成人高考高升专数学常用知识点及公式

区人龙考为升专檄号召用辱问鱼4公w

第1章集合和简易逻辑

学问点h交集、并集、补集

1、交集：集合A与集合B的交集记作APB,取A、B两集合的公共元素

2、并集：集合A与集合B的并集记作AUB,取A、B两集合的全部元素

3、补集：已知全集U,集合A的补集记作C“A,取U中全部不属于A的元素

解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现

学问点2：简易逻辑

概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“假如甲成立，那么乙成立:若为

真命题，则甲可推出乙，记作“甲今乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲W〉乙”。

题型：推断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面动身：

①充分条件看甲是否能推出乙②必要条件看乙是否能推出甲

A、若甲=）乙但乙=）甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件）

B、若甲=）乙但乙粕甲，则甲是乙的充分不必要条件

C、若甲工〉乙但乙二）甲，则甲是乙的必要不充分条件

D、若甲工）乙但乙。）甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

技巧：可先推断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围小范围，小范围,大范围”推断甲、乙相互

推出状况

第2章不等式和不等式组

学问点h不等式的性质

1.不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变

2.不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变

3.不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向变更（“>”变“<”）

解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面

学问点2：一元一次不等式

1.定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。

2.解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生

变更）。

3.如：6x+8>9x-4,求x?把x的项移到左边，把常数项移到右边，变成6x-9x〉-4-8,合并同类

项之后得-3x>T2,两边同除-3得x<4（记得变更符号）。

学问点3：一元一次不等式组

4,定义：由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组

5.解法：求出每个一元一次不等式的值，最终求这几个一元一次不等式的交集（公共部分）。

①1解为｛x|x>5｝同大取大②《解为｛x|x<3｝同小取小

x>3x<3

③《解为0大于大的小于小的，取空集

”3

fx<5

④解为｛x|3<x<5｝大于小的小于大的，取中间

x>3

学问点4：含有肯定值的不等式

1.定义：含有肯定值符号的不等式，如：|x|〈a,|x|>a型不等式及其解法。

2.简洁肯定值不等式的解法：

x|>a的解集是Jx>a或x<-a）,大于取两边，大于大的小于小的。

Ix|<a的解集是｛x卜a<x<a｝，小于取中间；

3.困难肯定值不等式的解法：

ax+b|>c相当于解不等式ax+b>c或ax+b<-c,解法同一元一次不等式一样。

ax+b|<c,相当于解不等式-c<ax+b〈c,不等式三边同时减去b,再同时除以a

（留意，当a<0的时候，不等号要变更方向）；

解析：主要搞清晰取中间还是取两边，取中间是连起来的，取两边有“或”

学问点5：一元二次不等式

1.定义：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式，叫做一元二次不等式。如:

ax'+〃x+c>0与or?+Zzr+c<0（a>0））

2.解法：求+（a>0为例）

3.步骤：（1）先令依2+加+。=0,求出x（三种方法：求根公式、十字相乘法、配方法）

—b+2—4ac

举荐求根公式法：.二、——

2a

（2）求出x之后，大于取两边，大于大的小于小的；小于取中间，即可求出答案。

留意：当a<0时必需要不等式两边同乘-1,使得a>0,然后用上面的步骤来解。

第3章指数与对数

学问点1：有理指数累

】、an=axaxa-a表示r个a相乘

3、〃。=14、a[=a

5、cr=

tn

6、先将底数变成倒数去负号

学问点2：幕的运算法则

1.axax+y（同底数指数掠相乘，指数相加）

2.—=67V-V（同底数指数掠相除，指数相减）

3.（优尸=/4.（ab）x=axbx5.*

解析：重点驾驭同底数指数暴相乘和相除，用于等比数列化简

学问点3：对数

1.定义：假如/=N（a>0且〃Hl）,那么b叫做以a为底的N的对数，记作log”N=〃（N〉0）,

这里a叫做底数，N叫做真数。特殊地，以10为底的对数叫做常用对数，通常记log］。N为IgN；

以e为底的对数叫做自然对数，eg2.7182818,通常记作InN。

V

2.两个恒等式：=N,log10^=/?

