2026年四升五数学暑假专项提升（人教版）专题09：三角形

四年级数学暑假专项提升（人教版）

专题09：三角形

知识点01：三角形的特性

1.三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

2.三角形的各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。

3.三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。

下面的三角形可以表示成三角形ABC。

4.三角形的高

（1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角

形的高。这条对边叫做三角形的底。

（2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），

底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。

（3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。

①找到题目中要求画高的底边。

②找到底边对面的顶点。

③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！）

5.三角形的特性：三角形具有稳定性。

6.三角形三边关系

试卷第1页，共8页

（1）三角形任意两边之和大于第三边。

（2）任意两边之差小于第三边。

7.两点间的所有连线中线段最短。

知识点02：三角形的分类

1.按角分：

2.按边分：

（1）等腰三角形

相等的两条边叫做三角形的腰。

两腰与底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的两腰相等。

等腰三角形的两个底角也相等。

（2）等边三角形

试卷第2页，共8页

等边三角形也叫做正三角形。

等边三角形3条边都相等。

等边三角形3个角也相等，都是60°。

等边三角形是特殊的等腰三角形。

（3）不等边三角形

不等边三角形的三条边互不相等。

知识点03：三角形的内角和

1.三角形的内角和

（1）三角形的内角和是180°。

（2）三角形内角和的应用：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内

角和是180°”，求出第三个角的度数。

2.探究多边形的内角和

（1）四边形的内角和是360°。

（2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。

一、填空题

1．

(1)要组成一个锐角三角形，应选择的三个角的度数为________________________。

(2)要组成一个钝角三角形，应选择的三个角的度数为________________________。

(3)要组成一个直角三角形，应选择的三个角的度数为________________________。

2．把一个三角形剪成两个完全相同的三角形，每个小三角形的内角和是()度。

3．把一根长18米的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是()米，每个角是

()°。

4．图①、②、③是三个部分被遮挡的三角形，请分别写出它们各是什么三角形，（按角分类）

试卷第3页，共8页

图①()，图②()，图③()。

5．如图，∠1＝40°，∠2＝70°，()°，是个()三角形。

6．在一个三角形的中，∠1＝32°，∠2＝38°，那么第三个角是()度，按角分这

是一个()三角形。

7．植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化

带，这个三角形的周长是64m，底边长28m，那么它的一条腰长()m。

8．在一个三角形中，有两个角的度数分别是61°和70°，按角分，这是一个()角三

角形。

9．在一个三角形中，一个内角是86°，是另一个内角的2倍，第三个内角是()°，

这是一个()三角形。

10．如图所示∠3＋∠4＝∠5＝59°，∠1＝15°，∠2＝145°，那么∠4＝()°。

11．如图所示，一张三角形纸片被撕去了一个角，其中∠1＝50°，∠2＝65°，撕去的这个

角是()°。这张纸片的形状按角分是()三角形。

12．三角形ABD和等腰三角形ADC组成一个直角三角形（如图）。已知∠1＝60°，那么

试卷第4页，共8页

∠2＝()°，∠3＝()°。

13．一个等腰三角形的顶角是100°，底角是()°；另一个等腰三角形一条边是5cm，

另一条边是10cm，这个等腰三角形的周长是()cm。

14．如图，已知，那么()。

15．下面是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机槽构成一个三角形。

(1)若将支撑架调节成图①的样子，，，则()；按角分，这

是一个()角三角形。

(2)若将支撑架调节成图②的样子，则变成一个()角三角形。

16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝65°。如果沿图中的虚线将三角形

ABC剪成两部分，那么∠1＋∠2＝()°。

二、判断题

17．用两个直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是度。()

18．古建筑中常见到三角形框架，这是因为三角形具有稳定性。()

19．如图中，①号三角形的内角和比②号三角形的内角和大。()

20．用4厘米、5厘米、10厘米的三根小棒恰好围成了一个三角形。()

试卷第5页，共8页

21．如图，把长方形沿长边对折后，剪一刀（如图示）打开后一定是一个等腰三角形。

()

