考研数学一（高等数学）模拟试卷84

考研数学一(高等数学)模拟试卷84

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设x-0时，(l+sinx门是比xtan11低阶的无穷小，而xtanx11是比(丁之

l)ln(l+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于()

A、K

B、2o

C、3o

D、4o

标准答案：B

知识点解析：当x—+0时，(1+sinx)x-1ln[(1+sinx)>-1+1]=xln(1+sinx)—xsinx^x2,

(eain2x-l)ln(l+x2)^sin2x.x2^x4,THjxtann^x.xn=xn+1o所以2Vn+lV4,则正整

数n=2,故选Bo

2、设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内可导，则()

A、当f(a)f(b)V0时，存在乐(a,b),使他尸0。

•1•

B、对任何旺(a,b),有/[f(x)-f([)]=O。

C、当f(a户f(b)时,存在氏(a,b),使f《)=0。

D、存在年(a,b),使f(b)・f(a尸r©(b・a)。

标准答案：B

知识点解析：因只知f(x)在闭区间[a,b]上有定义，而A、C、D三项均要求f(x)在

[a,b|上连续u故选项A、C、D均不一定正确，故选B”

2

3、设f(x)具有二阶连续导数，且『(1)=0,，则()

A、f(l)是f(x)的极大值。

B、f(l)是f(x)的极小值,

C、(1,f(l))是曲线f(x)的拐点坐标。

D、f(l)不是f(x)的极值,(1,f(D)也不是曲线f(x)的拐点坐标。

标准答案：B

1

知识点解析：选取特殊函数f(x),其满足：fXx)=2(x-l)2,如取f(x)二万(x-l)4,则

f(x)满足题中条件。f(x)在x=l处取极小值，而其余均不正确。故选B。

..........・・大一•B/\

(A)(ira,ya)0(B)(7ra,ya)o

c、7

(C)(ira,-r-a)(D)(ira.-a)©

4o4

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

ds=/x"⑴+y"⑴d<=Va2(1-cos/)5+a2sin2rdf

知识点解析：先求弧微分=。々>…=2-infdGO0W2n,

于是得弧长回四个选项中，质心的横坐标均相同，所以只需求质心的纵坐标。

为此，再求代入公式得故选A。

5、函数f(x,y,z)=x?+y2+z2在点(1,-1,1)处沿曲线x=t,y=-t2,zl在该点指向

x轴负向一侧的切线方向的方向导数等于()

A、-12o

B、I2o

C、工

D、付

标准答案：C

知识点解析：函数f(x,y,z)在点(1,-1,1)处的梯度gradfI(]「i,])=(2,-2,2).曲

线x=t,y=-t2,z=P在点(1,-1,1)处切线向量为t=(l,-2,3),而指向x轴负向一

侧的切向量为(-1,2,-3),则所求的方向导数为

2・二^+(-2)・二-+2・二^=-上一,

714/14/14/IT故选C。

6、设Z为球面X?+y2+z2=R2上半部分的上侧，则下列结论不正确的是()

(A)『一由也=0。(B)卜dyd:=0。

2

(C)Jydydz=0o(D)Jydydz=0o

*-

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析•：对于第二类面积分，若曲面Z(包含侧)关于x=0(即yOz坐标面)对称，

0,当/(%y,z)关于x是偶函数，

J/'(z,y,z)dy(k=217(%,y,z)办也，当/(%y,z)关于x是奇函数。

则为。本题中

曲面Z关于x=0对称，而选项A、C、D中的被积函数x2,y2,y,关于X都是偶函

数，则其积分为零，而B选项中的被积函数x为x的奇函数，则

jprdydz=2Jxdydz>0o

IE>o

①若正项级数2%满足.<i,则级数2%收敛。

n=I"itn■I

②若正项级数g%收敛，则！叫抗这i。

③若lim2=1,则级数£Q.和£认同敛散。

0fln=l…I

④若数列I。/收敛,则级数-4)收敛。

7、设有命题£以上四个命

题中正确的个数为()