3.几特性质：

>log〃N=8,N>0,零和负数没有对数

>=当底数和真数相同时等于1

>bg"l=°,当真数聿于1的对数等于0

学问点4：对数的运算法则

1.loga（MN）=log“M4-bgt/N

M

2.loga—=loguA/-logfl/V

3.logaM"=〃log”M（其数的次数n可以移到前面来）

4.M=-\OgaM（底数的次数n变成!可以移到前面来）

〃n

5.log=-logvM

a

第4章函数

学问点h函数的定义域和值域

定义：X的取值范围叫做函数的定义域：y的值的集合叫做函数的值域

求定义域：

y-kx+h

1.2一般形式的定义域：XWR

y-ax"+bx+c

2.y=-分式形式的定义域：x#0（分母不为零）

x

最大值多卢’J98为单调递增区间，S,一.为单调递减区间;

、UC

3、韦达定理：X]+%2=------x=—

2a2"a

学问点6：反比例函数

定义：），=&叫做反比例函数

x

1、定义域：XH（）

2、是奇函数

3、当k>0时，函数在区间（-8,0）与区间（0,+8）内是减函数

当k<0时，函数在区间（-8,0）与区间（0,+8）内是增函数

第5章数列

学问点1：通项公式与前n项和

1、通项公式：假如一个数列｛6｝的笫n项/与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示，

这个公式就叫做这个数列的通项公式。知道一个数列的通项公式，就可以求出这个数列的各项。

a.=S.

2、S“表不前n项之和，即S,=a1+/+…4“，他们有以下关系［

La-2，nN2

备注：这个公式主要用来在不知道是什么数列的状况下求明,假如满意狐-凡一1="则是等差数列，假

如满意&二夕则是等比数列,

学问点2：等差数列与等比数列

名称等差数列等比数列

从其次项起先，每一项与它前一项的比等

从其次项起先，每一项与它前一项的差等

于同一个常数，叫做等比数列，常数叫公

于同一个常数，叫做等差数列，常数叫公

定义

比，用表示。=q

差，用d表示。a-a_=dq

nnxMT

an=4+5-1)44=

通项公式

an=a,n+(n-m)d(n>m)%=5>M

_〃(一+/)n{n-\)ds.=中心(5)

前n项和公式-2-।2

"q

假如a,A.b成差数列，那么A叫做a与b假如a.G,b成比数列，那么G叫做a与b

中项的等差中项，且有4=竺々

的等比中项，且有G=±疝

2

性质在等差数列中若〃?+〃=〃+9,在等比数列中若m+〃=〃+</,

则有4,”+%=。〃+4则有am-an=a-a

第6章导数

学问点1：导数

1、几何意义：函数在/（X）在点（Xo，y0）处的导数值/'（%）即为/（x）在点（x0,y。）处切

线的斜率。即*=/'（%）=tana（a为切线的倾斜角）。

备注：这里主要考求经过点（x0,y。）的切线方程，用点斜式得出切线方程＞一为=攵（工一%）

2、函数的导数公式：c为常数

（。）'=0(xny=nxn-'

（奴，=4以"3)'=a

学问点2：函数单调性的判别方法：单调递增区间和单调递减区间

1、求出导数r（x）

2、令/'（幻＞0解不等式就得到单调递增区间，令/'（幻＜0解不等式即得单调递减区间。

学问点3：最值：最大值和最小值

1、确定函数的定义区间，求出导数J”（x）

2、令/'（x）=0求函数的驻点（驻点即/'（工）=0时x的根，也称极值点），推断驻点是否在所求区

问内，不在所在区间内的驻点去掉；

3、求出各驻点及端点处的函数值，并比较大小，最大的为最大值，最小的为最小值

第7章三角函数及其有关概念

学问点1：角的有关概念

1.逆时针旋转得到角为正角，顺时针旋转得到的角为负角，不旋转得到角为零角.

