考研数学二（解答题）模拟试卷244

考研数学二（解答题）模拟试卷244

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

1、一容器由y=xz绕y轴旋转而成，其容积为72m13,其中盛满水，水的比重为

山现将水从容器中抽出647rm3,问需做功多少？

640

标准答案：亍"

知识点解析：暂无解析

2、己知p可用W，az，…，as线性表示,但不可用ai,…，as-i线性表

示.证明（l）as不可用四，（X2，…，函-］线性表示；（2）%可用⑴，。2，…，as-i，

B线性表示.

标准答案：由于。可用四，＜/2,…，as线性表示，可设有表示式

P=kjaj+k2a2+...+kmam,（I）⑴用反证法如果可用ai,g，…,1线性表

示：设Os=tia］+t2a2+…-代入（I）式得p用ai，（12，…，Cts-I的线性表

示式：p=（k1+t］）a।+（k2+t2）a2+...+（km-1+tm-1）dm-1,与条件矛盾.（2）（I）中的

kn#0（否则。可用囚，。2，…，as-1线性表示）.于是有

&A*E-lIa

a

.=-L-厂。2-----------------+丁6•

知识点解析：暂无解析

3、设F(%)=arcsin(%—1)2,f(o)=o,求J(Jf(%)d%.

标准答案：

((

[7x)dx=[7z)d(x-I)=(x-1)f(x)(x-l)/*(x)dx

JoJ0o0

=/(0)--1)f'(x)dx=-(x-1)arcsin(x-1)2dx

o

=—i-Jarcsin(x-1)2d(x-1)2

令(一“--_/jarcsin疝=//：arcsin，d，

11T

=—tarcsinrO-T/Oy-+-/

242o42

知识点解析：暂无解析

修,

1xo,

4、设f(x)二阶可导，f(0)=0,令g(%)=“=0・(1)求或X)；⑵讨论

g'(外在％=。处的连续性•

../(x)-/(0)

limg(x)=limhm-------------

标准答案：(1)因为，・。广。工-01=f(0)=

-/(x)

2

g(0),所以g(x)在％=。处连续.当讲0时，gXx)=x；当％=0

人工)_,⑹

..g(x)—g(0)..x../(x)—/'(0)x

lim-------------=hm---------------=hm-----------------

Xx-*0Xr-*0X

."8一八°)="⑹,

时，由2L。/z得

2

gf(o)=2r(o),即

工(工)一(工),

--f-'----：--f---♦X7=00.

g(工)=)

~<(0),x=0.

W

(2)因为lim/Cr)=lim心"？'(。)工-lim3二£2

=lim-1lim(。)=力⑹:，(。)，

・9QX4“一0XL

所以gh)在％=0处连续.

知识点解析：暂无解析

5、证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不

一定保持可导性.

标准答案：设f(x)在［a,b］上连续，令g(%)=If(x)I,对任意的X01a,b］,有.

o<Ig(x)-g(xo)I=IIf(x)I-If(xo)II<If(x)-f(%o)I，因为f(x)在［a，b］±

limlim

连续，所以”~。(劝=敢0),由迫敛定理得L，01f(Z)|=|f(Z0)|,即|侬|在工

=%o处连续，由xo的任意性得I取)I在［a,b］上连续.设f(x)=%，则f(%)在z=0

处可导，但If(%)I=I源在Z=0处不可导.

知识点解析：暂无解析

6、求下列平面H....工…&用线9y2=虑-3)2(yK))位于％=0到无=3之间的

停+闺

一段；(口)曲线=l(a>0,b>0,a^b).

标准答案：(I)先求y，与'[*/2：将9y2=%(%—3)2两边对/求导得6yy，=(%一

11♦一

3)(%—1)，即/=6y(%—3)(%—1)，2n.因此该段曲线的弧长为

1=「4+入=/：或&=殖4+粉=十(>+2力|：=2格.

x=acos，，

、；{7=—Ryo2呼再求

&+产=3|sirucosf|JQ2cos2J「Lsi」，.于是代公式并由对称性得,该

曲线的弧长为

■W

s=4J>/xz2(X)+y#2(1)dt=4j3sin：cos：>>/aicos2t+62sin2fdx

x.]于

=6f>/a2+(62-a2)sin2idsin2/=—r—―-[a2+(62-a2)sin2XJ7

J05Z—az0

=f(•

知识点解析：暂无解析

1—；_4

7、Jyyi+x+5/1-x+42

需准答案：

[二-,_}--------zdx

J2/T^7rzJyrrry2Jyr+T2Jyfzrp*

=_[d(m+j^^—例占&=句_u—条rcsi…(

2y/T^7271+72J2

知识点解析：暂无解析

8、fdOfosin°f(rcosO,rsinO)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积

分.

