2026年四升五数学暑假专项提升（人教版）专题03：运算律

四年级数学暑假专项提升（人教版）

专题03：运算律

知识点01：加法运算律

1．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

用字母表示：a＋b＝b＋a

2．加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者

先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。

用字母表示：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

作用：可以把两个结合相加的数，凑成整十、整百……使计算更加简便。

3．减法的性质：

（1）一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和，也可以交换减数

的位置。

用字母表示：a－b－c＝a－（b＋c）＝a－c－b

（2）减法的逆运算

a－（b＋c）＝a－b－c拆括号时，把括号里的加号改成减号。

a－（b－c）＝a－b＋c拆括号时，把括号里的减号改成加号。

知识点02：乘法运算律

1．乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。

用字母表示：a×b＝b×a

2．乘法结合律：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变

用字母表示：（a×b）×c＝a×﹙b×c﹚

试卷第1页，共6页

3．乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，

再相加。

用字母表示：（a＋b）×c＝a×c＋b×c

扩展：（a＋b＋c）×d＝a×d＋b×d＋c×d

4．除法性质：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的“积”。

简单记为：连续除，除以积。

用字母表示：a÷b÷c＝a÷（b×c）

一、填空题。

1．已知A＝32×78，B＝31×79，怎样能不直接计算来比较A和B的大小呢？下面是乐乐

的思考过程，请你补充完整。

A＝32×78＝（31＋1）×78＝□×78＋□，B＝31×（□＋1）＝31×□＋□。

所以A（）B。（填“＞”“＜”或“＝”）

2．在里填上运算符号，在横线上填上合适的数。

(1)36＋21＋34＝21＋（__________________）

(2)34×125×8＝34×（__________________）

(3)49×38＋38＝（49＋________）×___________

(4)436－279－21＝436－（279___________）

3．在下面竖式的计算过程中运用了()律，用横式表示该计算过程是()。

4．如图，简便计算25×36时，丽丽用到了()律，皮皮用到了()律。

试卷第2页，共6页

丽丽：皮皮：

25×3625×36

＝25×（4×9）＝25×（40－4）

＝（25×4）×9＝25×40－25×4

＝100×9＝1000－100

＝900＝900

5．采购组发现，买25套“海洋科普书”和25个“黑陶书签”可以合并计算总价。如果书

单价48元，书签单价2元，列综合算式计算式子是：25×48＋25×2＝25×()，这里

运用了()

6．在（）里填上“＞”“＜”或“＝”。

()

()

()

7．计算图形的面积，可以列式为()，运用了()律。

8．老君山位于洛阳市栾川县，不仅是道教文化的重要发源地，还拥有壮丽的自然景观，被

誉为“天下无双圣境，世界第一仙山。”某旅行社组织游客去老君山游玩，一共分成2个组，

每组租了7辆车，每辆车坐25名游客。该旅行社一共组织()名游客去老君山游玩。

9．已知－＝10则25×－25×＝()。如果a×（b×10）＝120；那么a

×b＝()。

10．想一想，下面各图表示的分别是哪个运算律？（填序号）

①加法交换律②加法结合律③乘法交换律④乘法结合律⑤乘法分配律

()()()()

