（新高一暑假预习）人教A版数学必修一：集合的概念与表示（含解析）

1.1集合的概念与表示（解析版）

.1集合的^念

知识梳理小

一、元素与集合的概念

1.元素：一•般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母mb,c,…表示.

2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.集合通常用大写拉丁字母A,B,。，…表示.

3.集合中元素的特征：确定的，互异性，无序的.

4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

注意点：

二、元素和集合之间的关系

1.元素和集合之间的关系

关系概念记法读法

属于如果。是集合A的元素〃属于集合A

不属于如果“不是集合A的元素agAa不属于集合A

2.常用数集及其记法

名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集

记法N此或N+Z攵R

注意点：

(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写.

(2)0属于自然数集.

三、集合的表示

1.列举法——把集合的所有元素出来，并用花括号“｛I”括起来表示集合的方法叫做列举

法.

注意点：

⑴元素间用“，”隔开.

(2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“｛｝”括起来即可，不必考虑元素间的顺序.

(3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，

然后加省略号，比如正整数集可表示为｛1，2,3,4,5,…｝.

(4)这里，集合的“｛｝”已包含所有的意思，比如｛整数｝,即代表整数集Z,而不能用｛全体整数｝,即不

能出现“全体”“所有”等字眼.

2.一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为小

£川如”，这种表示集合的方法称为描述法.

注意点：

(1)猫述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性.

(2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若是明确的，则x£R可省略不写，如集合

£R|x<20｝也可表示为D=｛x\x<2()].

(3)”｛｝”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为｛.中是实数｝,但写成

｛Mr是所有实数｝、｛入仅是全体实数｝、｛X|A,是实数集｝是错误的.

2

3.图中法

图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩

形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.

题型导航

题型1集合的理解

1.（25-26高一上•山东济南•期中）下列各组对象中，能构成集合的是（）

A.班级里成绩好的同学B.校园里漂亮的花朵

C.小于5的正整数D.喜欢运动的人

【答案】C

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误.

【详解】对于A,“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的，

故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意；

对于B,“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的，

所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意；

对于C,小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意；

对于D,“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的，

故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。

故选：C.

2.（25-26高一上•重庆・月考）下列各组对象中，能构成集合的是（）

A.2025年重庆市高考数学全国H卷中的难题

B.重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生

C.人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题

D.美丽的小鸟

【答案】C

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论.

【详解】对于A,“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，

故A不符合；

对于B,“身高较高”不确定的概念，所以“重庆巾某高级中学高一年级身高较高的学生“不能构成集合，故B

3

不符合；

对于C,“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题“能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个

整体能够构成集合，故C符合；

对于D,“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合.

故选：C.

3.（25-26裔一上•天津和平・月考）下列各组对象不能构成集合的是（）

A.所有的正方形B.方程的整数解

C.我国较长的河流D.出席十九届四中全会的全体中央委员

【答案】C

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案.

【详解】对于A,所有的正方形，对象是•明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合撅意：

对于B,方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解，

具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意；

对于C,我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意；

对于D,出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性，

能构成集合，D不符合题意；

故选：C

4.（25-26高一上•福建泉州•期中）下列给出的对象能构成集合的有（）

①某校2023年入学的全体高一年级新生；

②、h的所有近似值；

③某个班级中学习成绩较好的所有学生；

④不等式3.r-10<0的所有正整数解.

A.①②B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据题意结合集合的三要素逐项分析判断即可.

【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；

对于②：血的所有近似值，根据精确度不•样得到的近似值不•样，对象不确定，故不能构戌集合，故②

4

错误；

对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误;

对「④：不等式3x-10v0,即x〈日的所有正整数解有1、2、3,能构成集合，故④正确；

故选：B.

题型2判断是否为同一集合

5.(25-26高一上・江苏泰州•月考)下列各项中表示同一集合的是()

A.P={(-3,l)},G={(l,-3)}

B.P={-3,l}，e={l,-3}

C.P={(x,j)l.v2-2y=l},e={ylx2-2y=l}

D.P={(-3J)}，e={-3,l}

【答案】B

【知识点】判断是否为同一集合

【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案.