三、选择题

22．古都西安，文物古迹俯拾皆是。方方想真切感受西安的人文气息，从西安城墙出发，经

过大明宫国家遗址公园，来到永兴坊，然后直接从永兴坊回到西安城墙，正好走了三角形的

三条边，从大明宫国家遗址公园到永兴坊大约有（）米。

A．890B．3200C．4980

23．在直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的2倍，则这个三角形最小的角的

度数是（）。

A．60°B．30°C．15°

24．一个三角形每条边的长都是整厘米数，如果它的两条边分别长6cm和9cm，那么这个

三角形的第三条边最长是（）cm。

A．14B．18C．30

25．用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是（）。

A．B．C．

26．把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是

（）。

试卷第6页，共8页

A．和B．和C．和

四、作图题

27．按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。

五、计算题

28．计算下列各角的度数。

六、解答题

29．“又是一年三月三，风筝飞满天。”放风筝是民间传统游戏之一。爸爸给明明制作了一个

等腰三角形风筝，它的一个底角是64°，则它的顶角是多少？

30．智能芯片是人工智能技术的核心硬件，在智能垃圾分类机器人电路板上安置一种“三角

形微图案芯片”，每个三角形微图案芯片都是周长为45厘米的等边三角形，三条边分别嵌入

不同功能元件（传感元件、运算元件、存储元件，长度都等于边长）。已知传感元件每厘米

27元，运算元件每厘米33元，存储元件每厘米20元。安置一个三角形微图案芯片的总费

用是多少元？

31．李爷爷用木条钉栅栏，如图，可是这样很容易变形，文文建议李爷爷再加一根木条（图

中灰色木条），这样栅栏就不容易变形了。

试卷第7页，共8页

(1)文文这样建议的理由是什么？

(2)若图中，。

①木条围成的三角形按角分是一个（）三角形，按边分是一个（）三角形。

②求出图中和的度数。

32．如图，小明不小心将一张三角形纸片剪去了一个角，被剪掉的这个角是多少度？

33．把一张长方形纸的一角向上折起，已知∠1＝30°，请算出∠2的度数。

34．李爷爷家有一块三角形菜地，菜地的最大角是130度，是另一个角的5倍，这块三角形

菜地的其它两个角分别是多少度？这是一块什么三角形菜地？

35．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”风筝是中国古代劳动人民发明的。在深圳风筝节

上，有一个等腰三角形风筝，其中两条边分别长1.2米和2.4米。这个等腰三角形风筝的周

长是多少米？

试卷第8页，共8页

《专题09：三角形（专项训练）四升五年级数学暑假专项提升（人教版）》参考答案：

1．(1)

(2)

(3)