11．西西在用计算器计算212×79时，发现键“7”坏了，如果还用这个计算器，你会怎样

试卷第3页，共6页

计算？请写出算式()。

12．如果□×☆，那么（□×9）×（☆÷9）＝()，□×50×☆＝()，如

果◎－□－☆＝20，那么◎□☆()。

13．如果M＝59×61，N＝58×62，要比较M和N的大小，除了通过计算出它们的结果来

比较，还可以采用以下方式。

因为M＝59×61＝（58＋1）×61＝58×61＋1×______，N＝58×62＝58×（61＋1）＝58

×61＋______×1，所以M____N。（在横线上填“＞”或“＜”）

14．已知19×△＋19×□＝950，那么△＋□＝_____。如果△＝24，那么□＝_____。

15．小明在用计算器计算□□□×44时，少按了一个4，显示得数是2100，比正确得数少

了()。

16．明明同学在数学课上发现了一个有趣的算式规律：9×9＋19＝10×10.明明还用了两种

方法进行了推算，我们一起来看一下：

方法一：

方法二：

看完了明明同学的介绍，你知道99×99＋199＝()×()吗？

17．计算125×67×8时运用()律可以使计算简便；如果○－□＝15，那么24×○

－□×24＝()，运用了乘法()律。

18．小明在计算文化节预算时，把“△×8＋12”错算成了“△×（8＋12）”，结果比正确结

果多了108，那么△表示的数是()。

二、选择题。

19．计算下面①②两图形中小正方形的总个数。下面演示的计算过程，（）可以解释。

试卷第4页，共6页

A．乘法交换律B．乘法结合律C．乘法分配律

20．计算99×28的简便算法是（）。

A．100×28－1B．100×28－28C．99×20＋8

21．聪聪在计算5×（●＋▲）时，错看成了5×●＋▲，结果比原来小。如果将相差的部

分在图上圈出来，那么下面圈法中正确的是（）。

A．B．C．

22．145＋48＋65＝48＋（145＋65）应用了（）。

A．加法交换律B．加法结合律C．加法交换律和加法结合律

23．已知1＋2＋3＝6，那么3＋6＋9＝？有人这样思考：3＋6＋9＝3×（1＋2＋3）＝3×6

＝18。你一定觉得是很笨的方法吧。3＋6＋9我可以直接口算结果啊。但是，这个方法有时

候也有用哦！你看，已知1＋2＋3＋…＋10＝55，那么6＋12＋18＋…＋60＝（）。

A．150B．280C．330

三、计算题。

24．怎样简便怎样算。

148＋154＋52＋246236×14－36×14

65×10128×25×4

四、解答题。

25．为丰富同学们阅读视野，在四月读书月来临之际，育英小学为图书室添置了一批新书。

其中历史类书籍240本，文学类书籍比历史类多75本，其余是科幻类书籍，科幻类书籍比

文学类少155本。学校采购这批新书共有多少本？

26．在运动会开幕式上进行大型团体操表演。一共有4个方阵，每个方阵有15行，每行有

25个人。一共有多少人参加表演？

27．为庆祝儿童节，学校购进彩带175米，三年级用去38米，四年级用去62米，剩下的给

五年级使用，五年级一共能用多少米？

28．超市运来8车大米，每车125袋，每袋20千克，一共运来大米多少千克？

试卷第5页，共6页

29．春节期间，某市打造了一条节日亮化观览路线，这条路线的灯杆悬挂了350组灯笼、150

组中国结，若一组灯笼和一组中国结的价格均为32元，布置这条观览路线购买灯笼的花费

比中国结的花费多多少元？

30．商场举行促销活动，1个保温杯125元，_______________。买8个保温杯和8个保护

套共需要多少元？

欢欢的列式：（125＋25）×8

(1)根据欢欢的列式，请你补充横线上的信息。

(2)你能选择与欢欢不一样的方法来解答这道题吗？试一试吧！

试卷第6页，共6页

《专题03：运算律（专项训练）四年级数学暑假专项提升（人教版）》参考答案：

1．

31；78；78；78；31；＞

【难度】0.85

【知识点】整数乘法分配律

【分析】因为A的第一个因数32可拆为31＋1，所以对A应用乘法分配律展开，得到含31

×78的式子；因为B的第二个因数79可拆为78＋1，所以对B应用乘法分配律展开，得到

含31×78的式子。对比A和B展开后的公共部分，计算剩余部分的大小，即可比较A和B

的大小。

【详解】运用乘法分配律拆分算式，先把A写成（31＋1）×78，展开得到31×78＋78；

再把B写成31×（78＋1），展开得到31×78＋31，两个算式都有相同部分31×78；

只需比较剩余部分78和31，因为78大于31，所以A＞B。

2．(1)36；＋；34

(2)125；×；8

(3)1；38

(4)＋；21

【难度】0.85

【知识点】整数乘法结合律、整数乘法分配律、整数减法的性质、整数加法结合律

【分析】（1）根据加法交换律和结合律：三个数相加，交换加数位置，和不变，将相加得整

十的36和34结合，所以填36＋34。

（2）乘法结合律：三个数相乘，先乘后两个数积不变，125×8＝1000方便计算。

（3）乘法分配律的逆运用：把38看作1×38，提取公因数38后，得到（49＋1）×38。

（4）减法的性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。

