考研数学三（级数）模拟试卷4

考研数学三(级数)模拟试卷4

一、选择题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

OO

1、级数“Tnz(a>0)().

A、发散

B、条件收敛

C、绝对收敛

D、收敛性与a有关

标准答案：C

知识点解析：因为

218218

I—COS-•-7,而2,~7收敛，所以2(1—cos—)

〃2£2〃'收敛，即

原级数绝对收敛，选C

2-1尸件

2、设常数k>0,则级数几().

A^发散

B、绝对收敛

C、条件收敛

D、敛散性与k有关

标准答案：C

知识点解析：因为

(一D"空卫=(-1)”与十匕1上,而*(_1)”与绝对收敛.2］土上

ri-ngn之n

之(_1尸中

条件收敛，所以”7〃条件收敛，选C.

co

设lun收敛，则卜.列级数必收敛的是().

3、

+-1吟

A、n-1n

CO

B、-slUn,

S

C、-"l(U2n-l-U2n)

sCO

D、-KUn+Un+l)

标准答案：D

oo

知识点解析：”7(Un+Un+l)收敛，因为Sn=2(U]+U2+...+Un)-U]+Un+i，而级数Un

收敛，所以(U|+U2।…lun)存在且Un+i=O，于是Sn存在，由级数收敛的定义，

(Un+Un+1)收敛，选D.

vCOoyo

4、设级数“lUn与iM都发散，则().

A、“l(Un+Vn)一定发散

CO

^UnVn一定发散

B、

coco

VV

c、吁lu—与"JlVj?都发散

co

D、-1(IUnI+IVn|)一定发散

标准答案：D

OO

£□

知识点解析：因为“7(IUnI+Ivn|)为正项级数，若口(IUnI+IVnI)收敛,

由OSIUnISIUnI+IVnI，0<IVnI<IUnI+IVn|,根据正项级数的比较审敛

法知，IUnI与IVnI都收敛，即如与Vn都绝对收敛，与己知矛盾.选D.

5、下列叙述正确的是().

lim3"VI,则士;

A、若…nun一定收敛

CO8

ZX

B、若nTUn收敛,则一定收敛

COOO

VV

C、若正项级数llUn收敛，则…卬/一定收敛

8co

若照£=।且九收敛，则及一定收敛

D、

标准答案：C

lim=—3V1,但£

知识点解析：A不对，例如：Un=（-3）n-',显然L8人LlUn发

散；B不对，例如：U产口加收敛，但（」）％n发散；C正确，因为Un收敛，所

以Un=O，存在N>0,当n>N时，0<Un<l，从而gujgUnVl,由比较审敛法得

Uj收敛;D不对,例如：Un=Vn发散.

CO

6、设基级数与口也犬的收敛半径分别为R|,R2,且R1VR2,设

（an+bn*的收敛半径为Ro，则有（）.

A、RI=R2

B、Ro=Ri

C、R0VR2

D、RO>R2

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

二、填空题（本题共7题，每题7.0分，共7分。）

7、j(2n—1)(2n+1)=

1

标准答案：2

知识点解析：

G1A1..11(11\

"1X33X5(2n-l)(2n+l)2、2〃+3由

_______1_______j.

limS”=方，得X=

w-8L(2〃-1)(2〃+1)=2

,1-H

8、级数WM收敛，则p的范围为.

>2

标准答案：2____

Jn+1—4n111

・.一一=-一一一一一.

知识点解析：“一（/1+1+-2则回收敛

的充分必要条件是

UM

9、空工,的和函数为

标准答案：（2x+l）e、

（2〃+1.

2-/-;-工

知识点解析：显然辕级数丁。“！的收敛半径为R=+8,收敛域为（-8,

+co).

00nI18Q81g8

S(z)=£竽工、与船工一百今工一二十，,+巨亍

=2心,二+e'=2Z£三+e”=(2z+l)e”.

7T；(n-D!M〃！

82_L_1

10、…n,=.

标准答案：3e

a2I1

V-+1N

2/।*Ix|

知识点解析：令S（x）=”■<»n,（-sVxV十8）,贝Ij-（x2+x+1）ex,故

=S（l）=3e.

8一“

11、级数〃•2”的收敛域为,和函数为.

—ln（l一1）（-24zV2）

标准答案：［・2,2）12/

k+11

知识点解析：由L-II2,得收敛半径为R=2,当x=2时级数收敛，当

x=2时级数发散，故级数区的收敛域为［-2,2）.令5仪）=则

00.2«+3

X—_____

12、级数”】+D在-IVxVl内的和函数为.

标准答案：xln(l-x2)+x3-x3ln(l-x2)(-l<x<l)

知识点解析：

g32“3»2”+3-(2xn—

V=y£____V—^

冈

而=-ln(1-x2)(-1<x<1),=-ln(1-x2)-x2(-1<x<1),所以=xln(l-x2)+x3・x31n(l・

x2)(-l<x<l).

n2+2n

AW

13、-12=.