【详解】A选项，(-3,1),(1,-3)是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误；

B选项，尸={-3,1},。={1,一3}是同一个集合，B正确；

C选项，尸={«切-—2尸1}是点集，。=卜1丁-2)，=1}是数集，不是同一集合，C错误；

D选项，a={(-3,1)}为点集，Q={-3,1}为数集，D错误.

故选：B

6.(25-26高一上•河北•月考)已如集合加={(1,0)},则下列与M相等的集合个数为()

［卜)宿二;'}

②{(X,),)|),=y/x-l+Jl-x}

③卜x=(I；­-,/?€N»

④但一1vxv2,xwN}

A.0B.1C.2D.3

5

【答案】C

【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合

【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究〃为奇数、〃为偶数可计算③，由N定

义可得④，依次判断即可求得结果.

【详解】对于①，，«刈"?:一{（LO）}=M；

对于②，{（x，）3y=G^+V^^中，_：：：'解得x=i,故{（苍丁）1y=G：T+^/^F={（l,o）}=M；

对干③，当〃为奇数时，x=-i；当〃为偶数时，x=0,

所以Tx=（T，7,〃eN>={TO}"M；

对于④，N1cx<2,xeN）={0,l}#A/.

所以与M相等的集合个数有2个.

故选：C.

7.（2025高一上•上海•专题练习）下列与集合{2025,1}表示同一集合的是（）

A.（2025,1）B.{（x,y）lx=2O25,y=l}

C.{W-2O26x+2025=0}D.{x=2025,y=l}

【答案】C

【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合

【分析】据集合的定义及表示方法求解即可.

【详解】选项A：（2025,1）是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误；

选项R：{（x,y）lx=2025.y=l}是点集，与数集的元素类型不同,不是同一集合，故R错误：

选C：解方程x2-2026x4-2025=0,因式分解得（入一2025乂%-1）=0,解得x=2025或x=l,

因此集合{3丁一20261+2025=0}={2025,1},与原集合是同一集合，故C正确；

选项D：{x=2025,y=l}是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误.

故选：C

6

8.（24-25高一上•湖南永州•月考）若集合A=｛6,-2｝加=｛病一心,_2｝,且A=B，则实数用的值为（）.

A.2或一3B.2C.3D.—2或3

【答案】D

【知识点】根据集合相等关系进行计算

【分析1根据集合相等可得病一加=6,运算求解即可.

【详解】因为4=｛6,-2卜8=｛/一肛一2｝,且

用nr一〃?=6，解得小=3或m=-2.

故选：D.

题型3判断元素与集合的关系

9.（25-26高一上•广西河池•期末）以下选项中，是集合4=｛（乂），）|2工一），=1｝的元素的是（）

A.（1,2）B.（2,1）C.（3,5）D.（4,8）

【答案】C

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】判断是否是方程2x-y=l的解，即可得解.

Y—jx=2x-4

【详解】对于方程2x-y=l,显然"一。均不是方程的解，

y=-2[y=T[y=8

（x=3

〈是方程2x-"l的解，

[），=5

所以（3,5）是集合4=｛（用刈2%7=1｝的元素，故C正确；

（1,-2）,（2,-1）,（4.8）均不是集合A=｛（x,y）|2x-y=l｝的元素，故A、B、D错误.

故选：C

10.（25-26高一上•上海・期末）用符号C或任填空：设集合。是由满足y=f的有序实数对3,J）组成的，则

（-1,1）D.

【答案】e

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】利用元素与集合的关系直接判断即可.

【详解】（T1）是有序实数对，且满足1=（-1。故（Tl）eD.

