聚焦小学数学

聚焦小学数学：在自主合作探究中生成智慧与人格

【教学案例】

数学课上，我发给每个学生一张印有平行四边形的纸，问：''你有办法算出纸上平行

四边形的面积吗？〃学生带着问题，用了7・8分钟的时间寻找答案。结果出现了许多不同的

算法：7x4=28（平方厘米）；7x5=35（平方厘米）；（7+5）x2=24（平方厘米）......

接着，学生小组讨论，由小组代表进行组间交流。面积28平方厘米是平行四边形

的底和高相乘得到的，一个分组代表边把平行四边形拼接成长方形，边说着面积等于底乘以

高的理由。面积35平方厘米是用平行四边形相邻两边相乘得到的，另一个小组的代表说：''我

们也是把平行四边形转化成长方形的，长方形的长是7厘米，宽是5厘米，面积应该是35

平方厘米！〃一石激起千层浪，学生有的点头赞同，有的一脸疑惑，出现了小声的议论。我也

说：''是呀，他们也是把邛行四边形转化成长方形，面积35平方厘米当然也应该是正确的。〃

我这么一说，教室一下子安静下来。有个学生质疑：''同样的一个平行四边形，它的面积怎么

会不同？〃渐渐地，越来越多的学生举手发表意见，纠正错误。有的学生还发现：当把平行四

边形拉转成长方形时，面积是最大的。而且，长方形是特殊的平行四边形。在学刍们的讨论

中，下课铃响。

借此案例，笔者想谈谈近阶段对小学数学课堂教学的一些思考。

怎样使基础知识学得更扎实

扎实的''双基〃教学是我国的优良传统，有些教师担心新课程实施会削弱''双基〃。如

上述课堂片断后的教研中，就有老师问：''几乎用整节课的时间探究公式，没有习题训练，学

生能行吗？〃

应对考试的课我也上过：出示用硬纸片剪成的平行四边形，让学生指出底和高；沿

着高把平行四边形剪开拼成长方形，让学生模仿操作；然后引导学生观察比较，推导出面积

计算公式。讲授大约用时10分钟，余下的时间便用来做练习。

压缩新知获得的过程，进行大量的习题训练，这样的教学会使基础知识孔实吗？我

不以为然。事实上，学生对问题有自己的想法，而且各不相同。对于学生片面的、错误的想

法，仅凭教师示范讲解，往往不奏效，学生没有真正明白错在哪里，即使接受了正确的观点，

错误的想法仍然潜伏，没有•得到删除或更正。因此，要让学生学得扎实，就要调动起学生的

已有知识经验，用自己的思维方式尝试解决问题。在不同想法的碰撞中，错误的想法被替代,

正确的知识牢牢地扎根于学生的脑海之中。

怎样有效渗透数学思想方法

数学思想方法比具体数学知识更为重要，这已经成为广大教师的共识。然而，如何

有效地渗透数学思想方法？教学平行四边形面积时，我也曾设计通过割补转化算出不规则图

形的面积，学生也确实受此影响，没有其他的想法，轻而易举地把平行四边形割补成长方形。

但后来，我坚决摒弃了这样的做法，上课伊始就让学生直面问题，激活已知、探究新知。出

乎意料的是，有的学生不用割补也能将平行四边形转化成长方形，得到面积计算公式。于是,

矛盾冲突产生了，经过激烈的思维碰撞，学生对转化思想有了更加深刻的理解：转化过程中，

图形面积必须始终保持不变。我想，知识是可以通过传授来接受的，而学习思想的最好办法

是亲身实践。只有亲身实践了，才会有深切的体悟。

怎样使每个学生得到充分发展

目前，存在着这样一种说法：自主、合作、探究往往会造成班级学生的两极分化。

分化现象确实存在，但我认为不能以此否定自主合作、探究的学习方式。教学不是要消灭学

生之间的差异，而是要实现学生充分的、有差异的发展。这种发展不仅包括认知水平，还包

括过程与方法、情感态度与价值观方面的发展。若真要防止分化，最直接有效的方法是教师

讲解示范，学生模仿、接受训练。然而，这种生产''标准件〃的教学能批量传授知识，却难以

发展学生的个性，难以培养学生的创新意识和创造能力，因为创造需要自由的探索和足够的

试错空间，需要创造的欲望和创造性思维。面对有差异的学生，为了实现差异的发展，必须

进行开放的、自主探究的学习。就像教学平行四边形面积那样，创设情境、开放空间、主动

参与、合作交流、各有所得。平行四边形面积的计算、数学的割补转化思想、数学的逻辑推

理、公式间的内在联系、敢于探究的精神、同伴的合作交流、积极的情感体验，等等，学生

得到不同而乂充分的发展，这就是我一直坚持的''保底而不封顶〃。

数学的课堂是师生智慧和人格生成最为活跃的场所，而自主、合作、探究的学习方

式能够使数学课堂散发出永久的魅力。（作者为上海市宝山区第一中心小学校长，特级教师）

■潘小明《中国教育报》2009年2月27日

聚焦小学数学：模仿与探究是教学多渠道中的两条

■仲海峰

两个教学案例的对比

关于五年级''小数乘法"教学，两位教师设计了如下教学流程。

甲1.根据''34x12=408〃直接写出下面算式的结果：34x120,340x12,

34x1200,34x1.20

2•独立探究34x1.2的笔算方法。

3.合作交流，对多种方法进行比较与优化，对错误进行归因分析。

4.通过几道练习理解计算法则。

乙1.宣布学习内容和学习目标。

学生独立尝试笔算：

2.34x1.2O

3.请学生讲解、示范正确的解题并纠正错误的解题过程。

4.大量地练习反馈，掌握计算方法。

甲教师教学时尽量由学生自己分析、比较得出结论。乙教师教学时不忌讳直接讲解

甚至直接告知学生结论。甲教师教学伊始让学生独立思考、自主探究，目的是充分暴露学生

的知识基础、多样的解题方法甚至错误的解题思路，为后续教学找到起点和抓手。课堂走的

是一条由''外围〃到''中心〃，由''错误〃逼近''正确〃的证否之路。乙教师教学伊始让学生独立思

考，目的是为了从学生中找到正确、规范的做法，从而使得后续教学由''教师讲授〃变成''学生

教给〃。课堂走的是一条从''法则〃到''法则〃，用''正确〃审视''错误〃的证实之路。甲教师的课堂

时间主要用于两个部分：一是作为学习主体的每个学生独立地观察、尝试、猜测、验证、推

理、交流；二是师生、生生间围绕学习目标多向互动。课堂中，学生除了习得乘法的计算法

则''是什么〃与''为什么〃外，还获得了一种丰富的过程体验。乙教师的课堂时间，一方面用于

讲解法则和示范标准的计算程序，另一方面用于大量的、反复的练习、反馈、纠错。课堂中，

学生习得的仅仅是计算的程序和熟练的计算技能。

