2026年高考数学复习 难题练习-排列与组合（含答案）

2026年高考数学复习难题速递之排列与组合

一.选择题（共8小题）

1.+Cfo=（）

A.凡B.%C.C}}D.a

2.云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术、歌舞服饰、文化风情、宗

教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣

传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（）

A.360B.450C.540D.1020

3.5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，入同报法的种

数是（）

A.6B.120C.125D.243

4.某寝室安排3人打扫卜一周5大的寝室卫生，每大只安排1人，每人至少打扫1大，则有多少种不同的

安排方法？（）

A.120B.150C.240D.300

5.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生,

且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（）

A.720B.1480C.1080D.1440

6.2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪

感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏,

“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两

位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼比不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不

同的站法共有（）

A.16种B.32种C.48种D.64种

7.将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、

乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（）

A.540B.504C.408D.390

8.某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴

趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（）

A.270种B.210种C.180种D.150种

第1页

二.多选题（共4小题）

（多选）9.某班要举办一次学科交流活动，现安排4B,C,D,E这五名同学负责语文，数学，英语，

物理学科相关工作.则下列说法中正确的是（）

A.若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有54种

B.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案

C.若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案

D.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中力不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不

同的方案

（多选）10.平面中有〃（〃23,〃WZ）个不同的点，且任意3点均不共线.从某点开始与其他点连线（连

线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到

达某个点结束，这个图形为一个“通路”.在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回

路”.对干下列三个图形，结论正确的有（）

图1图2图3

A.在图1中，可以绘制7个不同的“通路”

B.在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路”

C.在图2中，可以绘制7个不同的“回路”

D.在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路”

（多选）11.某班要举办一次学科交流活动，现安排力，B,C,D,E这五名同学负责语文、数学、英语、

物理学科相关工作.则下列说法中正确的是（）

A.若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有54种

B.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有.240种不同的方案

C.若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案

D.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中力不负责语文且8不负责数学工作，则有144种不

同的方案.

（多选）12.男、女学生共有8人，若从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则

女生有（）

A.2B.3C.4D.5

三.填空题（共4小题）

第2页

13.在矩形力BC。内部（不包含矩形边界）有〃个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割

成没有公共部分的三角形区域，则当〃=5时，三角形区域的个数为；若对如图所示的三角形

区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要种不同的颜色.

14.已知共有10项的数列｛说是1,2,3,…，10的一个排列，若对于任意正整数〃（1<仁9）,都有四+。什1

<11,则满足条件的不同数列｛斯｝的个数为.

15.。1、。2、43、44、45是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的沱｛2,3,4｝,勿j和卬+i中至少有一个

大于。，则满足要求的排列的总数为.

16.将IF整数1〜10按一定次序排列得到排列〃I，“2•….mo,若排列“1.〃2,….”io中的任意一项内

（14W10）都满足：则满足题意的排列。2,…，⑶。的个数为.

四.解答题（共4小题）

17.某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有〃名学生报名参加（〃25且

"EN”）.活动中有3种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每

种项目都需要若干名学生参与.

（1）若〃=7,且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？

（2）若对于任意的〃名学生，每个项目至少有1名学生参与的分配方案有/〃种，求机关于〃的表达式

（用组合数表示），并证明当〃25时，机是〃的单调递增函数.

18.甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排I

人.

（1）若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？

（2）若甲、乙、丙全部分到同个社区，则不同的安排方法有多少种？

（3）若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？

19.混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件

进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.

（1）一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法？

（2）若第一次抽到的是次品且笫三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？（要求：解答过

程要畲必要的说明和步骤）

第3页

20.在（1+"/）”=。？+。%+。*2+・・・+。；；/+-。$-101+。铲/*的展开式中，把那，叫服，…，哈

叫做三项式系数.

（I）当〃=2时，写出三项式系数状，耳，以，房,质的值：

（II）二项式（。+8）〃（〃6N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图：当0W〃W4,〃£N

忖，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的〃次系数列的数阵表：

3

求吸16416—^2016^2016+质026*016—•力瑞然瑞第勺值（可用组合数作答）.

