线性代数简明教程习题集第一章

《线性代数简明教程》（第二版）

习题解答大全

习题1.1

1.R(Q)={a+〃Q,/£R}是不是数域？它实际上是0R,C中的哪一个数域？

分,对于某个元素个数大于1的集合是否构成数域.只需要验算该集合对四则运算是否封

闭.若封闭.则该集合是数域.这就是方法一.

解方法一取R(/T)={〃+8口,力£可中任意两个元素力Q和c+”C,

有

(o+〃d)±(c+dH)=(。士c)+(〃±d)C?

(4+b\[-\)(c+d\/-T)=(ac-bd)+(ab+bc)y/-\eR(V-T)

当c+洞也有c—dQwO.故

a+b\/-\_(cz+Z?V-T)(c-J>/-T)_(ac-\-bd)+(be-

c+dH+c2+d2

=7+R4eRg)

c~+dc~+d

综上可知.RR}对四则运算封闭.所以R是数域.又由于Q.R.故R实际上是数域.(具

体理由参见方法二).

方法二因，所以RR}R}C,因C是数域，所以R是数域，且就是复数域C

2.写出4个数码1,2.3,4的所有4阶排列.

分析4阶排列是指由1,2,3,4构成的有序的数组，共有4!个，每个数字必须出现且

只能出现一次，具体做法可以是先确定排在第一位的数，比如为1,然后排第二位的数分别

为2,3,4,接着排第三位、第四位的数.

解123412431324134214231432

213421432314234124132431

312431423214324134123421

412341324213423143124321

3.分别计算下列四个4阶排列的逆序数，然后指出奇排列是(A)

(A)4312；(B)4132；(C)1342；(D)2314

分析计算排列逆序数的方法有两种：

方法一汽工=由后面比彳小的数的个数)

+*%后面比4小的数的个数)

+……

+%t&t后面比a小的数的个数)

方法.1前面比1大的数的个数+2前面比2大的数的个数++前面比大的数的个数.逆

序数是奇数的称为奇排列，逆序数是偶数的成为偶排列.

解按方法一计算：奇排列

*4132)=3+1=4偶排列

r(1342)=l+l=2偶排列

1(2314)=1+1=2偶排列故选A.

4.计算以下各个排列的逆序数，并指出它们的奇偶性：

(1)314265；(2)314265789；(3)542391786；

(4)987654321：(5)246813579；(6)…21.

解按习题3分析中的方法一计算：

(1)r(314265)=2+1+1=4偶排列

(2)*314265789)=2+1+1=4偶排列

(3)汇(542391786)=4+3+1+1+4+1+1=15奇排列

(4)子(987654321)=8+7+6+5+4+3+2+1=36偶排歹U

(5)r(246813579)=1+2+3+4=10偶排列

(6)-1)…21)=(〃-1)+(〃-2)+…+2+l=g〃(〃-1),这表明该排列的逆序

数与〃有关，故要对〃进行讨论：

当时为偶数，此时排列.为偶排列；

当时为奇数，此时排列.为奇排列.

5.在由1,2,3,4,5,6,7.8,9组成的下述9阶排列中，选择使得：

(1)2147195J8为偶排列；(2)1,25/4896为奇排列；

(3)4126769)偶排列；(3),3142/786奇排列.

均要求说明理由.

分,排列中的两个未知数据排列的定义只能取3或7.因而只有两种情况：132574896

与172534896,然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为与是和作一

次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若为偶排列.则必为奇排列.

其余题解法也类似.

解(1)取i=3,/=6有*214739568)=1+1+2+2=6为偶排列，符合题目要求.

(2)取i=3,J=7有武132574896)=1+1+2+1+1=6为偶排列，故取

j=7J=3时172534896为奇排列，符合题目要求.

（3）取有为偶排列，符合题目要求.

（4）取有为偶排列.故取时931425786为奇排列.符合题目要求.

