高考数学习题及含答案 (四)

普通高等学校招生全国统一考试

数学试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1、圆：1-4x+6y=0和圆：x2+y2-6,r=0A>B两点，则AB的垂直平分

线的方程是（）

A、x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=0

2、圆：/+）,2—2x—2y+l=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）

A、2B、1+V2C、1+—D、I+2V2

2

3、若M、N是两个集合，则下列关系中成立的是（）

A.0SMB.(MflNK"C.(MuN)qND.NS(MUA')

4、若a>b,csR,则下列命题中成立的是（）

A.ac>beB.—>1C.ac2>bc2D.—<—

hab

5、直线x+2y+3=0的斜率和在y轴上的截距分别是()

A.一，和一3B.'和一3C.—工和工D.」和_。

222222

6、不等式打一1|<2的解集是（）

A.x<3B.x>—1C.x<—1或x>3D.-l<x<3

7、下列等式中，成立的是（)

A.sin(--x)=cos(^-A)B.sin(2^+x)=-sinx

22

C.sin(x+2%)=sinxD.cos^r+x)=cosx

8、互相平行的三条直线，可以确定的平面个数是（）

A.3或1B.3C.2D.1

9.已知。表示平面，/，九〃表示直线，下列结论正确的是()

m11

A.若/_L〃,m_L%,则i//mB.若/，%%则/脏

Q若/〃。，加〃a,贝iJ/〃机口若/~La,加〃a,则/，〃？

三+二_]

10.已知椭圆了+不=的焦点分别是「解，点”在椭圆上,如果6加.用"二°,那么

点用到x轴的距离是()

3」

A.0B.6C.-D.1

r

11.等边4ABC的边长为a,过AABC的中心。作0P,平面ABC,且0P=¥a,则

O

点P到aABC的边的距离为()

A.aB.乎aC.乎aD.*a

12.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，给出下列6个函数：

/、sinx(1—sinx)5、

①g(X)=--------:-------；②g(x)=sin(-zJT+x)；③g(x)=

1—sinx2

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

____2

④g(x)=lgsinx⑤g(x)=lg(^/x2+l+x)；@g(x)=ex+]—l。

其中可以使函数F(x)=f(x)-g(x)是偶函数的函数是()

A.①⑥B.①⑤C.⑤⑥D.③⑤

二、填空题(共4小题，每小题5分；共计20分)

1.已知复数3+2i)(l+i)的实部为o,其中i为虚数单位，则实数a的值是—.

2.抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为.

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是百,网,这个长方体对角线

的长是.

4.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+l)+f(x)=l,且当x£[1,2]时，f(x)=2—x,

贝ijf(8.5)=.

三、大题：(满分70分)

1.已知/(x)=|x_a|x+|x_2|(x_4).

(1)当。=1时・，求不等式/(幻＜°的解集；

(2)若。6fl〕时,，(力＜0,求〃的取值范围.

2.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上,BEJLEC1.

q

Di一丈泗

A

(1)证明：BE_L平面EB1C1；

(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥石一区四。。的体积.

3.已知｛凡｝是各项均为正数的等比数列,4=2,4=236.

(1)求｛凡｝的通项公式；

(2)设"=1。殳凡，求数列⑻的前n项和.

4直线小2x+y-4=0,求4关于直线/：3x+4y-l=0对称的直线，2的方程.

5.不论加取什么实数，直线(2加-1)%+(〃2+3))，-(〃7-11)=0都经过一个定点，并求出

这个定点.

6.一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室.为节约经费,

他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出.已知镜框对桌面的

倾角为a（90”avl80。）镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距am、bm

3>/力，学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

参考答案：

一、选择题：

1-5题答案:CBBCD

6-10题答案：DCADB

11-12题答案:BC

9.已知。表示平面，/，九〃表示直线，下列结论正确的是（）

A.若/_L〃,相，〃，则/〃mB,若/J.〃，相_L〃，贝〃_L冽

Q若/〃a,6〃a,则/〃〃7D若/_La,6〃a,则/_L加

D【解析】A,B,C选项，直线1与m相交、平行、异面都有可能；D选项，・・・加〃上,

・,.存在一个平面夕，使得。〃回且〃ZE巴・・・/4，・・・皿/

22

工+汇=1—.一

10.已知椭圆26的焦点分别是耳，&点"在椭圆上，如果书M=o,那么

点M到工轴的距离是（）

372

A.6B.石C.-D.1

22

x।y______

【答案】B【解析】椭圆5十石=,即。=而8=6c=V7彳=2,设点加的坐

标为(知先)，又•.由“书M=0,...点、M又在以原点为圆心,半径为2的圆上，圆方程

i+A=i厂

为八丁=4,即4+)，；=4①，又26"②，联立①②得为=±色点M到X轴的距

离是6

二、填空题：

1、2

2、(2,1)

3、屈

\_

4、2

三、大题：

1.解：(1)当a=1时，/(x)=|x-l|x+lx-2|(x-l)

当/<1时，/(x)=-2(x-l)2<0.当xNl时，/(x)>0

所以，不等式"此<。的解集为(—」).

(2)因为八。)二°,所以。之1.

当a21,x£(-8,1)时，f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-l)<0

所以，〃的取值范围是U，讨).

