河北邢台市某中学2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试题（试卷+解析）

邢台一中2025—2026学年第二学期第一次月考

高一年级数学试题

考试范围：必修第二册第六章一第七章

说明：

1.本试卷共4页，满分150分.

2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.

1.复数z满足（z+l）""l-2i八为虚数单位），则z的共枕复数的虚部是（）

A.-3B.-3iC.ID.i

2.己知）=（“一、,b=（2,1）.若石与6共线,则小石=（）

A.-5B.-1C.1D.5

3.如图，已知而=%恁=尻/=4砺，《文=3方，则瓦=（）

4.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图

2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正八边形A8CDEFG”的边长为2,尸是正八边形

A4CDEPG”八条边上的动点，则而.通的范围是（）

Si图2

A.[-2,272]B.[-2V2,2V2]C.[-2,4+2何D.[一2血,4+2在

5.己知非零向量入b满足同二|2同=2卜一2日，则人/；角的余弦值为（)

7D.亚

A.B.-

864

6.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发

源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉.如图，计划在猫儿山的两个山顶

M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点A丛C,在A处

测得山顶M,N的仰角分别为60。和30"，测得两个山顶的高分别为MC=500百m,NB=250夜m,且测得

/MAN=45，则M,N间的距离为（）

A500mB.250V6mC.5006mD.500夜m

7.记VA8C的面积为S,VABC的外接圆半径为1,且S=si/A+siM3-siMC,则。=（）

兀「兀-2兀c3兀

A.-B.-C.--D.—

4334

8.如图所示，已知V48C中，点P，Q，宠依次是边AC上的三个四等分点，若

APAR=20f8c=8，则而•正二（）

A.6B.8C.10D.12

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.

9.已知复:数Z1『2,下列说法正确是（）

AZj+z2=Zj4-z2B.若Z]一马>0,则Z|>z?

C.忆飞目讣㈤D.若z；<0,则I为纯虚数

1（）.如图，在VA3C中，BD与EC交干点、G,£是A8的靠近8的三等分点，。是AC的中点，且有

AG=AA5+//AC»4〃e（0,+e）,则（）

AA=­

B.〃二一

—3—3—

C.CG=-BE——BC

44

D.过G作直线A/N分别交线段4艮AC于点”，N,设丽7=?〃而，AN^nAC（m>0,«>0）,则

〃?+2〃的最小值为2.

11.“奔驰定理''因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中•个非常优美的结论，奔驰定理与三角形

四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知M是VA6c内一点，

△BMC,A4MC,A4M5的面积分别为邑,S",Sc，且S,、•丽+Ss・丽+S。•沅=6,则以下命题正确

的有（）

A.若3两+4荻+5限=0，则5八』£=5:4:3

B.若SA：S/SC=1：1：1,则M为V43c的重心

C.若M为VA3C的内心，则BC•而+AC・耐+AB•斯=0

D.若ABAC=45°,NABC=60°,M为VABC的外心，则SA:S8:SC=2:>/3：］

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知〃?eR,i是虚数单位，复数z=m?+2+（加若z是纯虚数，机的值为

jr

13.已知VA6c三个内角A,B,C的对边分别为mb,c,若满足条件A=§,8=2的三角形有两解，

则边长a的取值范围为.

14.如图，四边形ABC。是正方形，延长C。至E,使。E=CD,若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆

弧（不超出正方形）上的任一点，设向量A户=/lA8+〃南，则丸+4的取值范围是______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（I）已知向量大,满足q=2e2=2,且弓与e2的夹角为李若q-26,与温+可的夹带为钝角，求

实数2的取值范围：

（2）已知向量〃=（2,-2）4=（4,5）,求M在上的投影向量的坐标;

（3）如图，半圆的直径AB=8,。为圆心，C为半圆上不同于A,8的任意一点，若。为半径OC上的动

点，求（可+而）•后的最小值.

2兀

16.已知在VA3C中，角A=—是/B4C的角平分线，且AO=2.

3

（1）若sinB二亘，求C。的长;

7

（2）若B6=2D0，求VAAC的面积.

17.设VA3c的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,acosC+—c=b.

2

（1）求角A的大小；

（2）若VA3c边3c上的中线AD的长度为逐，求VA3c面积的最大值.

