：

（1）利用新定义，列式计算即可；

（2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可；

（3）证明乙。的JE4*SAS）,推出AftA尸为直角三角形，三角形的面积公式求出c=，勾股定

理求出/+从=13,完全平方公式变形求出的值，再根据新运算的法则进行计算即可.

【详解】解：（1）201

V224a

6a2=3a-2=,

(2)V4(6«)-1(2b)=b8

VI

2y[2a3b

(缶(

2O2)+9O3b)F飞=2。+Z?=10,

[3«-2Z?=8

]2a+b=\0

a=4

解得《

b=2

(3)解：・.・NG4E=90。，AC\\EF,

:.ZAEF=ZCAE=90°

•・•ZG4E=Z5AF=90n,

；/CAB+/BAE=/BAE+Z.EAF

ACAB=ZEAF

vAC=AE,AB=AFf

.•.△CA^AEAF(SAS)

/.ZBC4=ZAEF=90°,

.LA3c为直角三角形

・"+Zr=(r，

•,­AB=AF，ZBAF=90°,

、BA厂为直角三角形

•・S^ABF=T48?=--c-

.•./=13，即「二9

/.a2+b2=13，

z.(a+b)2-2ab=\3

a+b=5,

/.ah=6

i、/,xabab66

・・・(c")(e)=了7r丁7r

20.【定义1】如图1,在平面内，直线4〃/2，点A、8分别为直线4、4上的点，当ABJJ2时，线段

A8的长称为平行线4、，2之间的距离，记为d（44）・

【定义2】如图2,在平面内，点。为直线/外一点（/既不是水平方向也不是竖直方向的直线），过点。分

别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线/于点反F,我们称折线七杆'为点P关于直线/的“7字形

路径”，“7字形路径”的K度（即尸£+尸尸）称为点尸关丁直线/的“7宇形距离”.

【定义理解】（I）如图3,V48c与V4OE是等腰直角三角形，A3=6，AD=4.①

d（DE,BC）=,②点£关于直线AC“7字形距离”为.

【定义应用】（2）如图4,在平面直角坐标系中，已知直线4：）=2x+l,将直线（向上平移5个单位得

到直线3直线乙分别与工、y轴交于点A、B,直线4分别与工、y轴交于点C、D.

①求d（/i12）；

②求点8关于直线6的“7字形距离”.

【拓展应用】（3）如图5,在平面直角坐标系中，已知直线4：）=2x+l,将直线4沿,，轴平移用个单位

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得直线4，点2为直线4上的动点.若点P关于直线乙的“7字形距离”为5,求直线的表达式，并直

接写出d44）・

D

B

O

DS

图3

【答案】(1)①y/2,»②4；(2)①y/5；②3;(3)4：丁=2);+4或4：y=2x—2；d(J、，b)=1^5

JJ

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、一次函数的平移、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形

等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键.

(1)①由题意可得8D=AB—4)=2,再说明Z)E〃3C；如图：过点。作£>G_L3C,即一。G3是

等腰直角三角形，再用等腰三角形的性质以及勾股定理可得OG=也即可解答；②由等腰三角形的性质

可得竖直方向的长度；如图过点石作交3C于从即是等腰直角三角

形，再求得水平方向的长度为£H=EC=2,进而完成解答；

(2)①由一次函数的平移可得，2：)，=2x+6：如图，过点。作OE，/2交4于点凡交于点区由

可知容易得到VAO8,△CO力均为直角三角形，进而求得08=1、04=；、

OD=6、0C=3,再运用等面积法求得。尸=好、OE=W&最后根据平行线《、4之间的距离求

解即可；②如图，过点4作工轴的平行线交4于点G,然后求得80=5、8G=g,再根据“7字形距

离”的定义求解即可；

(3)由题意可得，2：y=2x+l+，〃，设P(a2z+l+"7),过点夕作PMT轴交乙于点M,过点夕作

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PN||y轴交4于点N,进而可得PM+PN=-\m\+\ni\=-\m|,再根据点P关于直线4的“7字形距

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离”为一，可得一|〃?|二一，解得：〃?=±3,然后分两种情况求解即可.

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【详解】解：(1)①・.・A3