A、lo

B、2。

C、3o

D、4o

标准答案：A

知识点解析：只有④是正确的，事实上，级数nfan+1-an)的部分和数列Sn二(a2・

171〜

a1)+(a3-a2)+...+(an+1-an)=an+1-ai,数列｛a11)收敛，则&+1啊)收敛。①不正

确。如不收敛。②不正确。正项级数是收敛的，事实上，不存在。③不正确。

如，但级数发散。故选A。

8、在下列方程中，以广CQ+c2cos2x+C3sin2x(Ci，C2,C3为任意常数)为通脩的

是()

A、y,,,+y,,-4y,-4y=0o

B、y，''+y''+4y，+4y=0。

C、尸，-y，14y，+4y=0。

D、尸［尸+4y'-4y=0。

标准答案：D

知识点解析：由通解y=Cie，C2co$2x+C3sin2x可知，所求方程的特征方程为(r-

2

l)(r+4)=0,即乩/+4r4=0,对应的方程为yR-y"+4yL4y=0,故选D。

二、填空题(本题共8题，每题分，共8分。)

lim(cosx)Miof)

9、J-4)

1

标准答案：耳

：lim(cosx)Mi»J)=而

siiu;

COSX

一一二----

2，

y

原式=e=-0

知识点解析:

立

10^已知xy=ex+y,则也=o

e"，y

标准答案："-e”，

知识点解析：在方程两端分别对x求导，得

e"'-y

y+0’=e»(l-八即/=

e'"'其中y=y(x)是由方程xy=exr所确定的

隐函数。故今=,‘

X.，

11、在曲线y=x2(0WxS)上取一点(t,t2)(ovyi),设A]是由曲线y=x2(0gxWl),

直线y=t2和x=0所围成的图形的面积；A2是由曲线y=x2(gxW),直线y』2和朽1

所围成的图形的面积，则I取时，A=A]+A2取最小值。

标准答案：,

知识点解析：如图1-3-7所示。

4,=[(J-f)d*&=J(X2-r2)(lx,

4a,I

4=A+4=y？-£+yt0<«<1,

当匚2时，A=A1+A2取最小

值。

j2y+3z-5=0,

12、直线L：Q-2y-z+7=0,在平面口：x-y+3z+8=0上的投影方程为_______

尸-y+3:+8=0,

标准答案：L-2y-z+7=0

知识点解析：假设平面口1过L且垂直于平面口，设L的方向向量为s,FI1的法向

量为ni，n的法向量为n，则ni_Ls,niln,而

iJkI

s=023=4i+3/-2JI,

ii-2-1

iJk

故有H|=sxn=43-2=7(i-4-*)o

IT3|对于方程

冈

取x=0,则y=4,z=-lo即点(0,4,・1)在平面J上,则Fh的方程为x-0・2(y・

4）-（z+I）=0,即x・2y・z+7=0。L在口上的投影既在平面门上又在平面口1上，因此即

为所求。

13、设f(X,y)二e"+“"T产，则fx(l,0)=o

标准答案：2

知识点解析:由题干可知f(x,0)=x2,则fx(x,0)=2x<,故fx(l,0)=2o

14、设L是正向圆周x?+y2=9,则曲线积分“2xy-2y)dx+(x2-4x)dy=.

标准答案：・18兀

知识点解析：由格林公式知

f(2xy-2y)dx+(x2-4x)dy=J(2x-4-2x♦2)d(r

Lx2+/w9

=-2Jda=-18iro

J

15、设得级数」।的收敛半径为3,则累级数^的收敛区间为

标准答案：（-2,4）

知识点解析：根据塞级数的性质：对原基级数逐项求导后得

[=£叫/"

方，收敛半径不变，因此有

i叫（一1尸=（-1）4叫（4-1尸，

用"w,其收敛区间为Ix-lI<3,即（-

2,4）o

16、二阶常系数非齐次线性方程y--4y94-3y=2e2x的通解为。

x3x2x

标准答案：y=Cie+C2e-2e

知识点解析：特征方程为/_4r+3=0,解得口=1,r2=3。由于a=2不是特征根，可

设原方程的特解为y*=ke2x,代入原方程可得k=2。故通解为y=C1eZ+C2e3x_2e2x。

三、解答题（本题共9题，每题1.0分，共9分。）

17、求函数f（x尸怏间断点，并指出类雪

标准答案：函数f（x）的间断点只有x=0和x=l。

।*ln|4|1"”c

因为lim/(x)=liminx=lim—：-----=lim------=U,

*7i・1・・.7MB1

XX

sinl,x—►I,,

{-sinl,x—►1",

所以x=0为可去间断点：x=l为跳跃间断点。

知识点解析：暂无解析

lim（3+=3.

