考研数学知识点总结

考研数学考点与题型归类分析总结

1高数部分

1.1高数第一章《函数、极限、连续》

求极限题最常用的解题方向：

L利用等价无穷小；

x-sinx.x-arcsinxx-tanx,x-arcianxx~ln(l+x),/-1~xl-cosx~：x)。+*尸-1~4

2n

2.利用洛必达法则，型和三型直接用洛必达法则

0co

、、型先转化为型或型，再使用洛比达法则；

3.利用重要极限，包括、、；

4.夹逼定理。

1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》

第三章《不定积分》提醒：不定积分中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果

在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分的结果可以写为

F(x)+1,1指的就是那一分，把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。

第四章《定积分与广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定

积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：

对于型定积分，若f(x)是奇函数则有二0；

若f(x)为偶函数则有1/。)公二25/。)公；

1.3对于型积分,f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常用方法。

1.4所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间

上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质、。在处理完积分上

下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积

分等式的题目也同样有效。

1.5高数第五章《中值定理的证明技巧》

用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式AE、(AB)C.(CDE)F,

由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：

条件给出求证

A.B.D,Fo

为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正

方句，把从结论入手证明称之为反方向。

正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中

找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的AE就可能有AH、A(IK)、

(AB)M等等公式同时存在，有的逻辑公式看起天最有可能用到，如(AB)M,因

为其中涉与了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通；2.对于解题必须的关

键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(AB)

C,如果不知道或弄错则一定无法得出结论。反方向入手证明时也会遇到同样的问题。

通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效

地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。

so,解证

明题时其条件欲证结论可用定理

一要灵活，

在一条思

路走不通

时必须迅

速转换思

路，而不

应该再从

头开始反

复地想自

己的这条

思路是不

是哪里出

了问题;

另外更重

要的一点

是如何从

题目中尽

可能多地

获取信

息3

“尽可能

多地从条

件中获取

信息”是

最明显的

一条解题

思路，同

时出题老

师也正是

这样安排

的，但从

题目的

“欲证结

论”中获

取信息有

时也非常

有效。如

在上面提

到的模型

中，如果

做题时一

开始就想

到了公式

(CDE)

F再倒

推想到

(AB)

C.AE

就可以证

明了。

如果把主

要靠分析

条件入手

的证明题

叫做“条

件启发

型”的证

明题，贝IJ

主要靠

“倒推结

论"入手

的“结论

启发型”

证明题在

中值定理

证明问题

中有很典

型的表

现，其中

的规律性

很明显，

甚至可以

以表格的

形式表示

出来。下

表列出了

中值定理

证明问题

的几种类

型：

介值定理（结论部分为：存在一个使得

关于闭区间上的连）

存在一个

续函数，常常是只零值定理（结论部分为：存在一个使得

A。满足某

有连续性已知）|

个式子

零值定理（结论部分为：存在一个£使得

f（£）=。）

条件包括函数在闭存在一个费马定理（结论部分为：）

B

区间上连续、在开£满足罗尔定理（结论部分为：存在一个使得

区间上可导/(n)(,)=o）

罗尔定理（结论部分为：存在一个£使得

九）=0）

拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一

个使得）

柯西中值定理（结论部分为：存在一个

存在一个

使得）

c£满足

另还常用构造辅助函数法，转化为费马或

f"3=k

罗尔定理。

另还常用构造辅助函数法，转化为费马或

罗尔定理“

1.6面对这一部分的题目时，如果把欲证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比

较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处——S。要“牢记定理的结论部

分”。

1.7综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘

题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正

推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。不过仅仅弄明白这些离

实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、

性质甚至定理我们当时想不到；我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌

握定理性质与熟练运用各种变形转换技巧，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的

问题必须要靠做题来解决。

1.8高数第六章《常微分方程》

历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题

的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年

考察情况和大纲要求来看高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很

复杂。

解题套路：“辨明类型一套用对应变形为二-,再积分求解

方法求解”