18.已知VA3C的内角A&C的对边分别为a、b、c，且满足ax）s3+AosC=，一.

2cosA

（1）求A；

（2）若c=2,求锐角VA8C周长的取值范围.

19.已知复数z=a+/?i（a/?£R）可以表示为三角形式：z=《os6+isin，）,其中r=+片e是以工

轴非负半轴为始边.向量应所在射线为终边的角.已知为=｛（cosq+isinq）与Z?=4（cosft+isinft）的

乘积z（z2=4G[cos（a+名）+isin（a+ft）].

（1）试将z=i-G，写成三角形式；

（2）当同=1时，求忖-z+l|的最大值和最小值.

（3）请用复数三角形式乘积公式推导三倍角公式：sin3e=3sine-4sin：%，

cos30=4cos’0-3cos0.

邢台一中2025—2026学年第二学期第一次月考

高一年级数学试题

考试范围：必修第二册第六章一第七章

说明：

1.本试卷共4页，满分150分.

2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.

1.复数z满足(z+l)""l-2i八为虚数单位)，则z的共枕复数的虚部是()

A.-3B.-3iC.ID.i

【答案】C

【解析】

【详解】由题意可得：2=上2-1=比网一1二一3-"所以]=一3+3所以复数z的共舸复数的虚部

1-1

为I.

2.已知力=(工一")，5=(2,1),若及与〃共线,则五珍=()

A.-5B.-]C.1D.5

【答案】A

【解析】

【详解】由4与B共线，可得：(x-1)xl-2x=0,解得：x=-\,

所以日=(-2,—1)，则万石=—2x2—lxl=—5.

3.如图，已知入心二色恁=反月心二48万,《m二3屈，则瓦=()

3r1f

B.—a——b

4343

5f3r5r3一

C.—b--aD.—a——b

124124

【答案】C

【解析】

【分析】利用基底,同表示人及人。•即可求出.

【详解】因为阮=4而，所以近一丽=4%万一4店，

—1--3—1-3-

则40=—AC+-A3=-/?+—q，

4444

一22一

因为CA=3CE，所以一AC=34E—3AC，即4七=]4。=48，

JJ

____21353

则砺=荏—而二—B——b--a=—b--a.

344124

故选：C

4.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图

2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正八边形ABCQEFGH的边长为2,。是正八边形

ABCDEFG”八条边上的动点，则Q.通的范围是（）

XIK

图1图2

A.[-2,2>/2]B.[-272,25/2]C.[-2,4+2>/2]D.[-2及,4+2"

【答案】D

【解析】

7T______71

【分析】设Q,而夹角为氏分析可得，当0we<5，cos9>0,则而.而>（）,当6=5时

APAB=0f以A为原点，48、八尸分别为X,），轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算P

在线段G/（除尸）上、尸在线段G"上运动和尸在线段A”（除A）上运动时，而.荏的表达式，求出

其范围，综合考虑即得答案.

【详解】设Q,通的夹角为以

当尸与A重合时，Q•而=0;

当P在线段除从)、线段8C、线段C，线段。£线段即(除尸)上运动时，

0<6><^,cos<9>0,所以而•砺=|丽|・|通Icos。〉。，

当P与尸重合时，6>=1,所以Q•而二|丽||而|cos0=0，

以A为原点，A3、从户分别为x,y轴建立平面直角坐标系，

根据正八边形的性质可知"'=2+(2、5也£[2=2+2&,6到好的距离为235¥=&,

V4；4

则「((),2+2x/2),G(-V2,2+x/2),〃(一女,夜),3(2,0),

直线G/方程为)，=x+2+20,直线GH的方程为工=—近，直线A”的方程为丁=一工，

当P在线段G尸(除尸)上运动时，设P(x,x+2+2&)(—&VxvO),

所以Q•丽=(x,x+2+2血)•(2,0)=2xw[-2应,0),

当P在线段G"上运动时，设JI+2),

所以Q•而二(一&,/)•(2,0)=-2及，

当P在线段A”(除A)上运动时，设。(匕一1)(一&«]<()),

所以Q•而=(X,—1)•(2,())=2x£[—2&,()).

