高中数学基础练习题-直线中的范围最值问题（解析版）

2J0专题：直线中的范围最值问题

模块一：题型分类...................................................2

题型一：倾斜角与斜率一一代数值域型范围最值......................2

题型二：倾斜角与斜率一一三角函数型范围最值......................3

题型三：直线与线段有公共点求斜率范围............................4

题型四：斜率公式几何意义应用....................................7

题型五：函数型斜率数形结合......................................9

题型六：直线过定点问题.........................................12

题型七：含参双动直线...........................................14

题型八：截距直线应用...........................................16

题型九：截距直线条数判断.......................................18

题型十：截距最值...............................................19

210专题：直线中的范围最值问题

模块一：题型分类

题型一：倾斜角与斜率一一代数值域型范围最值

1.若直线经过4（2/），B（1,W2）（”R）两点，则直线/的倾斜角。的取值范围是（）

A.00<a<180cB.45Ka<90或90°<a<180,

C.0a<a<45°D.0°VaV45°或90°<a〈lg0

【答案】D

【分析】由斜率公式以及斜率的定义、斜率与倾斜角的关系即可求解.

【详解】过力（2,1）,4"〃/）两点直线/的斜率为：〃=tana==l=l-机2,

因为〃/N0,所以1一加2工],

因为0Ya<180°，所以OYa445或90°<a<180:

故选：D.

2.直线x+（/+l）y-l=O的倾斜角的取值范围是（）

.3万,r冗3力\/八兀、3几、

A.[―，^]B.[―,—]C.（0,—]D.[—―,^r）

44444

【答案】D

【解析】求得直线的斜率的取值范围，由此求得直线倾斜角的取值范围.

【详解】直线的斜率为--、，由于所以--二<7,0）,对应的倾斜角的取值范围是[学，乃）・

a“+la~+\4

故选：D

3.直线面+1卜―2砂-1=OSeR）的帧斜角的取值范围是.

【答案】

44_

【分析】当。=0时，倾斜角为当。工0时，斜率左€（-OO「l]U[l,+8）,即可求解倾斜角的取值范围.

【洋解】当。=0时，倾斜角为三；

当"0时,斜率4==e（^o,-l]U[l,-H»）,

后如后”•田英「乃乃\/43万1Q口荷内缶廿田加1""3，]知长■♦美「"3兀一

倾斜角氾围为U——；综上：倾斜角氾围为—.故答案为：——

42）\24J[44J\_44_

4.直线（下+2“）、-y+l=0（。为常数）的倾斜角的取值范围是（）

A.[0,今5，当B.[0,9）D（1,R

42424

C.[0,1）U（^,乃）D.[0,乳中，乃）

【答案】D

【分析】由题意利用直线斜率和倾斜角的定义，二次函数的最小值，求得tanO2-l,可得倾斜角。的范围.

【详解】直线（，+2。口-），+1=0（。为常数）的斜率为/+2。=（“+1）2-珍-1,

故直线的倾斜角。满足tan。2-1.又6w［0,外，

・・•森［0,J）,或匹［当，幻，故选：D.

24

题型二：倾斜角与斜率——三角函数型范围最值

1.设直线/的方程x+NCOS。+2=0（。GR）则直线的倾斜角a的取值范围是（）

【答案】D

【分析】当。='+%乃仕£z）时，直线斜率不存在，可得倾斜角为、；当。吟中尿&团,由斜率和倾

斜角的关系可知tanac（-oo,-l］lJl,+8）,由此可得《的取值范围.

【详解】当0='+攵乃（攵€2）时，直线/:x=-2,则其倾斜角为三；

当。工、+AN（keZ）时，直线八了=一12

----X-----9

COS。cos。

则其斜率k=——5—e(-oo,-l]U[l,+cc),即tana€(-8,-1]u[1,+<»),

„（■八'兀兀K九37r

又ae［0/）,:.aw匕句凡5，了|；

综上所述：直线的倾斜角。的取值范围为不］.故选：D.

44

2.直线x—ysina-3=0（aGR）的倾斜角的取值范围是.

【答案】［4511351

【分析】讨论若sina=0,倾斜角为90。；若sinawO,求得直线的斜率，由正弦函数的值域,可得A的范

围，结合正切函数的图像，即可得到倾斜角的范围.