IT

标准答案：D的极坐标表示：^<0<7t,0<r<sin9,即<0<n,r2<rsin0,即

X2+y2<y,x<0,则D为左半圆域：X2+y2<y,x<0,即X2+,x<0.先对y后对X积

分,D:于是原式二

知识点解析：暂无解析

『Txdxdy

9、计算当,其中D为曲线y=lnx与两直线y=0,y=(e+l)-x所围成的平面区

域.

标准答案：y=lnx与y=(e+l)-x的交点是(e,1),D如图8.4所示，在Oxy坐标系

中选择先x后y的积分顺序(D不必分块)得

7

'I时丁向一(多川：dy

eTrd

=J。告".1一%)'打-y/o^

图8.4

知识点解析：暂无解析

fl*+ydxdy

10、计算二重积分D，其中D=((x,y)I0<y<x,x2+y2<2x}.

4•一、什小e-I、nlr=y[*cos3^=-|-f*(1—sm2^)dsind=

标准答案：原式二J。Jo3Jo3Jo9

知识点解析：暂无解析

/»in2夕

“、极坐标系下的累次"呵

0f(rcosO,rsinO)rdr.

标准答案：在直角坐标系中画出D，的草图(如图

冈

8.14).图8・14原积分二ffrcosO,rsin0）rdrd9.由r二得

r2=sin20.当OgOWarcsinF：当,r2=sin20=sin（7r-20）.于是n-26=arcsinr2,

0=arcsinr2.因此原积分

知识点解析：暂无解析

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设A是三阶方阵，ai,aza3是三维线性无关的列向量组，且Aa1=012+013,

Act2=a3+a1，Act3=a1+。2。

13、求A的全部特征值；

标准答案：ai,a2,a3线性无关,则ai+012+(13和,。2一。1和，。3一囚和，且由

A(cq+a2+a3户2(ai+a2+ot3),A(a2一ai)=一(a21ai),A(as-ai)=一(。3—四)可知

矩阵A的特征值为2和一1。又由四，012，C13线性无关可知。2—ai，013,一ai也

线性无关，所以一1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为2,一I,

lo

知识点解析：暂无解析

14、A是否可对•角化？

标准答案：因为ai陋,(13线性无关,而(山+。2+。3，ct2-*ai，(12—ai)=

1-1-r

(。】，。2，。3)110=(at,a2,a3)P

•101」且IPI=3/),所以(12一a”。3一r,

ai+a2+a3线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以矩阵A可相似对

角化。

知识点解析：暂无解析

15、设向量组⑴与向量组（口），若⑴可由（口）线性表示，且I*⑴=r（D）=r,证明：（I）

与（D）等价.

标准答案：设⑴的一个吸大无关组为号，及，…，前，（II）的一个极大无关组为

ni，Q2，…，下.因为⑴可由（口）线性表示，即M，&2，…，备可由ni，Q2，…，布

线性表示，于是r（&,2，…，m»3…，r|r）=r（ni,g…，中）=「.又占，

&2，…，备线性无关，则』，及，…，备也可作为2”42，…，0，ni>T|2，…，中

的一个极大无关组，于是口，r|2，…，Dr也可由白，匕2，…，&线性表示，即（口）

也可由⑴线性表示，得证.

知识点解析：暂无解析

16、已知实对称矩阵A满足A3+A2+A-3E=0,证明A=E.

标准答案：因为A是实对称矩阵，所以A可相似对角化.要证本题的结论只用证

A的特征值只有1一个.设A是A的特征值，则A是实数，并且应满足人3+/+人

3=0,即（入・1）（/+2入+3）=0.此方程的实数解只有1,因此九=1.

知识点解析：暂无解析

17、设三元线性方程组有通解求原方程组.

标准答案：设非齐次线性方程为axi+bx2+cx3=d,由[]尸[一1,3,2]T,碓=[2,一

—Q+36+2C=0.

3,1F是对应齐次方程的基础解系，代入对应齐次线性方程组2a—36+c=0・

由上式解得a=-9k,b=-*5k,c=3k,k是任意非零常数，又片口，一匕3],是非

齐次方程解，代入得d二一b=5k.故原方程是9xi+5x2—3x3=-5.

知识点解析：暂无解析

18、细菌的增长率与总数成正比.如果培养的细菌总数在24h内由100增长到

400,求前12h后的细菌总数.

dS_,e

标准答案：设t时刻细茴总数为S,则有五一，S（0）=100,S（24）=400,

2=kSnS=Ce*,C=100d=或xki4=整

所以S=lOOe忸，S（12）=lOOe1"2=200.

知识点解析：暂无解析

19、设A,B为三阶矩阵，且AB=A-B,若猫,M，入3为A的三个不同的特征

值，证明：(1)AB=BA；(2)存在可逆矩阵P,使得P”AP,P“BP同时为对角矩

阵.

标准答案：(1)由AB=A-B得A-B-