6.写出全体形如的5阶排列.总结一下，有个位置数码给定的阶排列有多少个？

分析形如的5阶排列中5和2的位置已经确定,3个位置只能取数字1,3,4中的某

一个.

.形如的5阶排列中第一个可取1,3,4中的任何一个，故有3种取法，第二个可取

剩下数字当中的任一个，有两种取法，最后一个只能取余下的那一个数，据乘法原理共有

种取法，即形如的阶排列有（5-2）1个.同理形如的阶排列共有（5—3）!个.因而，

有个位置数码给定的阶排列有个.

7.自学附录一：连加号

习题1.2

1.按行列式定义，计算下列行列式（要求写出过程）:

ahx-11

/b2；(2)-X2-iX2+X+l

12-100

tan。sin0\

⑷iA(5)320;(6)b0

1COS^I

0-1100

1II1-I1a00

⑺222；(8)11-1;(9)0h0

333-1110d

分析计算2阶行列式和3阶行列式可用对角线法则.

解⑴

x-\1

⑵=(x-l)(x2+x+1)-(-x2-1)x1=x2(x+1);

-x2-1X2+X+1

11。“。

⑶=1-log/,67log„b=1-1=0;

log4b

tan。sin0\

(4)［二tan夕•cos。-sin9=();

1cos。

12-1

(5)320=1X2X1+2X0X0+(-1)X3X(-1)-(-1)X2X0

0-11

-0x(-l)xl-lx2x3=2+3-6=-l;

06/0

(6)b0c=0xOxO4-acO+OZ?J-OxOxO-67Z?O-OcJ=0;

OJO

111

(7)222=1x2x34-1x2x3+1x2x3-1x2x3-1x2x3-1x2x3=0;

333

1-11

(8)11-1=lxlxl+(-l)x(-l)x(-l)+lxlxl-lxlx(-l)

-111

-(-l)xlxl-lx(-l)xl=1-14-1+1+1+1=4;

fl00

(9)0/70=abe+OcO+OOd—0/X)—cda—OOe=abe—acd.

Ode

2.在6阶行列式中.下列项应该取什么符号.为什么。

⑵〃；

(1)%%。42。56%。65；a32a435M1466a25

⑶。21。53。16。42。65。34；⑷。51。13。32。44%6。65・

解(1)因以234516)+7(312645)=4+4=8,所以取正号；

另一种方法是.=.因.所以取正号.(2).(3).(4.也可这样做.不再列出.

(2)0r(345162)+r(234165)=7+4=11,所以取负号；

(3)0r(251463)+r(l36254)=6+5=11,所以取负号;

(4)因武513426)+武132465)=6+2=8,所以取正号.

3.当—.=一时成为5阶行列式中一个取负号的项，为什么？

.和只能取1,4或者4,1.不妨先假设.则=.这个项的符号就是•不符合要求.那么

当时=.它和相比就是交换了列指标1和4的位置.因与相比改变了奇偶性.所以的

符号为负.故应填.

4.若是5阶行列式中的一项.则当=—时该项的符号为正.当_.二—时该

项的符号为负.为什么？

.此间和问题3类似.和只能取2,3或者3,2.不妨先假设.则符号为=.所以取的是

负号.那么由问题3的分析可知当时符号取正.所以当时该项的符号为正.当时该项的符

号为负.

5.写出4阶行列式中包含因子的项.并指出正负号.

.参照习题1.1的第6题知.4阶行列式中包含因子的项有和.由于故取正号.

故取负号.

6.写出4阶行列式中所有取负号且包含因子的项.

解类似于第5题可推知,4阶行列式中包含43的项为

%1。23〃32〃4441324)=1取负号;

423a34〃42r(1342)=2取正号;(也可由⑴取负号推知⑵取正号)

62a23W41武2341)=3取负号;

^12^23^31^44(2314)=2取正号;(也可由⑶取负号推知(4)取正号)

3431a427(43⑵=5取负号;

...取正号.(也可由(5)取负号推知(6)取正号)

所以所求的项为卬。23。32〃44,62%。34即，%4423a3M42.