【难度】0.65

【知识点】三角形的分类、三角形的内角和

【分析】三角形按角分类的依据：

锐角三角形：三个角均为锐角（小于90°），且内角和为180°；

钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°），其余两个角为锐角，内角和为180°；

直角三角形：有一个角是直角（等于90°），其余两个角为锐角，内角和为180°。

【详解】（1）选择三个锐角，且和为180°：

锐角三角形三个角的度数为：45°、70°、65°

（2）选择一个钝角＋两个锐角，和为180°：

钝角三角形三个角的度数为100°、15°、65°（答案不唯一）

（3）选择一个直角＋两个锐角，和为180°：

直角三角形的三个角的度数为：90°、30°、60°

2．180

【难度】0.95

【知识点】三角形的内角和

【分析】三角形的内角和是180度。无论三角形的大小、形状如何变化（哪怕是把大三角形

剪成小三角形），每个三角形的内角和都始终是180度。

答案第1页，共14页

【详解】把一个三角形剪成两个完全相同的三角形，每个小三角形的内角和是180度。

3．660

【难度】0.85

【知识点】等腰三角形和等边三角形的认识及特征、三角形的内角和

【分析】等边三角形的三条边长度相等，因此边长等于周长除以3；等边三角形的三个内角

相等，且总和为180°，因此每个角为180°÷3。

【详解】边长：18÷3＝6（米）

每个角的度数：180°÷3＝60°

4．钝角三角形直角三角形锐角三角形

【难度】0.85

【知识点】三角形的分类

【分析】90度的角是直角，180度的角是平角，大于0度小于90度的角是锐角，大于90

度小于180度的角是钝角；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角

形是直角三角形；3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。

【详解】观察图①，露出的角开口很大，比直角大，比平角小，所以这个角是钝角，有一个

角是钝角的三角形是钝角三角形；

观察图②，露出的角有直角标记，这个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形；

观察图③，露出的两个角开口都比直角小，是锐角；延长被遮住的角的两条边，使之相交，

得到第三个角，这个角的开口比直角小，也是锐角；3个角都是锐角的三角形是锐角三角形。

5．110锐角##等腰

【难度】0.65

【知识点】角度的计算、三角形的分类、等腰三角形和等边三角形的认识及特征、三角形的

内角和

【分析】如图，三角形的内角和是180°，用180°减去∠1、∠2的度数，就是∠3的度数。

∠3和∠4组成一个平角，平角是180°，用180°减去∠3的度数，就是∠4的度数。

根据三个角是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个

角是钝角的三角形是钝角三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。据此解答。

【详解】180°－40°－70°

＝140°－70°

＝70°

答案第2页，共14页

180°－70°＝110°

∠1＝40°，∠2＝70°，∠3＝70°，

那么，∠1＝40°，∠2＝70°，∠4＝110°，是个锐角三角形（等腰三角形）。

6．110钝角

【难度】0.85

【知识点】三角形的分类、三角形的内角和

【分析】三角形内角和为180°，用内角和依次减去已知两个角的度数，求出第三个角的度

数。然后根据角的大小来确定三角形的类型，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

【详解】180°－32°－38°

＝148°－38°

＝110°

所以，第三个角的度数是110°，按角分这是一个钝角三角形。

7．18

【难度】0.82

【知识点】等腰三角形和等边三角形的认识及特征、三角形的周长

【分析】等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的周长减去底边长度等于两腰长度和，再除以

2即等于一条腰的长度。

【详解】

8．锐

【难度】0.65

【知识点】三角形的分类、三角形的内角和

【分析】三角形内角和为180°，用180°减去61°，再减去70°，先计算第三个角的度数

是49°。三个角都小于90°，全是锐角，因此按角分这是锐角三角形。

【详解】180°－61°－70°

＝119°－70°

＝49°

在一个三角形中，有两个角的度数分别是61°和70°，按角分，这是一个锐角三角形。

9．51锐角

答案第3页，共14页

【难度】0.65

【知识点】三角形的分类、三角形的内角和

【分析】已知一个角86°，是第二个角的2倍，先用除法求出第二个内角度数；三角形内

角和180°，用180°减去前两个角得到第三个角；根据三个角大小判断三角形类型：三个

角都＜90°是锐角三角形。

【详解】86°÷2＝43°

180°－86°－43°＝94°－43°＝51°

所以第三个内角是51°。

三个内角分别是86°、43°、51°，全都小于90°，所以是锐角三角形。

10．39

【难度】0.85

【知识点】角度的计算

【分析】观察图形可知，∠1、∠2、∠3位于同一个三角形内，∠1、∠2度数已知，先根据

“三角形的内角和是180°”算出∠3的度数；再根据题目所给的信息“∠3＋∠4＝59°”

