2026年高考数学一轮复习：新高三数学开学摸底考试模拟卷（学生版+解析）

新高三数学开学摸底考试模拟卷

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正

确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1.（2024•兴庆区校级模拟）已知集合4={x|/g（x-l）,,O},B=3）,则A0|8=（）

A.[-1,3]B.（1,2]C.（1,3]D.[-1,2]

2.（2024•浙江模拟）已知复数z满足（l+2i）z=4+3i,则z的虚部是（）

A.-1B.-iC.1D.i

3.（2024•罗湖区校级开学）已知平面向量a,〃满足a・（a+b）=3,且|〃|=2,|/?|=1,则向量a与方夹角

的正弦值为（）

1

A1R6Cn

2222

4.（2024春•濮阳月考）在AA3C中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A=12O。，〃=2ccosC,

则C=（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

5.三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的

传球方式共有（）

A.4种B.10种C.12种D.22种

6.（2024•莲湖区校级三模）已知不尸2是椭圆各看=1的两个焦点，尸是椭圆上一点，贝"I尸用・|匹|

的最大值是（）

25

A.—B.9C.16D.25

4

7.函数/"）=2sin兀X73X-£所有零点的和等于（）

A.6B.7.5C.9D.12

8.（2024•安徽模拟）已知数列{勺}的前〃项和为S"，数列色」的前〃项和为（，且c*=S”+〃，4=1,

，=—^，则使得恒成立的实数M的最小值为（）

q+1

37

A.\B.-C.-D.2

26

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

9.（2024春•河北期末）下列命题中正确的是（）

A.已知随机变量X服从二项分布8（〃,〃），若E（X）=30,ZX%）=20,则〃=（

B.若随机变量N（2,，），且P（c>5）=0.2,贝iJP（1</7<5）=0.6

C.一组数据I,3,5,7,9,II,13的第60百分位数为7

D.若样本数据%,勺，…，工”的平均数为3,则3%+1,3x,+l,,3月+1的平均数为10

10.（2024•罗湖区校级开学）形如/（幻二如+乙心。,〃〉。）的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模

型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“Y”，所以也称为“对勾函数”.研究证明，对勾函数可

以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函

数/'（X）=X+L的说法正确的是（）

A.渐近线方程为x=0和y=x

B.y=/（幻的对称轴方程为）=（0+l）x和y=（l-&）x

C.M,N是函数/（x）图象上两动点，尸为仞V的中点，则直线MN,OP的斜率之积为定值

D.Q是函数/（幻图象上任意一点，过点。作切线，交渐近线于A,3两点，则AOAb的面积为定值

11.如图，矩形A4a>中，M为4c的中点，将AA8W沿直线AM翻折成△,连结片Z）,N为B、D

的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

A.存在某个位置，使得CNJ_A&

B.翻折过程中，CV的长是定值

C.若AB=BM,则

D.若/W=8W=1,当三棱锥用-/LW力的体积最大时，三棱锥用-八”/）的外接球的表面积是4万

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

12.（2024春•鼓楼区校级月考）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且四边形AAC7）是边长为10的

正方形，则这个八面体的体积是

13.（2024•衡阳县校级开学）已知圆C:/+y2—4x+6y—12=0,直线/:4x-3y+23=0,尸为/上的动点，

过点尸作圆。的切线，切点为M,则|PM|的最小值为.

14.（2024春•潮阳区校级月考）已知直线/与曲线），="相切，切点为"（芭，,），与曲线），=（x+3）2也相

切，切点是N（G，为），则入2-2占的值为.

四、解答题：本题共5小题（134-15+15+17+17）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

15.如图，在四边形A6CZ）中，AC＜、CD=2AD,ZADC=—.

3

（I）求NC4O的正弦值；

（II）若NK4C=2NC4O,且A44C的面积是A4C7）面积的4倍，求A4的长.

D

BkC

16.（2024春•长寿区期末）某校开展阳光体育“春季长跑活动”，为了解学生对“春季长跑活动”是否感

兴趣与性别是否有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，所得数据制成卜表;

感兴趣不感兴趣合计

男生8

女生32

合计80100

（1）完成上面的2x2列联表:

（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对“春季长跑活动”是否感兴趣与性别有关联？

_n(ad-be)2

参考公式:其中〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附:

a0.150.100.050.0250.0100.001

々2.7022.7063.8415.0246.6357.87910.828

17.（2024•延边州模拟）己知函数f（x）=ex+msinx.

