高一数学下册预习平面向量的运用知识点梳理

平面向量的运算

知识点梳理及巩:S

高一（下）数学

巴6.1平面向量的运算

白知识点总结

1、向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

(1)交换律：a+b=b+a

求两个向量苏声

加法(2)结合律：

和的运算三角形法则平行四边形法则

(a+b)+c=a+(b+c)

求。与b的

相反向量z2r

减法-b的和的aa-b=a+(-b)

运算叫做a三角形法则

与匕的差

|1=12||a|;当人>0时，〃的方网

求实数人与2(*/)=(切。；

与“的方向相同；当入<0时，4,的方

数乘向量。的积(4+jii)a=Aa+pa;

向与a的方向相反；当入=0时，

的运算A(a+b)=Aa+Ah

Aa=0

2、向量加法的多边形法则

多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，。〃c表示从始点指向终点的向量，

只关心始点、终点.

3、向量0)与匕共线的充要条件是：存在唯一个实数，使6…

4、平面向量数量积的有关概念

()向量的夹角：已知两个非零向量和，记-=,-=，则=

1abOAaOBbZAOB6(00<0<180°)

叫做向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0,则a与b的数量积(或内

积)a・b=|a||b|cosO.规定：零向量与任一向量的数量积为0,即0口=0.

(3)数量积的几何意义：数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向的投影|b|cos0的乘积

(4)两个向量a,b的夹角为锐角oa-b>0且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为钝角«a-b<0且a,b不共线.

5、平面向量数量积的运算律

(I)a-b二ba(交换律).

(2)Xab=Mab)=aQb)(结合律).

(3)(a+b)c=a-c+b.c(分配律).

6、平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a+b)-(a-b)=a2-b2

(2)(a+b)2=a2+2ab+b2

(3)(a-b)2=a2-2a-b+b2

但］经典例题

题型一平面向量的加减法

【例I】如图，在平行四边形A"C。中，下列结论中错误的是()

ZXR「n

.AB=DC.AD+AB=AC.AB-AD=BD.AD+CB=0

【答案】C

【分析】根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.

【详解】在平行四边形ABCD中.显然有AB=DC,AD+CB=0，故A.D正

确;根据向量的平行四边形法则，可故B正确根据向量的三角

形法,A8-A。=QA菽C错误;故选C.

,延伸练习

列四式不能化简为左。的是()

A--------------

.MB+AD-BMB.(40+MB)-(BC+CM)

D———

C.(AB+CD)+BC.OC-OA-CD

A

【分析】根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案；

3

【详解】对B,(XD+旃宓)猊+■二仍，故B正确；

对c,(加+印)<^&=9+配+力=和，故c正确；

对D,OC-OA+CD=AC+CD=~AD，故D正确；故选：A.

题型二数乘运算

【例21若d,b为已知向量，且一«-°)+(C-力)=，则c=

1n_o

【答案】-二39。

【分析】根据向量的数乘运算法则计算即可.

［详解］+及+15*T25=0,化简得

~3

--8--12-8-p8

\3c=\2b--3a,AT3^-39。古婚案浜a-

g延伸练习

化简:(1)5(%-/)+4侬=3a);

1--5--］

(2)-3(4-2〃丁-4(3〃-劝)-2(”与；

(3)(x+y)*i/-(x-y)«.

【详解】()原式=15。-10b+8b-\2a=3a-2b;

0原式二七片匕节一々",？'：2亓2万=T24+38；

(3)原式=xa+ya-xa+ya=2ya.

题型三共线问题

【例3】在A0/18中，46产=3何+而，且丽=4双,则2=.

【答案】4

【分析】利用平面向量的线性运算，求得加=4乃4,由此求得A的值

【详解】因为40P=304+0B,所以30P-30A=OB-OP,所以3AP=PB'

又BP=BA-PA，所以8A=4PA，所以4=4'

故答案为：4

4

g延伸练习

设乙工是不共线的两个三臂向量，己矩加二27+而,~BC=ti+l^D=a-2h，若

A,B,D三点共线，则〃的值为（）

A1B2C-2D-1

【答案】D

【分析】因为A,B,D,故存在实数A,使得/W=24。，利用平面向量基本定理可得

关于4p的方程组,从而可求P.

【详解】因为A,8,C,故存在实数2,使得方=痂，又而=2a-b,

题型四投影问题

心•»】已知一为~个单位向量，-与冏夹角是120,若一在•上的投影向■为-2则

II-_____-

【答案】4

【分析】根据平面向量数量积定义，结合投影概念即可求解.

【详解】％为一个单位向量％与e的夹角是120。

由平面向量数量积定义可得。7=|4x1xcos1200=-2,

pi（11--

根据平面向量投影定义可得k^--\e=-2e.