先讨论一阶方程部分。这一部分

结构清晰，对于各种方程的通式

必须牢记，还要能够对易混淆的

题目做出准确判断。各种类型的

方法最后的目的都是统一的，就

是把以各种形式出现的方程都化

为f(x)dx=f(y)dy的形式，再积分

得到答案。

对于可分离变量型方程

/,(y)&+£(*)&(y)力=0

齐次方程做变量替换，则化为

原方程就化为关于的可分离变量方程，变形积

分即可解

原方程就化为关于苏氏的可分离变量方程，变形

积分即可解

对于一阶线性方程yCe0*,e…qxdx+C)

y'+p(x)y=9(x)

全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy因为其有条件，而且解题时直接套用通解公式

所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。

对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于型方程，就是先把当作未知

函数乙则原方程就化为的一阶方程形式，积分即得；再对、依次做上述

处理即可求解；

叫不显含y的二阶方程，解法是通过变量替换、(P为x的函数)将原方程化为一阶方程；叫

不显含x的二阶方程，变量替换也是令(但此中的p为y的函数)，则，也可化为一阶形式。

所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换”，“求解贝努

利方程就用变量替换”一样，在这里也要记住“求解不显含y的二阶方程就用变

量替换、”、“求解不显含x的二阶方程就用变量替换、

大纲对于局阶方程部分的要求不高，只需若齐次方程组Ax=0的基础解系有(n-r)

记住相应的公式即可。其中二阶线性微分个线性无关的解向量，则齐次方程组的

方程解的结构定理与线性代数中线性方程通解为

组解的结构定理非常相似，可以对比记忆：

若、是齐次方程的两个线性无关的

特解，则该齐次方程的通解为

右y(x)、％(x)是齐次月程

/+〃(X))/+q(x)y=。的两个线性无关的

特解，则该齐次方程的通解为

=c^x)+c2y2(x)

非齐次方程的通解为，其中是非齐非齐次方程组Ax二b的一个通解等于

次方程的一个特解，是对应齐次方程Ax=b的一个特解与其导出组齐次方程

的通解Ax=0的通解之和

若非齐次方程有两个特解，则对应齐若、是方程组Ax二b的两个特解则

次方程的一个解为(-)是其对应齐次方程组Ax=0的解

可以说本章难就难在记忆量大上。

1.9高数第七章《一元微积分的应用》

本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且

一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分

方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积引出积分方程，一般需要把积

分方程中的变上限积分单独分离到方程的一端形成“二s，，的形式，在两边求导得

到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。

对于导数应用，有以下一些小知识点：

利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增戒性可用定义法或求

导判断，判定极、最值时则须注意以下两点：

A.极值的定义是：对于的邻域内异于的任一点都有>或<，注意是〉或

而不是N或-B.极值点包括图1、图2两种可能,

所以只有在/*）在处可导且在见处取极值时才有尸⑴=0。

1.讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零点定理（结论部分为）、罗尔定理（结

论部分为）；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤

其是对于讨论方程根个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。

理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：

A.若函数在区间I上的，则在I上是凸的；

若在I上的，则在I上是凹的；

B.若在点处有且，则当时为极大值，当时为极小值。

其中,A是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，是的变化率，是

的变化率。可以说明函数是增函数；可以说明函数的变化率在区间I上是递

减的，包括以下两种可能：

同样，也只有两种对应图像:

所以，当时，对应或的函数图像是凸的；

当时，对应或的函数图像，是凹的。

相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了

且“，这从图像上也很容易理解：满足的图像必是凸的，即或，当且

时不就一定是的情况吗。

对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。

关于定积分的

鬣---fb

应用，以下补充S=[/（外心

1Ja

列出了定积分

各种应用的公

式表格：

求平面图形面

积

绕轴旋转体的体积，

求旋转体体积

绕y轴旋转体得体积Oxf(x)dx

(可用微元法

绕轴旋转体的体积，

也可用公式）绕y轴旋转体得体积、一心

已知平行截面y

干

面积求立体体

・*'，V=£s(x)dx

积

求平面曲线的y

弧长j

/=/Ji+(y')2公

1.10高数第八章《无穷级数》

本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”

