北京市平谷区2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市平谷区高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.若向量=（1，-2），=（x，4）满足⊥，则实数x等于（）A.8 B.-8 C.2 D.-22.已知△ABC中，BC=4，AC=2，，则AB=（）A.12 B. C. D.3.在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，且CE=2EB，则=（）A. B.

C. D.4.在复平面内，复数z=i（3-4i）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知向量，，在正方形网格中的位置，如图所示.则（+）•=（）A.2

B.8

C.6

D.3

6.随着我国航空航天事业的蓬勃发展，不少高中生对航天相关知识有了浓厚的兴趣.为普及航天科普知识，某校组织学生前往中国航天博物馆参观学习.为了解学习效果，随机抽取10名学生，让他们在学习前和学习后各测试一份航天科普知识问卷，他们的正确率如图：

下列说法正确的是（）A.参观学习前问卷答题的正确率的中位数小于50%

B.参观学习后问卷答题的正确率的平均数大于70%

C.参观学习后问卷答题的正确率的标准差大于参观学习前问卷答题的正确率的标准差

D.参观学习后问卷答题的正确率的极差大于参观学习前问卷答题的正确率的极差7.已知平面α，β，直线l,若α⊥β，α∩β=l,则（）A.平面α内的直线与β内的直线属于异面直线

B.垂直平面β的直线一定平行平面α

C.平行平面β的直线一定垂直平面α

D.垂直直线l的平面一定与平面α，β都垂直8.有两位同学做测绘实践活动.如图，测量河对岸的山高BD时，选取同山底D在同一平面的两个测量点A与C.现测出AC的距离为50m,∠ACD=45°，∠CAD=105°，又在点A处测得山顶B的仰角为60°，则山高BD约为（参考=2.449…）（）A.40.8m

B.70.7m

C.122.5m

D.119m9.在△ABC中，AB=2，点E满足，且，则△ABC是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为AB的中点，点F为棱C1D1上的动点，则下列结论错误的是（）A.三棱锥F-CDE的体积为

B.CB1⊥平面D1EF

C.存在点F，使得CF∥平面DEB1

D.点E到直线CF的距离的最小值为

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.某高中一、二、三年级学生参加社团活动的人数分别为500，300，300，现用分层抽样的方法从中抽取110人参加艺术节表演，则抽出的高一年级学生人数为

.12.已知A（0，1），B（3，-2），且，则的坐标为

.13.已知复数z=，则|z|=

.14.已知，是单位向量，且•=0，设=m+.若⟨，⟩=，则m=

；若-1≤m≤2时，|-|的最大值为

.15.已知边长为2的菱形ABCD，，如图所示，将△ABD沿着BD折起至△A′BD.给出以下4个结论；

①三棱锥A′-BCD的体积最大值为1；

②存在A'，使得BC⊥DA'；

③若二面角A'-BD-C所成的平面角为，则点A′到平面BCD的距离为；

④异面直线BD与A'C的距离最大值为.

其中结论正确的序号为

.

三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP=∠CDP=90°，E为线段PC的中点.

（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PAD.17.(本小题14分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b,c,且，a=2.

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若，求△ABC的面积.18.(本小题13分)

某校组织高一、高二年级学生开展手工艺术展活动，老师对参展的作品进行打分评比，现分别从这两个年级随机抽取50件作品的成绩.高一年级的作品成绩整理成频率分布直方图，高二年级的作品成绩整理成频数统计表.规定：得分不低于90分的作品为优秀作品.高二年级得分分组频数[75，80）6[80，85）16[85，90）12[90，95）14[95，100）2合计50（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）分别估计高一、高二年级手工艺术作品的优秀率；

（Ⅲ）记高一、高二年级抽取的50件手工艺术作品成绩的方差分别为，，试比较，的大小.（不需写过程，直接写出结论）19.(本小题15分)

如图，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，平面BCE⊥平面ABCD，BE⊥BC，BE=2，M、N分别是AE、BC中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）证明：MN∥平面DCE；

（Ⅲ）求三棱锥M-DCE的体积.20.(本小题15分)

在△ABC中，acosB+b=c,b=6.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求AB边上中线的长.

条件①：AC边上的高为2；

条件②：a=2；

条件③：△ABC的面积为.

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】50

12.【答案】（2，-2）

13.【答案】

14.【答案】3

15.【答案】①②③

16.【答案】证明：（Ⅰ）连接AC，BD，AC∩BD=O，

因为ABCD是平行四边形，则O为AC中点，连接OE，

又因为E为PC中点，所以OE∥PA，OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

所以PA∥平面BDE．

（Ⅱ）因为∠BAP=∠CDP=90°，

所以AB⊥AP，CD⊥PD，

四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，

所以AB⊥PD，

又PA∩PD=P，PAC平面PAD，PD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PAD．

17.【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理得，

所以asinC=csinA=，结合a=2，可得sinC=，

因为角C为锐角，所以C=；

（Ⅱ）若，则csinA==，可得sinA=，

结合A为锐角，可得cosA==，

所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，

可得=．

18.【答案】解：（Ⅰ）根据题意可得（0.032+0.048+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.04；

（Ⅱ）估计高二年级手工艺术作品的优秀率为=32%；

估计高一年级手工艺术作品的优秀率0.04×5+0.02×5=30%；

（Ⅲ）对比频率分布表与频率分布直方图可知高一的数据更集中些，

所以＜．

19.【答案】解：（Ⅰ）证明：因为平面BCE⊥平面ABCD，BE⊥BC，

且平面BCE∩平面ABCD=BC，BE⊂平面BCE，

所以BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，

所以AC⊥BE，

又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又BE∩BD=B，

所以AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）证明：取DE中点F，连接MF，CF，

又M、N分别是AE、BC中点，四边形ABCD为菱形，

所以MF平行且等于AD的一半，NC平行且等于AD的一半，

所以MF平行且等于NC，

所以四边形MNCF为平行四边形，

所以MN∥FC，又MN⊄平面DCE，FC⊂平面DCE，

所以MN∥平面DCE；

（Ⅲ）因为M为EA的中点，

所以三棱锥M-DCE的体积为：

=

==．

20.【答案】（I）由正弦定理及已知条件，

得．

因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinB，

即．

因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以．

又因为A∈（0，π），所以；

（Ⅱ）若选择条件①：设AC边上的高为h,则=．

由题意知，所以，解得c=4．

此时b=6，c=4，，三角形存在且唯一．

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=62+42-2×6×4×，

所以．

设AB边上的中线长为m,由中线长公式得：；

若选择条件②：，代入余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得