高考数学总复习第四节 直线、平面垂直的判定与性质

第四节直线、平面垂直的判定与性质

学习要求：

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有

关性质与判定定理.

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

必备知识-整合

1.直线与平面垂直

(D直线与平面垂直的定义：

直线/与平面。内的①任意一条直线都垂直，就说直线,与平面〃互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

文字语言图形语言符号语言

判

定一条直线与一个平面内的②两条，a、bua

相交直线都垂直,则该直线与此@aAb=0/J_

Ila

正平面垂直

11bJ

理

性垂直于同一个平面的两条直线④尸卜七

ala)〃,

质包

定

理

2.直线与平面所成的角

(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的⑥锐角，叫做这条直线和这个平面

所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内，

就说它们所成的角是0°的角.如图所示，⑦上必&就是斜线月户与平面。所成的角.

(2)线面角0的范围：。E⑧」0,

3.二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的⑨两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：以一面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作⑩空直土楂

的两条射线,则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定一个平面过另一个平面的一条⑪

1CP'

定理垂线，则这两个平面互相垂直⑫1JLa

性质两个平面垂直，则一个平面内垂直

于它们电交纥的直线与另一个平

定理面垂直

知识拓展

1.与“直线与平面垂直”有关的结论

⑴直线与平面垂直的定义常常逆用，即a±a,ka^aYb.

(2)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

2.三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也

和这条斜线垂直.

3.三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的

射影垂直.

1.判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）.

⑴垂直于同一个平面的两平面平行.（）

⑵若直线a_L平面明直线AL平面%则直线a〃直线）（）

⑶若平面平面£,直线a_L平面£=直线a〃平面a.（）

⑷若直线aj_平面〃，直线方〃平面”，则直线a与8垂直.（）

⑸若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面.（）

答案⑴X（2）V（3）X（4）V（5）X

2.（新教材人教A版必修第二册P152T2改编）已知如垂直了正方形40所在的平面,连接

PB,PC,PA,ACBDy则一定互相垂直的平面有对.

答案7

3.在三棱锥尸/I比中，点尸在平面4%中的射影为点0.

⑴若以二座阳则点。是△/1酎的心；

⑵若为"L"PBIPC,PCIPA,则点。是△力欧的心.

答案⑴外⑵垂

4.（易错题）"直线a与平面。内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面〃垂直”的

条件.

答案必要不充分

【易错点分析】忽略线面垂直的条件致误.

5.（2020课标H理,16,5分）设有下列四个命题:

R：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

.：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

区:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.

R：若直线/U平面。，直线0_L平面。，则

贝！下述命题中所有真命题的序号是.

①口人"②PI八"③下VR④9VRi

答案①③④

关键能力-突破

考点U直线与平面垂直的判定与性质F法

角度一直线与平面垂直的判定

典例1（2020江苏南通模拟）如图,在多面体八BCDEF中,四边形/优9是菱形,〃；劭相交于

点0,EF〃AB,AF2EF,平面做」平面ABCD,B4CF,点G为先的中点.求证:

(1)%〃平面EFCD\

(2)4C_L平面ODE.

证明（1）'.•四边形力凡％是菱形,"门的0,・•.点。是8〃的中点,

•・,点G为，%的中点,

，OG//CD,

又丁〃的平面EFCD,如平面EFCD,

・•・g'〃平面EFCD.

(2),・・底优点G为欧的中点，

:.FG工BC.

又.••平面比足L平面ABCD,平面犯m平面ABCD=BC,R七平面的

・・.R7_L平面ABCD,

平面ABCDy

：.FGLAC.

•/OG//AB,gAB,EF"AB,EF=~AB,

：.0G〃EF,OG=EF,

・•.四边形瓯;。为平行四边形，

:.FG〃E0、

:"CLEO,

・・•四边形/1比7?是菱形，

:.ACAJ)O,

又•・•EOCD0=。,EO,平面ODE,

・,./£!_平面ODE.

角度二直线与平面垂直的性质

典例2如图，在三棱锥A-BCD中，ABX.AD,BCA.BD,平面力勿_L平面BCD，点£F(E与4〃不

重合)分别在棱AD,BD上,且EFVAD.求证：

(1)1次〃平面ABC;

ADVAC.

证明(1)因为在平面ADD内，ABL4D,EFLAD,

所以EF//AB.

乂因为平面四C"住平面ABC,所以，尸〃平面ABC.

(2)因为平面/I区LL平面BCD,平面/9n平面BCD-BD,位平面BCD,BC1BD,

所以比平面ABI).