（I）若函数/（x）在（0,外上单调递增,求正实数列的取值范围;

（n）求证：当〃?=1时，/（X）在（-乃,+co）上存在唯一极小值点/,且-1</（不）<（）.

18.（2024♦江苏开学）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正力形，平

面平面ABC。，点夕是棱OR的中点，点Q在棱8C上.

⑴若BQ=3QC,证明：PQ*平面ABBiA；

（2）若二面角P-QO-A的正切值为5,求8Q的长.

19.（2024•回忆版）已知双曲线。:/-），2=皿〃?>0）,点4（5,4）在。上，A为常数，（）<2<1,按照如下

方式依次构造点匕5=2,3,）,过2T斜率为％的直线与C的左支交于点QT，令工为Q,i关于轴的

对称点，记勺的坐标为（％,y„），

（1）若k=；,求吃，为；

（2）证明：数列｛乙-然｝是公比为上史的等比数列：

\-k

（3）设5”为△6&岗+2的面积，证明：对任意的正整数〃，S『S2

新高三数学开学摸底考试模拟卷

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正

确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1.（2024•兴庆区校级模拟）已知集合4={划僚》一1）,,0},8={划一微k3},则人「|8=（）

A.[-1,31B.（1,2]C.（1,31D.[一1,2]

【分析】求解对■数型函数的定义域化简集合A，然后直接利用交集运算求解.

【解答]解0<x—l蒯nlvx2,

：.A=（\,2],

v5-（x|3）=L1,3]

AQB=（1,2],

故选：B.

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，是基础题.

2.（2024•浙江模拟）已知复数z满足（l+2i）z=4+3i,则z的虚部是（）

B.C.1D.i

【分析】把己知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

4+3/(4+30(1-2/)

【解答】解:由(l+2/>z=4+3i,

1+2/-(1+2/)(1-2/)

••.z的虚部是一1.

故选：A.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3.（2024•罗湖区校级开学）已知平面向量。，〃满足〃・（。+/力=3,且|〃|=2,仍|=1,则向量〃与。夹角

的正弦值为（）

【分析】根据向量的数量积的运算和同角的三角函数的关系计算即可.

【解答】解:。・（。+〃）=3,且|〃|=2,出|=1,

/.a2+a4)=3»

/.a»b=-l,

设向量a与〃夹角为。，

两向量的夹角夕的取值范围是，6>s[0,划，

a,b

/.cos0=

\a\\b\2

/.sin0=Q'-coCe=—,

2

故选：O.

【点评】本题考查了向量的数量积的运算和同角的三角函数的关系，属于基础题.

4.（2024春•濮阳月考）在AABC中，内角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,已知A=120。，a=2ccosC，

则C=（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式求出sin2C的值，求出2C的取值范围，即可得出角C的值.

【解答】解：因为A=120。，a=2ccosC,由正弦定理可得sinA=2sinCcosC=sin2C,

所以，sin2C=—,

2

因为0°vCv60。，则0°v2Cvl20°,所以，2c=60°,解得C=30。.

故选：C.

【点评】本题主要考查了正弦定理及二倍角公式的应用，属于基础题.

5.三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的

传球方式共有（）

A.4种B.10种C.12种D.22种

【分析】根据题意，做出树状图，分析查找可得答案.

【解答】根据题意，做出树状图，

注意第四次时球不能在甲的手中.

分析可得,

共有10种不同的传球方式；

故选：B.

【点评】本题考杳分类加法计数原理，解本题时，注意转化思想，利用树状图分析、解题.

6.(2024•莲湖区校级三模)已知不鸟是椭圆看=|的两个焦点，尸是椭圆上一点，贝111ml叫|

的最大值是()

25

A.—B.9C.16D.25

4

【分析】利用椭圆的定义可得|尸匕|+|尸乙|=10,再利用基本不等式,即可求得IMH桃I的最大值.

【解答】解：由题意，|尸耳|+|尸质|=10,

••'IPFi\+\PF2\..2yl\PFl\\PF2\,

当且仅当||=|夕马|=5时，等号成立，

”£卜|桃|,,25,

的最大值是25.

故选：D.

【点评】本题考查椭圆的定义，训练了利用基本不等式求最值，是基础题.