11I2j

.•.同=4.故答案为:4

@延伸练习

设向量：b满玮%=2,口=1,且7〃；b）,则向量b在向量aF2b上的投影的数量

为（）

11

A.IB.-1C.-~2D.~2

【答案】D

【分析】根据否，工人）利用垂直数量积为0求得万/三-〃2=-1再根据投影的公式代

入求解即可.

【详解】丁•!•(1+%)

b-(a+1，=a,b+b=,

—•—•—•_

a-b=-h-=-1

(a+/?)=«­/?+/?=,a|+2b=4万2；4a「。:2,

--b)

.•・向量b在向量a+2b上的投影的数量为=一故定：D.

\pa+b

题型四数量积

【例4】已知向量a,%,其中工，14=2，且(。+方)1。,则向量3和5的夹角

是.

【答案】且

6

【分析】利用(a”)_La相(11力彳=,可求出夕一3,从而求出向量G

和b的夹角.

【详解】:(〃+♦)山,工(〃+))4=4+4/=Jx(ah}=,

--13

解得：cosY〃)\=­2,

G瓦q乃］所以夹角为V.故答案为：立6不

g延伸练习

-♦T—TT/C-*-♦

已知a，〃为单位向量，c=24-〃，且＜a,/?〉=3'则〈a,c)=

【答案屋

【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.

〃•ca(2a-b)2a-a•b_______""3£

【详解】因为cos〈“，c〉=

IaI■IcI\2a-b\I~~~~~~2I卫2

'(2a-b)y4+1-4cos3

一-71n

又0%，…〉所以〈*c〉=不，故答案为：7

6

题型五向量与三角形形状

【例5】点P是\ABC所在平面上一点，满足PB-PC'\朋+PC-2PAl=0,则

MBC的形状是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出荷•4=0,由此可判断出

A48C的形状.

【详解】点P是AA8C所在平面上一点，满周历一困一厘+元二2所卜0,

则|P8-PC=P/|+*-2PA,可得|----1=|即-

1,AS-AC=AC+A8r-iri

等式日”4cLI。+43南边平方并化简得A晨AO=0,/WiAC,

因此，AA3C是直角三角形.故选：B.

@延伸练习

在A/WC中，已知向量箱与AC满足（*■+笠）1■窿且些.屋-=一，则

|A8|\AC\ABAC

A4BC是0

A.三边均不相同的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

【答案】D

।/I

AB

【分析】国和是两个单位向量，设网同=初，则AO是/胡c的平分

ABAC

线，由此可得ADLBC,从而确定三角形是等腰三角形，再由向•南=一，求出

N84C即可判断.

【详解】设9+4T=些，加和而是两个单位向量，A。是的平

画画一丁画网ZBAC

分线，由题意人Dj.8C，:.M8C是等腰三角形，

~AB.ACI17：

\AB\|AC|IxlxcosZBAC=2,BPcosZBAC=2，工^BAC=3,

・••A48C是等边三角形，故选：D.

7

题型六“五心”问题

H列6】0是平面上一定点，48,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

[+oo）,则P点的轨迹一定经过的（）

C.重心D.垂心

【答案】

B

ABAC-

【分析】先根据------、——分别表示向量A8、AC方向上的单位向量，确定

\AB\|AC

(..1

ABAC.-IABAC'

的方向与/HAC的角平分妓一致,再由。P=QA+〃|_____+______I可得到

\AB\|AC\

旧卜IJ

OP-OA-4P-/JI可行答案.

ABAC

【详解】解：:一：—、—L分别表示向量V、AC方向上的单位向量，

\AB\\AC

\AB7

ABAC

-------+--------的方向与N8AC的角平分线一致，又•/OP=04+nI____+____I,

IAB\MCI

--IABAC1

OP-OA=AP=/i\------+pj------I,

IABAC।

.,・向量AP'的方向与/加。的角平分线一致

尸点的轨迹一定经过单3。的内心.故选：B.

6延伸练习

已知。为△内一点，若分别满足①伊卜*tqq②

（其中

OAOB=OBOC=OCOA@O4+O8+OC=0;®aOA+bOB+cOC=

的I)

8

A.内心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、内心

C.外心、内心、重心、垂心D.内心、垂心、外心、重心

【答案】B

：：W0,丹西再。到£4BC的距差峥即可列卡，

对Q,9吟量的❸如％EJIOJ30丽一己,oi_5C,OC-aS3可，，防

对G.由lur性！5与截费用0*M，厮*历.

灯②，板窗宇跖跳必性应,可备而・——暑•幽,滋而可知。S.JSC三个角的角不分篦tfiP可正明

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