Q.荏的最小值为—2a；

由投影向量的定义可知，当P在CO上时，衣.通取得最大值，

延长DC交AB的延长线于点T，

而•丽的最大值为A5・A7，

其中正八边形的外角为故

360c+8=45°,48=8C=2,/CBT=45°,

故87=2cos45'二忘,AT=AB+8T=2+&，

故4B・AT=2（2+血）=4+2应，

所以Q•福最大值为4+2立

故选：D

5.已知非零向量不，5满足同=网=2.一24，则”,5角的余弦值为（）

753

A.—B.—C.—C

864

【答案】A

【解析】

【详解】因为同=忸|=2卜—24，

所以42=452=4（22—4无5+4/尸），则鼠〃=,62,

6.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第•高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发

源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉.如图，计划在猫儿山的两个山顶

间架设一条索道.为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点ARC,在A处

测得山顶M,N的仰角分别为60。和30°，测得两个山顶的高分别为MC=500Gm,NB=250&m,且测得

NMAN=45’，则M,N间的距离为（）

A

A.500mB.250V6mC.5005/3mD.500后m

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件先求出△MNA中的两边,再利用余弦定理求MN即可.

【详解】由题意，可得/例/49=60,/从48=30°,用。=500601,28=250及01,/也”;二45’,

MC

且/MC4=NM%=9(r，在RtdACM中，可得AM=--------=1000m,

sin60

《△A8N中，可得4N=l-=5()()底m,

sin30

在△A"N中，由余弦定理得:

MN?=AM2+AN2-2AM-ANCOSNMAN=5OO222+=500000

所以MN=500&m.

故选：D.

7.记VA3C的面积为S,VA/C的外接圆半径为I,且5=41?4+4。28-4。2。，则。=（）

71-兀八2兀、3兀

A.—R.-C.—O.—

4334

【答案】A

【解析】

【详解】由正弦定理，一=一2—='^=2/?（R为VA8C的外接圆半径），且VA8C的外接圆半径

sinAsinBsinC

为I，得

.aa.八b.「c

sinA=——=—,sinB=—,smC=—,

2R222

/\2a2b2-c2

代入S=sin2>44-sin2B—sin2C得S=+

4

由余弦定理得"+〃一f=2abcosC，

又S='absinC,所以L〃“sinC=2"c°sC,化简得sinC=cosC,

224

因为Ce（O,兀），所以C=:.

8.如图所示，己知V48C中，点P，Q,R依次是边AC上的三个四等分点，若

APAR=2^AC=8，则而•正二（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【解析】

【分析】以8。的中点。为核心，通过将所求向量均用而及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配

律与平方差公式进行化简，已知Q.赤=20结合QP的长度得到而2的值，再对福.前向量分解，借

助中点性质Q©=-QC最终将所求化为而'-司2的数值计算.

[详解]•.•否•丽=(羽+⑪)•(也+酬)=(豆+苏)•(迈一行)

=翘2-迎2=2(),.•.而2=24,又Q为3c中点，QB=QB=16，

AB-AC=(Xe+QB)(Xe+eC)=AG2-QB2=24-16=8.

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.

9.已知兔数4衣2,下列说法正确的是()

A.4-z2=z,+z2B.若马一马〉。，则Z]>Z2

C.忆勾=闻忆|D.若z：<0,则%为纯虚数

【答案】ACD

【解析】

【分析]利用共挽复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复

数的乘方运算即可判断选项D.

【详解】设Z[=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dGR,

对于A,由4+々=(a+c)+(〃+d)i,则4+z2=(a+c)—()十d)i，

而4+z2=(a+c)—(〃+d)i,则4+z2=4+z2,故A正确;

对于B,举例Z]=2+i,z2=1+i,满足4-Z2=l>0,但z「z2无法比较大小，故B错误；

对于C,由复数模的运算性质可知，上仔2|=卜上2|,故C正确：

对于D,由Z]=〃+/?i,则z：=(o+bi)2=/一尸+2abi,而z：＜0,

a~-b-<0八，、—

可得,则G=O,〃K0,则A三一〃为纯虚数，故D正确.