和“函数的募级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出

现I求和与展开则都是大题C

对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。

其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子：

1.已知级数收敛，判断级数的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式，再

应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”式的题目是有局限性的——

若已知级数收敛，则所要求判敛的级数只能也是收敛的，因为只有“小于收敛级数的

级数必收敛”这一条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。

所以考研真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（尸。

2.上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛

散性，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般

形式判断。举例如下：已知单调递减数列满足，判断级数的敛散性。关键步骤

是：由得到，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的

题目一般也不会超出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。

募级数求和函数与函数的募级数展开问题是重点内容也是每年都有的必考题。在

复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加

注意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点,

更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认

真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的

意思，花时间来掌握很划算C

另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可

循。这种规律是建立在对6个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。

对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等式的左端和右

端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部

分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如下：

1...(-1.1)

2.(-1,1)

3.1n(i+〃)=〃-'J+3一.••+(-1)"普+…=需(-co,+oo)

4..

5...

6...

这六个公式可以分为两个部分，前3个相互关联，后3个相互关联。

1式是第一部分式子的基础。不就是一个无穷等比数列吗，在时的求和公式

正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子2:1式左端是,2

式左端是；1式右端是，2式右端也仅仅是变成了交错级数，故可以通过这种比较

来记忆式子2；对于3式来说，公式左端的与2式左端的存在着关系“”，故由

的展开式可以推导出的展开式为。这三个式子中的，相互之间存在着上述的清

晰轶系。

后3个式子的，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性。这

一部分的基本式是公式4:与之相比，的展开式是，的展开式是。一个可看成

是将展开式中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将展开式中的偶数项

变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此

处恰好都是比较顺的搭配：、习惯上说“正余弦”，先正后余；而的展开式对应

的是奇数项，的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。

1.11在已知帚级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第

一部分（前3式）的展开式都不带阶乘，其中只有的展开式不是交错级数；第二部

分（后3式）的展开式都带阶乘，其中只有的展开式不是交错级数。由题目给

出的帚级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幕级数带阶乘而不是交

错级数，则应该用公式4,因为希级数的变形变不掉阶乘和；若题目给出的帚级

数不带阶乘而且是交错级数，则必从2、3两式中选择公式，其它情况也类似。

1.12对于函数的事级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相

对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件

的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的帚级数展开）、四则运算（用于展

开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。

1.13对于数项级数求和的题目，主要方法是构造帚级数法，即利用变换求得毒级数

的和函数以后代入极限式即可。其中的关键步骤是选择适当的，一般情况下

如果、这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的应为

的形式，如、，以方便先积分；若题目有、这样的项，则应为的形

式，如、，便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。

1.14高数第十章《多元函数微分学》

复习本

章内容

时可以

二元函数相似一元函数

先将多

元函数

各知识

点与一

元函数

对应部

分作对

比,这

样做即

可以将

相似知

识点区

别开以

避免混

淆，又

可以通

过与一

元函数

的对比

来促进

对二元

函数某

些地方

的理

解。

—兀国数的极限要求点以任何力1可、任

一元函数的极限与路径无

何路径趋向时均有（、）。如果

关，

极限沿不同路径的不相等，则可断定不存小同

由等价A式间即可

0-A

在。

判断。

x

二元函数在点处连续性判断条件为：一元函数y=在点o

处连续性判断条件为

连续性存在且等于相似

蚓J⑴且等丁fM

二元函数的偏导数定义：一元函数的导数定义：

（偏）

分段函数在分界点处求偏导数要用偏导相似分段函数在分界点处求导

导数

数的定义数需要用导数定义

简化定义为：若函数在点

简化定义为：对于函数，若其在点处

处的增量可表示为，

的增量可表示为，其中为的高阶

其中是的高阶无穷小，

相似

全微分无穷小，则函数在处可微，全微分为

则函数在该点可微，即，

,一般有

一般有

可微、连续/可导连q一,可导

可导、不同

可微可微

连续

一元函数没有“全导数”这

个概念，但是左边多元函数

的全导数其实可以从“一元

设，，，且都可导，则对的全复合函数”的角度理解。一

全导数导数不同元复合函数是指、时有

o与左边的多元函数全导

数公式比较就可以将二式

统一起来。

一元复合函数求导公式如

复合函上格所示，与多元复合函数

数微分链式求导相似求导公式相似，只需分清式

法子中与的不同即可

不仅一兀复合函数、参数方程微

“形分法

求由方程确定的隐含数的偏导数，可

似”，对一元隐函数求导常采用

用公式：，

隐函数对于由方程组F5i)■。确定的隐含数且在两种方法：

G(x,y,z)=O

.公式虫=_里"