因为4t平面ABD,所以BCVAD.

又ABLAD,BCC/B,/I应平面ABC,以七平面ABC,

所以力〃J_平面ABC.

又因为〃太平面ABC,所以ADLAC.

名师点评

证明线面垂直的常用方法及关键

⑴证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a〃仇a_L

±。)；③面面平行的性质(<?1a,a〃£=a_L8);④面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直需借助线面垂直的定义.

(3)判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

务时训练

1.如图所示,在四棱锥P~ABCD中,用_L底面ABCD,ABLAD,ACLCD,N力吐60°,PA=AB=BC,E是PC

的中点.求证：

⑴⑦_!_/出；

(2)月9_1_平面ABE.

证明⑴:为_L底面ABCD,归平面ABCD,：.PALCD.

*：ACLCD,PAQAC-A,

.・.a?_L平面PAC.

又力比平面PAC,；.CDLAE.

⑵由PA=AFBC,/力岭60°,可得AOPA.

•・•夕是用的中点，，熊_LZ

由(1)知，力反L切・・・％noc

・・.4?_L平面PCD.

又取平面PCD,：.AELPD.

:用_L底面ABCD,

・••切在底面ABCD内的射影是AD,

'：ABLAD,：.ABLPD.

又ABHA^At仍力应平面ABE,

・・・加_1_平面ABE.

2.（2020江苏南通模拟）如图,在四棱锥P~ABCD中，点、E,“分别是侧棱处,尸。上的点,且成〃底面

ABCD.

⑴求证:£尸〃力。；

⑵若/T_L底面ABCD,AO遥BC,N力除60°,求证：见必：

证明⑴因为"〃平面力及2

正平面PAC,平面PACQ平面ABCD-AC,

所以EF//AC.

⑵在△/[■中，因为心V5阳/力给60°,

所以^BC，解得/胡伊30°

sinZBAC

故/力吠90°,即ACA.BC.

又产。L平面/眼力,/1化平面ABCD,

所以用_!_〃；

又成了在:平面PBC,且BCCPBC、

所以4CL平面呼

因为他平面PBC,所以ACLPB.因为EF//AC,所以EFLPB.

考点旦面面垂直的判定与性质F肝

角度一平面与平面垂直的判定

典例3(1)(多选题)已知两条直线/,/〃及三个平面。，£,几下列条件中能推出的

是()

A.7c。，7±BB.7±。，也£,八勿

C.a【Y,B〃YD.lua,/kB,ILm

(2)如图,在四棱铢P~ABCD中,ABLAC,ABA.PA,AB〃CD,A斤2CD,E,FyG,M,N分别为

PB"B,BC,PD,PC的中技.

①求证：方〃平面PAD\

②求证：平面EFGX.平面EMN.

答案(l)ABC

解析（2）证明:①取PA的中点H,连接EH,DH.如图.

因为£为加的中点，所以EH//AByE吟AB.

又AB//CD,C哈AB,所以EH//CD,E+CD,

所以四边形〃◎〃是平行四边形，

所以CE//DH.

又〃/仁平面PAD,0亚平面PAD、

所以m7平面PAD.

②因为£〃分别为%"6的中点,

所以好〃物.

又AB_LPA,

所以力反1_庾

同理可证ABVFG.

又EFCFG=F,夕七平面EFG,R七平面EFG、

所以/员L平面EFG.

又礼N分别为外,的中点，

所以施〃微

又/出〃曲所以MN//AB.

所以助V_L平面EFG.

又助上平面EMN,

所以平面6%J_平面EMN.

♦变式在本例(2)的条件下,求证:平面场加J_平面/%C

证明因为小区LM/l区L/1C

且PAQAOA,为u平面PAC,"t平面PAC、

所以力氏L平面PAC.

因为M*分别为PD,PC的中点,所以MN//CD,又CD//ABy所以MN〃AB,

所以网5平面PAC.

又网匕平面EMN,

所以平面£州1平面PAC.

角度二平面与平面垂直的性质

典例4(2019天津,17,13分)如图,在四棱锥卜ABC。中,底面力比力为平行四边形,△筋为

等边三角形，平面为C_L平面PCD,PALCD,CD=2,AD=3.

(1)设G,〃分别为放检的中点，求证：GII//平面PAD-,

⑵求证:为_L平面PCD;

⑶求直线力〃与平面以C所成角的正弦值.

解析⑴证明：连接弦易知ACQBAH,BH-DH.

又B能PG,故GH//PD.又因为G/比平面PAD,外c平面PAD,所以67/〃平面PAD.

