高考数学题集汇集

高考数学题集汇集（1）

设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AUB,则集合Cu(APB)

中的元素共有()

解：AUB={3,4,5,7,8,9},

AAB={4,7,9).\Cu(AAB)={3,5,8}故选A.

也可用摩根律：［u(AHB)=(CuA)U(CuB)

己知双曲线（a>0,b>0）的渐近线与抛物线y=x2+l相切，则该双

曲线的离心率为（）

22.

解：由题双曲线Wl（a>0,b>0）的一条渐近线方程为行卫士

才「a

代入抛物线方程整理得ax2-bx+a=O,

因渐近线与抛物线相切，所以b2-4M=0,

甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙

两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（）

解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31・C62=225种选法；

（2）乙组中选出一名女生有C52・C6】・C21二120种选法.故共有345种选法.

已知二面角a-I-0为60。，动点P、Q分别在面a、B内，P到B的距离为

Q到a的距离为2f，则P、Q两点之间距离的最小值为（）

解：如图

分别作QA_La于A,AC_U于C,PB_LB于B,PD_LI于D,

连CQ,BD则NACQ=/PDB=60°,AQ=2娟，BP二击，

又<PQ=VAQ2+AP2=712+AP2>273

当且仅当AP=O,即点A与点P重合时取最小值.

在aABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且

sinAcosC=3cosAsinC)求b.

解：法一：在Z^ABC中•.•sinAcosC=3cosAsinC,

则由正弦定理及余弦定理有:

222222

a+b-cb+c-a

a*-2^b-=3-2bc。

化简并整理得：2(a2-c2)=b2.

又由己知a2-c2=2b/.4b=b2.

解得b=4或b=0(舍)；

法二：由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccosA.

又M・c?=2b,b#0.

所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC,

即sinB=4cosAsinC由正弦定理得sing二^sinC，

c

故b=4ccosA②由①，②解得b=4.

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形,SD底面ABCD,AD=A/2,DC=SD=2,

点M在侧棱SC上，ZABM=60°

(I)证明：M是侧棱SC的中点；

(0)求二面角S-AM-B的大小.

证明：(回)作MN〃SD交CD于N,作NE_LAB交AB于E,

连ME、NB,WJMNlffiABCD,ME1AB,NE=AD二加

设MN=x,则NC=EB=x.

在RTz^MEB中，・・・NMBE=60°，ME=6x.

在RTAMNE中由ME2=NE2+MN2A3x2=x2+2

解得x=l,从而SD**•M为侧棱SC的中点M.

(团)证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz,

则A(加,0,0),B(V2，2,0),C(O,2,0),S(0,0,2：,

设M(0,a,b)(a>0,b>0),

WBA=(0,-2,0),而二(3，a-2,b),SM=(0,a,b-2)，SC=(0,2,-2)，

cos<BABM

由题得_2,

sii//SC

'-2(a-2)_1

即，2-7(a-2)2+b2+22

-2a=2(b-2)

解之个方程组得a=l,b=l即M（0,1,1）

所以M是侧棱SC的中点.

(I)证法三：®SM=XMC,

则M(0,徐,/)，靛=(&‘青’会)

又屈二(0,2,0),<HB,AB>=60°

故元•宜二|而|・|屈|cos60°，

即合.2+（含「+（看）2,

解得人=1,所以M是侧棱SC的中点.

（团）由（团）得M（0,1,1）,应二（加，-1,-1），

又谷(诋0,2)，AB=(0,2,0)，

或n।(x।>y।>Z]),n2=(x2>y29Z2）分别是平面SAM、MAB的法向量,

、・MA:0n2*MA=0

则—•—•且—»—,

n{•AS=0n2*AB=0

y

^2^i-yi-£i=0^(V2^2~2一工2=0

即

X[+2z]=02y2=0

分别令x］二x之二得z1=l，yi=l»丫2=0，Z2=2,

即巴二（血，1,1）,n2=（V2»0，2），

-*^_2+0+2_V6

,,cos<rij，n2>_^VT=T

二面角S-AM-B的大小7r-arcco9.

已知aABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.

解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB二sinA•些费~+sinB•皿邺~=cosA+cosB,

sinAsinB

AsinA-cosA=cosB-sinB

Asin(A--)=sin(B+冬口，

44

V0<A<n,0<B<n

-2L<A-2L<12L<B+-^2L<22L

44444

.*.A-2LiBi-^2L-n,

44

A+B=-^-,C=n-(A+B)=_ZL

22

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评

审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一

位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，

则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,

复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.

（田）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

（S）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率.

解：(回)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审;

B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

D表示事件：稿件被录用.