标准答案：10

GO

知识点解析：令S(x)=W(n2+2n)x，显然级数区(f+Zn^n的收敛域为(-1,1)；

S(x)=(n2+2n)xn=[n(n-1)+3n]xn=x2n(n-1)xn2+3xnxn'1

三、解答题(本题共75题，每题1.0分，共75分。)

]

14、将f(x)=^2—1展开成(x-2)的累级数.

标准答案：

2

l)"(x-2)M<x<3；,

x—11+(x—2)

]=]=1_2一2寸“(12)，1VZV5,

i+l3+(工-2)3]I”乙N«0J

3

.8fz

故/(])=5*(一1)”------尹-I(x-2)",1<x<3.

乙woL।

知识点解析：暂无解析

8Jt

15、求三〃(〃+1)的司函数.

冈

标准答案：由L8||得R=]1,当*=±1时，因为」收敛，所以x=±l

时，原级数收敛，故收敛域为[-1,1].S(0)=0;当X#)时，当X=1时，由Sn=l

得sq)=i,故

知识点解析：暂无解析

(x»0&M&1,

2-X3-x

16、设12—-•So=fof(x)eclx,Si=f2f(x-2)edx,

oo

…s

-x

Sn=f2nf(x-2n)edx,求―吗.

标准答案：So=fo2f(x)e-Xdx=fo1xe-xdx+f12(2-x)e-xdx=(1-e)2,令t=x-2,则5[=8

-2n

2卜2f)/出=。飞0，令t=x-2n,则Sn=e叫02f⑴不出二/冷，S=Sn=Soe=

知识点解析：暂无解析

y(〃-D!

17、判断级数幺力”的敛散性.

_(n+D!

标准答案：令““一〃小―因为回根据比值审敛法，级数收敛.

知识点解析：暂无解析

8・■

玄(一M

18、判断级数匕+”的敛散性.

n_1Iy\(n\n

lim7^7=Hm万，所以级数匕'2〃+"收

标准答案：因L3I，Zn+\

敛.

知识点解析：暂无解析

.(-1)"(ZI"-1)

19、判断级数£的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？

标准答案：

I11—Inr-

/(x)=彳”-1,由//(x)=xJ-----2~V0(工>3),得(打"一1｝」

工为单

调减少的数列，又回，所以级数收敛.因为发散，故级数发散，即级数条件收

敛.

知识点解析：暂无解析

OQOO

20、设正项级数勺Un收敛，证明勺收敛，并说明反之不成立.

2

标准答案：因为(Un+un+l)，而口(Un+Un+1)收敛，所以根据

正项级数的比较审敛法知收敛，反之不一定成立，例如：级数1+0+1+0+…发散，

因为Un，Un+1=0(n=1♦2,...),所以收敛.

知识点解析：暂无解析

8

21、设Un>0(n-l,2,...),Sn=U|+U2+...+Un.证明：…收敛.

标准答案：令S，n=S1S2S.,则LJ又{S，n}n=「单调增加，所以S二

存在，于是收敛.

知识点解析：暂无解析

oooo

a”»冈

22、设•》=】-=1bn为两个正项级数.证明：(1)若bn收敛，则an收敛；［2)若

an发散，则bn发散.

lim^

标准答案：(1)取£0=1,由"一­"=0,根据极限的定义，存在N>0,当n>N时，

区，即ganVbn，由bn收敛得bb收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由

比较审敛法得ab收敛，从而ab收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性).(2)根据

(1),当n>N时，有0&ib<bb，因为ab发散，所以ab发散，由比较审敛法，加发

散，进一步得加发散.

知识点解析：暂无解析

1(一］厂］1-J)"

23、求塞级数£/的收敛域.

ue力

X(_］尸L

标准答案：令x・l=l,显然级数L1/的收敛半径为R=l,又当口士1

时，由口收敛，得级数绝对收敛，所以级数的收敛区间为［-1,1］,故原级数的

收敛域为［0,2］.

知识点解析：暂无解析

V巴

24、求幕级数G47n-i的和函数.

1

lim得收敛半径为当时，因为囚(

标准答案：由L8ZR=4,X=±4±4)"

'->00(11->00),所以某级数的收敛域为(-4,4).于是S(x)=，xG(-4,4).

知识点解析：暂无解析

25、求幕级数W九！X11的和函数.

V3一

标准答案：幕级数--。〃！的收敛半径为R=+X,收敛区间为Goo,+8).令

S(x)=，则S(x)=x"+eX=xn"+e'=(x+l)eK(・8VxV+8).

知识点解析：暂无解析

V—2_

26、求事级数…12"・收相的收敛域，并求其和函数.

］，mIa”+1I=J.

标准答案：I6I2则收