微分法相当12

y=y(x)、Z=Z(X)可套用方程组dxF；(x,y)

.将视为的函数在方

尸:+广：穿+啜=0大程2yx

G；+G；虫+G；虫=0

度上程两边同时对X求导

相通一元参数方程微分法：若有

则

一元参数方程微分法：若有

X=x(t)JJIJdy_y\t)

,y=y(0dxx'S

极值定义：函数在点的

极值定义：函数在点的邻域内启定义邻域内有定义且对于其中

且对于其中异于P点的任一点，恒有异于该点的任一点恒有

极值或，则称为的极小/大值方程组相似或，则称为的极小/

的解称为函数的驻点。大值，方程的解称为函数

的驻点。

函数在点的邻域内有连续二阶偏导，

且满足、、，若或则为极小

值点；

若/：（/，%）＜0或f；*o，Ho）V0则P5,）为函数在点的邻域内可

极大值点。导，且满足、，贝IJ：

取极值

大纲对于多元函数条件极值的要求为“会若，则为极小值；

的充分相似

用拉格朗日乘数法求条件极值”，是一种若，则为极小值

条件

比较简单而且程式化的方法。一元函数则若广⑺＜。，则f（x。）为极

无对应的内容。小值

大纲对于多元函数条件极值的要求为“会

用拉格朗日乘数法求条件极值”，是一种

比较简单而且程式化的方法。一元函数则

无对应的内容。

1.15高数第十章《重积分》

大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解

二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）

在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧

2线性代数部分

2.1线代这门课的特点

线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉与到了

各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于

知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵

的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导

和前后印证的关系。

所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。“融会”

可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”可以理解为掌握前后知

识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于——当看到题目的条件和结论、推测出其

中涉与到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从而大大提高解题

效率、增加得分胜算。

2.2出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题，比如在

历年真题中出现频率很高的性质”齐次方程组是否有零解对应于A的列向量组是

否线性相关；非齐次方程组Ax=b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线

性表示”。

2.3再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩

或行列式的内容，题眼就在于性质“方阵A可逆(|A|二O(A的列向量组线性无关

(r(A)=nn,依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。

2.4线代第一章《行列式》、第二章《矩阵》

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。第一章行列式的核心

内容是求行列式具体行列式的计算低阶n阶

应用行列式按行'列展开定理化为上下三角行列

式求解

行列式的定义、IAI=44…4、行列式的性质

抽象行歹J式的计算考点不在求行列式，而在于、、等的相关性

质

第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的内容都不多，没有什

么深度。由历年考研真题可见，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算

的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定条件、矩阵秩的性质、某些结构特

殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等。

所以复特征值性质

习本章行列式性质a为矩阵A运算性质秩的性质

的难度的特征值)

主要在

于如何

保证复

习的全

面细致，

一些做

题时用

到的性

质和方

法结合

具体的

题目就

题论题

才有最

佳的效

果：

(AT)T=Ar(AT)

转置矩

(M)r=kAr

14|=|川r(Ar)=r(ATA)

TTT

阵“(AB)=BA

(A+B)T=B7+ATr(ATA)=r(A)

逆矩阵

IA-1|=—有特征吗

Ml

A-1

4丁、4、三者之间

有一个即好记又好用

伴随矩n.=n

1A1=|A尸有特征值四r(A*)=«1.r(A)=〃一1

A的性质

阵40.r(A)<n-1

(A7)T=(AT)T

(A*)-'=(/1-'),

(A。*=(4,)7

r(A+B)<r(A)+r(B)

数乘矩

r(AB)<min{r(A),r(B)}

阵"、则有：

\kA\=knA若可逆则有同样

矩阵之有特征值，

\AB|=|A||用若可逆则有

积A8有熔征值

若A可逆则有

与矩阵

r(A8)=r(8)；同样，若B

之和

A+B可逆则有(43)=r(A)