2ab二。

故选：ACD

10.如图，在VA3c中，BD与EC交于点G,E是的靠近B的三等分点，。是AC的中点，且有

AG=2AB+//AC,4〃w（O,+8）,则（）

C.CX}=-BE--BC

44

D.过G作直线MN分别交线段AB,AC于点M,N,设丽=汨而，AN=nAC（m>0，/?>0）,则

〃?+2〃的最小值为2.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据向量的线性运算法则计算可判断A,B,C：利用共线定理的推论可得一L+'=l,然后妙

2m4〃

用“1”可判断D.

ULLULUULU---2——1—

详解】对于A,B,C,因AG=/IA8+〃AC,依题意AE1二一AB,AO=—AC代入,

32

—.3—.—.

AG=-AAE+JJAC

得＜2,因为E,G,C三点共线，且用G,。三点共线,

AG=2AB+2pAD

3,1

—2+//=12

所以2",得,:，所以A对，B错;

2+2//=1

由和=,通+'正可得/斗M=‘丽+2/,

2424

故丽+时7品;小1鹿.萍,

故C正确;

对于D,AM=mAB»=nAC»

则Zd=」.J_R/+_L_LR7,因为M、G、N三点共线,

2m4n

则—+—=1,即—H—=4,

1m4〃mn

,「1/c/21、1/c4〃A,1cImAn.

由〃?+2〃=—(m+2〃)——F-=—2+—+——+2>1+—x2.(—?—=2,

4\mn)4\ntn)4\nm

in=1

—I—=4

当且仅当，〃？n，即，1时取得等号.所以D正确.

n=—

m=In2

故选：ACD.

11."奔驰定理''因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向最中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形

四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：己知"是VA5c内一点，

的面积分别为SA，S8，S「且S.•砺+S"•砺+S。・碇=6,则以下命题正确

的有（）

A.若3画+4耐+5碇=0，则臬：S»：Sc=5:4:3

B.若S-S8：Sc=l:l:l,则“为VABC的重心

C.若M为VA8C的内心，则3c.市+AC・砺+A3・碇=。

D.若NB4C=45。，ZA8C=60°,M为V48c的外心，则耳：S8:S。=2:G:1

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A项，将题设和选项等式中的某个向量分别用其他两个向量表示，得出对应系数相等即得：

对干B项，通过取边BC的中点，将向量等式化简即得；对于C项，利用三角形的内切圆半径将三个小三

角形面积表示出来，代入奔驰定理化简即得；对于D项，利用两个已知内角和三角形的外心，求出三个小

三角形的对应内角，表示出它们的面积，计算即得.

【详解】对于A项，由S/MX+Ss•而+Sc-Me_。可得；加=一生•砺一茬•诟，

3A3A

而由3必+4丽+5碇=6可得：M4=--MB--A?C,

JJ

_鼠」

S八3

因罚,M反碇两两互不共线，则必有

S.3

则易得：S4:Sfi:Sc=3:4:5,故A项错误;

对于R项，由SA：S°：Sc=1：1：1可得战+避+避—3①，

如图，不妨取8C的中点。，连接M。，则有M方+MC=2M75.

代人①式，化简得硒=一2而，

即A,M,。三点共线，且点用是AO的靠近点D的三等分点，

同理可知点M也是另两边上的中线的对应三等分点，

故点A7是VA8C的重心，故B项正确：

对干C项，不妨设VAAC的内切圆半径为一，

111—.-____-

则SA=-3C/,S“=-AC",SC=-A3",代入S.MA+S/MB+SC・MC=O,

222

可得•广标+』AC•厂M+L/ABr•亚=6,

222

整理得：BCMA+ACMB+ABMC=6＞故c项正确；

对FD项，不妨设VA8C的外接圆半径为A,

因M为VA3C的外心，

则乙BMC=2ZBAC=90,，ZXMC=2NA8C=120，AAMB=360-120-90=150，

2222

则SA=1sin90=l/?,Sfi=l/?sinl20=—7?,Sc=i/?sinl5()=[H?.

22”2424

故SA:S〃：S「=1：立」=2:、与：1,故D项正确.

A8c244

故选：BCD.

方法点睛：本题主要考查与''奔驰定理''有关的三角形的内心，外心，重心的性质或判定，属于难题.