(111)20

第

1行

第

2行

第

3行

第

4行

第

5行

第

6行

第4页

2026年高考数学复习难题速递之排列与组合

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BCDBDBDD

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案BCDACDBCAB

一.选择题（共8小题）

1.+Cfo=（）

A.凡B.GC.C；；D.4

【考点】组合及组合数公式.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】根据组合数性质二c7+GTL从而可解.

【解答】解：根据组合数性质01=优+q?T,

可得C?o+C；o=琦:

故选：B.

【点评】本题考查组合数性质，属于中档题.

2.云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术、歌舞服饰、文化风情、宗

教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣

传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（）

A.360B.450C.540D.1020

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】由排列、组合及简单il数问题，结合分类加法il数原理求解.

第5页

【解答】解：在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗

文化，每个景点至少安排1人，

分三种情况：

若三个景点安排的人数之比为1：2：3,

则有C底用=360种安排方法:

若三个景点安排的人数之比为1：1：4,

CGC'I

2Clc2'i用=90种安排方法:

则有4242

若三个景点安排的人数之比为2：2：2,

则赍用

=90种安排方法;

故不同的安排方法种数是360+90+90=540.

故选：C.

【点评】本题考杳了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题.

3.5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，入同报法的种

数是（）

A.6B,120C.125D.243

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】D

【分析】根据分步乘法计数原理相关知识可解.

【解答】解：5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，

则不同报法的种数为35=243种.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

4.某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的

安排方法？（）

A.120B.150C.240D.300

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题

rc题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】B

第6页

【分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将•5天分成3组的情况数目，②、将分好

的三组全排列，对应3人由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解•：某寝室安排3人打扫下•周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，

分2步进行分析：

①将5天分成3组，

若分成1、1、3的三组,10种分组方法,

若分成1、2、2的三组,15种分组方法,

则将5天分成3组，有10+15=25种分组方法：

②将分好的三组全排列，对应3人，有用=6种情况；

所以不同的安排方式则有25X6=150种.

故选：B.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题.

5.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生,

且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（）

A.720B.1480C.1080D.1440

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】D

【分析】依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习

关生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可.

【解答】解：已知选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，且要求每个乡

镇分配3名医生，每个乡镇至少有一名主治医师，

则主治医师的分配方案有2种，即“2+2+1”或“3+1+1”.

22

535

2

当主治医师按照“2+2+1”分配时，主治医师的分法种数为42

再将4名实习医生按照“1+1+2”与之配成对应的三组，分法种数为以己=12,

最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为a=6,

根据分步乘法计数原理，不同H勺分配方法种数为15X12X6=1080；

当主治医师按照“3+1+1”分配时，主治医师的分法种数为=10,

第7页

再将4名实习医生按照“0+2+2”与之配成对应的三组，分法种数为《=6,

最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为题=6,

根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为10X6X6=360.

根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为1080+360=1440.

故选：D.

【点评】本题考查了平均分组问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题.

6.2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人艮的民族自豪

感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏,

“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两

位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼比不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不

同的站法共有（）

A.16种B.32种C.48种D.64种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”，“90后”相邻的排法，即可求解.

【解答】解：根据题意，6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼

此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，

两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有鹿种排法，

剜下的四名宇航员共有川种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或

右侧的排法共有2掰鹿种,

所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻,

则不同的站法共有度（川-2房及）=32种.

故选:B.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

7.将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、

乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（）

A.540B.504C.408D.390

【考点】简单排列问题.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

第8页

【答案】。

【分析】先分组后分配，再间接减去甲、乙在一起的情况即可.

c1

5

+

A23+c'ic'ic})-Al=540种,

【解答】解：总的分配方法有2A3

若按照4：1：1分堆，甲、乙在一•起的情况有篇禺=36种:

0C2

42

=8种

42

若按照2：2：2分堆，甲、乙在一起的情况有2

若按照3：2：1分堆，甲、乙在一起的情况有以髭用+缁用=96种,

故不同的分配方法数为540-36-18-96=390.