则D=A+B・C,

P(A)=0,5X0,5=0.25,

P(B)=2X0.5X0.5=05,

P(C)=0.3,

P(D)=P(A+B・C)

=P(A)+P(B*C)

=P(A)+P(B)P(C)

=0.25+0.5X0.3

=0.40.

(2)记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E,

贝P(E)=(1-0.4)UCJXO/X(1-0.4)3

=0.1296+0.3456

=0.4752,

P(E)=1-0.4752=0.5248,

即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248.

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线I与C相交于A、B

两点，点A关于x轴的对称点为D.

(0)证明：点F在直线BD上；

(0)设瓦・祁求aBDIC的内切圆M的方程.

解：(团)抛物线C：y2=4x①的焦点为F(1,0),

设过点K(-1,0)的直线L：x=my-1,

代入①，整理得

y2-4my+4=0,

设L与C的交点A（xi，yi）,B（X2,丫2），则

yi+y2=4m,yiy2=4,

点A关卜X轴的对称点D为（xi，-yi）.

BD的斜率ki=-l—4m______4

-

x2-xl(吟⑴y2yi

BF的斜率k2=-^-.

-

X2l

要使点F在直线BD上

需ki=k：

需4（x2-1）=y2（yz-yi）.

2

需4x2=y2,

上式成立，/.ki=k2，

・••点F在直线BD±.

(0)FA•FB=(xi-1,yD(X2-I,y2)=(xi-1)(X2-1)+yiy2=(myi-2)(my2

-2)+yiy2=4(m2+l)-8m2+4=8-4m2=-1.,

/.m2=—,m=±—.

93

Y2-V1=716ID2-16=47m2-1=^~1

ki=-^=,BD：y=-^=(x-1).

易知圆心M在x轴上，设为(a,0),M至1卜=>1丫-1和至ijBD的距离相等，即

3

近,

|a+l|x2=|(阜(a-1)|X

54

A4|a+l|=5|a-1|,-l<a<l,

解得a=工.

9

工半径r=2,

3

•••△BDK的内切圆M的方程为（x-1）2+y2=—•

99

已知数列｛an｝中，ai=l,an+i=c--

=4(b+j)»ai=l,故bi=力)2二-1

bn+ln

所以｛为弓｝是首项为-4，公比为4的等比数歹

4n-19

bX4，b=-^--------—

n4“33

(0)ai=l,a2=c-1,由a2>ai得c>2.

用数学归纳法证明：当c>2时an<an-i.

（团）当n=l时，a2=c-->ai，命题成立;

al

(ii)设当n=k时，akVak+i，

1

则当n=k+l时,a，

“卜+2一%+]aLk+1

故由（i）（ii）知当c>2时，an<an-i

当c>2时，令a=c+%5由J=c得<a

ynaR»ion

/anan

当2VcW也•时，an<a^3

3

当::>2时，a>3且lWan<a

3

丁是a-an+1(a-anXy(a-%)

Q-Hn-lW------(Ct-1),

3n

当心1畛^>a-ae<a-3,am>3

因此c>独不符合要求.

3

所以c的取值范围是(2,坨］.

3

小落)(2x1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为()

XX

解：令二项式中的X为1得到展开式的各项系数却为1+a

l+a=2

Aa=l

55

工2)(2」)=(X4^)(2x--)

XXXX

=x(2x-~)+^(2x--)

XXX

151

，展开式中常数项为(2X-L)的1与x的系数和

XX

15

V(2x-—)展开式的通项为Tr+1=(-1)r25rCrx5-2r

X5

令5-2r=l得r=2；令5-2r=-1得r=3

23

展开式中常数项为8C5-4C5=40

由曲线y=F,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()

解：联立方程("得到两曲线的交点(4,2),

ly=x-2

因此曲线户垢，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为：

3_

s=T0(Vx_x+2)dx=(-^-x2-yx2+2x)|j二冬•故选C.

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，ZDAB=60°,AB=2AD.PD

_L底面ABCD.

（团）证明：PA1BD；

（0）若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

（团）证明：因为NDAB=60。，AB=2AD,由余弦定理得BD二五处,

从而BD2+AD2=AB2,故BD_LAD

又PD_L底面ABCD,可得BD_LPD

所以BD_L平面PAD.故PA_LBD

（团）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，

射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则

A（1,0,0）,B（0,M，0）,C（-1,近，0）,P（0,0,1）.

AB=（-1,0）,PB=（0,近，-1）,BC=（-1,0,0）,

r-♦—#

设平面PAB的法向量为（x,y,z）,则E•四二°

n*PB=0

在直角坐标系xOy中，曲线J的参数方程为=2cos0（a为参数）乂是J