解决此类问题的方法主要有：

（1）与重心有关时，一般从边的中点入手，设法判断三角形顶点，对边中点和重心三点共线即得•：

（2）与内心有关时，一般从三角形被内心分成的三个等高三角形的面积入手；

（3）与外心有关时，一般从三角形被外心分成的三个相等邻边的三角形面积入手，或者利用正弦定理中

的外接圆半径入手.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知〃zwR,i是虚数单位，好数z=//+2+（加2-1）.若z是纯虚数，机的值为

【答案】-2

【解析】

【分析】根据复数z=+可知其实部为0,虚部不为0,由此可求解.

【详解】复数z=T+〃―2+（苏-l）j是纯虚数，

in2+zn-2=0二，\m=1或加=-2,

故t＜,2，解得〈，故机=—2.

〃厂一1工0

13.已知VA8C三个内角八，B,C的对边分别为小〃，c,若满足条件八=？，〃=2的三角形有两解,

则边长a的取值范围为.

【答案】（百,2）

【解析】

如14且.根据满足条件的三角形有两

【分析】利用正弦定理，代入4=?,b=2,可得sin8==

a

解，结合正弦函数的性质得到关于。的不等式，从而得到边长。的取值范围.

c.兀

b1■A2sin

【详解】由正弦定理，得.“Z?sinA

sinAsinBsinB=

若满足条件A=？，8=2的三角形有两解，则BE,且Bwq，所以sinBw

2

所以所以au(j3,2).

故答案为：(6,2).

14.如图，四边形A4C。是正方形，延长C。至£使DE=C。,若点。是以点4为圆心，A4为半径的圆

弧(不超出正方形)上的任一点，设向量/=4而+〃亚，则几+〃的取值范围是.

【答案】［1,逐］

【解析】

【分析】如图，建立平面直角坐标系，设AA=1，则A月=(1,0),疝二(一1』)，设

7T2=cos。+sin。

4BAP=6(收0,y)则A户=(cos。,sin0),则由已知可得〈,,从而可得

ju=smO

/l+〃=cos®+2sine=6sin3+0),然后利用正弦函数的性质可求得其范围

【详解】如图，建立平面直角坐标系，设A4=l,则丽=(1,0),恁二(一1,1),

设NBAP=6(6£。4)，则AURosOsinJ)，

因为衣=4而+〃亚，

所以(cos仇sin0)=2(1,0)+〃(-1,1),

4一〃=cos04=cos8+sin。

所以《解得《

〃=sin0〃=sin0

J^sin(0+e),其中sin°=^.cos0=2^

所以4+〃=cos6?+2sin0=

因为6£0,—

乙

所以当〃=0时，sin(e+p)取得最小值正，此时4+〃取得最小值1,

5

当9时，sin(夕+伊)取得最大值I,此时义+〃取得最大值石

所以2+4的取值范围为［1,石］.

故答案为:［咫

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(1)已知向量满足q=2/=2,且弓与4的夹角为%若q-2%与鸡+©的夹角为钝角，求

实数2的取值范围；

(2)已知向量刁=(2,-2)石=(4,5),求〃在往上的投影向量的坐标；

(3)如图，半圆的直径4区=8,。为圆心，。为半圆上不同于4,8的任意一点，若P为半径OC上的动

点，求(两+方)•定的最小值.

810

(2)(3)-8

4141

【解析】

【分析】(I)利用向量数量积建立不等式，求出2的取值范围；

(2)根据〃在行上的投影向量的定义进行计算；

(3)利用向量线性运算可得(P4+P用)•/Y<=2P0./Y<.将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结

果.

【详解】•・•1—2盘与疵+£的夹角为钝角，

k[-202），（西+/）<°，且q-2/与鸡+e2不平行，

/.2^+（1-24妈-e2-2e2<0>且;工]，

A1

,1••.，♦TT

乂q=2e2=2,且弓与g的夹角为

，44十（1—2A）x2x1x2<0,.'.24—1<0,且45t—,A<—，且九声—，

2222

（2）由题意得力=（2,—2）,5=（4,5）,

abb2x4-2x5（4,5）（81（）A

则d在Z；上的投影向量是下「同一46+2$\/[6+；5+不一圆）

即日在5上的投影向量的坐标为（一金■，-兽].