7.函数/")=2sin兀x-13/-W所有零点的和等于()

A.6B.7.5C.9D.12

【分析】/(x)的零点即方程2sin/rx=_F的解，即函数〃(x)=2sin%x与函数g(x)=J5^~7的图象交

点的横坐标，注意函数八用所有零点共计6个，/(幻所有零点关于宜线％=g对称，数形结合求得函数/3)

所有零点的和.

【解答】解：函数的零点即方程的inn=的解,

即函数〃(x)=2siim(红色部分)与函数g(x)=x/3x-H的

图象交点的横坐标.

•/1(0)=^(0),故两函数的图象都是从原点出发，

且(0,0)是一个交点，

由干函数g(x)的定义域为［0,3］,h(3)=g(3)=0,

且两个函数的图象都关于直线对称.

2

函数g(x)对应的曲线方程为(.r--)2+y2=-(y..0),

2'4

表示一个半圆(用虚线画)，如图中所示：

半圆在x=0、x=3处的切线斜率不存在，

而力")在x=0、x=3处的切线斜率分别为7(0)=3,尸(3)=一3,

可见，这两个函数的图象在区间［D,3］上有6个交点，且这些交点关于直线x=3对称,

2

而两个关于直线x=3对称的点的横坐标之和等于3,

2

故函数/(x)所有零点的和是9,

【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题.

8.(2024•安徽模拟)己知数列｛4｝的前〃项和为5”，数列｛々j的前〃项和为7；,且。向二5〃+〃，4=1,

"=—!—，则使得《＜加恒成立的实数M的最小值为()

勺+1

37

A.1B.-C.-D.2

26

【分析】由数列递推式可证明应+1｝,2为等比数列,可求得当〃..2时，4+1=3・2力,从而求出7；,

得出实数”的最小值.

【解答】解：由a”+i=S"+〃，4=1,可知：

当〃=1时，%=4+1=2，

当〃..2时，au=5„_,+〃一1,

所以4+L4=5“+〃-⑸-+1),

即〃向=%”+1，

所以4*i+1=2(4+1),又4+1H2(4+1),

则{4+1},几.2为等比数列，an=\：-

3,乙-1,H..Z

即〃..2时，q+1=32\

口一巾,11八117117田〃7

所以(=—+—(1+F+--r)=----X---r<—»1x)M..r-»

"232T-2632n-266

故实数例的最小值为1.

6

故选：C.

【点评】本题考查由数列递推式求数列通项，进而对数列求和，属中档题.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

9.(2024春•河北期末)下列命题中正确的是()

7

A.己知随机变量X服从二项分布仅心p),若E(X)=30,D(X)=20,则〃=：

B.若随机变量£~N(2,〃)，且P(C>5)=0.2,则P(—1<£<5)=0.6

C.一组数据1,3,5,7,9,11,13的第60百分位数为7

D.若样本数据斗,与，…，与的平均数为3,则35+1,3X2+I,,3%+1的平均数为10

【分析】根据二项分布期望、方差公式判断A,根据正态分布的对称性判断8,根据百分位数的概念判断

C，根据平均数定义计算

E(X)=np=30

【解答】解：对4,由题意解得〃=L故A错误;

D(X)=np(l—p)=203

对B,由正态分布的对称性知，P(£<T)=P(£>5)=0.2,

贝IJP(T<£<5)=1-P(£<-I)-P(£>5)=0.6,故8正确；

对C,由7K60%=4.2知，第60百分位数为由小到大排列的第5个数9,故C错误;

对D,由题意知N+W++9=3,

n

则可+1)+(3W+1)+.・+(3.+1)=3(内+毛++Q+〃=3X3+1=1。,故。正确.

nn

故选：BD.

【点评】本题主要考查二项分布期望、方差公式的应用，考查正态分布的对称性等知识，属于易错题也是中

档题.

10.(2024•罗湖区校级开学)形如/(1)=⑪+25>0力>0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模

X

型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“Y”，所以也称为“对勾函数”.研究证明，对勾函数可

以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线.已知o为坐标原点，下列关于函

数f(x)=x+-的说法正确的是()

x

A.渐近线方程为x=0和)，=人

B.y=f(x)的对称轴方程为)；=(&+l)x和)，=(I-立)x

C.M,N是函数/(x)图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN,OP的斜率之枳为定值

D.Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于A,B两点,则AOA4的面积为定值

【分析】对于A：根据题意结合图象分析判断；对于8：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算；对

于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于。：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果.