7

故答案为：e

11.（2024高一上•全国•专题练习）已知集合4={x|/-x=0},则-1与集合A的关系为（）

A.-IGAB.-UA

C.—1AD.—1（ZA

【答案】B

【知识点】判断元索与集合的关系

【分析】化简集合A,由集合与元素之间的关系即可求解.

【详解】A={X|X2-X=0）={0J},所以—1与集合A的关系为-I史A,

故选项B正确，其他选项都错误.

故选:B.

12.（25-26高一上•费州遵义・月考）“设自然数集为N"，〃={xeN|x<4},则下列说法正确的是（）

A.0位MB.-eMC.neMD.4史M

2

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】求出集合M,再逐个选顷进行判断.

【详解】M={*iNk<4}={0,1,2,3},

所以OwM,A错误；,B错误；兀任M,C错误；4任M,D正确；

故选：D

题型4根据元素与集合的关系求参数

13.（25-26高一上•广东河源•期中）设集合4是方程V+⑪—GuO的解集，月.2eA,则实数〃的值为（）

A.-1B.TC.ID.4

【答案】C

【知识点】根据元索与集合的关系求参数

【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可.

【详解】因为2wA,所以22+2a-6=O.解得〃=1.

故选：C.

14.（25-26高一上•天津河北•月考）已知集合A=土L+2a+5,/+3a+5j,若3eA,则实数〃的所有

a

8

可能取值组成的集合为一.

【答案】{-2,4}

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数

4

【分析】由题意得。--=3,或"+20+5=3,或〃+3.+5=3,进而分别求解，结合集合元素的互异性可

a

得结论.

【详解】因为A={。一了。~+2a+5,a?+3a+s},3eA»

4

所以a——=3,或/+2。+5=3,或片+3。+5=3，

a

若〃一：二3,则/一3a—4=0，所以（。-4）（。+1）=0,解得a=4或〃=一1,

当a=4时，A={3,29,33},符合题意，当a=-l时，A={3,4,3},不符合题意；

若〃2+2〃+5=3,则〃2+勿+2=0，又A=22-4xlx2=-4v0,方程无解：

若/+3。+5=3，则/J+3a+2=0,解得a=-1或。=-2,

当。二一1时，A={3,4,3）,不符合题意，当。=一2时，A={0,5,3},符合题意：

综上所述，实数。的所有可能取值组成的集合为卜2,4}.

故答案为:{-2,4}.

15.（25-26高一上•云南普洱•期中）已知集合人={入]丁-3x+a>O,xeR},且]足A,则实数〃的取值范围是

（）

A.（-00,2JB.⑵内）C.（-oo,-2]D.[-2,+a>）

【答案】A

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】借助集合与元素关系计算即可得.

【详解】由题意可得F-3xl+aW0,解得公2.

故选:A.

16.（25-26高一上•四川•期中）设关于x的不等式土工>1的解集为4,若2wA,则实数机的取值范围是

x-m

【答案】l</w<2

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

9

【分析】根据2cA,得到一一＞1,求解即可.

【详解】若2eA,则x=2满足该不等式，代入得

2-m

则0＜2—〃zvl,则1＜相＜2,

故答案为：1＜相＜2.

题型5自然语言表示集合

17.（25-26高一上•河北石家庄•开学考试）在平面内，到点。的距离等于8的点的集合是

【答案】以点。为圆心，以8为半径的圆

【知识点】自然语言表示集合

【分析】根据圆的定义求解.

【详解】在平面内到点。的距离等卜8的点的集合是：以点。为圆心，以8为半径的圆.

故答案为：以点。为圆心，以8为半径的圆.

18.（24-25高一上•全国•课前预习）常用数集及其记法

全体自然数组成的集合简称，记作;

全体正整数组成的集合简称,记作或；

全体整数组成的集合简称,记作；

全体有理数组成的集合简称，记作；

全体实数组成的集合简称,记作；

全体正实数组成的集合简称,记作；

【答案】自然数集N正整数集N.Z.整数集Z有理数集

Q实数集R正实数集R*

【知识点】自然语言表示集合

【分析】略

【详解】略

19.（24-25高一・湖南•课后作业）用自然语言描述下列集合：

⑴[1,3,5,7,9｝；

⑵[xeR网2｝；

（3）[3,5,7,11,13,17,19｝.