针对传统教学的弱点，融合''自主、探究、合作〃等新理念的做法，笔者认为，在今

后教学中我们应关注以下几个关键词：

参与。在讲解、传授之前注意用情境、设疑等手段激发学生的学习动机，使学生成

为学习的参与者。

体验。在讲解、示范时注意细化甚至重复演示步骤，必要时让所有学生边模仿边亲

手操作，以获得体悟。

主动。允许学生随时发问，并给予及时解答。

结构。在一定量的模仿、训练后要进行提升与数学化，使新知识与学生已有认知相

连，成为学生数学结构的一部分。

思想。提供与新知识相关的数学史料，与学生一起体会其中的数学思想、数学精神。

训练。有研究表明，讲解、提示在学生准确率达到80%以前是有效的，过了这个百

分点就要通过练习与训练来实现了。在进行训练时，我们不光要注意题材的新鲜、有趣，题

型的新颖、活泼，题目内容、难度的多变，还要注意一定量的练习。练习量是很讲究的，练

习少了，学生对知识的掌握达不到火候，就无法熟能生巧，给后续学习埋下了障碍。相反，

练习过了，解题蜕变成简单的回忆与模仿，这时''熟〃就生''懒〃了。（作者为江苏省海安县实

验小学教师）

《中国教育报》2009年2月27日

聚焦小学数学：训练也是学习

■任景业

竖式除法是学生学习运算中的一个难点。余数问题、商的数位问题、单位问题等类

似错误常常出现在学生的作业中。表面看这些错误各不相同，细细分析会发现，这些错误的

根源在于不理解竖式算法的意义。有研究发现，学生虽然会用竖式计算，但65%的学生不

明白竖式除法为什么从高位算起，51%的学生不清楚竖式除法的算理。这种情况下，提高

学生的运算能力，就不能只是让学生反复操练。

训练是提高计算能力的技术手段，但并不一定是科学于段。教师应当改进教学，关

注学生的已有经验，关注学生的困惑，在此基础上设计教学。寻''根〃究'、理〃，让学生真正参

与到知识的探索中。

情境设计，让学生钟情练习

将学习中的模仿、训练转化为学生的内在需要，是我们教学设计的追求。

有这样一道题：''地球赤道周长4万千米，设想用铁丝沿赤道扎紧，然后把铁丝接长

10米，问铁丝和地面之间能出现多大空隙？〃这道题对学生来说是很有趣的。但怎样让学生

对题目''一见钟情〃呢？有位教师作了如下改进：

地球的环境日益恶化。地球大吼：''我受不了啦，我快要爆裂啦！〃玉皇大帝听到后

很着急，心想：要是地球真的爆裂了，那全部生灵就会被毁灭。于是他决定沿地球的赤道加

一道铁箍，以防地球爆裂。可是地球却直喊：''太紧了，我喘不过气。〃玉皇大帝只好把铁箍

松了一下，使得它处处离地球1米。可是松一下，铁丝不够长了，需要再加一段，请你帮玉

皇大帝算一下需要加多长的一段铁箍？

这样的题目有故事情境，符合小学生的心理，能很好地调动学生的参与愿望。研究

发现，进行情境问题测试的学生，其成绩和个体情感的投入都优于进行传统题目测试的学生。

在之后的问卷调查中，进行情境问题测试的学生有94.7%选择''以后还希望再做这样的测

试〃。而进行传统题目测试的学生选择该项的只有22.5%。这就要求教师改进学习内容和

形式，尽量避免重复，多让学生主动创造而减少灌输。''凡是能传给他人的，一定是可以重复

的，而可以被他人重复的则一定不具有创造性。〃这启发我们，为了增加学生的主动性，除了

教学方式、教学方法方面的改进外，还需要结合学生的现实背景，设计现实的、有意义的、

富有挑战性的情境性问题，避免训练中的简单重复。

适时点拨，增强练习实效性

练习要让学生明了目的，不能盲目。练习中，需要教师及时分析学生的错误成因，

适时介入，并根据学生的不同情况安排有针对性的练习。

有一道找规律题目如下：2000,400,80,()o有个学生说：''前面的

数除以5,就得到后面的数，所以80・5就可以得到答案16。〃另一个学生说：''老师,

我算出的答案也是16。可是，我找的规律跟他们的不一样。我是这样算的：2000+2

000=4000,去掉一个0,就是400o400+400=800,去掉一个0就是

80o80+80=160,去掉一个0就是16o所以，最后一个数是16。〃

这个学生的规律，其他学生是不是听懂了？他与别人的规律是不是真的不一样？如

果不一样，有什么联系和不同？教师在这儿引导其他学生探讨这个学生的算法，是非常自然

而必要的。

这个学生用到的''加法〃是第一级运算，运算程度最低，也最简易，在说到除时，用

到的是动作''去掉0〃，而不是''除以10〃，表达很通俗，且形象、生动。而其他同学运用的

是第二级运算''除法〃，方法相对抽象。对这两种思路的对比分析在这一节课中非常重要。

跟上时代，不做超标练习

在计算教学的问题上，一直有人批评课改过了头。诚然，素质教育并不排斥计算上

的高技能，但是，计算技能需要高到哪种程度，则是需要画个问号的。

两位数的除法在教学中是重点，而瑞典教材是不作要求的。像448・32,他们

只要求学生能估算448^30就可以了，不要求笔算。2008年，我们与瑞典教育代表

团交流时，瑞典教育代表团团长多丽丝教授反问我们：''时间很宝贵，长大以后这些题目都可

以用计算器去解决，你们为什么要花费这么多的时间用于计算？〃这个问题促使我们不得不思

考：我们让孩子花费这么多的时间，究竟有什么价值？为什么我们让学生做超出课标要求的

大量练习？而我们的课标本来就远超出国际一般要求。

有位教师说：''有一道题：桃树.23棵，杨树是它的3倍少6,桃树、杨树一共多少

棵？我讲解了好儿回，学生都是23x3—6。你说如何讲学生才会接受？他们都不知道要

再加上桃树的数目。〃原因何在？由''生活经验解次〃到''数学符号表征〃是一大跨越，学生不会

用一个式子把''桃树、杨树一共多少棵〃表示出来，这不能怪学生。列综合算式对于四年级的

学生来说，还是太难了。我们的课标和教材是不要求学生列综合算式的，而我们平时的教学

还在远超''英美〃的高度上再次拔高。

训练是学习的过程，而非学习中的某个环节，从这个意义上说，训练即学习，而不

是重复。学习不是传输的过程，也不是接受的过程，学习是个需要建立联系、需要自觉建构

实践的过程，高开学生的参与，训练就成为复制的过程。由此，我们需要加强教师在学生练

习中的指导作用，使练习走向科学。（作者为山东省在平县杜郎口中学教师）

《中国教育报》2009年2月27日

聚焦小学数学：什么是真正“用教材教”