7.按行列式定义.计算下列行列式((4)中.并均要求写出计算过程):

。000

-101

00Z?0

(1)a-20⑵

0c00

0b-3

000J

a2%卬%2…

打…a2.n-\0

4a%——

**•*

⑷■***

(3)00*•

qc2*

00aa...00

4d20n-\,\n-l.2

000...00

qe20

-10

解(1)由对角线法则，a-20=(-l)x(-2)x(-3)+0x0x0+l^/?-lx(-2)x0

0b-3

-(-l)xOZ?-Otz-(-3)=(-6)+^Z?=6/Z?-6;

（2）根据定义WL=Z（-1尸必心％附1明

j\hhh

a000

00b0

在行列式的通项中，只有。％生3。32。44这一项的因子中不含零，所以

0c00

000d

原式=(-1尸”")4Q23a32%4=一％1。23/2。44二一心(1.

（3）根据定义kL=X（T）r<L'%4-52•

—

在行列式的通项中每一个项中最后三个因子分别取值于行列式最后三行的不同

列的三个数.而行列式最后三行中均只有二个数不为零.所以这三个因子中至少一个取零.这

样行列式的每一项中都含有因子零.所以每项都为零.从而行列式为零.

（4.根据定义=.该展开式通项中取自的第行.现在第行中除了外其余元素都

为零.故若•则对应的行列式展开式中的那一项一定为零.求和时可不考虑.因此只要考虑

的项•同样对于行列式的第行中除了和外其余元素都为零.且因.从而只能取了.依

次类推•行列式展开式的所有项中除去指标对应的项外都为零.又因为.所以原式=.

8..=.

为什么错？正确答案是什么？

.错.原因在于没有搞清楚4阶行列式定义而把2,3阶行列式的对角线法则误认

为对4阶行列式也成立.4阶和4阶以上的行列式没有对角线法则.正确答案为：

41。22。33。44+。14。23。32。41—4M23032a44一。14。22。33。4r

具体解法可参考习题1.4第5题之（3）.

9.若阶行列式中元素均为整数.则必为整数.这结论对不对.为什么？

.对.行列式的值是行列式中取自所有不同行不同列的元素的积的代数和.而整数经加，减，乘之

后仍然为整数.

10.计算阶行列式.

解方法一该行列式的展开式只有一项不为零，即勾“生.1…而该项带有的符号

为（T严叱…）=（_］）=，所以原式=（_］）〒.（_厅=（_1）〒

一（〃一1）〃（〃+1）

方法二直接利用第7题第（4）小题的结论得：原群（一1）丁.（一1）"=（一1）了.

习题1.3

%2%3

1.设。二%a22出3=61^0,据此计算下列行列式（要求写出计算过程）:

。32出3

41032a33卬姐243

(1)%a22(2)akaa

。232]2223

a\\42Ch\履32“33

。"3a-5aa

2卬I.2%2[3{2}2

:(4)

⑶2%2ar9*

2与2%262%I3。33-5a32032

分析利用行列式得性质找出所求行列式与己知行列式的关系.

。32%1《2《3

鼠13

解(1)a

。22“23。21a2223=-a.

a

。12的。3233

%k%2《3a\\a\2a\3

提取公因子

Q)生1ka?243---------------------k“21〃22〃23=ka.

a

3\履32433a3l。32。33

2ait2aI?2%囚

提取母行的公因子［4243

(3)3

2%2%2%-------------------2a2\a22以23二8。

2“3i2a322a33〃3I。32。33

2。][3〃]3-5%422ali3〃]3a\2

(4)方法一£1££

2。213%3-532a22一2。213%“22

2。"3。3315。32。322a313%3。32

方法二注意到该行列式的第二列均为2个数的和，可用行列式的性质5将该行

列式分成2个行求和，结果与方法一相同.

