第2章 平面体系的机动分析

第二章平面体系的机动分析§2-1几何构造分析的基本概念§2-2平面几何不变体系的组成规律§2-3平面杆件体系的计算自由度§2-1

几何构造分析的基本概念结构力学几何可变体系若不考虑材料应变的前提下，体系在某种外力作用下不能保证其形状或位置不变，则该体系称为几何可变体系。几何不变体系若不考虑材料应变的前提下，体系在任何外力作用下均能保证其形状或位置不变，则该体系称为几何不变体系。§2-1

几何构造分析的基本概念结构力学瞬变体系若不考虑材料应变的前提下，在某种外力作用下，其形状和位置可能产生微小改变，但随之即变成几何不变体系，则该体系称为瞬变体系。常变体系若一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。§2-1

几何构造分析的基本概念结构力学体系几何组成分析的目的1、判断体系是否几何可变

研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。2、了解体系的几何组成次序

在结构计算时，分析其组成顺序，了解荷载如何传递，选择适当的计算方法，寻找简便的求解途径。3、判断体系是否有多余约束

正确区分体系是否是静定结构与超静定结构。4、分析结构形式是否合理§2-2

平面几何不变体系的组成规律结构力学自由度

体系的自由度是指体系在平面内运动时，可以独立改变的几何参数的数目，即确定体系位置所需独立坐标的数目。质点的自由度一个质点A在平面内可以沿水平方向（x轴方向）移动，又可以沿竖直方向（y轴方向）移动。

刚体的自由度∆x∆yA

xy两个自由度质点xy∆x∆y∆𝜃AB

三个自由度刚体§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学约束（联系）对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。链杆

单链杆：仅连结两个结点的杆件称为单链杆（相当于一个约束）x

复链杆：连结三个或三个以上结点的杆件称为复杂链杆（连接n 个结点的复链杆相当于2n−3个单链杆）yx𝜃xy链杆刚体xy

链杆刚体链杆链杆等效成铰结三角形在等效成铰结三角形基础上附1个二元体，来发展第4个铰2×3−3=32×4−3=5§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学铰

单铰：只与两个刚片连结的铰称为简单铰（一个单铰能减少体系

两个自由度，故相当于两个约束）。

复铰：连结与三个或三个以上刚片连结的铰称为复铰（一个连接n 个刚片的复铰相当于(n−1)个单铰，相当于2(n−1)个约束）。yxy

刚体两个刚体6个自由度两个刚体单铰连结后变成4个自由度x2×(2−1)=2xy

刚体

三个刚体9个自由度三个刚体单铰连结后变成5个自由度2×(3−1)=4xy§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学铰

虚铰：两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个单铰所起的

约束作用，故两根链杆可以看作为在交点处有一个虚铰（瞬铰）。

注：采用射影几何中关于∞点和∞线的下列四点结论：

（1）每一个方向有一个∞点

（2）不同方向有不同∞点

（3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线

（4）各有限点都不在∞线上AA相交于∞点刚体刚体虚铰A无穷远虚铰∞虚铰A§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学刚结点

单刚结点：各杆不能绕刚结点作相对转动（杆件与杆件之间夹角保持不

变），受力时，由于结点能阻止杆件之间发生相对转角，因此杆端有弯

矩、剪力和轴力。

复刚结点：连结与三个或三个以上杆件连结的结点称为复刚结点（一个

连接n个杆件的复刚结点相当于(n−1)个单刚结点，相当于3(n−1)个约

束）。xy两根杆件6个自由度两根杆件单刚结点连结后变成3个自由度杆件刚结点3×(2−1)=3yx三根杆件9个自由度三根杆件单刚结点连结后变成3个自由度杆件刚结点3×(3−1)=6§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学多余约束如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因而减少，则此约束称为多余约束。

注：如果在一个体系中增加一个或减少一个约束，将改变体系的自由度，则此约束称为非多余约束。多余约束多余约束§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学几何不变体系的组成规律−−三角形规律规律1：一个点与一个刚片之间的连接方式

一个刚片I与一个点A用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。规律2：两个刚片之间的连接方式（一）

两个刚片I、II用一个铰B和一根链杆相连接，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。AI链杆1链杆2BCIIIABC链杆1§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学几何不变体系的组成规律−−三角形规律规律4：三个刚片之间的连接方式三个刚片I、II、III用三个铰A、B、C两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。IIIABCIII规律3：两个刚片之间的连接方式（二）两个刚片I、II用三根链杆相连，且三根链杆不全平行也不交于同一点，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。IIIAC链杆1链杆2链杆3虚铰B§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学从基础出发进行装配