【解答】解：因为/(人)二人+，是双曲线，由图象可知：函数/")图象无限接近人=0和)，=入，但不相交,

X

故渐近线为x=0和)，=工，故A正确；

因为/(x)=x+J■是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直,

45°

一条直线的倾斜角为45。+方=67.5。，

由二倍角公式可得345。"蓝鲁舒"

整理得（tan22.5o）2+2tan22.5。-1=0,解得322.5。=夜-1或团122.5。=-应-1（舍去），

故k.=tan67.5°=tan(45°+22.5°)="=22.5。=近十】，

11-tan22.5°

另一条直线的斜率为《=故3正确；

设W(X，y),Ngy,),所以~~—，^=2ki21,

Xj-x2+x2

21(M+—)2-(-v2+一—

故LY&L2WM-X，2」-「2,故C错误；

X]一石Xx~X2%1x2

因为f'(x)=l--»

r

设Q{tj+；),则Q处切线的斜率k=/*(/)=!-1,

所以切线方程为y=(l-9)(xt)+/+；,

ii7?。

令工=0,可得丁二0-丁乂一0+1+-=一，即A(0,一),则|。4|=二；

rtti|r|

I]0

令y=x=(l)(—+—=£,可得x=2n即5⑵⑵),则|。8|=2夜|八；

rtt

故AOA3面积为邑3gx(jx2廊|x*2(定值)，故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题.

II.如图，矩形A8CD中，〃为3c的中点，将AA8W沿直线AM翻折成△八eM,连结与。，N为片。

的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

B：-

M

A.存在某个位置，使得CV_LAq

B.翻折过程中，CV的长是定值

C.若AB=BM,则AMJLgZ）

D.若AB=8M=1,当三棱锥用-AMO的体积最大时，三棱锥用-4MO的外接球的表面积是44

【分析】对于A：取4）中点石，连接EC交与尸，则NE；"/NFIfMB、,由CN_L做，得ENtNF,

若EN1CN,且三线M?,NF,NC共面共点，不可能；对于8:NNEC—（定值）,NE=；AB、（定

值），AM=EC（定值），由余弦定理可得NC是定值：对于C：取/W中点O,连接30,DO,由题

意得AWL面。。线，即可得。D_LAW,从而A/）=MD,由题意不成立；对于。：当平面J■平面AM力

时,三棱锥片-AMD的体积最大，由题意得A力中点H就是三棱锥§-AMD的外接球的球心,球半径为1,

表面积是4不.

【解答】解：对于4：如图1，取4）中点E,连接EC交MD与r，

则NE/乂片，NF”MB\,

如果CN_L/W1,可得到£7VJ.NF,

又EN1CN,且三线N£,NF,NC共面共点，不可能，故A错误

对于8：如图1,可得FhNNEC=NM4S（定值），

NE=3A与（定值），AM=EC（定值），

由余弦定理可得NC，-NE2+EC2-2NE-ECcosNNEC,

.•.AC是定值，故4正确.

对于C：如图2,取AW中点O,连接用O,DO,

由题意得40_1_面。。用，即可得与。_LAM,

从而AD=MD,由题意不成立，可得C错误.

对于。：当平面与AM_L平面AM。时，三棱锥与-八M£）的体积最大，

由题意得4）中点H就是三棱锥4-AMD的外接球的球心，

球半径为I,表面积是4不，故。正确

【点评】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，

考查了反证法的应用，属于中档题.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

12.（2024春•鼓楼区校级月考）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且四边形ABC。是边长为10的

正方形，则这个八面体的体积是_侬叵

【分析】根据已知条件及勾股定理，结合棱锥的体积公式即可求解.

【解答】解：由题意可知，正四楂锥的高为〃=Ji。?一（5拉尸=5夜,

所以八面体的体积是V=2VF_AfiCD=2x-xSAftCD-//=2x-xl0x10x5\/2=.

故答案为：咽逑.

3

【点评】本题主要考查几何体的体积，考查运算求解能力，属于基础题.

13.（2024•衡阳县校级开学）已知圆+）/-4工+6），-12=0,直线/:4x—3y+23=0,尸为/上的动点，

过点P作圆。的切线，切点为则|PM|的最小值为_屈_.

【分析［把问题转化为圆心到直线的距离的最小值问题，利用点到直线的距离公式求出IPCI的K的最小值，

利用勾股定理求出此时IMPI的最小值.