计算出∠4的度数，据此解答。

【详解】∠3＝180°－15°－145°＝20°

∠4＝59°－20°＝39°

∠3＋∠4＝∠5＝59°，∠1＝15°，∠2＝145°，那么∠4＝39°

11．65锐角

【难度】0.65

【知识点】三角形的分类、三角形的内角和

【分析】三角形的内角和是180°，用内角和依次减去50°和65°，求出撕去的角是65°；

然后根据三个角的大小判断，三个角都是锐角，那么三角形是锐角三角形。

【详解】180°－50°－65°

＝130°－65°

＝65°

三个角都是锐角（小于90°），那么三角形是锐角三角形。

即如图所示，一张三角形纸片被撕去了一个角，其中∠1＝50°，∠2＝65°，撕去的这个角

是65°。这张纸片的形状按角分是锐角三角形。

12．3060

答案第4页，共14页

【难度】0.65

【知识点】角度的计算、等腰三角形和等边三角形的认识及特征、三角形的内角和

【分析】根据三角形的内角和等于180°、等腰三角形的两个底角相等、平角＝180°解答

此题即可，∠1和等腰三角形ADC的顶角组成一个平角，顶角＝180°－∠1，用180°减

去顶角再除以2求出∠2，在直角三角形中，∠3＝180°－90°－∠2，据此解答。

【详解】180°－60°＝120°

（180°－120°）÷2

＝60°÷2

＝30°

180°－90°－30°

＝90°－30°

＝60°

所以∠2＝30°，∠3＝60°。

13．4025

【难度】0.65

【知识点】等腰三角形和等边三角形的认识及特征、三角形的内角和、三角形的周长、三角

形三边关系

【分析】三角形内角和是180度，等腰三角形两个底角都相等，用内角和减去顶角的度数，

再除以2，就可以计算出底角的度数；

等腰三角形的两条边相等，那么另一条边可能是5cm，也可能是10cm；根据三角形三边关

系，两边之和必须大于第三边，由此确认第三条边的长度，最后把三条边长度相加即可。

【详解】（180－100）÷2＝80÷2＝40（度），底角是40度；

假如第三条边是5厘米，5＋5＝10（cm），10＝10，不能围成三角形；

假如第三条边是10厘米，5＋10＝15（cm），15＞10，能围成三角形；

三角形的周长：5＋10×2＝5＋20＝25（cm）。

14．280°##280度

【难度】0.65

【知识点】角度的计算、三角形的内角和

【分析】根据“三角形的内角和是180°”这个核心知识点，可以发现图中包含了两个三角

形，它们共用一个角∠5。我们可以分别利用这两个三角形的内角和，求出两个三角形的内

答案第5页，共14页

角和，再减去两个∠5，来巧妙地求出四个角的总和，列式计算即可。

【详解】∠5＝40°

∠1＋∠2＋∠5＝180°

∠3＋∠4＋∠5＝180°

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋180°－∠5－∠5＝360°－40°－40°＝320°－40°＝

280°

15．(1)50锐

(2)钝

【难度】0.75

【知识点】三角形的分类、三角形的内角和

【分析】根据三角形的内角和180°，计算出∠3的度数，根据三个角的度数可以判断出三

角形的类型；根据图②三角形的样子，观察三个角的形状，判断三角形的类型。三角形类型

按角分：1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90°；2、直角三角形：三角形的三个

内角中一个角等于90°；3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90°且小于

180°。

【详解】（1）180°－50°－80°

＝130°－80°

＝50°

∠3＝50°，三个角均小于90°，所以按角分类，这是一个锐角三角形。

（2）图②的三角形，观察图形可知，有一个角大于90°且小于180°，所以图3是一个钝

角三角形。

16．130

【难度】0.65

【知识点】三角形的内角和

【分析】在等腰三角形中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB；根据三角形的内角和是180°计