故选：D.

【点评】本题考杳排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

8.某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴

趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（）

A.270种B.210种C.180种D.150种

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】对应思想：定义法；排列组合；运算求解.

【答案】。

【分析】把问题转化为先把5名同学分为3组，再把这3组同学分配给3个兴趣小组即可解决.

【解答】解：已知有5名学生选择参加兴趣小组且这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都

有人选，

先将5名学生分成三组，每组人数有1,1,3或2,2,1两种情况，

13221

5ck3c5。3c1

种

2+2

力

则不同的分组方法有力27

再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有种,

c1c1C2C

53

/,

。2

4乙A)4g=150种.

由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择方法有（2

">乙

故选：D.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.某班要举办一次学科交流活动，现安排4B,C,D,E这五名同学负责语文，数学，英语,

物理学科相关工作.则下列说法中正确的是（）

A.若这五人每人任选•门学科，则不同的选法有54种

第9页

B.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案

C.若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案

D.若每人安排一门学科，每门学科至少一-人，其中4不负责语文且4不负责数学工作，则有138种不

同的方案

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】分类讨论；分类法；排列组合；运算求解.

【答案】BCD

【分析】对每个选项，通过分组分配法计算方案数，选项4直接计算选择数，选项8、C通过“分组+

分配”计算，选项。结合容斥原理修正限制条件后的方案数.

【解答】解：选项4每人选一门学科，共4门学科，每人有4种选择，总选法为45,并非5、4错误.

选项丛每门学科至少一人，将5人分为2,1,1,1的组，分组方式有或种：再将4组分配到4门学科,

有用种.

计算得或X*=10X24=240,B正确.

选项C：数学安排两人，其余学科各一人，从5人中选2人负责数学，有心种；剩余3人分配到其余3

门学科，有属种.

计算得C：x题=10x6=60,。正确.

选项。：每门学科至少一人，且力不负责语文、8不负责数学.总方案数为240；

A负贡语文的方案数为心x国+《x或x另—24+36—60；B负货数学的方案数同理为60：

A负责语文且4负责数学的方案数为18.符合条件的方案数为240-60-60+18=138,0正确.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查排列组合的分组分配问题与容斥原理的应用，属于中档题.

（多选）10.平面中有〃（“23,〃6Z）个不同的点，且任意3点均不共线.从某点开始与其他点连线（连

线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到

达某个点结束，这个图形为个“通路在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为个“回

路”.对于下列三个图形，结论正确的有（）

■

•••

••

••・•••

图1图2图3

A.在图1中，可以绘制7个不同的“通路”

B.在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路”

第10页

C.在图2中，可以绘制7个不同的“回路”

D.在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路”

【考点】排列组合的综合应用

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解；新定义类

【答案】ACD

【分析】在图1中，一共可以组成尸3条线段，分情况讨论“通路”：由I条线段组成，由2条线段

3

组成，由3条线段组成，可判断人在图2中，4个点两两连接，最多有46条线段，根据间接法求

4

由3条线段组成的不同的“通路”，可判断8；在图2中，分别求出两类：任意三点首尾相连，由4个端

点4条线段组成的不同的“回路”，即可判断C在图3中，分类：任意三点首尾相连（3条线段）可以

组成的“回路”，由4个端点4条线段组成的不同的“回路”，由5个端点5条线段组成的“回路”，相

加即可判断。

【解答】解：根据题意，依次分析选项

对于4在图1中，有3个点，3个点两两连接，可以组成？=3条线段

3

仅由I条线段组成的“通路”芍下3个

3

仅由2条线段组成的“通路”有至3个

由3条线段组成的“通路”有I个

则可以绘制3+3+1=7个不同的“通路”,A正确

对于5,在图2中，有4个点，4个点两两连接，最多有交6条线段

仅由3条线段组成的图形有＞20个

但三条线段共一个端点的图形不能组成“通路”