【详解】解：直线x-j，sina-3=0（aeR）,

若sina=0,则x=3,直线的斜率不存在，倾斜角为90。；

若sinawO,则直线的斜率片=」一，

sina

由一1«5亩。<0或0<$皿。工1,可得或女工一1,

由女=tanO（。为不等于90的倾斜角），

可得45°90"或90<041350,

综合，倾斜角的取值范围是45°«。乂135°.

故答案为：［45°,135°］.

3.直线xcos，+ysin0=O,OG0,l的斜率的取值范围为（）

A.（-oo,V3）B.（2,+8）C.（-oo,（））U仅，⑹D.（-2）

【答案】A

【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.

【详解】由、侬。+411。=0,。40,乃］可得直线的斜率为：人-铛.当时，々=o；

\6Jsine/2

当e/o,时，k=--二，因为所以tanea

V2）V267tan。V67

所以％=-熹e（-8,0）u（0,石）;所以丘（—8，句.故选：A

TT

4.直线xcosa+ysina+1=0,ae(0,-)的倾斜角是

乙

A.aB.——aC.—+aD.冗一a

22

【答案】C

【分析】将直线化为点斜式,根据倾斜角范围即可求得倾斜角.

【详解】直线1851+），$m。+1=0所以丁二—^^工一1即4=—^^

sinasina

coscisin/?

设领斜角为0所以斜率等于4=tan/即--：—=tan〃=--所以-cosacos£=sin尸sina

sinacosp

即sin夕sina+cosacos/?=0，化简可得cos(a-/7)=0aw(09]«0㈤所以。-2=-擀

即夕=a+'所以选C

5.已知直线乙：xcos2«+V3y+2=0,若耳，则6倾斜角的取值范围是（）

TC兀冗71n57r

A.7,2B.C.D.3'T

【答案】C

【解析】先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值范围.

2cosa

【详解】解：当8S2QH0时,•1：xcosa+VJy+2=0则《=-/11/2:=-1

?

kt——今一,/0<cosakt--中一)■设4的倾斜角为。，。e[。,乃)贝Utan82

2cos*a*cos-a

rrrr

2«0<］当cos2a=0时直线/,的斜率为0,倾斜角为o,

lU，•.4的倾斜角为3乃综上，Owpy故选：C

乙2，乙

题型三：直线与线段有公共点求斜率范围

1.已知点题2,3）,8（-2,-1）,若直线/号=太卜一1）-2与线段没有公共点，则％的取值范围是（）

-151

A.B.-00,——

3'

C.(5,-KO)D.-8-D(，+8

【答案】A

【分析】分别求出七3,即可得到答案.

【详解】直线/子=%(》一1)-2经过定点尸(1,-2).

因为42,3),8(—2,-1),所以％=坐1=5,心=*目=一(

Z—1—2—13

所以要使直线/：卜二攵(、-1)一2与线段48没有公共点，只需：飞…飞,即

所以A的取值范围是故选：A

2.已知点力(1,3),4(-2,1),若直线/：依-》+k-1=0与线段48有公共点，则k的取值范围是()

A.k>2B.k<-2

C.k>2s&k<-2D.-2<k<2

【答案】C

【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求A的临界值，得A的取值范围.

【详解】

直线/：歹二心+1)-1经过定点尸(-1,-1),kPA=2fkPB=-2.

又直线/：y=A5+l)-l与线段相交，所以左22或心-2,

故选：C.

3.已知坐标平面内三点4(-1,1),8(11)1(2,方+1),。为“灰?的边4c上一动点，则直线80斜率左的变

化范围是()

A.0,y-B.(f0]u享+8)

C.D.(—8,0]u[万,+co)

■J■

【答案】D

【分析】作出图象，求出481c的斜率，再结合图象即可得解.

【详解】如图所示，

\|/C(2,4+l)

A^y\A3=m=0，续=蹩了=/，因为。为“8C的边力。上一动点，

・io；\攵

所以直线8。斜率”的变化范围是(y>,()]u[6,+oo).故选：D.

4.已知直线，内-)，-2m=0与函数/3=，口^1。4°的图象有两个交点,则实数团的取值范围

2x-2,x>0

是.

【答案】[-2,0]

【解析】根据函数图象，结合直线的定点，数形结合讨论两个交点时斜率的取值范围即可得解.

【详解】由题：直线6-歹-2加=0过定点(2,0),直线s-y-2〃?=0的斜率为〃?，

作出困数”加图象'

4—0

当直线过(0,4)时，此时两个交点,〃z=E=-2,当直线过（-4,0）时,

此时两个交点，m=0,结合图象可得，要使直线与函数图象有两个交点，则加€[-2⑼.故答案为：[-2,0]

5.已知点尸，。的坐标分别为(-U),(2,2),直线/：工+叩+加=0与线段PQ的延长线相交，则实数机的

取值范围是.