算。

【详解】在三角形ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，沿图中的虚线将三角形ABC

剪成两部分，∠A＋∠1＋∠2＝180°，所以，∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB。

∠ABC＋∠ACB

＝65°＋65°

答案第6页，共14页

＝130°

17．

×

【难度】0.85

【知识点】三角形的内角和、用同样的图形拼接

【分析】根据三角形内角和定理，任何三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状

无关。用两个直角三角形拼成的大三角形仍然是三角形，其内角和应为180°。

【详解】两个直角三角形拼成一个大三角形后，虽然组合方式不同，但形成的图形仍属于三

角形。根据三角形内角和定理，无论三角形的大小或类型如何，其内角和恒为180°。

因此，“用两个直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是度。”说法错误。

故答案为：×

18．√

【难度】0.85

【知识点】三角形的稳定性及应用

【分析】生活中，许多物体上都有三角形的结构，例如：自行车车架、人字梁等做成三角形

的形状后，不管自行车怎么晃动，自行车车架、人字梁形状是不会变的。根据上述分析得出

三角形不易变形，结合三角形的性质即可解答。

【详解】根据分析可得：

古建筑中常见到三角形框架，这是因为三角形具有稳定性。此说法正确。

故答案为：√

19．×

【难度】0.85

【知识点】三角形的内角和

【分析】任意三角形的内角和是180°，由此判断。

【详解】①号三角形的内角和和②号三角形的内角和都是180°，它们的内角和相等。

故答案为：×

20．×

【难度】0.85

【知识点】三角形三边关系

【分析】要判断三根小棒是否能围成了一个三角形，需根据三角形三边关系，三角形任意两

答案第7页，共14页

边之和大于第三边。

【详解】4＋5＝9（厘米）

9厘米＜10厘米，

所以用4厘米、5厘米、10厘米的三根小棒不能围成一个三角形。

故答案为：×

21．√

【难度】0.65

【知识点】等腰三角形和等边三角形的认识及特征

【分析】长方形的对边相等，四个角都是直角；等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，

依此即可判断。

【详解】长方形沿长边对折后，再将相对的两个角剪一刀，打开后，得到的三角形中，有两

条边是由对折后的剪痕形成的，即这两条边长度相等。由此可知：

把长方形沿长边对折后，剪一刀（如图示）打开后一定是一个等腰三角形。

故答案为：√

22．B

【难度】0.65

【知识点】三角形三边关系

【分析】已知三角形三条边中，两条边分别为2900米和2000米。根据三角形三边关系，两

边之和大于第三边，两边之差小于第三边。所以第三边（即从大明宫国家遗址公园到永兴坊

的距离）大于2900－2000＝900（米），小于2900＋2000＝4900（米）。据此解答。

【详解】A．890米＜900米，不符合要求；

B．900米＜3200米＜4900米，符合要求；

C．4980＞4900米，不符合要求。

所以从大明宫国家遗址公园到永兴坊大约有3200米。

故答案为：B

23．B

【难度】0.65

答案第8页，共14页

【知识点】三角形的内角和、和倍问题

【分析】直角三角形中两个锐角和为90°，设较小锐角度数为1份，另一个锐角则为2份，

用90°除以总份数（1+2）可求出最小角的度数。

【详解】

（度）

故答案为：B

24．A

【难度】0.65

【知识点】三角形三边关系

【分析】三角形任意两边之和大于第三边。已知两条边的长度，要求第三条边的最长长度，

需先计算出已知两条边的长度之和，第三条边的长度必须小于这个和。再结合第三条边长为

整厘米数的条件，找出小于和的最大整数即可。

【详解】根据三角形的三边关系可知，三角形任意两边之和大于第三边。

已知三角形的两条边长分别是和。

第三条边的长度必须小于这两条边的长度之和。

列式计算两条边的长度之和：。

所以第三条边的长度小于。

因为第三条边的长是整厘米数，小于的最大整数是。

所以这个三角形的第三条边最长是。

25．C

【难度】0.66

【知识点】三角形的内角和

【分析】放大镜只会放大三角形边的长度，不会改变角的度数，而任意三角形的内角和固定

为180°，因此放大后三角形的内角和还是180°。

【详解】用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是180°。

26．A

【难度】0.65

【知识点】三角形的分类、等腰三角形和等边三角形的认识及特征、三角形的内角和

答案第9页，共14页

【分析】等边三角形的三个内角都相等，三角形的内角和是180°，将180°平均分成3份，

每份的度数就是等边三角形每个内角的度数，即180÷3＝60°，所以等边三角形的三个内

角都是60°；

把这个等边三角形分成两个直角三角形后，其中的一个锐角是60°，则另一个锐角是90°

－60°＝30°，据此解答。

【详解】180°÷3＝60°

90°－60°＝30°

所以其中一个直角三角形中的两个锐角分别是30°和60°。

27．见详解

【难度】0.65

【知识点】三角形的分类、三角形的高及画法、画三角形

【分析】直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；

等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫

做底。从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做

三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。每个三角形都有三个底和对应的高。

【详解】

28．；；

【难度】0.85

【知识点】角度的计算、三角形的内角和

【分析】三角形的内角和为，用内角和减去已知的两个角，就可以求出剩余角的度数。

其中图三有一个直角符号，表示为。

【详解】

29．52°

【难度】0.85

答案第10页，共14页

【知识点】等腰三角形和等边三角形的认识及特征、三角形的内角和

【分析】等腰三角形的两个底角相等，一个三角形的内角和是180°，用180°减去两个底

角的度数，就能求出顶角的度数。

【详解】180°－64°×2

＝180°－128°

＝52°

答：它的顶角是52°。

30．1200元

【难度】0.65

【知识点】等腰三角形和等边三角形的认识及特征、三角形的周长、整数乘法分配律

【分析】等边三角形三条边相等，用三角形周长÷3计算出每条边的长度，用三角形的每边

的长度×元件的单价计算出三条边需要花费的钱数，然后再加一起即可。可以利用乘法分配

律进行简算。

【详解】45÷3＝15（厘米）

15×27＋15×33＋15×20

＝15×（27＋33＋20）

＝15×（60＋20）

＝15×80

＝1200（元）

答：安置一个三角形微图案芯片的总费用是1200元。

31．(1)

三角形具有稳定性

(2)

①锐角；等腰

②∠2＝75°，∠3＝30°

【难度】0.65

【知识点】三角形的分类、等腰三角形和等边三角形的认识及特征、三角形的内角和、三角

形的稳定性及应用

【分析】（1）四边形容易变形，具有不稳定性；三角形不容易变形，具有稳定性。加一根木

条将四边形分成两个三角形，利用了三角形的稳定性。

答案第11页，共14页

（2）已知AB＝AC，所以按边分是等腰三角形；∠1和∠ABC组成平角，用180°减去∠1

的度数，求出∠ABC的度数，∠2＝∠ABC，再用180°减去2个底角，求出顶角∠3。三

角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角

形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。在三角形中，两条边相等的三角形叫作等腰三

角形。

【详解】（1）答：文