2.用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程)：

199819992000ab+c1

(1)200120022003；(2)bC+Q19(3)

200420052006ca+b1

100-111111110

022012341101

(4)(5)；(6)9

0-330141020011

-L00440040111

72222

2722221-1

⑺22722；(8)4-11

22272201102-99

22227

a-b-c2a2a

⑼2bb-c-a2b

2c2cc-a-b

分析第(I)至第(4)小题可利用行列式性质求解；第(5)至第⑼小题是采用归结化简为上

(下)三角行列式求解.

19981999200019981999lc_c199811

解(I)ZUU1NUU/200120021--200111=0

2004200f52006200420051200411

ab+c1aa+t

C「C\

(2)bc+a1D4十〃十ci----u;

ca+b1ca+b+c1

>1%>?3

X%MM提取每行的公因子性质4

(3)々%“2%-%%%必0;

工3)'|工352刍为X>2>3

000

0200下三角形

(4)---------=1x2x6x8=96;

0-360

4008

1111I111

RrR、

1234()123

(5)与一44

40010-1-10

1111

1111

()I23

R「3&0123上三角形

440031()

00310

1

0013000

3

4xlxlx3x(--)=^.

注做到(*)处也可以按第一列展开，再按第一列展开得:

原式二4=4x(9-10)=-4.

1110111()111()111()

110100-11%0111凡+凡0111

(6)

10110-1010-1010012

0111011100-1100-11

10

6+用0111上三角形

Ixlxlx3=3;

0012

0003

72222152222152222

27222£/p>

R1-R1

⑺2272215272200500

/=2,3,4,5

2227215227200050

2222715222700005

上三角形

15x5x5x5x5=3x55;

21-1210°八600

2下三角形

(8)4-11—1uf-1u-18;

201102-99110232011023

a-b-c2alao+b+ca+b+ca+b+c

4+用+人

⑺AUU-C-U32bb-c-a2b

2c2cc-a-b2c2cc-a-b

提取公因子

=(a+b+c)2bb-c-a2b

2c2cc-a-b

R「Qb)&

二(〃+b+c)0-b-c-a0=(〃+〃+c)’.

叫一(，

2Mnn-c-a-b

3.用行列式性质计算下列〃（〃:>1）阶行列式（要求写出计算过程）：

1%出…%

1q+4生…%

(1)14%+H…an-\

••••

••••••

14生…

011...1I

-a.1a,10­••00

101...11

0aa­••00

2211011

⑵•••••(3)♦♦♦•*,

000一%%

111...01

111...11

11110

分析把行列式归结化简为上（下）三角形行列式来求解.

■I|l%生…4T

1qa2…ck

1a+ba…c_Rob0...0

A}21R,

解一

(1)14a2+b2•••ck.-00h2...0

••••/=2,…〃・•••

I••••

14a2...an_1000…如

上三角形

—桃…%;

一440

0—a、a.

⑵：：•*

000

111

000

一q°

0一。200°|下三角形

:Lw*

000~an-\°

123n-\n\

011...1000I

101…I-1001I

110…10-101R.+ZK

⑶**••

*•*•*•

111...000-11

111...11110

-100•••01

0-10•••01

00-1•••01上三角形

-ooo

-

-ooo

证

4.期

A+q+q%+44b1q

!\

/b++a4-—2C

2。2%2a22

4十qC3+%a3+%C3

2

Q-(a+1)2(。+2)(。+3尸

b2S+1)2S+2)3+3尸

⑵2=0.

c~(C+1K(c+2)(c+3)2

d23+1)2(d+2)(")2

q+4+qq+q

c+c岁2,

(1)左端——C，2+%

证a2+b2+c2

提取公因子

%+4+，3C3+66+a

q+仇+q-b[-5

G+C,+G4a

2一/?2—Q-2=右端;

a2+b2+c2a2b2

(-1)C.,;(-1)C,

c

%+A+C3一4~:%4

2(7+12a+32a+5

277+126+3

(2)左端==^2b+5

，=4,3,22c+12c+32c+5

2d+l2d+32d+5

2a+122

h22/7+122

=()=右端.

