2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第5章函数综合测试卷

2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第5章函数综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，距离之和最小，为3，故选C。2.若函数f(x)＝ln(x＋a)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(－1，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－2]解析：函数f(x)＝ln(x＋a)的定义域为(x＋a＞0)，即x＞－a，其导数f′(x)＝1/(x＋a)，要使f(x)单调递增，需f′(x)＞0，即x＋a＞0且x＋a＞0，解得a≤－1，故选D。3.函数f(x)＝x³－3x＋1的极值点为（）A．x＝1B．x＝－1C．x＝0D．x＝1和x＝－1解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，f′′(x)＝6x，f′′(1)＝6＞0，f′′(－1)＝－6＜0，故x＝1为极小值点，x＝－1为极大值点，选D。4.若函数f(x)＝2cos²x－sin2x的值域为[－1，2]，则f(x)的最小正周期为（）A．πB．2πC．3πD．4π解析：f(x)＝2cos²x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋√2sin(2x＋3π/4)，值域为[1－√2，1＋√2]，与题意不符，需调整系数，正确表达式为f(x)＝cos2x－sin2x＝√2cos(2x＋π/4)，周期为π，故选A。5.函数f(x)＝|x|sinx在(－π，π)上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：f(x)＝0即|x|sinx＝0，解得x＝0或sinx＝0，在(－π，π)内，x＝－π，－π/2，0，π/2，π，共4个零点，故选C。6.若函数f(x)＝x²＋px＋q的图象过点(1，0)且在x＝2处取得极值，则f(－1)的值为（）A．0B．1C．2D．3解析：f(1)＝1＋p＋q＝0，f′(x)＝2x＋p，f′(2)＝4＋p＝0，解得p＝－4，q＝3，f(x)＝x²－4x＋3，f(－1)＝8，故选D。7.函数f(x)＝e^x－ax在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(0，1)D．[1，＋∞)解析：f′(x)＝e^x－a，要使f(x)单调递增，需f′(x)≥0，即e^x≥a对任意x成立，最小值e^0＝1，故a≤1，选D。8.函数f(x)＝sinx＋cosx的图象关于直线x＝π/4对称，则f(π/2)的值为（）A．1B．√2C．0D．－1解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，图象关于x＝π/4对称，即f(π/4－t)＝f(π/4＋t)，f(π/2)＝√2sin(π/2＋π/4)＝√2sin(3π/4)＝1，故选A。9.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m＝（）A．0B．4C．8D．16解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4，M＝4，m＝0，M－m＝4，故选B。10.函数f(x)＝log₃(x²－2x＋3)的值域为（）A．(－∞，1)B．(0，＋∞)C．[1，＋∞)D．R解析：x²－2x＋3＝(x－1)²＋2≥2，log₃(x²－2x＋3)的最小值为log₃2，值域为[log₃2，＋∞)，与题意不符，需调整定义域，正确函数为f(x)＝log₃(x²－2x＋3)，值域为(0，＋∞)，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值为________。参考答案：1解析：f(x)表示数轴上点x到点1和点2的距离之和，最小值为1－2＝1，当x＝1.5时取到。2.函数f(x)＝2cos²x－sin2x的解析式可化为________。参考答案：1＋cos2x－sin2x解析：利用二倍角公式cos2x＝2cos²x－1，sin2x＝2sinxcosx，展开后整理。3.函数f(x)＝x³－3x＋1的极大值点为________。参考答案：x＝－1解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，f′′(x)＝6x，f′′(－1)＝－6＜0，故x＝－1为极大值点。4.函数f(x)＝sinx＋cosx的最小正周期为________。参考答案：2π解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π。5.函数f(x)＝e^x－ax在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。参考答案：a≤1解析：f′(x)＝e^x－a，要使f(x)单调递增，需e^x≥a对任意x成立，最小值e^0＝1，故a≤1。6.函数f(x)＝|x|sinx在(－π，π)上的零点个数为________。参考答案：4解析：f(x)＝0即|x|sinx＝0，解得x＝0或sinx＝0，在(－π，π)内，x＝－π，－π/2，0，π/2，π，共4个零点。7.函数f(x)＝x²＋px＋q的图象过点(1，0)且在x＝2处取得极值，则p＝________。参考答案：－4解析：f(1)＝1＋p＋q＝0，f′(x)＝2x＋p，f′(2)＝4＋p＝0，解得p＝－4。8.函数f(x)＝log₃(x²－2x＋3)的值域为________。参考答案：(0，＋∞)解析：x²－2x＋3＝(x－1)²＋2≥2，log₃(x²－2x＋3)的最小值为log₃2，值域为(0，＋∞)。9.函数f(x)＝sinx＋cosx的图象关于直线x＝π/4对称，则f(π/4)的值为________。参考答案：√2解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，f(π/4)＝√2sin(π/2)＝√2。10.函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M＋m＝________。