18、设函数f（x）在x=0处二阶可导，且满足“或”，/1。求

f（o）,f（o）与r‘（o）。

标准答案：由题设可知

四（加）+卜则军+匕寿•X23=0.

•x=0.

从而

/（。）=1W⑴

二回/（，）+匕守卜城一-瓦

«.1-VvOs2x..1-cos2xI

=-hm-----------------=-hm-------------------------丁--•=0.

7"IX1+

广(0)=limAf.)-/(°)

X-0

=+1~lim1二^^

I+v/cos2x

1..2sin2x

hm-----

2i2x

广(0)=2呷匕UI。左=2岬(《*+j)

=2闻号,弋碎卜

+2面-师Q

1x

c2sin2x

2x----------------

/2t.2«/cos2x

=6+-hm--------?-----------

3Ix2

,2..2x/cos2x-sin2x

=6+~hm\■------

3，《x/cos2x

_人32[2x(-/cos2x-1)..2x-sin2x

=o+Vhm————z----------+hm-------z------

J.，9X•・9

=64-1[]加2(河石T)+lim1-*]

5l—XI%J

22cos2%—1+%I-cos2xj_

=6+-z-lim---------

311i+/cos2%XIXi

知识点解析：暂无解析

19、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=L证明必存在。

r)£(a,b),使得「一勺f(n)+f(r|)]=l。

标准答案:设F(x)=eXf(x),由F(x)及ex在⑶b]上连续，在(a,b)内可导，均满足

拉格朗日中值定理条件,因此，存在自，n&a，b),使得F(b)-F(a)=ebf(b)-eaf(a)

=F,(r|)(b-a)=en[f(r|)+f(r|)](b-a),eb-ea=e^(b-a)o将以上两式相比，且由

f(a)=f(b)=l,整理后有eT/)+r(n)]=l°

知识点解析：暂无解析

20、设f(x)在[a,b]上有连续的导数，证明

max||/(x)||[7(4)dx|♦|dx

；。用0-G1JoIJa

max

标准答案：可设【•用(If(x)I)=If(X0)I，即证

z

(6-a)|/(x0)|W|p(x)dx|+(6-a)£|/(x)|dxt

即{7(x0)dx|-|£/(z)dz(b-a)£\f\x)|dxc

事实上，

|^/(x0)dx|-|£/(x)dx|^|£[/(x0)-/(x)]dx

=[If广⑴市拄卜。[夕(£)1市.

=l/*(x)|dx,故得

证。

知识点解析：暂无解析

xy――)+R)

21、设z』s%,其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，

dz

求My

标准答案：根据复合函数的求导公式，有

于是

悬=小>;)号仆“温-5㈤-*-鲍

=/I-4/2+X?fn-p-/22-*-麓Q

知识点解析：暂无解析

22、求函数f(x,y)=x?+2y2-x2y2在区域D={(x,y)Ix2+y2<4,y>0,x^O}上的最大

值和最小值。

曳=24-2xy2=0,

-7.-4y-2x2y=0

标准答案：先求D内的驻点及相应的函数值，由得f(x,y)

在D内有一个驻点回=2。再求f(x,y)在D的边界上的最大值与最小值，D的边

界由三部分组成：一是线段「1：y=0,0<x<2,在「1上f(x,y)=x2(0<x<2),最小

值为0,最大值为4。二是线段「2：x=0,0<y<2,在「2上f(x,y)=2y2(0<y<2),

最小值为0,最大值为8。三是上半圆周口：y2=4-x2(0<x<2),在「3上f(x,

2222242

y)=x+2(4-x)-x(4-x)=8-5X+Xh\x)=,由厅