■上海市静安区教育学院曹培英

''用教材教〃时下已成为教师们经常挂在嘴边的一句话。''教教材〃与''用教材教〃在语

意上并无多大差别，但''用教材教〃反映了教材观的转变，即视教材为主要的课程资源、教学

线索，激活了教师的专业自主性，让教师以教材开发者的姿态，将个人特质、教学经验、教

学才能融入到对教材的加工、改造之中。

历史地看，过去我们也反对照本宣科，追求用活教材，现在提倡''用教材教〃，似乎

是旧话重提，但其中的必要性却不容小视。社会与教育的发展在为教学提供新条件的同时，

也对教学提出了更高的要求。要求教学更加关注学生的个性发展，要求教材多样化，要求教

学手段不再只是一张嘴巴、一支粉笔。因此，传统的话题势必会在新的历史条件下，寻求新

的诠释与表达。

目前，有种观点认为，''教教材‘'与''用教材教〃是教师教学水平提高的两个阶段。论

据一是目前尚有不少教师的教学连忠实执行教材还没做到，论据二是''教教材〃要作为''用教材

教〃的基础。这样的看法有一定的道理。但需要明确的是，它只是举出了特定背景下的真实个

案，不能据此认为它就概括出了教师提升教学水平的一般规律。同时，我们也确实应当先深

入教材，再跳出教材，否则难免会出现对教材的误读和背离。

事实上，要有效地用教材教，除了正确理解、准确把握教材之外，还必须深入分析

学生的学习特点，了解他们的真实情况。教材再好，通常也只能根据般情况为数与学提供

一个思路和一种设计方案，不可能完全适应每个学校、每个班级、每个学生的具体情况。用

教材教，要求教师具备解读教材、解读学生的智慧。解读教材、解读学生与加工教材，都可

以在备课过程中，即在课前一次完成，实际的备课过程，也常常是将三者结合起来进行的。

不能因为它们需要分别展开研究，就听任目前的教学停留在''教教材〃的水平上。同时，对三

者的钻研应该是教师永无止境的追求，都有待深化，需要经验的逐渐累积，不必人为地限定

先熟悉教材、教教材，再加工教材、用教材教这样的阶段。任何时候，调整、加工教材都是

教师的权利，也是教师备课的内容之一。

如何''用教材教〃？需要探讨和解决的问题很多。这里笔者仅就使用新教材以来教师

在课前预设环节遇到的一些问题进行讨论。

复习铺垫的设计。现在新编的教材，基本上不再出现新知识前的复习、准备或过渡

内容。以致有教师问：是不是数学课堂上不要需要兔习环节了？

教材直接以问题开始，有利于扩大思维和探索空间，有利于学生问题意识的培养。

在这个过程中，学生在新问题的基础上联想回忆出已学知识。当然，如果学生自己联想有关

知识有困难，或者出现夹生、遗忘现象，教师先行组织复习也是可取的。

新授前设置复习、准备环节的初衷，一是为了通过再现激活学生头脑中已有的相关

知识；二是为探究铺设台阶，分散新授的难点。第一点无可厚非，问题在于第二点。以往的

课堂教学实践中，教师常常铺垫暗示过度，或者人为地设置了一条狭窄的思维通道，学生无

须探究，或稍加尝试，结论就出来了。这显然不利于学生主动学习能力的发展。但我们也不

必就此因噎废食。应当承认，这类教学铺垫有很多合理的成分。

比如，教循环小数前，很多教师喜欢先以学生熟知的一年四季周而复始的实例，让

学生感知''依次不断重复出现〃的周期现象，以此作为同化新知识的认知框架。有了这i铺垫,

原本很抽象的循环小数，通过学生自发的类比，大大降低了理解的难度。

教学手段的选择。i般认为，选择教学手段的依据是教学内容、学生以及教师自身

的特点。除此之外，还应考虑什么？

以教学长方体的认识为例。现在多数教材提供的现实模型是城市建筑、冰箱、纸盒

等图片，人民教育出版社的教材考虑到农村和边远地区，给出的素材里还有长城的图片和其

中一块放大了的砖。教师可以选择一个或几个实物抽象出长方体的图形，并进一步介绍长方

体的面、棱和顶点等。目前在有条件的学校，教师大多采用多媒体课件演示长方体的形状。

此外，还能选择什么教学手段呢？30年前笔者在江西教学时，曾用当地的白萝卜作为教具。

在东北，教师的创意是让学生用小刀削土豆。在上海，老师们让学生用小刀削橡反泥。这不

正是因地制宜选择教学手段最生动的诠释吗？

巩固练习的补充。经常听到教师抱怨新教材配备的练习偏少。不可否认，教材需要

修改、完善，但教材不是题库，面对减轻学习负担的社会诉求，教材中的习题必须严格精选。

因此，即便改进之后，还会众口难调。比如20以内退位减法，可以用''破十法〃，也可以用''连

减法〃。诸如此类的针对性练习，教材难以一一提供，只能由教师为学生''量身定制〃，自行补

充，当然教学参考书可以也应该给予提示。

此外，学生的学习有缺漏必须弥补，同时要满足学有余力的学生兴趣拓展和提高的

需求，教师适当的增补练习，也是因材施教的内涵之一。另外，一些乡土素材、社会时事、

学校正在开展的活动，等等，都可以用来编成数学的实际问题，使数学应用练习更贴近学生

的生活和时代的脉搏。

《中国教育报》2009年2月20日5版

聚焦小学数学：从深度上挖掘从宽度上拓展

■江苏省南通师范学校第二附属小学柳小梅

优化教材是教师专业成长的标尺。教师应当积极关注自己的专业成长，使自己成为

教材的生产者和主人。作为一线教师，笔者在使用新教材时经历了以下历程。

少年轻狂一一教然后知不足