2.解：(1)由已知得B1C1J_平面ABB1A1,BEu平面ABB1A1,

故

又BEtEQ,所以BE_L平面SG.

(2)由(1)知NBEB1=9O°.由题设知RtAABE^RtAAlBlE,所以“硝二必印二45’,

故AE=AB=3,M=2AE=6

作叫，垂足为F,贝ijEF_L平面叫℃,且EF=AB=3.

3.解：（1）设｛《J的公比为q,由题设得

2,2=4夕+16,gp-2^-8=0

解得4=-2（舍去）或『4.

因此｛（｝的通项公式为《尸2x4”」=2筋，

（2）由（1）得勿二（2〃-l）logj=2〃—1,因此数歹|」也｝的前n项和为1+3+…+2〃一1=〃.

4.直线小2x+y-4=0,求％关于直线/：3x+4y-1=0对称的直线4的方程.

分析：本题可有多种不同的解法，给出多种解法的途径是：一类利用直线方

程的不同形式求解；另一类采用消元思想进行求解.

解法一：由产+34二得丸与/的交点为p（3「2）,显见P也在‘2上.

[3x+4y-l=0

设/，的斜率为我,又丸的斜率为-2,/的斜率为—3,则

4

1+（一当（一2）1+（一和11

44

故4的直线方程为y+2=-5（工-3）.即2x+l1>>+16=0.

解法二：在直线4上取一点42,0）,又设点A关于直线/的对称点为5（.”,），。）,

则

%_0=4

同一2一3，解得8（上一当

3.2+4.丝包—1=0.55

22

故由两点式可求得直线右的方程为2x+ll），+16=o.

解法三：设直线4上一动点关于直线/的对称点为"（x,yj,则

3一3=4

x-x3’

3・。+4,3・1=0.

22

解得X=7X-24），+6,）；'-24x-7y+8

2525

7x-24y+6—24x—7y+8.八日「Ic一必八

显然M'（x,yj在4上，即2.---------——+-------------------4=0,也2x+lly+16=0.

2525

便是所求的直线4的方程.

解法四：设直线上一动点M（x,y），则M关于/的对称点”在直线4上，可设

M的坐标为（须）,4-2%），则

|3x+4y-1|_|3入0+4(4-2x0)-1|

55

y-(4-2x0)=4

x-x03

-(3x+4y1)_3XQ+4(4—2x0)—1

即55

y-(4-2.r0)^4

x-x03

消去用,得2»”+16=0,即此所求的直线/一勺方程.

说明：在解法一中，应注意正确运用“到角公式”，明确由哪条直线到哪条

直线的角.在具体解题时，最好能准确画出图形，直观地得出关系式.在解法四

中，脱去绝对值符号时，运用了平面区域的知识.否则，若从表面上可得到两种

结果，这显然很难准确地得出直线乙的方程.

本题的四种不同的解法，体现了求直线方程的不同的思想方法，具有一定的

综合性.除此之外，从本题的不同解法中可以看出，只有对坐标法有了充分的理

解与认识，并具有较强的数形结合意识，才有可能驾驭本题，从而在解法选择的

空间上，真正做到游刃有余，左右逢源.

5.不论”取什么实数，直线(2加-1口+(加+3))，-(〃11)=0都经过一个定点，并求出

这个定点.

分析：题目所给的直线方程的系数含有字母加，给机任何一个实数值，就可

以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以用为参数的直线系方程.要证明这

个直线系的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出加

的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都

过的定点.

另一思路是由于方程对任意的机都成立，那么就以机为未知数，整理为关于机

的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.

解法一,:对于方程(2m-l)x+(m+3)y-(/n-l1)=0，令〃?=0,得x-3y-ll=0;令"i=l，

得x+4y+10=0.

解方程组得两直线的交点为(2,-3).

x+4y+10=0

将点(2,-3)代入已知直线方程左边，得：

(2m-1)x2+(nt+3)x(-3)-(m-11)=4/n-2-3/n-9-/n+ll=0.

这表明不论相为什么实数，所给直线均经过定点(2,-3).

解法二：将已知方程以,〃为未知数，整理为：

(2x+y—l)〃?+(—x+3y+l1)=0.

由于〃，取值的任意性，有

2x+），-1=0

解得x=2,y=-3.

-x+3y+ll=0

所以所给的直线不论用取什么实数，都经过一个定点(2,-3).

说明：(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次基的系数为0,从而求

出定点.

(2)分别令参数为两个特殊值，得方程组求出点的坐标，代入原方程满足，

则此点为定点.

6.一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室.为节约经费,

他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出.已知镜框对桌面的

倾角为a(90"a<180。)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距。〃八bm

学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

分析：建立如图所示的直角坐标系，A。为镜框边，A3为画的宽度，。为下

边缘上的一点，则可将问题转化为：

已知OA=a,OB=b,在x轴的正方向向上求一点C,使ZAC3取最大

值.

因为视角最大时，从理论上讲，看画的效果最佳(不考虑其他因素).

解：设C点坐标为(x,O)(x>0),从三角函数定义知A、3两点坐标分别为

(acosa,asina)、(/?cosa,Z?sina),于是直线AC