2.5线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》

线代第二章《向量》、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容，相

比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺

垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对

第三、四章核心内容的扩展。

向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的

相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样

做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组的系数矩阵

是m行n列的，其有两种形式，一种是矩阵形式；其中是系数矩阵，，；另一

种是向量形式，其中o向量就这样被引入了。

先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组可以直接看

出是一定有解的，因为当式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0向

量可由任何向量线性表示”，即当中的时一定存在一组数使等式成立，至少在

全为0时可以满足。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况.有唯一零解；2.有非零解。当齐

次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的只能全为0才能使等式成立，而第三章

向量部分中判断向量组是否线性相关'无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的

定义为：设为一组向量，如果存在一组不为零的数使得等式成立，则称向量组

线性相关；如果等式当且仅当时成立，则称向量组线性无关。故向量与线性方程组

在比又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵A的列句量组是

否线性相关。

假如线性相关'无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的，那同样

可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性

无关组中的向量个数”，向量组组成的矩阵有说明向量组的极大线性无关组中有

n个向量，即线性无关，也即等式只有。解。所以，经过“秩一线性相关'无关一线

性方程组解的判定”的逻辑链条，由就可以判定产次方程组只有。解。当时，按

照齐次线性方程组解的判定法则，此时有非零解，且有n-「个线性无关的解向量。这又

与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方

程组的系数矩阵是m行n列的，则方程个数小于未知量个数时有m<n；因为矩阵的

秩等于行秩也等于列秩，所以必有，根据齐次方程组解的判定定理有非零解。

对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系：非齐次

方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量线性表示。线性表示的定义为：对

于句量组若存在一组数使等式成立，则称向量可由向量组线性表示。而使上

述等式成立的就是非齐次方程组的解，故齐次方程组有性质“齐次线性方程组是

否由非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性向关;非齐次方程组也日对应性质

“非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量线性表示”。当非齐

次线性方桂组与对应齐次线性方桂组满足时，根据线性方程组解的判定法则，齐

次方程组有零解，非齐次方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若

线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示方法唯一”。

以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之恒的内在联

系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。

线代部分的题目难就难在考点的跨度大，而我们如果仅仅掌握零散知识点，那怕

对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转向o

矩阵T线性方程组T向量

解T线性相关/无关一佚

1.三个双重定义：

2.秩的定义

a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数

b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数

a.2.线性相关'无关的定义：

b.对于一组向量，若存在不全为零的数使得成立，则相量组线性相关,

否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当全为0时才成立。

c.向量组卬必…%线性相关向量组中至少存在一个向量可由其余n-1个向

量线性表出；

线性无关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表

出。

a.线性方程组的两种形式：

b.矩阵形式：

向量形式：

两条性质：

1.对于方阵有：方阵可逆（存在方阵使得（（的行'列向量组均线性无关

（（可由克拉默法则判断有唯一解，而仅有零解。

对一般矩阵则有：（的列向量组线性无关：仅有零解，有唯一解。

2.齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关，而

非齐次线性方程组是否有解对应于是否可以由的列向量组线性表出。

以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起

的桥梁：

行列式<——>线性相关一线性方

IL

程组性质1中的“冏'/一

，叶壬1r+itSh“"A'―—AA/iTill44*

秩

另外，线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用

要求掌握的一些定理推论推导出来”的性质和结论，所以有必要扩大一些知识面，说不

定在考试时就会有意外收获：

一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。如

果句量组可由向量组线性表示，则有。