所以仅由3条线段组成的不同的“通路”有24=16个，8错误

对于C,在图2中，任意三点首尾相连可以组成去4个“回珞”

由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有如下3种，其他情况不能组成“回路”

所以可以绘制4+3=7个不同的“回路”，C正确；

对于Q,在图3中，在5个点中任选3个，三点首尾相连，可以组成出=10个“回路”；

在5个点中任选4个，由C的结论，可以组成的不同的“回路”有Cgx3=15种，

如图4,任选一个点，该点最多在四条线段上，在这4条线段中任选两条线段，有*=6种不同的选法,

第11页

如图5,在每一种选法上，将在线段上的点力，8与不在线段上的点C,。，2个为一组分别连接起来,

有6=2种不同的选法，最后连接CD,

如图6、图7所示，由5个端点5条线段组成的“回路”有6X2=12个.

故可以绘制10+15+12=37个至多由5条线段组成的不同的“回路”，。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查排列组合的应用，注意“通路”、“回路”的定义，属于中档题.

（多选）11.某班要举办一次学科交流活动，现安排-B,C,D,E这五名同学负责语文、数学、英语、

物理学科相关工作.则下列说法中正确的是（）

A.若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有54种

B.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案

C.若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案

D.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中力不负责语文且8不负责数学工作，则有144种不

同的方案.

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】计算题；分类讨论；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】BC

【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解.

【解答】解：对于4：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有45种，故力错误；

对于8：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人，

把这五人分成四组共有茅巾方法,再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种』

由分步计数乘法原理可知：有§=30X24=240种不同的方案，故8正确；

对于c若数学学科必须安排两人，则有存方法，其余学科各安排一人共有种：

根据分步计数乘法原理可知：有卜10X6=60种不同的方案，故。正确：

对于“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项6）,需排除“力负责语文”

或“8负责数学”的情况，用容斥原理计算：

情况1：A负责语文：

第12页

.4固定在语文，分2种情况：

34

①语文为'2人组”3+1人）:选1人加入语文（乙）,剩余3人分配到其他3科（题），方案数:C；3=X

6=24；

②语文为“1人组”（仅力）：先从C、。、E分为三组（2,1,1）,有自种方法，

再将三组分到数学、英语、物理，有用种方法，故总的方法数为：或x题=36；

情况1总方案数:24+36=60.

情况2：4负责数学：

与“情况1”对称，总方案数同样为60.

情况3：4负责语文且8负责数学（重复减去的部分），

.4负责语文且8负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下：

①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有属种方法，最后1人去语文或数学有小

21

4力12

种方法,方法数:3X2

②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2,I）,有2种分法，两组分配到英语和物理，有/种分法,

26

故方案数为废2-

故情况3总万案数：12+6=18.

根据容斥原理,不符合条件的方案数为:60+60-18=102,

因此，符合条件的方案数为：240-102=138,故。错误.

故选：BC.

【点评】本题主要考查排列组合的综合问题，考查运算求解能力，属于中档题.

（多选）12.男、女学生共有8人，若从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则

女生有（）

A.2B.3C.4D.5

【考点】排列组合的综合应用

【专题】计算题；转化思想：综合法；排列组合；运算求解.

【答案】AB

【分析】设出男学生有x人，杈据一共有8人得到女学生有8-x人，根据从男生中选2人，从女生中选

1人分别，共有30种不同的选法，得到关于x的等式Cx2c83=30,解出x即可.

【解答】解：设男学生有x人，则女学生有8-x人，

从男生中选2人，从女生中选1人，共有30种不同的选法，是组合问题，

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・・・CX2C8」=30,

・・・x(X-1)(8-x)=30X2=2X6X5,或x(x-1)(8-x)=3X4X5.

，x=6,8-6=2,或x=5,8-5=3.