2

【答案1-3<m<--

【分析】先求出久?的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答

案.

【详解】如下图所示,

,2-1I/、

由题知上也=二百="直线x+w+m=O过点〃（0,-1）.

当加=0时，直线化为x=0,一定与尸。相交，所以〃?工0,当用工0时，k,=--考虑直线i的两个极限

mt

位置.

（1）/经过。，即直线七则尢=马士4=3；（2）/与直线股平行，即直线L则4=%=；，

2—023

11322

因为直线/与尸。的延长线相交，所以彳<<—>即-3<〃7<-7，故答案为：-3<〃?<-7

3m233

题型四：斜率公式几何意义应用

1.已知点/(2,1),"(3,0),若点A«x,y)在线段4;上，则三的取值范围()

A+1

(Hr,x「1■/

A.l-oo,一“3,+oo)B.--,3

C.(-8,-1]U[3,+CO)D.

【答案】A

【分析】设。（T2）,分别求出他，根据好表示直线。时的斜率即可得到结果.

【详解】设。（T2）,则脑=磊3=3,左=辞=一；

一1一（一，）-1-32

因为点M（x，P）在线段上，所以g的取值范围是［《,-』33,小）,

x+1I2」

故选：A.

2.已知点4（2,-3）,5（-3,-2）,若点尸（xj）在线段上，则上二的取值范围为（）

X-1

31

A.(-oo,-4]u—,+QOB.—8,--D-,+8

444

.

意率,4-4

题.-

案斜L

合-

结答的「L

再得线：

，可直为.

，

率的案_

图,答_

斜)交_

线作2,故_

，相，_

连，2(_

围围8段」_

点,14_

范范|线3三_

8值£,，

4值1与T是

取取L

与《Cr围

)率的点

斜设范

草率,过即

(的值

出斜2于，

线的取

求片价一1

直线二

先得等的+

与13|X

，)直解题-

1,—

围1的,问7—24则

(交二，

范2则•

4尸相，-时

3-4值与k％］

)段率35

一取/令率-,

线,斜12

率X

(知g的斜«

A斜的x

的点已=线c当

与歹直8，

线为得

直且连线上

点解

与口,所)直像

)定1

1得1,,图

1过3

(可・尸(3的

2・为。_8

令=

与,化点1+

),_X

1转与_2

y,6:.22-

x题=力

(口,下==

问y如y

点2口

二将图A

示+点数

左，x作率

--14是

3-4表:-意程，斜函

1.,的

-：1题方围的

案-示在

一X答解：由由范c

】】示】】】表4

出|值点

u析得解所案析解3-取线

分可详国答分详匕x的直若

【【【【【.

即如由4则4

【答案】-U

【分析】由目标式表示y=-2x+8在xw[2,5]上点与力所成直线的斜率范围，应用数形结合法及两点

斜率公式求范围即可.

5.已知实数x,y满足方程x+2y=6,当xw时，—的取值范围为_______.

X-2

【答案】

\/」L，/

【分析】由二的几何意义是过M（x/）,N（2,1）两点的直线的斜率，结合图象可得以x=-；比访=（，进

x-222

而可得结果.

【详解】匕三的几何意义是过M*，y），N（2,l）两点的直线的斜率，如图所示：

由题知点M在直线x+2y=6上，且xe[l,2）u（2,3],当x=l时，y=|；当x=3时，»=|•设/

B3,-•又时/=-*h3=3,结合图象可得，

\乙）乙z

题型五：函数型斜率数形结合

1.已知函数/。）二心-|2、-1|,若满足了（切＞0的整数解恰有3个，则实数〃，的范围为（）

577_557]35

A.B.，-C.D.

354432f4

【答案】A

【分析】将问题转化为函数歹=幺-1|的图象在直线y=下方的部分有3个整点，然后数形结合可解.

【详解】/卜)＞0得心＞|2x-1|,所以满足/(司＞0的整数解恰有3个，等价于函数丁=|2..1|的图象在

直线y=""下方的部分有3个整点.