等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；

任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。

1.常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系；、、这样的单位向量

组；不同特征值对应的特征向量。

关于秩的一些结论：

r(A/HXn)<；

r(4*)=1<=>r(A)=«-1；

r(AT)=r(A)=r(ATA)；

r(4aWmin{“A).(B)}；

r(/l+B)<r(4)+r(B)；

若有、满足，则；

若A是可逆矩阵则有"AH)="4)；同样若3可逆则有"A3)=r(A)。

2.6非齐次线性方程组有唯一解则对应齐次方程组仅有零解，若有无穷多解则

有非零解；若有两个不同的解则有非零解；

2.7若是矩阵而则一定有解，而且当时是唯一解，当时是无穷多解，而若

则没有解或有唯一解。

28线代第五章《特征值和特征向量》

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点，

历年考研真题都有相关题日而且最有可能是综合性的大题。

特征值和特征向量之所以会得到如此青睐，大概是因为解决相关题目要用到线代

中的大量内容——即有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”；

着重考察这样的知识点，在保证了考察面广的同时又有较大的出题灵活性。本章知识要

点如下：

1.特征值和特征向量的定义与计算方法。

或己牢一系歹!）公式如Ar（x=0）、Ax-Ax=0y（ZE-A）x=0和|在一41=0°

历年真题中常用到下列性质：若阶矩阵有个特征值，见有；

若矩阵有特征值，则.................分别有特征值、、、、

、,且对应特征向量等于所对应的特征向量，而若、分别为矩阵、的特

征值，则不一定为的特征值。

2.相似矩阵与其性质。定义式为，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

矩阵与矩阵等价（）的定义式是，其中、为可逆矩阵此时矩阵可

通过初等变换化为矩阵，并有；

当中的、互逆时就变成了矩阵相似（）的定义式，即有,此时满足、

、，并且、有相同的特征值。

矩阵合同的定义是，其中为可逆矩阵。

由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若与合同或相似则

与必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。

3.矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件。

充要条件:力阶矩阵A有n个线性无关的特征向量A的任意k重特征根对应有k个线

性无关的特征向量；

充分条件是A有n个互不相同的特征值；充分条件2是A为实对称矩阵。

4.实对称矩阵极其相似对角化。

n阶实对称矩阵A必可正交、相似于对角阵，即有正交阵P使得而且正交阵P由A

对应的几个正交的特征向量组成。

其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那

种前后印证、相互推导的关系：以求方阵的募作为思路的起点，直接乘来求比较困

难」旦如果有矩阵P使得A满足（对角阵）的话就简单多了，因为此时，而对角阵

的备就等于代如上式即得。而矩阵相似对角化的定义式正是。所以可以认

为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的鬲，引入特征值和特征向量的概念是为

了方便讨论矩阵的相似对角化Q因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特

征句量，而且中的P、也分别是由A的特征向量和特征值决定的。

求A"一相似对角化一特征值和特征向量

2.9线代第六章《二次型》

本章内容较少，大纲要求包括掌握二次型与其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为

标准型的方法。

在理年真题中本章知识点出现次数不多，但也考过大题。本章所讲的内容从根本上讲是

第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于

实对称矩阵存在正交矩阵使得可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化

在为实对称矩阵时的应用。

将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比较会有助于理解记忆“化二次型为标

准型”的步骤与避免前后混淆，但因为大纲对本章要求不高，所以不必深究。

3概率部分

3.1概率这门课的特点

概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。

3.2对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背।然后通过足量做题再来牢固掌握,

走一条“在记忆的基础上理解”的路。

3.3记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难

拿到了。

3.4概率第一章《随机事件和概率》

本章内容在历年真题中都有涉与，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以

出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率

运算的题目，大多围绕形如、、这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内

容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。

在“概率事件的关系与运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题。

区别互斥、互逆、对立与不相容：事件A与事件B互斥也叫A与B不相容，即,事

件A与事件B对立就是A与B互逆，即为A与的关系。

3.5公式组在历年考研真题中频繁用到，很多题利用这三个公式间的相互转化关系

很容易求得答案。

3.6当A、B相互独立时，也就是指事件A与事件B的发生互不影响，此时应该有、

所以由（2）式即可得出（3）式。

3.7第二章《随机变量与其分布》、第三章《随机变量的数字特征》、第四章《大数定

律和中心极限定理》

对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当

大一部分难度是被解题所用的繁杂公式“分走”了。所以对于概率部分的复习，有两个

步骤即可：首先是牢记公式然后是把题做熟，在练习过程中透彻理解概念公式和性质

定理。

对于第二章的大表格也可以