【详解】（1）36＋21＋34＝21＋（36＋34）

（2）34×125×8＝34×（125×8）

（3）49×38＋38＝（49＋1）×38

（4）436－279－21＝436－（279＋21）

3．乘法分配78×25＝78×（5＋20）＝78×5＋78×20＝390＋1560＝1950

【难度】0.85

【知识点】整数乘法分配律、两位数乘两位数的进位乘法

答案第1页，共14页

【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，等于把两个加数分别与这个数相乘，再

把两个积加起来，结果不变。本题是把25看成（5＋20），先用25个位上的5×78＝390，

再用25十位上的2，也就是20×78＝1560，再把390和1560相加，把算出的结果写在横式

后面即可。据此解答。

【详解】根据分析，78×25的竖式计算过程运用了乘法分配律，用横式表示该计算过程是

78×25＝78×（5＋20）＝78×5＋78×20＝390＋1560＝1950。

4．乘法结合乘法分配

【难度】0.85

【知识点】整数乘法结合律、整数乘法分配律

【分析】丽丽把36拆成4×9，将三个数相乘的运算顺序改为先算25×4，符合乘法结合律

的定义：三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。

皮皮把36拆成40－4，用25分别乘40和4后再相减，符合乘法分配律的定义：两个数的

差与一个数相乘，可以先把两个数分别与这个数相乘，再相减，结果不变。

【详解】如图，简便计算25×36时，丽丽用到了乘法结合律，皮皮用到了乘法分配律。

丽丽：25×36皮皮：25×36

＝25×（4×9）＝25×（40－4）

＝（25×4）×9＝25×40－25×4

＝100×9＝1000－100

＝900＝900

5．48＋2##2＋48乘法分配律

【难度】0.85

【知识点】整数乘法分配律

【分析】先分别计算出书和书签的总价，再相加。乘法分配律的逆运算规则是：

，两个乘法算式都含有相同因数25，符合乘法分配律逆运算规则，可

运用乘法分配律化简。

【详解】25×48＋25×2

＝25×（48＋2）

运用乘法分配律

答案第2页，共14页

6．＝＞＜

【难度】0.65

【知识点】带有小括号的混合运算、整数加法交换律

【分析】（1）加法交换律：交换两个加数的位置，和不变；

（2）（3）分别计算左右两边的算式，计算出结果，再进行比较。

【详解】（1）＝

（2）

＝6＋9

＝15

＝24÷2

＝12

15＞12

＞

（3）

＝4×30

＝120

＝100×5

＝500

120＜500

＜

7．15×7＋7×5乘法分配

【难度】0.65

【知识点】长方形的面积、整数乘法分配律

【分析】图形由两个小长方形组成，左边长方形长15厘米，宽7厘米；右边长方形长7厘

米，宽5厘米。总面积＝左边长方形面积＋右边长方形面积。把两个数分别和同一个数相乘，

再相加，是乘法分配律。

答案第3页，共14页

【详解】总面积列式：15×7＋7×5，运用了乘法分配律。

8．350

【难度】0.75

【知识点】用两步连乘解决实际问题、整数乘法交换律

【分析】根据题意，先用每辆车的坐的人数乘每组租的辆数，求出每组有多少人，再乘分成

的组数，即可求出该旅行社一共组织多少名游客，可以利用乘法交换律简便计算。

【详解】25×7×2

＝25×2×7

＝50×7

＝350（名）

9．25012

【难度】0.65

【知识点】积的变化规律（整数乘法）、整数乘法分配律

【分析】根据乘法分配律，已知□－○＝10，25×□−25×○＝25×（□－○），把数据代

入计算即可。

根据乘法结合律，a×（b×10）＝（a×b）×10＝120，用120除以10计算即可。

【详解】25×□－25×○

＝25×（□－○）

＝25×10

＝250

a×（b×10）＝（a×b）×10＝120

a×b＝120÷10＝12

10．③②①⑤

【难度】0.65

【知识点】整数乘法分配律、整数加法交换律、整数加法结合律、整数乘法交换律

【分析】①加法交换律

两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为：a＋b＝b＋a；

②加法结合律

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：（a＋b）

＋c＝a＋（b＋c）；

答案第4页，共14页

③乘法交换律

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为：a×b＝b×a；

④乘法结合律

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，

积不变。用字母表示为：（a×b）×c＝a×（b×c）；

⑤乘法分配律

两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，结果不变。用字母表

示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。（其逆运算同样成立：a×c＋b×c＝（a＋b）×c）