【解答】解：因为圆C：f+），2一41+6），-12=0即（x—2）2+（y+3）2=25；

圆心为C（2,-3）,半径为r=5；

又因为：|PA/|=J|PC|2一|CM|2=J|PCT-25,

・••当IPCI取最小值时，IPM|长取最小值，

又因为：C到宜线4工-3），+23=0的距离等于：d=l,：+『=8,

即|PC|的最小值为8,

门户例|长的最小值为J64-25=回.

故答案为：739.

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的切线性质，勾股定理，点到直线的距离公式，

解题的关键是过圆心作已知直线的垂线，过垂足作圆的切线，得到此时的切线长最短，属中档题.

14.（2024春•潮阳区校级月考）已知直线/与曲线），=靖相切，切点为M（x，y,）,与曲线y=*+3了也相

切，切点、是N（&，%），则2筋的值为1.

【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解.

【解答】解：设直线/与曲线y=，相切于M（5,y）,

又y'=e',.•.直线/的斜率为左=F,

可得〃处的切线方程为y—八二八"一%），即y=e“x+（l—%）武；

直线/与曲线y=*+3）2相切于，乃），由y'=2（x+3）,

得切线方程为y—(x2+3)-=2(占+3)(x—x2),

即y=2(JT2+3)x+9-Xj.

直线/与两条曲线都相切，，两条切线相同，

则e"=2(七+3)>0且(1一M)炉=9一只，

则(1一%)x2(%+3)=9-X，即(1一%)[2(占+3)J=(3-X2)(3+x2),

可得2(1-％)=3-8,解得三一2%=1.

故答案为：I.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考杳化归与转化思想，考查运算求解能力，是

中档题.

四、解答题：本题共5小题(13+15+15+17+17)满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

15.如图，在四边形43C。中，AC=yfl,CD=2AD,ZADC=—.

3

(I)求NC4D的正弦值；

(11)若NE4C=2NC4O,且AABC的面积是A4CO面积的4倍，求的长.

【分析】(I)直接利用余弦定理的应用和正弦定理的应用求出结果.

(H)进一步利用三角形的面积公式的应用和同角的三角函数的关系式的应用求出结果.

【解答】解：(I)在A4CD中，设AO=x(x>0),

由余弦定理得7=d+4.$-2.rx2.rcos—4，

3

整理得7f=7,

解得x=l.

所以AD=1,CD=2.

DCAC

由正弦定理得

2

sinZDACsin一兀

3

解得sinND4C=1^.

(II)由已知得S.叱=45.8，

所以ACsinNZMC=4x，AOACsinNG4。,

22

化简得A3•sinZBAC=4AD-sinZCAD.

所以AB•2sinNC4£>•cosNC4D=4AD•sinNC4D,

于是AB•cosNC4£)=24).

因为sin/CAO=@,且NC4O为锐角，

7

所以cosNC4Q=^2^=冬且.

7

因此AB".

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，同角三角函数的关系式的应用，主

要考杳学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

16.（2024春•长寿区期末）某校开展阳光体育“春季长跑活动”，为了解学生对“春季长跑活动”是否感

兴趣与性别是否有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，所得数据制成下表;

感兴趣不感兴趣合计

男生8

女生32

合计80100

（1）完成上面的2x2列联表:

（2）依据小概率值。=0.1的独立性检验，能否认为学生对“春季长跑活动”是否感兴趣与性别有关联？

n(ad-be)2

参考公式：x2其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.7022.7063.8415.0246.6357.87910.828

【分析】（1）根据题意补全2x2列联表即可;

（2）计算/的值，再与临界值比较即可.

【解答】解：（I）2x2列联表如下:

感兴趣不感兴趣合计

男生48856

女生321244

合计8020100

（2）零假设〃。：学生对“春季长跑活动”是否感兴趣与性别无关联,

n(ad-be)2100x(48xl2-8x32)2

贝IJ/=会2.5977<2.706，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)56x44x80x20

所以依据小概率值a=（）.l的独立性检验，我们推断从成立，即没有90%的把握认为“春季长跑活动”是否

感兴趣与“性别”有关.

【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题.

17.（2024•延边州模拟）已知函数f（x）=ex+msinx.

（i）若函数/（%）在（o,外上单调递增,求正实数所的取值范围;

（.II）求证：当〃7=1时，/（X）在（-乃上存在唯一极小值点,且

【分析】（I）由题意，对函数。x）进行求导，将函数在（0,外上单调递增，分别讨论当时，

ra）..0恒成立以及匹v.rv"时.，，〃,，-，二恒成立，通过构造函数，利用导数得到函数的单调性和最值,

2cosx

进而即可求解；

（H）将〃?=1代入函数八制的解析式中，对函数进行求导，利用零点存在性定理再进行求证即可.