【答案】（I）小于1。的正奇数构成的集合:

10

（2）大于2:的实数构成的集合：

（3）大于2且小于20的所有质数构成的集合.

【知识点】自然语言表示集合

【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解.

【详解】（1）解：因为集合A=｛1,3,5,7,9｝表示：小J70的止资数构成的集合；

⑵解：集合｛xeR|3x）2｝表示：大于:的实数构成的集合；

（3）解：集合｛3,5,7,11』3,17』9｝表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合.

20.（24-25高一上•上海•随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是________.（用符号表示）

【答案】0

【知识点】自然语言表示集合

【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号。得到答案.

【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集0.

故答案为：0.

题型6描述法表示集合

21.（25-26高一上•甘肃酒泉・期末）不等式/一23的解集为（）

2-x

A.B.'x||^x<2-

C.<小,或x<2»D.｛小[或YW2>

【答案】B

【知识点】描述法表示集合

2—x>0

【分析】由题设可得,之3（2-X），进而求解即可.

z-x>05

【详解】由—23,得v解得其XV2,

2-x[l>3（2-x）3

则不等式一一23的解集为卜

2-x3J

故选：B

22.（25-26高一上•北京•月考・）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（）

II

A.{y=x2-l}B.{y\y=x2-\]

C.{(x,y)ly=/-1}D.{yly>-l}

【答案】C

【知识点】描述法表示集合

【分析】分析可知集合的元素为点的坐标，结合选项分析判断.

【详解】因为函数y=f-i的图象可以看成函数)，=/_]的图象上的点的集合，

即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示{(x,)，)|y=x2-1}.

故选：C.

23.(25-26高一上•湖南岳阳•月考)下列用描述法表示的集合，正确的是()

A.奇数集可以表示为{xwZ|x=2k+IMwZ}

B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为卜,<10}

C.{巾>2}表示大于2的全体实数

D.不等式的解集表示为{x[x<-1或XN1}

【答案】AC

【知识点】描述法表示集合

【分析】根据集合的描述法逐一分析判断即可得解.

【详解】对A,ZeZ时，2k+l表示所有的奇数，A正确；

对B,{出〈10}表示小「10的实数集，B错；同理可得C1E确；

对D,x=±l不是不等式工20的解，D错.

x-1

故选：AC.

24.(25-26高一上•安徽六安・月考)用描述法表示下列集合：

(1)被5除余3的正整数组成的集合；

(2)正偶数组成的集合；

⑶函数y=2/-x+l的图象上所有的点组成的集合.

【答案】⑴{小=5〃+3,〃£叫

12

⑶|（x,y）|y=2x2-x+1,xeR,yeR}

【知识点】描述法表示集合

【分析】（1）利用描述法来表示集合；

（2）利用描述法来表示集合；

（3）利用描述法来表示集合；

【详解】3）被5除余3的正整数组成的集合是{x|x=5〃+3,〃wN}.

（2）正偶数组成的集合是Wr=2〃,〃eN}.

（3）函数y=2x2一工+1的图象.上所有的点组成的集合是{（.%y）\y=—x+1"eR,）,£R}.

题型7列举法表示集合

25.（25-26高一上•上海静安・期末）已知集合从=卜厂-2x-3=0},8=卜卜=VxwA},则8=

【答案】{1,9}

【知识点】列举法表示集合

【分析】解一元二次方程化简集合A,再根据集合的概念和表示方法求解即可.

【详解】由/一21_3=0可得（x-3）（x+l）=0,解得x=3或-1.