【详解】

左边有2行三角形，每行3个，即2×3；右边是3列三角形，每

列2个，即3×2；2×3＝3×2，运用了乘法交换律；

左边是先计算三角形与圆个数之和，再加上正方形的个数，即（2

＋4）＋3；右边是先计算圆与正方形个数之和，再加上三角形的个数，即2＋（4＋3）；（2

＋4）＋3＝2＋（4＋3），运用了加法结合律；

左边是2个三角形加3个圆，即2＋3；右边是3个圆加2个三角形，

即3＋2；2＋3＝3＋2，运用了加法交换律；

左边是2列三角形，每列3个，加上2列三角形，每列2个，即2

×3＋2×2；右边是2行三角形，每行5个，即2×（3＋2）；2×3＋2×2＝2×（3＋2），运

用了乘法分配律的逆运算。

11．212×80－212

【难度】0.65

【知识点】整数乘法分配律、计算器的初步认识与使用

【分析】将79变成（80－1），再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变成212×

80－212×1，依此解答。

答案第5页，共14页

【详解】212×79＝212×（80－1）＝212×80－212×1＝212×80－212。（答案不唯一）

12．16800540

【难度】0.65

【知识点】积的变化规律（整数乘法）、整数乘法分配律

【分析】根据积不变规律，一个因数乘几，另一个因数除以相同的数，积不变；

一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几；

乘法分配律整理得：

【详解】（□×9）×（☆÷9）＝16

□×50×☆＝16×50＝800

27×◎27×□27×☆＝27×（◎□☆）＝27×20＝540

13．6158＞

【难度】0.66

【知识点】整数乘法分配律

【分析】乘法分配律：两个数的和与第三个数相乘，等于第三个数分别与这两个数相乘，再

把积相加，结果不变，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；因此，根据乘法分配律的

意义，把其中一个因数分解为两个数的和的形式，再根据乘法分配律进行简算和比较即可。

【详解】M＝59×61

＝（58＋1）×61

＝58×61＋1×61

N＝58×62

＝58×（61＋1）

＝58×61＋58×1

因为M＝59×61＝（58＋1）×61＝58×61＋1×61，N＝58×62＝58×（61＋1）＝58×61

＋58×1，因为58×61＋1×61＞58×61＋58×1，所以M＞N。

14．5026

【难度】0.65

【知识点】整数乘法分配律、除数是两位数的笔算除法

【分析】通过观察发现，19×△＋19×□＝950符合乘法分配律的逆用，可将原式整理为：

19×（△＋□）＝950；再根据“因数＝积÷另一个因数”，求出△＋□；最后将△＝24代

答案第6页，共14页

入，求出□。

【详解】19×△＋19×□＝950

19×（△①＋□）＝950

△＋□＝950÷19

△＋□＝50

如果△＝24，代入△＋□＝50

2②4＋□＝50

□＝50－24

□＝26

15．21000

【难度】0.65

【知识点】整数乘法结合律、计算器的初步认识与使用

【分析】根据乘法结合律：a×（c×b）＝a×c×b，□□□×44＝□□□×（4×11）＝□

□□×4×11，将乘数44转化为4×11，如果少按一个4，后面可以通过乘11得到正确的答

案，再减去2100，就是比正确结果少了多少，据此解答。

【详解】□□□×44

＝□□□×（4×11）

＝□□□×4×11

2100×11＝23100

23100－2100＝21000

16．100100

【难度】0.65

【知识点】整数乘法分配律

【分析】根据明明的方法一计算99×99＋199，先将199拆分成100＋99，则99×99＋199

变化为99×99＋99＋100，接着把99提出来，则99×99＋99＋100变化为99×（99＋1）＋

100，先计算括号内的加法，则变化为99×100＋100，然后把100提出来，则99×100＋100

变化为（99＋1）×100，计算括号内加法，则变化为100×100。

根据方法二计算99×99＋199，根据正方形的面积＝边长×边长，小正方形的面积＝99×99，

大正方形的面积＝100×100，根据长方形的面积＝长×宽，涂色部分的面积＝100×1＋99

×1＝100＋99＝199，大正方形的面积＝小正方形的面积＋涂色部分，所以99×99＋199＝

答案第7页，共14页

100×100，据此解答。

【详解】方法一：

99×99＋199

＝99×99＋99＋100

＝99×（99＋1）＋100

＝99×100＋100

＝100×（99＋1）

＝100×100

方法二：

把算式看成求大正方形的面积。边长为99的小正方形面积是99×99，涂色部分的面积是99

×1＋100×1＝199，大正方形的边长是100，面积是100×100，因此99×99＋199＝100×

100。

所以，99×99＋199＝100×100。

17．乘法交换360分配

【难度】0.75