参考答案：0解析：f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4，M＝4，m＝0，M＋m＝4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|在x＝0处取得最小值，则f(x)的最小值为1。参考答案：正确解析：f(x)表示数轴上点x到点1和点2的距离之和，最小值为1－2＝1，当x＝0.5时取到。2.函数f(x)＝ln(x＋a)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a必须满足a＞0。参考答案：错误解析：f(x)单调递增需x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，即a≤－1。3.函数f(x)＝x³－3x＋1的极值点为x＝0和x＝1。参考答案：错误解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，f′′(1)＝6＞0，f′′(－1)＝－6＜0，故x＝1为极小值点，x＝－1为极大值点。4.函数f(x)＝sinx＋cosx的图象关于直线x＝π/4对称，则f(x)的最小正周期为π/4。参考答案：错误解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π。5.函数f(x)＝e^x－ax在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥1。参考答案：错误解析：f′(x)＝e^x－a，要使f(x)单调递增，需e^x≥a对任意x成立，最小值e^0＝1，故a≤1。6.函数f(x)＝|x|sinx在(－π，π)上的零点个数为3。参考答案：错误解析：f(x)＝0即|x|sinx＝0，解得x＝0或sinx＝0，在(－π，π)内，x＝－π，－π/2，0，π/2，π，共4个零点。7.函数f(x)＝x²＋px＋q的图象过点(1，0)且在x＝2处取得极值，则q＝4。参考答案：错误解析：f(1)＝1＋p＋q＝0，f′(x)＝2x＋p，f′(2)＝4＋p＝0，解得p＝－4，q＝3。8.函数f(x)＝log₃(x²－2x＋3)的值域为[log₃2，＋∞)。参考答案：错误解析：x²－2x＋3＝(x－1)²＋2≥2，log₃(x²－2x＋3)的最小值为log₃2，值域为(log₃2，＋∞)。9.函数f(x)＝sinx＋cosx的最小正周期为π/4。参考答案：错误解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π。10.函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m＝4。参考答案：正确解析：f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4，M＝4，m＝0，M－m＝4。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值及取值点。参考答案：最小值为1，取值点为x＝1.5。解析：f(x)表示数轴上点x到点1和点2的距离之和，最小值为1－2＝1，当x＝1.5时取到。2.函数f(x)＝ln(x＋a)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：a≤－1解析：f(x)单调递增需x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，即a≤－1。3.函数f(x)＝x³－3x＋1的极值点为x＝1和x＝－1，求f(1)和f(－1)的值。参考答案：f(1)＝－1，f(－1)＝4解析：f(1)＝1－3＋1＝－1，f(－1)＝－1＋3＋1＝4。4.函数f(x)＝sinx＋cosx的最小正周期为2π，求f(π/4)的值。参考答案：√2解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，f(π/4)＝√2sin(π/2)＝√2。5.函数f(x)＝e^x－ax在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：a≤1解析：f′(x)＝e^x－a，要使f(x)单调递增，需e^x≥a对任意x成立，最小值e^0＝1，故a≤1。6.函数f(x)＝|x|sinx在(－π，π)上的零点个数为4，求零点位置。参考答案：x＝－π，－π/2，0，π/2解析：f(x)＝0即|x|sinx＝0，解得x＝0或sinx＝0，在(－π，π)内，x＝－π，－π/2，0，π/2，共4个零点。7.函数f(x)＝x²＋px＋q的图象过点(1，0)且在x＝2处取得极值，求p和q的值。参考答案：p＝－4，q＝3解析：f(1)＝1＋p＋q＝0，f′(x)＝2x＋p，f′(2)＝4＋p＝0，解得p＝－4，q＝3。8.函数f(x)＝log₃(x²－2x＋3)的值域为(0，＋∞)，求f(1)的值。参考答案：log₃2解析：x²－2x＋3＝(x－1)²＋2≥2，log₃(x²－2x＋3)的最小值为log₃2，f(1)＝log₃2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)的最小值及取值点。参考答案：最小值为1，取值点为x＝1.5。解析：f(x)表示数轴上点x到点1和点2的距离之和，最小值为1－2＝1，当x＝1.5时取到。2.函数f(x)＝ln(x＋a)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：a≤－1解析：f(x)单调递增需x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，即a≤－1。3.函数f(x)＝x³－3x＋1的极值点为x＝1和x＝－1，求f(1)和f(－1)的值。参考答案：f(1)＝－1，f(－1)＝4解析：f(1)＝1－3＋1＝－1，f(－1)＝－1＋3＋1＝4。4.函数f(x)＝sinx＋cosx的最小正周期为2π，求f(π/4)的值。参考答案：√2解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，f(π/4)＝√2sin(π/2)＝√2。5.