''教材无非是个例子〃，''在实际教学实践中，教师在教材面前不是被动的执行者，而

是研究者、开发者〃......还记得课改初期读到这些观点时，我感受到十分欣喜与激动。由此，

受到鼓舞的我简单地把''优化教材"等同于''一味求新〃而随性''创造〃。今天加一个情境导入，

明天大刀阔斧地删减教材，后天重组教材，有时甚至全盘替换。回顾这段经历，很多当时''沾

沾自喜〃的举动在今天看来都是肤浅的，更有不少是在对教材意图理解有偏差情况下的''想当

然〃。对教材内容把握上的不准、不全导致了挂一漏万。如苏教版五年级上册''认识负数〃，教

材是以读温度计为素材来学习正负数。当时，我认为这个例子太普通，就推翻了教材的例子。

后来才知道教材用温度计作为学习素材还有一层深意：把温度计横过来不就是一根数轴吗，0

是正负数的分界，正负数在数轴上是对称分布的。这样的渗透在学生对数的认识扩展上具有

非常重要的意义。

看来，即使是教材中不起眼的细节都可能蕴含着特定的教学意图。说''教材无非是个

例子〃的人是需要有深厚的专业底气和博大的数学素养的，毕竟这是教材组专家们集体智慧的

结晶。所以，我们谈创造性地使用教材，要在对教材编写意图读懂、悟透的前提下，首先保

证能教好教材，再谈''用教材教〃，在包含的基础上实现超越。

且行且思一一重新面对的审慎

郑毓信教授在《数学教育：动态与省思》一书中指出：''作为课程改革的一个方面，

现行的任何一种教材都不能被看作完全理想的，它必然地有一个发展和改进的过程，广大一

线教师不仅可以而且也应在这一过程中发挥重要的作用。〃如此来看，任何教材都有取舍增补

的空间。当前，我们一线教师创造性地使用教材是可能的而且也是必要的。但正如贝德纳等

人所说的，只有在开发者对设计所依据的理论有反思性认识时，有效的教学设计才成为可能。

今天的我在实践中对教材进行二次开发和创新建构时，多了一分客观辩证的理性，坚持在深

度研读时寻觅空间，在反复斟酌后定夺取舍，力求在使用中实现优化。

以苏教版教材第八册''用字母表示数〃一课为例来谈谈我的实践。

案例1一一立足难，点的突破,挖掘教材的深度

教材的深度有两方面：一方面是知识的深度，一方面是思想的深度。在研读教材中，

从''系统性〃的角度我认识到'、用字母表示数〃是学生感悟”代数语言〃作用的起始课。本课教学

中让学生理解含有字母的式子既可以表示数量间的关系，也可以表示一个结果，是教学的难

点。

教材例题：摆一个三角形需要3根小棒，让学生推算2个，3个......到a个三角形

需要儿根小棒。

如果直接采用课本上条件完备、结论明确的封闭例题作为学习材料来突破难点，会

显得太单薄，而且静态的处理也会限制学生探究未知的积极性。字母表示数这么抽象的东西，

能不能学得有趣、简单又能抓住本质？字母表示数的本质是什么呢？我想到了函数关系，这

一进一出，不就像个盒子吗？放进去的量经过关系加工后出来另一个量。于是，我试着做了

一个数学''魔盒〃。结果，学生非常喜欢。小小的魔盒发挥了神奇的作用，学生始终边玩边自

觉地思考。在一次次验证的过程中，我引导学生们试着用算式来表示结果，为理解含有字母

的式子可以表示结果作好铺垫。在适时地点拨和引导下，学生们借助具体的数发现了魔盒的

秘密，再次体验了用字母表示数的概括性，经历了建立数学模型的过程。魔盒本身是一个蕴

含函数思想的一个载体，学生在玩中不知不觉地感受着字母表示数的特点。这样层层逐步深

入，有层次、有坡度地突破了难点。

魔盒的神奇还表现在：输入魔盒的数可以是学生学过的整数、小数或分数。进而让

学生明确：用字母表示的数是已经学过的所有的数，不局限于整数。同时在游戏后，我还水

到渠成地总结：数学是研究千变万化中不变的关系，更是对数学本质的体验。

案例2一一从有疑处生发,拓展教材的宽度

从信息论的角度来说，教学内容的宽度就是一节课传输给学生的信息量。在''用字母

表示数〃一课中，教材是这样呈现简写规则的：ax4或4xa通常可以写成4・a或4a；axa

可以写成a・a,也可以写成a2,a2读作、'a的平方〃。

在教学中，规则的学习实际上并没有多少探究的空间。但教材的呈现比较零乱，而

更加有序的呈现规则将有利于规则的掌握和熟练运用。这部分内容虽然分量不重，却也是学

生学习的一个难点。面对这一小段内容，追问中我想到：为什么要有这样的规则呢？学生会

不会也有这样的疑问，而我又该怎样回答呢？带着这些问题，我开始寻找。

苏霍姆林斯基曾指出「如果老师不想办法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状

态，就急于传授知识，不动情感的脑力劳动就会带来疲倦。没有欢欣鼓舞的心情，没有学习

兴趣，学习也就成了负担。〃我试着以儿童的眼光看问题，在全面深入研究学生和钻研教材的

基础上，儿易其稿，把简写规则这样的规定性知识镶嵌在一个有趣的数学童话中，做成动画,

引导学生在具体的情境中轻松愉快地学习。故事如下：

某天的早朝上，。国王正在听小不点儿乘号汇报工作：''陛下，因为我和X很相近，

许多人总把我们混淆。请陛下想出一个对策才行啊。〃

于是，0国王传下口令：加号、减号、除号先行退朝，乘号留下议事。

第二天早朝，。国王宣布了3条制度:

第一，在含有字母的式子里，数和字母中间的乘号可以记作小圆点，也可以省略不

写。如xx2或2xx都可以记作2・x或2x,但要注意，在省略乘号时，要把数写在字母的

前面。

第二，1与任何字母相乘时，1可以省略不写。如lxb或bxl都记作b。

第三，字母和字母相乘，中间的乘号也可以记作小圆点或省略不写。如axb记作a-b

或ab：两个相同的字母相乘，如bxb记作b2,读作''b的平方

这样学习和自学几个例子的效果肯定大不一样。这一教学片段的形式新颖、活泼，

充分体现出数学思想，一切形式的生动都是为学生的学习服务。

踏歌而行一一对走向、、学材”的企盼

教师使用教材的智急体现在教师精通教材的基础上，根据自己的体会和教学风格，

结合学生的知识水平、年龄特征和实际学习需要，对教材内容进行精心处理。不管是魔盒的

诞生或是童话的编写，出发点都是为学生的学习服务，站在学生的立场思考。在数学课堂上

玩魔术、听童话，在孩子们看来，是非常有吸引力的。不仅如此，孩子们还能从中发现数学

问题、研究数学，这又是多么美好啊！我期盼着教材的定位能更明确地指向学生一一让教材

直接面向学生，更直接地服务于学生的学习活动，而非主要服务于教师的教学活动，真正实

现从''教材〃向''学材〃的构建。

《中国教育报》2009年2月20日5版

聚焦小学数学严用教材教，，就是用好用活活用教材

■福建省古田县教师进修学校陈燕杳

在一次''同课异构〃专题教研活动中，5位教师分别执教了苏教版小学数学''用一一列

举的策略解决问题''这一内容。

教材安排了两个例题，例1是''王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，

有多少种不同的围法？〃例2是''订阅《科学世界》、《数学乐园》和《七彩文学》杂志，最

少订阅1种，最多订阅3种，有多少种不同的订阅方法？〃现场教学中，共有4位教师把例1

和例2的素材进行了改编，把例1的素材改为王大叔''围花圃〃，例2的素材改为王大叔''选花

苗〃，只有一位教师沿用教材进行教学。听课的老师认为后一位教师的例题素材与众不同，是

对教材进行了改编，而前4位教师如出一辙的改编却被认为是教材的本来编排。

改编的教材''反仆为主〃尴尬了谁？仔细研读教材，我们不难发现，两道例题注重选

用有趣的、有现实背景的素材，旨在调动学生解决问题的积极性，同时激活学生已有的生活

经验和数学活动能力。以例2为例，''订阅杂志〃与''选种花苗〃，哪个素材更贴近学生的实际

生活？更容易唤起学生的兴趣和经验？显然是前者。4位教师在改编教材时只注重从''教〃的

层面，认为用''围花圃〃和''选花苗〃的情境，容易组织教学内容，有利于教师进行教学，这折

射出教师''以教为中心〃的教学设计价值取向。

教师如此热衷于改编教材，一方面说明新课程背景下教师对于''用教材教〃意识的提

升，另一方面也说明教师对教材认识的形式化和表面化。在实践中，教师该如何真正落实''用

教材教〃呢？在我看来，''用教材教〃至少包含3个层面的含义，即用好、用活与活用教材。

用好一一尊重教材

笔者曾经读过一个教师的备课反思「'虽然我每天课前都备课，但对教材挖掘得很不

够。很多时候，在讲解某一个知识点时，突然想起了还有另外一个内容应该补充，但由于事

先没有准备，只好课后查阅完再补充。该趁热打铁的时候老师没词了，这是多么尴尬的事啊！〃

这是常态课堂中部分教师呈现出的真实图景。课前''吃〃不透教材，课堂上徒留遗憾与尴尬。

因此，读懂教材是教师必备的基本功，读懂教材是使用教材、有效教学的基础。

如何''吃〃透教材、读懂教材？具体到一节课，教师要从以下5个方面入手研读教材:

了解教材整体结构及前后联系，明确例题的地位和作用，弄清习题与例题的关系，揣摩插图

的编排意图，钻研提示语和旁注。做到''五读俱全〃，即读懂问题情境，读懂每一道习题，读

懂教材内容的结构，读懂教材的呈现方式，读懂教材的旁注、留白。

教学离不开教材，''用教材教〃的第一层含义就是要用好教材，准确把握教材的编写

意图，在教学中力求还原教材编写的本意，深入感悟教材资源，实现教材自身价值的最大化。

用活一一理解教材

用活教材，就是以教材作为原型和范例，在依托和尊重教材的基础上，根据实际需

要对教材进行适度的拓展和延伸，挖掘教材资源的深层价值，最大限度地发挥教材的功能。

点亮教材细节。笔者曾经听过一位特级教师谈自己如何''由内而外地打磨数学课堂〃,

有时仅仅是在使用教材时''读一遍习题、加两个数据、换三道题目〃，这些细节处理没有张扬

的技法，有的只是教师对教材的深刻理解、对学情的准确把握。有的教师潜心设计''小动作〃,

对课堂教学起到画龙点睛的艺术化效果，这些''点睛之笔〃源于教师对教学本质的深刻领悟。

在课堂教学中，教材细节的开发往往容易被教师忽视。有的教师认为教材编写己经给出完美

的作品，教学时只需搬用就行，他们考虑的大多是用得像不像，而较少思考''有没有更好的用

法〃。其实，许多教材细节还需教师多加推敲，用心琢磨，把教材细节做“亮教师备课时要

在充分钻研教材的基础上，认真对待教材的每一个细节，赋予教材细节更深的知识内涵和更

广的思维空间，让教材细节丰盈课堂，使之能够生发锦上添花、以小见大的效力。

填补教材''空白〃。新教材通过游戏、对话、表格和图片等方式呈现教学内容，没有

呈现结论，只有学生自主活动的建议和过程中的问题提示，力求为教与学留下尽可能大的探

究和交流空间。教学的灵活性增加了，教师的选择空间扩大了。这些教材空间给教师教学带

来一定的困惑和难度，同时也给主体间的有效合作带来了良好的机会，让教师在使用教材时

有更多的联想意境和创造空间。例如苏教版五年级''小数乘整数〃一课，教材对竖式如何引出

没给出具体的方法，从而留下了教学空间。教师在使用教材时不妨在此动动脑筋，考虑如何

增减教学素材更便于学生感悟到用竖式计算''小数乘整数〃的必要。教师要善于在教材的''留

白〃处挖掘、拓展教材的深度和广度，从而使新课程教材真正成为有效激发学生的学习潜能、

引导学生自主探索、激励学生自我实现、不断提高学生数学素养的''有效的信息资源〃。

开发习题资源。习题在小学数学教材中占很大的比重，如何充分利用课本中的习题

资源，开发习题的育人价值是''用教材教〃的一个重要方面。数学习题蕴含有知识功能、教育

功能和评价功能。在数学教学中，解答习题本身并不是目的。学生一旦开始解题，他就接受

着一种思想的训练，从技能、思维、智力、非智力等各方面塑造自己。新教材的习题注重培

养学生的分析、综合、判断、推理的思维能力，培养学生解决实际问题能力和对数学积极的

情感体验，在编排上注重利用实际情景设计开放性的问题，为教师创造性地组织教学提供了

丰富的资源。教师要有习题资源的意识，将教材中的习题拓展为一个个值得学生探究的数学

问题，以利于拓展学生的探索空间，促进学生的合作交流，让习题增值。

活用---创生教材

新课程的每个学段都要求教师''创造性地使用教材〃，但创造性地使用教材并非简单

地改变教材，它是用教材教的最高境界一一超越教材、活用教材。具体体现在教师对教材有

深刻和独到的见解，对教学有独特的思路和设计，能够对教材的绝对权威提出挑战，作出有

个性的演绎，面对复杂多变的教育情景及时增删、延展固有观念，创造出有益于师生对话的

氛围，使教学活动更加鲜活生动。它要求教师能够站在与教材编写者同样的高度去审视教材,

能够读懂学生、读懂教材.，寻求学生认知规律与教材编写意图之间的契合，对教材科学合理

地整合、重组和超越，使加工后的教材更加丰富多彩，更具实效性、现实性和挑战性，更好

地调动学生的积极性和主动性。要创造性地使用教材，教师首先要成为一部书，一部非常生

动、丰富和深刻的教科书。这种专业自觉不仅是外界赋予的权利，也是教师教学生活的内在

追求。

聚焦小学数学：善用教材从读懂起步

■云南省教育科学研究院管尤跃

读懂小学数学教材是正常开展课堂教学的基础和源泉。只有读懂教材，才有可能实

现教学内容、教学方法与教学手段的统一，才能使教材的普遍性同本地教学实践的特殊性实

现有机结合。只有读懂教材，才有可能正确地''用教材教“，也才有进一步创造性使用教材的

可能，才能最大限度地满足学生对学习内容、教学方法的需求，充分调动教学双方的积极性，

提高教学效率。

读懂教材的编写思路。教师要通过通读根据课标理念编写的教材，清晰了解全套教

材的脉络，这有助于理解课标精神，有利于从宏观上把握教材的编写思路、从微观审视每册、