【解答］解:<I）已知f（x）=exImsinx,函数定义域为（0㈤»

可得f'（x）=ex+mcosx,

因为函数在（0,乃）上单调递增

所以f'（x）=ex+mcosx..0在（0,万）上恒成立，

当0<天,］时，广（幻..0恒成立，/（外单调递增,

所以m>0»

当工vxv；r时，"4,——--恒成立，

2cosx

不妨设g(x)=—函数定义域为(工，万),

cosx2

xz,•、&/sin(x+C)

G

可得g，3)=-(COSA+sinA)=-------------.4

cos'x

当工vx<上时，g，(x)v0,g(x)单调递减;

24

当网vx〈乃时，*(x)>。，g(x)单调递增，

4

所以=g^)=064,

可得〃向,

又/〃>0,

所以0<〃4,岳丁

3穴

综上，根的取值范围为(0,06丁］；

(II)证明：当〃2=1时，f(x)=ex+sinx,函数定义域为(-4,”)，

可得/'(X)=e"+cosx

当工.0时，ex..\,cosx.-1»

所以f\x)=ex+cosx>0

此时函数/(x)在(0,y)上单调递增，

则函数/(幻在(0,”)上无极值点；

当一万vxv0时，

不妨设〃(x)=/'(X),函数定义域为(一肛0)，

可得hf(x)=ex-sinx>0恒成立

所以函数Mx)在(-心0)上单调递增，

TT-£11

因为〃(一工)=e2>(),h(—一)=^---^<0,

24TV2

e4

所以存在唯一飞使得〃(%)=0,

即=-COSX0,

当一"vXV/时，/?（x）<0,r（x）vO,/（幻单调递减；

当而vx<0时，/z（A-）>0,r（x）>0,/（X）单调递增，

所以函数f（x）在（-乃,+cc）上存在唯一极小值点,

因为/（%）=e"+sin玉）=-cos+sinx0=>/2sin（.0-?）,

乂“e（-牛芳），

所以％—?e（-/r,一岑），

可得x/5sin（Xo-：）w（-1,0）

故一

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力.

18.（2024•江苏开学）如图，已知四棱台人BCO-A罔GR的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平

面44QOL平面A3C。，AA=R£>=>/万，点P是棱。。的中点，点。在棱3c上.

（1）若3Q=3QC,证明：PQ//平面AB居A；

（2）若二面角P-QD-A的正切值为5,求8Q的长.

【分析】（1）取M的中点M，连接用?，MB,利用平行四边形证明PQ//A/4,由判定定理得证：

（2）建立空间直角坐标系，设C0=4C8（O领兑1）,根据向量法求出二面角的正切值，解出汨即可得解.

【解答】解：（1）取A4,的中点M,连接MP,MB,如图，

.•点M,产分别是棱AA,RD的中点,

：.MP//AD,且A〃+*0=3,

2

MBC=4,又BQ=3QC,；.BQ=3,

•.BC//AD,

.•.〃。/侬且加月二也，

.•.四边形8WPQ是平行四边形，

,MBu平面人8用人，。。仁平面人^8个，

.•.PQ"平面A84A;

(2)在平面44,〃。中，作4OLAO于O,

平面

产面44,2。，平面A4a>,平面44120c平面/WC/)=A。，A.01AD,AOuAARD,

:.A,OI平面ARCD,

过。作AB的平行线交BC于点N,则QN_LO/),

以｛ON,OD,OA］为正交基底，建立空间直角坐标系O-xyz,

又,\A=DQ=拒，:.入0=&历）2-『=4,

/.B(4,-L0),0(0,3,0),C(4,3,0),D,(0.2,4),P(0,1,2),

/.DC=(4,0.0).£)P=(0,--,2)、CB=(0,-4,0),

2

设CQ=ACB=(0,-420)(减收I),

/.D()=DC+C()=(4,-42,0),

m.DP=06),+2z=0

设平面POQ的法向量为加=",），,z）,由，得

in-DO-04x-4Zy=0

令z=l,贝i」x=44,y=4,则〃!=（44,4,1）,

取平面DCQ的法向量〃=（0.0,1）,

设二面角P-QO-4平面角为0,

csin0.2z»2zitzi1

,/tan0=----=5,sirr夕+cos夕=I,cos6/=-=,

cos。