如驾，当直线V=〃状的斜率胆满足〃云勺&时满足题意，其中43,5),例4,7)

5757

所以，ko*=g,koB=~^，所以.故选:

2.函数N=/(x)的图象如图所示，在区间［凡句上可找到〃(〃22)个不同的数不X”…,X”，使得

皿=小。=…=幺闵，则〃的取值集合为()

{2,3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}

【答案】B

【分析】由函数零点的几何意义求解即可.

的几何意义是：曲线上存在〃个点与

坐标原点连线的斜率相等，即〃指的是过原点的直线与曲线的交点个数,

由到可得〃的值可以为2,3,4.故选：B.

3.已知在矩形45C'Q中，处-4,4）,D（5,7）,具对角线的交由£在第一象限内且到y轴的距离为1,动力、

P（x,y）沿矩形的一边8C运动，则上的取值范围是.

X

（1]「2、

【答案】一8，-£U、,+8

\J」LJ/

【分析】设研1，。），根据点E是线段AC的中点可得C,再由力。_LOC求出。，进而可求出8,由上=必,,

X

且满足上”2自c或自PW府8即可得出.

【详解】解：如图所示，设E（La）..・•点£是线段NC的中点，4：串，则。（6,2。-4）.

a=----

2

VAD1DC,=（9,3）-（L2f/-11）=9+3（2r/-11>0,解得o=4,...C（6,4）.•.飞8。为矩形，

«x3

/.AB=DC»即(与+4，〃-4)=(6-5,4-7)=(1，-3),<"=：,所以"点坐标为(-3,1),

1%=1

oI

因为点P在边BC上运动，所以上=kop，由题图可知，kop>k0c或k°p<kOB，则之k（K.=kOB=.

xx3x3

y

（12

故答案为：-00,一三口—»+0°

4.已知函数〃x）=21且〃<6<c<0,则迤，邈，/©的大小关系为（）

a-\b-\c-1

A〃4）J（b）J（c）B/（6）J（"）J（c）

A・------->-------->-------D-------->-------->-------

a-1b-\c-\b-\a-1c-\

C/（c）J（〃）J0）口/（，）>/%/（〃）

L•------->-------->-------U-------->-------->--------

c-la-1b-\c-\b-\a-\

【答案】A

【分析】构造函数=该式表示点（x,2、）和点（1,0）连线的斜率，结合/（幻=2、的图像，即可得

x-\x-\

答案.

【详解】函数出1=3,该式表示的几何意义为点(X,2，)和点(1,0)连线的斜率,

x-1x-1

如国所示:

仆):/(":/(c)

根据图像知,故选：A

a-\b-\c-1

L无论机取何实数时，直线(〃Ll)x-(〃?+3)y-(〃-11)=0恒过定点，则定点的坐标为()

【答案】A

【分析】将直线方程可化为r-3y+ll+m(x-y-l)=0,再解方程组卜“一“：?"°即可.

x-y-l=0

【详解】直线方程可化为-x-3y+ll+m(x-y-l)=(),

_7

—x—3y+11=0X~2(15A

解方程组J\n，得：，即定点的坐标为不彳.故选：A.

x-y-l=05122/

2.已知直线4：ax+2y+l=O,直线"：x+(a—l)y+2=0,则下列命题中不正确的是()

2

A.直线4过定点(一2,0)B.若1山2,则。=：

C.直线4过定点(0,-g)D.若"％,则〃=2

【答案】D

【分析】根据直线过定点判断A、C,根据两直线垂直求出参数。，即可判断B,根据两直线平行求出

即可判断D.

【详解】对于A：直线/2：X+(。-1W+2=0,当y=0时，无论。取何值，x=-2恒成立，

所以直线4恒过定点(-2,0),故A正确.

2

对于B：若I1皿,则4xl+2(q-l)=0,.\a=-,故B正确；

对于C：直线《：办+2”1=0,当x=0时，无论。取何值，y=-g恒成立,

所以此时直线4恒过定点故C正确；

对于D：若/J%，贝lJax(q_])_2=0,:,(r-a-2=0f

.•.〃=2或。=7,经检验此时两直线平行，故D错误;

故选：D

3.不论〃为任何实数，直线(2A-1k-(肝+3))，-(4-11)=0恒过定点，则这个定点的坐标为()

A.(-2,3)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

【答案】B

【分析】直线方程即M2x+y—l)+(—x+3j，+ll)=0,一定经过2丫一¥-1=0和-x-3y+ll=0的交点，联立

方程组可求定点的坐标.

【详解】直线(2%-1口_6+3»_/_11)=0即/2工_^_1)+(_》_3)，+[1)=0,

2x—y—1=0fx=