V4141）

（3）解：设|PO|=M04X<4）,则|PC|=4-x,

是AB的中点，「.（再+而）•正=2而•定=-2X（4-X）=2X2-8X=2（X-2）2—8,

...当x=2时，（再+而）•定取得最小值一8.

16.已知在V48C中，角A二——,4。是284C的角平分线，且AO=2.

3

（1）若sinB=叵，求CQ的长；

7

（2）若瓦5=2反，求VA4C的面积.

【答案】⑴25

⑵巫

2

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出8s3,进而求dsinC,在AAOC中，根据正弦定理可求

出CQ；（2）由题意知空=弛=2,设AC=x,在VAAC中，由余弦定理可得到CZ）与％的关系，在

ACCD

△AOC和力中，由余弦定理可求得工,进而可求得面积.

【小问1详解】

27rir

因为A=—，所以0<B<一,所以cosB>0.

33

因为sinB=也^，所以cosB=Vl-sin2^=冬自

77

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

27{2）714

CD_2

在△ADC中，由正弦定理得.。口二当」即；兀一而，解得CQ=2J7.

sinZCiADsinCsin彳

314

【小问2详解】

由丽=2反知BD=2CD,BC=3CD,

由角平分线定理可知竺二竺二2,设AC=x,则A3=2x,

ACCD

2r

子上VA3c中，由余弦定理得BC?=（2x）+—2,2.x,xcos»

即（300）2=7x2,解得C£）=0.

3

（Fj\

在△AOC中，由余弦定理得—=22+X2-2-2-XCOS-,解得戈=3或R=6,

33

\/

当工=6时，AC=6,Afi=12，由S"BC=SAA80+5c得

-A/?y4Csin—=-^BADsin-+-ADACsin-,

232323

4£JA

解得40二,八,A「=­=4,与40=2矛盾，所以x=3.

所以AC=3,AB=6,所以6c的面积为，A8-ACsin@二为5.

232

17.设VA3c的内角A,B,C所对的边分别为mb,c,acosC+^c=b.

（1）求角A的大小；

（2）若VABC边3c上的中线AO的长度为灰，求V4BC面积的最大值.

【答案】（1）工

3

⑵26

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将边亿角，再由两角和的正弦公式计算可得;

（2）依题意可得而=g（而+R）,根据数量积的运算律得到〃+。2+儿=24,再由均值不等式求出

儿的最大值，即可得解.

【小问1详解】

因为acosC+—c,二〃，

2

由正弦定理得sinAcosC+'sinC=sinB,

2

则sirL4co*C+—sinC=sin（A+C）,

即siiiAcosC+—sinC=sinAcosC+cosAsinC，

2

z.-sinC=cosAsinC，

•/CG（o,7t）,.*.sinC>0,则cosA二;，

•.,AG（0,7C）,:.A=—.

【小问2详解】

因为O是3c中点，所以而=:（而+/卜

两边平方得而2=；（而+/）（丽2+/2+2福恁）

所以6=；1十〃+2/JCCOSNBAC）,即/J?+C?+be=24，

又由均值不等式得+c2+he>2bc+Z?c=3hc，

当且仅当人=。=2正时等号成立，所以仇?工8,

所以SAABC=g〃csi"«2G，即VABC面积的最大值为2jL

18.已知VA3C的内角A&C的对边分别为人友。，且满足ccosB+AosC=，一

2cosA

（1）求A；

（2）若c=2,求锐角VA8C周长的取值范围.

【答案】（1）A=-；

3

⑵(G+3,2G+6)

【解析】

TT

【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角A二；；

3

利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围.

【小问1详解】

,n7〃a.「n•n「sinA.s\nA

由ccosB+bcosC---------nsinCcosB+sinBcosC=--------=sin(C+B)=--------,

2cosA2cosA2cosA

qinA

因为在VA3C中有。+3=兀-4,所以上式可化为sin(兀-A)=sin4=--------,

')2cosA

又因为sinA>0,所以cos4=；,又因为Aw（0,7i）,所以A=1；

【小问2详解】

bab2

由正弦定理得：sinAsinBsinC.兀

sinsinBsinC»

3

可得a:百-/二型

sinCsinC

所以VA8C的周长为/=〃+8+。=芭-+空”+2=丑@型0+2,

sinCsinCsinC

2n

因为锐