每单元（课时）的目标要求。从一定意义上来说，制订出准确而适当的三维教学目标（教什

么）比具体的教学过程的执行（怎么教）更为重要。

读懂教学内容的编排意图C比如，教师可以利用非常适合学牛认知特点的''寻宝游戏〃

复习''数对确定位置〃，然后引入课题。''读〃教材的过程中，需要教师用心去悟，悟出道理，

悟出变化，悟出层次，找到适合自己的最为有效的教学思路。教师能否在读教材中悟出教学

中每一个细节的孰重孰轻、教材处理方式的孰优孰劣，直接决定着教学效果的好与坏。

读懂教材的上下结构。文似看山不喜平，教学亦如此，如果能让看似简单、平实而

又毫无生气的书本知识跌宕起伏，学生肯定会随着教学过程的深入而陶醉其中。新课标教材

的编写思路、每册教材的编写安排、每个单元的知识内容、每个内容的具体呈现，无处不体

现出上下、前后内容在外部看来的环环相扣和内部看来的紧密结合。每一个数学教师只有结

合自己的实际来读懂教材的设计才是最为实在的，也是最为重要的。过于强求''攀高〃不符合

现实，不负责任的''就低〃也不是可取之道。

读懂教材的''弦外之音〃。对于教材中的''弦外之音〃，处理得好无疑使''用教材教〃锦

上添花。不过，这样的''弦外之音〃有时是课堂教学中的调味品，只有在需要的时候才添加。

教师读懂教材，必然要经历''愿读一一常读一一会读一一读懂一一读深一一读广一一

读透〃这样一个过程。由于地区不同，学生的经历不同，同一教材，不同的教师读了会有不同

的发现，产生不同的感受，选择不同的角度作为教学的切入点，也就有不同的教学预设。要

实现从''教教材〃转向''用教材教〃，以至于创造性地使用教材，就要在读懂的过程中融入自己

的科学精神和智慧，挖掘教材资源，进行拓宽、外延、知识建构等，使之成为学生意义建构

的教材。

聚焦小学数学：在继承与创新中寻求平衡

浙江省教育厅教研室斯苗儿

新课程背景下的数学课堂可谓异彩纷呈，而课堂的实际效果却不尽如人意。一些教师一

味强调开放与自主，在课堂上很少进行规范的板书、清晰的讲解，很少留给学生独立看书或

做作业的时间。怎样提高课堂实效，处理好有效与开放的矛盾？笔者认为，需要在继承与创

新中寻求平衡。

强化目标意识，清晰阐述具体目标

小学数学作为一门基础学科，要让学生掌握必要的基础知识和基本技能，获得基本

的活动经验和数学思想方法。前者是显性的要求，可清晰地加以阐述，并分解到每节课完成,

也就是传统意义上的''课一得〃；后者是隐性的目标，较难在课堂上清晰阐述，需要教师长

期坚持，点滴渗透。新课程实施以来，一些教师在制订课时教学目标时，追求面面俱到，误

以为把''过程与方法〃、''情感、态度、价值观〃的目标放大了，把''知识技能〃的目标含糊了，

就能体现新课程的理念。事实上，教学的成效是一个不断累积的结果，而不是一个突变。教

师需要进一步强化目标意识，在认真学习课程标准、仔细研读教材和全面分析学情的基础上,

通盘考虑总体目标、学段目标、单元目标和课时目标，保证每节课有可检测的知识技能目标,

并分解到各个教学环节中加以落实。

如一位教师写的''速度、时间、路程〃一课的教学目标：（1）引导学生在解次问题过

程中理解速度的含义，建构路程、速度、时间的关系，初步感知三者之间的变化规律。（2）

引导学生运用路程、速度、时间三者关系解决生活中的简单问题，获得解决问题的策略，提

升解决问题的能力。这样的目标，既把一节课纳入解决问题的整体框架中加以考虑，又依据

知识间的内在联系和学生的实际突出一节课的个性。正因为教师对课时目标有了清晰的认识

和恰当的定位，课堂上就少了许多游离于数学之外的环节，力求让每个环节的构建与目标建

立对应关系，使环节都指向口标，从而提高课堂效率。

作为有效的数学教学，不仅应当十分关注如何帮助学生很好地掌握各种数学知识与

技能，而且应高度重视如何督助学生数学地思维，包括由思维方法的学习向数学素养的重要

过渡。

增强时间观念，合理分配教学时间

教学时间是十分宝贵的，它决定着课堂教学目标的确定、内容的选择和结构的安排。

在有限的40分钟里，面对有四五十名学生的大班教学，教学时间分配的合理程度会直接影

响到课堂教学的有效性。新课程实施以来，许多教师热衷于创设情境导入新课，但由于缺乏

时间观念，有的教师只是原原木本地把实际问题拿到课堂上，提出的问题过于笼统，让学生

漫无边际地''侃〃，影响了教学进度。实际上，一个正常人真正可以集中精力的时间只有20

分钟左右，小学生更短，我们不能要求孩子集中40分钟的注意力，但可以根据孩子注意力

能集中的时段讲解新知、教学重点、突破难点。教师应合理分配好各教学环节所需的时间，

在课前就应对各个教学环节所需时间心中有数，特别要把学生答问、练习的时间计算在内，

并且留有余地。如果把新授课分为导入、展开、巩固延伸3个环节的话，展开环节所占的比