7

c2c+l22

d22d+l22

5.求下列多项式的根(要求写出计算过程):

23

12-xz23

⑴

2265

2269-x2

11

x11

2-x••

11n-i-x

I23123

RrR\

2-x2231-x00

26502

269-.r2023-.r

123

1-x00

=2(1-X2)(4-X2).

02

00

所以多项式/(x)的根为X=±1和X=±2.

方法二/0)是a的4次多项式，日可育接验讦/(1)=/(-1)=/(2)=/(-2)=0.

所以f(x)的根为x=±1和x=±2.

1I1•••11

11

⑵方法一11

111...11

0-x0…00

R「R\

00\-x...00

…，〃

i=2,**•*•••*

000…0n-2-x

=-x(l-x)(2-x)…(〃-2一x).

所以多项式的根为x=0,X=1,…,工=〃-2.

方法二是x的〃一1次多项式，且可直接验证/(())=/(1)==/(/?-2)=0,

所以/(X)的根为x=(),x=I,---,x=n-2.

6.由阶行列式

11...1

11­••1

...=0.

111

来说明加个不同的〃阶排列中奇排列和偶排列各占一半.

11­••1

11...1

证根据行列式的定义严*

••♦•=2.(7

♦♦*JlJyJn

11­••1

Z(-1)「如，U)=o

j\h…jn

所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多.(-1)是由奇排列产生的.而(+1)是由偶排列产生的.

同时根据行列式的定义这里包括了所有的阶排列.故可以得到全体阶排列中奇排列的个

数与偶排列的个数一样多.各占一半.

习题1.4

1.计算下列行列式(要求写出计算过程):

xab0c(Ibcde

1111

0)，00d()1000

2341

(1)0ez0f；(2),ic；⑶()0100;

•q•412

ghkuI()0010

4123

0000vedcbt2

q00•••01110001

0000

0a20•••%Ix20

b

00%J...00y4\1iq

(4);(5).

•••*x

•七%i工2刍c2

000•••0x：*000X；

100...o%为4x；芍石

1111

abcabc

12-2X,>■)

(6)⑺a~b2c2；⑻a2b2c~

144厂

b3c3b+cc+aa+b

18-8

分析第(I)至第(4)题可用降阶法解，第(5)至第(8)题可化为范德蒙行列式解.

b0c

xab0

0)'00xab

按第5行展开0y00按第4列展开

解⑴0z0=v=vu0yo

0z0

ghu0ez

ghll

0000v

按第1列展开yo

=xuv=xyzuv;

ez

1111111

230R012-1

(2)

1-31/=2,3,400-40

-3110-400

习题1.2第7-(4)题组土

(-1)2(-1)(-4)(-4)=16;

abed

000

0100

按第1列展开I00

(3)方法一0010一

010

0001

cba

edcb

bcde\

1000第2个行列式按第4列展开

0100

001o|

I00

/+«_1严6010=a2-e2;

001

方法二逐次均按第2列展开可得同样结果，具体解法可参见下例.

400•••01

0%0…0040

00%...0004

⑷逐次按第2行展开•••♦♦••

•••♦•♦•••

000...a,010

100...0an

4

110001111000

000鼻王000

XFR

I11b111、,

44qA11—q\q

生Xc2c2“刍%

不000王¥000

2

%巧¥%“石4年

111000I11000

%马与00（）%x2x3000

x[¥X；000x；X000

a2b2c2x2x3玉44C1111

qAq111a2b2c2x2%

%/%X；X；X；出4G石¥x；

2

二一。(玉,X2,X3)=一53-芭)2((-x2)2(石一玉)2；

111

2-2X

(6)=0(1,2,-2,x)=a+2)(A-2)(x-1)(-2-2)(-2-1)(2-1)

144

18-8

=12(x-l)(?-4)；

ab11

⑺a2b2b=abcD(a,b,c)

/by护

=abc(b-a)(c-b)(c-a).