女生有：2或3人.

故选：AB.

【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意排列与组合的区别，由x(x-1)(8-x)=60解出x的

值运算量与难度都比较大.

三.填空题(共4小题)

13.在矩形力8c。内部(不包含矩形边界)有〃个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割

成没有公共部分的三角形区域，则当〃=5时，三角形区域的个数为_[!_；若对如图所示的三角形区

域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要3种不同的颜色.

【专题】计算题；方程思想：转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】12；3.

【分析】在矩形/AC。内部(不包含矩形边界)有〃个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩

形分割成没有公共部分的三角形区域，利用等差数列得到三角形的个数为2〃+2,将〃=5代入得解；若

对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，至少需要3种不同的颜色.

【解答】解：根据题意，在矩形48CQ内部(不包含矩形边界)有〃个点，

将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，

设三角形的个数为斯，

当〃=1时，这个点和矩形的四个点构成4个的满足条件的三角形，即“1=4；

当〃=2时，第二个点是在满足第一个点的三角形中的一个三角形内部，这个点和这个三角形的三个点构

成三个满足条件的三角形，同时去掉这个点所在的大三角形，故。2=m+3・l=m+2；

同理,an—an-1+2,故ai，。2，。3，…，。〃构成等差数列，首项为。1=4,公差为d=2,

故.a“=ai+(n-1)4=4+2(n-1)=2n+2

则二角形的个数为2〃+2,

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则当〃=5时，三角形的个数为2X5+2=12；

若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，

如果用2种颜色，则1,3同色且2同色，且两色相异，则5必定与1,4中某块同色,

与题设不合：

如果用3种颜色，

假设在I号区域内涂红色，在2,5号区域内涂黑色，在6号区域内涂黑色，

在4号区域内涂红色，则在3号区域内不能涂红色和黑色，只能涂第三种颜色，

假设在3号区域内涂蓝色，在7号区域内涂黑色，在8号区域内涂红色，

故至少需要3种不同的颜色.

故答案为：12；3.

Aisr----------------------B

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及等差数列的定义和应用，属于中档题.

14.已知共有10项的数列{a〃}是1,2,3,…，10的一个排列，若对于任意正整数A(1W〃W9),都有四十。什i

＜11,则满足条件的不同数列S八的个数为32.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；集合；运算求解.

【答案】32.

［分析］根据题意债+。什IW1I,易得4|+42=。3+。4=45+。6=〃7+48=〃9+。10=11才能满足要求，通过不等

式可知内＞43＞。5＞。7＞。9,故分类讨论41=10和QlWlO不同情况下其余八个数的排序情况/(4),从

而找到十个数排列情况/(5)=2/(4),进而推出/(〃)=2/(/7-1),而两个数的排列/(I)=2,以

此递推进而求出答案.

【解答】解：因为共有10项的数列{%}是1,2,3,…，10的一个排列，若对于任意正整数*(1WAW9),

都有ak+qjt+iW11,

所以{。〃}的各项之和S=55=+(。3+。4)+…+(。9+。10)W11X5,

所以必有”|+。2=〃3+。4=05+。6=〃7+。8=。9+410=11，

将10个数划分为5组，每组的和为11,只能是{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6}.

由于皿+四+1W11，所以41+42=11与。2+。3可得。1＞。3，进一步可得

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考虑〃组数{1，2〃},{2,2〃・1},…，{〃，〃+1}满足奇数项递减的所有情形，总数记为/(〃)，要求了

(5)：

①当41=10时，02=1，此时后四组排在S・(3W/W10),可以将后4组每组减去1,得{1,8},{2,7},

{3,6},{4,5},

将这四组排在⑺(3WiW10),即为〃=4的情况，因此共有/(4)种；

②当⑺W10时，因为奇数项递减，故奇数项任意一项不可能等于10,且这十。叶iWU,

若加=10,则=若〃?#10,则0〃-1不是第九个数，下一个奇数项存在且不满足奇数项递减，与

题不符，

则必然有410=10,则49=1，比时后四组排在0(1W/W8),与①中类似可得方案数为/(4)；

一般地,有递推关系/(〃)=2/(/?-1),而/⑴=2,/(2)=4,所以/(5)=32.