例要大一些，并且要留出一定的巩固练习时间。

新课程并非要完全抛弃传统的课堂结构，而是要求对传统的课堂结构进行改革和优

化。许多有经验的教师非常重视课堂教学的顺序和时间的合理安排，从而大大提高了课堂教

学效率。

加强引领意识，恰当讲解示范

课堂教学的有效性虽然表现在不同层次上，但学生是否有进步是衡量教学有效性的

唯一指标。学生的进步和发展离不开教师的引导和必要的讲解示范，尤其是小学生。作为教

师，讲解是一项很重要的基本功。平时听课中，笔者发现有的教师在课堂上该讲时不敢讲，

本来一句话就能点明的问题，非得跟学生''兜圈子〃、''捉迷藏〃，以为这样就是开放，结果时

间白白地浪费了。举例来说，应用题是小学数学课程的重要内容。在传统数学教材中，设计

了整个单元进行应用题的教学。而数学课程标准把''解决问题〃作为4个总体目标之一，以此

为指导的数学教科书将应用与计算结合起来，不再设立单独的应用题单元，甚至很少集中地

编排纯应用题内容。随着新课程的进一步实施，新教材编排体例的变化与教师教学习惯之间

的矛盾日益突出，一些教师不敢强调数量关系，怕被扣上“传统〃的帽子。事实上，一个学生

搞不清数量关系，就不可能从复杂的情境中提炼出有用信息。传统的应用题教学中有许多做

法值得借鉴，如教师经常会问学生''你是怎么想的？〃、''先算什么？〃、”为什么要先算？〃、”谁

能完整地把你的想法告诉大家？〃要求运用''根据……可以求出……要求……需要。知道……〃的

句式表达思路。这些话看似简单，恰恰是教师帮助学生梳理和提炼解题思路的拐杖，它能帮

助学生理清解题思路，能让解决问题的隐性策略显性化，是值得继承的话语系统。

尽管新课程强调学生动手实践、自主探索和合作交流，在教学实践中倡导先试后讲,

但教师的引领和学生的自主同样重要。很多时候，学生的主体地位恰恰是在教师的主导下确

立的，没有引领，自主学习便会失去方向。相反，教师的适时点拨、启发，如画龙点睛，能

使学生的自主学习实现超越发展，这是''有效〃的真正内涵。

在数学课堂上，教师对学生的思路作必要的梳理和提炼，对一些重点难点的内容进

行适时的点拨、引导甚至讲解，是教师应尽的职责。

有效教学是一个永恒的研究课题，要处理好有效与开放的关系，纠正教师由于认识

上的偏差而出现的不当做法。我们对教学改革的深入理解，需要在继承与创新中寻求平衡。

事实上，数理学科的学科教学体系已形成一个严谨的整体，在长期的教学实践中也积淀了一

些行之有效的教学方法，譬如，以旧引新、寻找新旧知识的关联和生长点；系统把握教材内

容，精心处埋重点、难点；有效组织练习，注重变式训练，当堂反馈校正，等等。为此，我

们在着手课堂教学改革的同时，要充分认识到教学观念的更新和教学策略的变换并不意味着

割断历史，必须从历史的、辩证的角度，用发展的眼光来看待传统。

《中国教育报》2009年2月20日6版

聚焦小学数学：追寻积极向上的数学教学目标

■唐彩斌

数学是义务教育阶段的基础学科。之所以是基础，一方面是因为所选内容是每一个

人在社会生活中必备的基本知识和基本技能；另一方面，还因为所学内容是后续学习的必要

基础。然而实际上，在数学学习的过程中存在着大量的''解题〃，本该充满基础性的数学学习

往往被淹没在题海之中。我们究竟该如何辨析解题与数学学习之间的关系？如何全面考查学

生学习数学的目标价值取向呢？

解题不可见题发挥

''解题〃这个概念本身就值得探讨研究。解题是小学数学学习的重要组成部分与重要

途径。我们不必讨论数学教学要不要解题，要解多少题，而是要研讨解什么样的题，如果都

是''好〃题，自然非常必要。如果再追问怎样的题才算好题，那更是需要研讨的了。数学学习

与解题的关系显然不能一概而论，需要慎重分析。一味摒弃解题，可能导致学生数学水平的

降低；i味主张解题，进行题海战术，无疑会加重学生的负担。''解题〃这样的传统话题值得

深入细致研究，研究''解题〃是减轻学生学习负担的重要途径。我们不能以减轻学生负担为名

义对数学题妄加指责，而使数学学习趋向另一个极端。记得曾有多位文化名人对数学题''有一

个水池，单开进水管，注满水池要5小时，单开出水管放完一池水要8小时，如果同时开两

个水管，几小时能注满水池？〃大加指责。其实这种批评是值得商榷的，因为这样的数学模型

在现实生活中比比皆是。农田的灌溉，经过d田灌溉b田，影院进场和出场同时进行，飞行

工具能源的耗费与输入等，都是这种情境。不可否认，适当的解题是数学学习不可或缺的组

成部分，尤其是那些富有现实性、趣味性、基础性、挑战性的问题理应成为学习数学的主要

内容。但让人遗憾的是，口常教学中可能绝大多数的''解题〃还是相当的程式化、机械化，难

承认''解题〃对数学学习的作用，并不是无限制地扩大它的价值，毕竟解题只

是数学学习的途径与手段，绝不是数学学习的终极目标。在