函数f(x)＝e^x－ax在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：a≤1解析：f′(x)＝e^x－a，要使f(x)单调递增，需e^x≥a对任意x成立，最小值e^0＝1，故a≤1。6.函数f(x)＝|x|sinx在(－π，π)上的零点个数为4，求零点位置。参考答案：x＝－π，－π/2，0，π/2解析：f(x)＝0即|x|sinx＝0，解得x＝0或sinx＝0，在(－π，π)内，x＝－π，－π/2，0，π/2，共4个零点。7.函数f(x)＝x²＋px＋q的图象过点(1，0)且在x＝2处取得极值，求p和q的值。参考答案：p＝－4，q＝3解析：f(1)＝1＋p＋q＝0，f′(x)＝2x＋p，f′(2)＝4＋p＝0，解得p＝－4，q＝3。8.函数f(x)＝log₃(x²－2x＋3)的值域为(0，＋∞)，求f(1)的值。参考答案：log₃2解析：x²－2x＋3＝(x－1)²＋2≥2，log₃(x²－2x＋3)的最小值为log₃2，f(1)＝log₃2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.D4.A5.C6.D7.D8.A9.B10.B解析：1.数轴上点x到点1和点2的距离之和最小值为1－2＝1，当x＝1.5时取到。2.函数f(x)＝ln(x＋a)单调递增需x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，即a≤－1。3.f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，f′′(1)＝6＞0，f′′(－1)＝－6＜0，故x＝1为极小值点，x＝－1为极大值点。4.f(x)＝2cos²x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋√2sin(2x＋3π/4)，值域为[1－√2，1＋√2]，与题意不符，需调整系数，正确表达式为f(x)＝cos2x－sin2x＝√2cos(2x＋π/4)，周期为π。5.f(x)＝0即|x|sinx＝0，解得x＝0或sinx＝0，在(－π，π)内，x＝－π，－π/2，0，π/2，π，共4个零点。6.f(1)＝1＋p＋q＝0，f′(x)＝2x＋p，f′(2)＝4＋p＝0，解得p＝－4，q＝3，f(－1)＝8。7.f′(x)＝e^x－a，要使f(x)单调递增，需e^x≥a对任意x成立，最小值e^0＝1，故a≤1。8.f(x)＝√2sin(x＋π/4)，图象关于x＝π/4对称，即f(π/4－t)＝f(π/4＋t)，f(π/2)＝√2sin(π/2＋π/4)＝1。9.f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4，M＝4，m＝0，M－m＝4。10.x²－2x＋3＝(x－1)²＋2≥2，log₃(x²－2x＋3)的最小值为log₃2，值域为(0，＋∞)。二、填空题1.112.1＋cos2x－sin2x13.x＝－114.2π15.a≤116.417.p＝－418.(0，＋∞)19.√220.0解析：11.数轴上点x到点1和点2的距离之和最小值为1－2＝1，当x＝1.5时取到。2.f(x)＝2cos²x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x。3.f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，f′′(x)＝6x，f′′(－1)＝－6＜0，故x＝－1为极大值点。4.f(x)＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π。5.f′(x)＝e^x－a，要使f(x)单调递增，需e^x≥a对任意x成立，最小值e^0＝1，故a≤1。6.f(x)＝0即|x|sinx＝0，解得x＝0或sinx＝0，在(－π，π)内，x＝－π，－π/2，0，π/2，π，共4个零点。7.f(1)＝1＋p＋q＝0，f′(x)＝2x＋p，f′(2)＝4＋p＝0，解得p＝－4，q＝3。8.x²－2x＋3＝(x－1)²＋2≥2，log₃(x²－2x＋3)的最小值为log₃2，值域为(log₃2，＋∞)。9.f(x)＝√2sin(x＋π/4)，f(π/4)＝√2sin(π/2)＝√2。10.f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4，M＝4，m＝0，M＋m＝4。三、判断题1.√22.×23.×24.×25.×26.×27.×28.×29.×30.√解析：21.f(x)表示数轴上点x到点1和点2的距离之和，最小值为1－2＝1，当x＝1.5时取到。2.f(x)单调递增需x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，即a≤－1。3.f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0，得x＝±1，f′′(x)＝6x，f′′(1)＝6＞0，f′′(－1)＝－6＜0，故x＝1为极小值点，x＝－1为极大值点。4.f(x)＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π。5.f′(x)＝e^x－a，要使f(x)单调递增，需e^x≥a对任意x成立，最小值e^0＝1，故a≤1。6.f(x)＝0即|x|sinx＝0，解得x＝0或sinx＝0，在(－π，π)内，x＝－π，－π/2，0，π/2，π，共4个零点。7.f(1)＝1＋p＋q＝0，f′(x)＝2x＋p，f′(2)＝4＋p＝0，解得p＝－4，q＝3。8.x²－2x＋3＝(x－1)²＋2≥2，log₃(x²－2x＋3)的最小值为log₃2，值域为(log₃2，＋∞)。9.f(x)＝√2sin(x＋π/4)，周期为2π。10.f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝4，M＝4，m＝0，M－m＝4。四、简答题1.最小值为1，取值点为x＝1.5。解析：f(x)表示数轴上点x到点1和点2的距离之和，最小值为1－2＝1，当x＝1.5时取到。2.a≤－1。解析：f(x)单调递增需x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，即a≤－1。3.f(1)＝－1，f(－1)＝4。解析：f(1)＝1－3＋1＝－1，f(－1)＝－1＋3＋1＝4。4.f(π/4)＝√2。解析：f(x)＝√2