2.终边相同的角：{|B=k-260+a,k属于Z}

推断两角a,4是否为终边相同的角的方法：

k=系（若k为整数则a,6为终边相同的角，否则不是）

3.象眼角：在平面直角坐标系内，角的终边落在哪个象限就叫哪个象限的角

学问点2：角的度量

180°=期360°=2乃1°=—

180

角度和弧度的转换：120°=120x」-=生—=5xl80°=150°（将4换成180°）

180366

学问点3：随意角的三角函数

1、定义：在平面直角坐标系中，设P(x,y)是角a的终边上的随意一点，且原点到该点的距离为r

(7•=卜+)，2,,•〉()),

S3黑=4°sa邻边J

斜边/•斜边r

对边y邻边x

tana-=—,cot«=

x对边y

2、随意角的三角函数在各象限的符号

sin。cosatana

学问点4：特殊角的三角函数值

角度制0°30。45°60°90°120°135°150°180°

a

nnnn2乃3乃5乃

弧度制0乃

67T~2TT-6~

j_

sina0V31V3V20

2~TV~TV2

\_

cosa1V3V20_V2-1

~2V22VT

皂_A/3

tana0iV3不存在-V3-10

3V

cota不存在i0-1-V3不存在

G~T~T

第8章三角函数式的变换

学问点1：同角三角函数关系式

平方关系是：sin2a+cos2a=1

倒数关系是：tana-ccta=l

sinacostz

商数关系是:tana=-----cotcr=-----

cos。sina

学问点2：诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

sin(90°+a)=cos«,cos(90°+a)=-sina,tan(90°+a)=-cota,cot(90°+a)=-tana

sin(90°-a)=cosa,cos(900-a)=sina,tan(90°-a)=cola,col(900-a)=tana

sin(270°-a)=-cost/,cos(270°—a)=-sina,tan(270°-ci)=cola,cot(2700-a)=tan«

sin(270°+a)=—cosa,cos(2700+a)=sina,tan(270°+a}=-cota,cot(270°+a)=-tana

sin(180°+a)=-sina,cos(l80°+a)=一cosa,tan(l80°+a)=tana,cot(l80°+a)=cotfl

sin(180°-a)=sin”，cos(l80°-a)=一cos〃，tan(l80°-a)=-tana,cot(l800-a)=-colt/

sin(360°-«)=-sina,cos(3600-a')=cosa,tan(360l>-«)=-tana,cot(360°-a)=-cot«

sin(女360°+a)=sina,cos(Z360"+a)=cosa,tan(2360°+a)=tana,cot(A360"+a)=cota

sin(-a)=-sina,cos(-«)=cosa,tan(—a)=-tana,cot(-fl)=-cot«

会用诱导公式用于求120°、135°、150°三角函数值

如：sinl20°=sin(18O°-6O°)=sin6O0=—,cos1200=cos(l80°-60°)=-cos6tf=--

22

sinl35°=sin(18Oo-45o)=siii45°=—,cos135°=cos(1800-45°)=-cos450=-^

22

sin150°=sin(18O°-3On)=sin3O°=pcos150°=cos(180°-30°)=-cos300=-^-

学问点3：两角和、差，倍角公式

1、两角和、差：sin(cz±/?)=sinacos/?±coso,sinp

cos(cr±/?)=cosacos/?+sinasinp

lana±tan°

tan(a±/?)=

1+tana-tanp

用两角和、差公式用于求15°,75°,135c三角函数值

sin750=sin(450+30°)=sin450cos300+cos450sin300=—x—+—x—=+

22224

cos750=cos(45°+30。)=cos450cos300-sin450sin30°=—x--—x—=———

22224

15°=45°-30°或60°-45°,135°=60°+45°(解题过程略)

2^倍角公式：sin2a=2sina-cosa-*—sinla=sina-cos«

2

cos2or=cos2A—sin2«=2cos2a-\=\-2sin2a

2tana

tan2a-

1-tan2a

第9章三角函数的图像和性质

学问点：三角函数的最小正周期公式及最值

常见三角函数类型周期公式最大值最小值

y=Asin(cax+(p)+B或y=cos(dxv+(p)+131川+8-\A\+B

T="

l<y|22-ylA2+B2

y=Asin(3r+0)+8cos@t+e)>1A+B

①y=Atan(oiv+(p)+k

②y=sin2oJcy=cos2cux

T=—

㈤

③y二|sin阈或y=|cos3xj

④y=siiiai¥cosai¥

第10章解三角形

学问点1：常用三角形学问点

△ABC中，A角所对的边长为a,B角所对的边长为b,C角所友的边长为c

1、三角形内角和为180°即A+B+C=180°

2、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即：a+b>c,a-b<c；

3、大边对大角，小边对小角若a>b则A>B

4、直角三角形勾股定理。2=。2+/

常见的勾股定理值：345：51213：11V2；IQ2.

学问点1：余弦定理

a2-b~+c2-2hccoaA

b'-cr+c2-2accos3

c2=a~+b2-2abcosC

学问点2：正弦定理

——=——=^—=2R（其中R表示三角形的外接圆半径）

sinAsinBsinC

学问点3：面积公式

S=—4〃sinC=—t/csinB=—bcs\nA

22

第11章平面对量

学问点1：向量的坐标运算

设a=（x1,y）,匕=（占，％），则:向量的模：+弘2

加法运算：a+b=（x,,必）+（与，8）=

减法运算：a-b=（x1,）-（x2，y2）=

数乘运算：1<8=%（"|，必）=（人"乂）

内积运算：a・b=a，y）（x2，y2）=中2+）'|）’2

垂直向量：a±b=XjX2+yty2=0

学问点2：向量的内积运算（数量积）

A.1A

Z与B的数量积（或内枳）a•h=a-b-co耳°

而盘屋与否的夹角公式：—c-h—广--J■七其

a•bA/x1+»~•A/壬+'£

学问点3：两个公式

1.两点的距离公式：已知片（西，），）6（々，）’2）两点，其距离：

山刃=J（项一心尸+（乂一），2）2

2.中点公式：已知巴（修，力）两点，线段匕舄的中点的o的坐标为（x,y），则:

1-2=)1+0

22

第12章直线

学问点1：直线的斜率

直线斜率的定义式为k=lana（a为倾斜角），已知两点可以求的斜率k=启一”（点A（»，N）和

工2

点13（%,左）为直线上随意两点）。

角度制30°45°60°120°135°150°

a

71n乃2乃3乃54

瓠度制

~67T~6

tana旦1石-1_73

~T-V3~T

学问点2：直线方程的几种形式

斜截式：y=kx+b（可干脆读出斜率k）

一般式：Ax+By+C=O［直线方程最终结果尽量让A>0）

点斜式：），一肾二攵。一/），（已知斜率k和某点坐标（内,凡）求直线方程方法）

学问点3：两条直线的位置关系

直线4：y=kix+bel2：y=k2x+b2

两条直线平行：k、=k?

两条直线垂直：人火2=一1

学问点4：点到直线的距离公式

点P（Xo，）b）到直线/:Ax+B），+C=o的距离：d=l:

yJA2+B2

第13章圆锥曲线

学问点1：圆

1、圆的标准方程是：*一。）2+（），一与2=’,其中：半径是一圆心坐标为（a,b）,

2、圆的一般方程是：x2+y:+Dx+Ey+F'=O

娴熟驾驭圆的一般方程转化为标准方程并找出半径和圆心坐标方法

例：x2+y2+4.v-6y+4=0

配方法：42+4X+（：+y2-6y+^-1=-4+13

完全平方公式：（X+2）2+（X-3）2=32故半径r=3圆心坐标为（-2,3）

3,圆与直线的位置关系：通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系推断

d>ro相离;d=r<=>相切；0<d<r<=>相交不经过圆心；d=0Q相交且经过圆心

4、圆与圆的位置关系：通过圆心也口⑼与两圆半径小々的大小关系推断

d。心>4+-2=相离；4椁=f]+r2=外切；

d-=八-Go内切；4-G<4-<4+々o相交

学问点2：椭圆

定义平面内到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹：|尸耳+归周=2〃

焦点的位

焦点在X轴上焦点在Y轴上

置

标准方程・+£=1

cTh-a~b-

i卜y

p

图形x»

性质长轴长是2。，短轴长是2〃，焦距内国=2c,a2=b2+c2（a最大）

顶点

Ai(—a,0),A2(a,0)Bi(0,—b),物(0,b)A.(0,-a),A2(0,a)Bi(-b,0),B2(b,0)

焦点坐标CO

Fi(c,o)F2(-,)Fi(o,c)F2(O,-C)

离心率e=—(0<e<l)

a

一一

准线方程

cc

求椭圆的标准方程步骤：

1）确认焦点的位置设出标准方程；（题中干脆已知或通过焦点坐标得到）

2）求出a,b的值；（a,b,c,e通过。2=〃+02,《=£知二求二〉

a

3）写出椭圆的标准方程。

学问点3：双曲线

定义平面内到两定点的距离的差的肯定值等于常数的点的轨迹：忸制-|P用II=2〃

焦点的位

焦点在X轴上焦点在Y轴上

置

•V2V2.

标准方程-------------=1

a-b-

图

形

性质实轴长是2a,虚轴长是劝，焦距怩尼卜2c,cz=a2+b2（c最大）

顶点Ai(—a.O),A2(a,0)Bi(0,—b),B2(0,b)Ai(0,—a),A2(0,a)B)(—b,0),B2(b,0)

焦点坐标Fi(c,o)F2(~c,0)Fi(o,c)F2(O,-C)

离心率e=—(e>l)

a

准线方程

CC

,b,a

渐近线y=±—xy=±—x

ab

1.等轴双曲线：实轴与虚轴长相等（即a=b）的双曲线：/一），2=/或）产一/=。2

2.求双曲线的标准方程步骤：

4）确认焦点的位置设出标准方程；（题中干脆已知或通过焦点坐标得到）

5）求出a,b的值；（a,b,c,e通过/=/+〃2,e=£■知二求二）

a

6）写出双曲线的标准方程。

3.若直线），=七¥+/?与圆锥曲线交于两点A（x"yi）,B（X2,y2）,则弦长为|41=）（1+女2）区_。）2

学问点4：抛物线

标准方程焦点的位置焦点坐标准线方程图像

y2=2Pxx正半轴x=上

加2

y2=-2PxX负半轴x=E务