【知识点】整数乘法分配律、整数乘法交换律

【分析】（1）观察算式125×67×8，发现125与8相乘能得到整千数1000。为了使计算简

便，需要交换67和8的位置，这运用了乘法交换律。

（2）观察算式24×◯－□×24，发现两个乘法算式中都含有相同的因数24。根据乘法分配

律的逆运算，可以提取公因数24，将算式转化为24×（◯－□），再代入◯－□＝15进行

计算。

【详解】125×67×8

＝125×8×67

＝1000×67

＝67000

24×○－□×24

＝24×（○－□）

＝24×15

＝360

所以，计算125×67×8时运用乘法交换律可以使计算简便；如果○－□＝15，那么24×○

答案第8页，共14页

－□×24＝360，运用了乘法分配律。

18．10

【难度】0.65

【知识点】整数乘法分配律、乘、除法的意义和各部分间的关系、整数减法的性质、整数加

法交换律

【分析】根据乘法分配律，把错算成的算式“△×（8＋12）”变形为“△×8＋△×12”，再

与正确的算式“△×8＋12”相减，运用减法的性质和加法交换律，即可表示出结果多的部

分，已知结果比正确结果多了108，根据被减数＝差＋减数，乘数＝积÷另一个乘数，即可

求出△表示的数。

【详解】△×（8＋12）－（△×8＋12）

＝△×8＋△×12－△×8－12

＝△×8－△×8＋△×12－12

＝△×12－12

△×12－12＝108

△×12＝108＋12

△×12＝120

△＝120÷12

△＝10

19．C

【难度】0.85

【知识点】整数乘法分配律

【分析】①小正方形个数为6×3；②小正方形个数为4×3；总个数：6×3＋4×3；拼组后

是一个长（6＋4）、宽3的大长方形，小正方形个数为（6＋4）×3。6×3＋4×3＝（6＋4）

×3，这是乘法分配律的形式：a×c＋b×c＝（a＋b）×c

【详解】计算①②两图形中小正方形的总个数。演示的计算过程，乘法分配律可以解释。

20．B

【难度】0.85

【知识点】整数乘法分配律

【分析】99可以写成100－1，再根据乘法分配律：（a－b）×c＝a×c－b×c，进行简算。

【详解】99×28

答案第9页，共14页

＝（100－1）×28

＝100×28－28

所以计算99×28的简便算法是100×28－28。

21．C

【难度】0.65

【知识点】整数乘法分配律、带有小括号的混合运算

【分析】先根据乘法分配律展开原式，再通过作差求出看错前后的结果差，最后根据差的组

成确定正确的圈法，据此解答即可。

【详解】乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，5×（●＋▲）＝5×●＋5×▲，错看成

了5×●＋▲，则两者的差为：

（5×●＋5×▲）－（5×●＋▲）

＝5×▲－▲

＝4×▲

这表明结果比原来小了4个▲，因为差是4个▲，所以需要圈出4个▲。

22．C

【难度】0.72

【知识点】整数加法交换律、整数加法结合律

【分析】在连加运算中，为了方便运算，可以采用加法交换律，交换加数的位置，和不变，

也可以采用加法结合律，可以先把前两个数相加，也可以先把后两个数相加。

【详解】145＋48＋65，先运用加法交换律变成48＋145＋65，再运用加法结合律变成48＋

（145＋65）。

23．C

【难度】0.65

【知识点】整数乘法分配律

【分析】乘法分配律的特点是几个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，

再相加。3＋6＋9＝3×（1＋2＋3）＝3×6＝18，依此可分析出这是运用的乘法分配律的特

点进行计算的。

【详解】因为：1＋2＋3＋…＋10＝55，所以：6＋12＋18＋…＋60＝6×（1＋2＋3＋…＋10）

＝6×55＝330

24．600；2800；

答案第10页，共14页

6565；2800

【难度】0.65

【知识点】整数乘法结合律、整数乘法分配律、整数加法交换律、整数加法结合律

【分析】利用加法交换律（改变加数的位置）和加法结合律

（将某些加数先结合计算）计算；

根据乘法分配律，把相同的因数14提取出来，将剩下的部分相减计

算；

把101写成100＋1的形式，再运用乘法分配律，将65分别与100和1相乘后再相加，从而

简化计算；

利用乘法结合律，先计算25×4，然后再将结果与28相乘。

【详解】148＋154＋52＋246

＝（148＋52）＋（154＋246）

＝200＋400

＝600

236×14−36×14

＝（236−36）×14

＝200×14

＝2800

65×101

＝65×（100＋1）

＝65×100＋65×1

＝6500＋65

＝6565

28×25×4

＝28×（25×4）

＝28×100

＝2800

25．

715本

答案第11页，共14页

【难度】0.85

【知识点】整数加法交换律、整数加法结合律

【分析】根据题意，用历史类书籍加上75本求出文学类书籍的本数，用文学类书籍的本数

减去155本求出科幻类书籍的本数；最后将这三种书籍的本数加在一起即可；计算时可根据

加法交换