所以5=卜卜=%2,xeA}={1,9},

故答案为：{L9}

26.（25・26高二上•湖南・月考）将集合{H-3<xv3,xeZ}用列卷法表示是（）

A.{0,1,2）B.（1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{0,12,3}

【答案】C

【知识点】列举法表示集合

【分析】根据集合的表示方法求解.

【详解】因为一3<工<3,且xwZ,

所以符合要求的x的所有取值为-2,TO,1,2,

所以集合{X-3<x<3,xeZ}用列举法表示是{-2,-1,0,1,2}.

故选：C.

13

27.(25-26高一上.四川・月考)定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为「日,

读作匕的上取整”，如「2.21=3,「-2.2]=-2.己知集合A={y|)：=「340<x<l},则A=()

A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{0,123}D.{1,2,3,4}

【答案】B

【知识点】列举法表示集合

1192

【分析】分。<工工彳，彳<“4彳和彳</<1三种情况讨论，结合定义即可得解.

3333

【详解】当0<x«g时，0<3xWl,则「3x]=l,

12

当一—时，Iv3x42,则「3#]=2,

33

当时，2<3x<3,贝Ij「3x]=3,

综上所述，A={1,2,3).

故选:B.

28.(25-26高一上“Il东济南•期中)已知集合A={x|f-5X+6=0},则集合A的所有元素之和为.

【答案】5

【知识点】列举法表示集合

【分析】解方程确定集合A中的元素，再求它们的和.

【详解】由/一5x+6=0=>(x-2)(x-3)=0=>x=2或x=3.

所以A={2,3}.

则集合A中的元素之和为2+3=5.

故答案为：5

题型8根据集合性质求个数问题

29.(25-26高一上•河南焦作•期末)已知。为实数，集合4=1卜2-4工+。=(^中有且仅有一个元素，则。=

()

A.3B.4C.6D.9

【答案】B

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】山△=(4)24a=4x(4々)=0进行求解.

14

【详解】由条件知A=（T）2-4a=4x（4-。）=0,解得。=4.

故选：B

2

30.（25-26高一上•山东德州•月考）定义集合A8的一种运算：A<^B=［x\x=a-byaGAyh^B］，若4={-1,1},

«={l,2},则AXB中的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知识点】集合新定义、利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】根据新定义运算求得进而确定正确答案.

【详解】由4={-1,1},得。$A时/的值恒为］

当。=1时，^-^=1-1=0；当b=2时，a2-b=\-2=-\.

所以A®8={0,T},元素个数为2.

故选：B

31.（25-26高一上•四川•月考•）由单词"Chinese”中的字母作为集合A中的元素,则集合A中的元素个数为（）

A.3B.5C.6D.7

【答案】C

【知识点】集合元素互异性的应用、列举法求集合中元素的个数

【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案.

【详解】根据集合中元素的互异性，A={C,/U,〃,e,s}.

即4中的元素个数为6,

故选：C

32.（25-26高一上・北京・期中）定义某种运算@如下：母.""曹为臂警案数“口里痴，

（〃x力中一个为.正奇数，另一个为JF偶数

则集合M={（aS）卜③8=6M/WN}中的元素个数是______

【答案】9

【知识点】集合新定义、列举法求集合中元素的个数

【分析】分类讨论的奇偶性是否相同，结合运算“8”的定义分析求解即可.

【详解】因为。③力=6,目.a,b£N",

15

若a1的奇偶性相同,则。+方=6,

满足条件的（。力）有（L5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）；

若的奇偶性不相同，贝ijah=6,

满足条件的（。,6）有（L6）,（2,3）,（3,2）,（6,1）；

综上所述：集合M中的元素个数是9.

故答案为：9.

题型9根据集合相等关系进行计算

33.（24-25高一上•海南僧州•期中）已知集合A={1,〃?,〃},8="心〃?,〃科.若从二人M^2024.n2025=（）

A.-1B.0C.ID.2

【答案】B

【知识点】根据集合相等关系讲行计算

【分析】根据集合的互异性求出加和〃即可.

【详解】由题意A=B