故答案为：32.

【点评】本撅考杏数列的综合应用，分类讨论思想的应用，属难撅.

15.。1、。2、内、44、45是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的泪{2,3,4},的.］和的+1中至少有一个

大于。，则满足要求的排列的总数为」.

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】16.

【分析】先判断出5的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字4的位置，结合对称性可求解

出满足要求的排列的总数.

【解答】解：因为没有比5大的数，所以5只能排在第一位或者第五位，

当5排在第一位时，若4排在第二位，

此时排列可以是(5,4,1,2,3),(5,4,2,1,3),(5,4,3,1,2),(5,4,3,2,1),共4种情

况；

当5排在第一位时，若3排在第二位，此时没有比4人的数，故4只能排在第五位，

此时排列可以是(5,3,1,2,4),(5,3,2,1,4),共2种情况；

当5排在第一位时，若2排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位，

此时排列可以是(5,2,1,3,4),共1种情况；

当5排在第一位时，若1排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位，

此时排列可以是(5,1,2,3,4),共1种情况：

由上可知，当5排在第一位时，共有4+2+1+1=8种情况，

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同理可得，当5排在第五位时，也有8种情况满足条件，

综上所述，共有16种排列满足条件.

故答案为：16.

【点评】本题考查了数字排列问题，属于难题.

16.将正整数1〜10按一定次序排列得到排列m,。2，…,aio,若排列ai,。2，…，。10中的任意一项s

（1WW10）都满足：-IWs-W1,则满足题意的排列ai,。2,…，mo的个数为89.

【考点】简单排列问题.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】89.

【分析】记1,2,3,…，〃的有效新排列的个数为/考虑数字〃在排列中的位置，根据递推法确定/〃

进而可得新排列的个数.

【解答】解：因为任意一项由都满足：-14出7式1,

则每个数字0可以是一1，八或计1,记1,2,3,…，〃的排列的个数为

考虑数字〃在排列中的位置：

①如果飙=〃，则剩下的排列个数为_/〃」，

②如果金1=〃，则因此剩下的排列个数为/〃.2，

故,启=/“-巾-2,由于力=1,龙=2,

故方=3,加=5,力=8,力=13,力=21,%=34,为=55,./io=89.

故数列ai,。2，…,mo的个数为89.

故答案为：89.

【点评】本题考查排列位置无限制的排列问题，属于难题.

四.解答题（共4小题）

17.某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有〃名学生报名参加（〃25月.

HEN*〉.活动中有3种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每

种项目都需要若干名学生参与.

（1）若〃=7,且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？

（2）若对于任意的〃名学生，每个项目至少有1名学生参与的分配方案有,〃种，求用关于〃的表达式

（用组合数表示），并证明当加25时，加是〃的单调递增函数.

【考点】排列组合的综合应用

【专题】计算题；方程思想；传化思想；综合法；排列组合；运算求解.

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【答案】(1)1806；

(2)m=3n-Cjx(2n--Cj,证明见解析.

【分析】(1)将7个人分为三组每组至少一人，先计算出分组的总数，然后可计算出分配方案数；

(2)先计算出将〃名学生随机分配到三个项目的方法数，然后减去有一个项目没人去、有两个项目没人

去的方法数，由此可得结果；再通过作商法比较华》与1的大小关系即可证明出单调性.

m(n)

【解答】解：(1)根据题意，分2步进行分析：

将7个人分为三组每组至少一人，

其中每组的人数可以是(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3),

15

C6C5

21种

2

每组人数是1,1,5时，分组方法有42

每组人数是1,2,4时，分组方法有©/以二105种,

33

C6C3

每组人数是1,3,3时，分组方法有270种，

i42