先取基础作为基本刚片，将周围某个部件（一个结点，一个刚片或两个刚片）按照基本装配式在基本刚片上，形成一个扩大的基本刚片。12345678910ABCDE（a）ABCD123（b）IIIIIIIVVVI（c）这种两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造称为二元体二元体§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学从内部刚片出发进行装配先在体系内部选取一个或几个刚片作为基本刚片，将其周围的部件按照基本装配格式进行装配，形成一个或几个扩大的基本刚片。ABCDFEGIIIIII（a）ABCDEFIII（b）GHCABDEFIIIIII（c）GHABCDEFIIIIII（d）§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况1、一铰无穷远IIIIII

123456（a）IIIIII123456

（b）IIIIII12

（c）（a）组成无穷远虚铰之两平行链杆与另二铰

（虚铰）连线不平行，体系为几何不变。（b）组成无穷远虚铰之两平行链杆与另二铰

（虚铰）连线平行，体系为瞬变。（c）体系为常变。§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况2、两铰无穷远（a）组成二无穷远虚铰之两对平行链杆互不平

行，体系为几何不变。（b）组成二无穷远虚铰之两对平行链杆相互平

行，体系为瞬变。（c）体系为常变。IIIIII

123456（a）IIIIII123456

（b）IIIIII12

（c）3456§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况3、三铰均无穷远（a）组成三无穷远虚铰均在无穷远处，体系为瞬变。（b）组成三无穷远虚铰均在无穷远处，且三对平行链杆

又各自等长，体系为常变。IIIIII

123456（a）（b）IIIIII12

3456§2-2平面几何不变体系的组成规律结构力学三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况实例§2-3平面杆件体系的计算自由度结构力学体系自由度S和计算自由度W的概念体系各组成部件互不连接时（体系中各个约束均不存在）总的自由度数a减去体系中的非多余约束数c称为体系自由度S。体系自由度S

=各部件自由度总数a−非多余约束数c

体系各组成部件互不连接时（体系中各个约束均不存在）总的自由度数a减去体系中的全部约束数d称为计算自由度W。

多余约束数n：如果在一个体系中增加n个约束，而体系自由度S并不因而减少。计算自由度W

=各部件自由度总数a−全部余约束数d

非多余约束数c

=全部约束数d−多余约束数n（1）若W

>0，一定是几何可变体系（2）若W

≤0，可能是几何不变体系，也可能是几何可变体系§2-3平面杆件体系的计算自由度结构力学体系自由度S、计算自由度W、多余约束数n之间的关系体系自由度S

=自由度总数a−非多余约束数c =自由度总数a−(全部约束数d−多余约束数n) =自由度总数a−全部约束数d+多余约束数n =(自由度总数a−全部约束数d)

+多余约束数n =计算自由度W+多余约束数nS

=W

+n确定c？非常困难S

≥0n

≥0S

≥W

n

≥−W

W

≤0是体系几何不变的必要条件，而非充分条件§2-3平面杆件体系的计算自由度结构力学计算自由度W的方法算法一：取刚片为对象，结点和链杆为约束W

=3m

−(3g+2h+k)m−−刚片数（不含地基）

g−−单刚结点数h−−单铰结点数

k−−单链杆数（含支座）算法二：取结点为对象，链杆为约束W

=2j

−(b+r)j−−铰结点个数

b−−单链杆数

r−−支座链杆数注1：复连接要换算成单连接。注2：刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有a个无铰封闭框，约束数应加3a个。注3：铰支座、定向支座相当于两个支承链杆，固定端相三于个支承链杆。注4：算法二只适合全部由铰结点组成的体系。算法三（混合法）：取一部分自由刚片和结点作为对象，另一部分结点和链杆作为约束W

=(3m+2j)

−(3g+2h+b+r)§2-3平面杆件体系的计算自由度结构力学实例1ABCDFEG算法一：刚片数m

=8；单刚结点数g

=0；单铰结点数h

=10；单链杆数k

=4。W

=3m−

(3g+2h+k)=3×8−

(3×0

+2×10+4)=0一个连接n 个刚片的复铰相当于(n−1)个单铰算法二：铰结点数j

=6；单链杆数b

=8；支座链杆数r

=4。W

=2j

−(b+r)=2×6−

(8

+4)=0§2-3平面杆件体系的计算自由度结构力学实例2算法一：刚片数m

=8；单刚结点数g

=0；单铰结点数h

=10；单链杆数k

=0。W

=3m−

(3g+2h+k)=3×8−

(3×0

+2×10+4)=0一个连接n 个刚片的复铰相当于(n−1)个单铰算法二：铰结点数j

=6；单链杆数b

=8；支座链杆数r

=4。W

=2j

−(b+r)=2×6−

(8

+4)=0ABDEFCABDEFC§2-3平面杆件体系的计算自由度结构力学实例3算法一：刚片数m

=2；单刚结点数g

=1；单铰结点数h

=1；单链杆数k

=4。W

=3m−

(3g+2h+k)=3×2−

(3×1

+2×1+4)=−3算法二：铰结点数j

=4；单链杆数b

=7；支座链杆数r

=4。W

=2