⑵证明：取棱％的中点/V；连接DN.

依题意，得DNVPC.

又因为平面为平面PCD,平面为。■!平面PCD=PC,所以〃归_平面PAC,又Elu平面PAC,故

DNA.PA.

又已知PALCD,CDCD即仄所以为J_平面PCD.

⑶连接4M由⑵中〃以平面PAC,可知NZHV为直线力〃与平面必C所成的角.

因为△筋为等边三角形,CD-2且N为尸。的中点，

所以〃忙遍.又DNLAN,

所以在RS4叨中，sinN以沪”=—.

AD3

所以,直线力〃与平面阴C所成角的正弦值为兴

名师点评

1.判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定义.

(2)面面垂直的判定定理.

2.面面垂直性质的应用

(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直

线”.

(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

务时训练

1.(2020江苏,15,14分)在三棱柱ABC-A^Q中，AB.LAC,5a平面ABC,Ey/分别是ACtAC的中点.

⑴求证:仔'〃平面ABC；

(2)求证:平面力4cL平面ABR.

证明⑴因为E、产分别是ACt8c的中点,所以EF〃AB\、

又从匕平面仍C,仍u平面/出&,所以斯〃平面ABC.

⑵因为，C_L平面/凿月比平面力/所以&OLAB.

又ABLAC,〃上平面ABC平面ABCB£CAOC,

所以/18_L平面ABC

又因为4fc平面力能，

所以平面44口_平面ABa.

2.如图，在四棱锥片ABCD中,底面ABCD为矩形,平面力仅L平面ABCD,PA1PD,P忙PD,£尸分别为

力4%的中点.

⑴求证:碓L解

⑵求证:平面片切_L平面PCD;

(3)求证:EF//平面PCD.

证明⑴因为PA=PD,E为〃的中点，

所以皿/〃

因为底面力施〃为矩形，

所以〃加被

所以PE1BC.

⑵因为底面/瓦〃为矩形，所以AB1AD.

又因为平面为〃_L平面/比〃

所以/必_1_平面PAD.

所以ABLPD.

又因为PALPD,

所以依L平面为B

所以平面必8J_平面PCD.

⑶取R7的中点G,连接FG,DG.

因为冗G分别为做尸C的中点，

所以FG〃BC、F吟BC.

因为四边形四切为矩形,且E为力〃的中点，所以DE//BC,D吟BC.

所以DE〃FG,D方FG.

所以四边形助Z；为平行四边形.

所以瓯7%.

又因为仔色平面PCD,〃忆平面PCD,

所以加77平面也Z

学科素养-提升

微专题一立体几何中的动态问题

立体几何中的动态问题体现了直观想象的核心素养,是指借助几何直观和空间想象感知事

物的形态与变化.立体几何中的动态问题主要包括动点轨迹的判断，求轨迹的长度等.

微典例1

如图，正三角形川〃所在平面与正方形力解所在平面垂直，。为正方形力应刀的中心，也为正

方形力筋内一点，且满足,仍他则点J/的轨迹为（）

答案A取的中点七连接阳闺这

易知况L平面ABCD,

从而胆L〃G,取A7、，仿的中点F、G,连接DF、DG、FG、

又易知DG工EC,ECCP俏E,〃G_L平面PEC,

又/比平面PEC,：.DG\FC,由FIADC知DF1PC,DFCi）G=DR.DP,〃仁平面DFG、

・・・尸。_1平面〃能又F是相的中点,

・•・平面%G上的点到点PtC的距离相等,

又平面DFGC平面ABC1DG,

・♦・线段〃G上的4点应满足物与总故选A.

微思考I

一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断

出动点的轨迹.

微点练I

（2020北京房山期末）如图,在正方体ABCAARC以中，M为棱的中点,动点，在平面BCCB

及其边界上运动,且总有APW,则动点夕的轨迹为（）

A.两个点B.线段

C.圆的一部分D.抛物线的一部分

答案B如图，取的中点£3的中点£连接力笈硕

在正方体ABCAABGR中,易证DJLLARD、D1AF,又DMC\DD=D,DM,〃上平面〃口,

所以"LL平面D曲,则AFLlf",

同理可证明JL仍又AEQ力户石力目力/七平面AE卜；

所以屹J_平面月

又点，在侧面BCC瓜及其边界上运动,

所以根据平面的基本性质得点〃的轨迹为平面儿厂与平面a'G6的交线段EF.

夯基提能作业

A组基础达标

1.（2020浙江宁波华茂外国语学校模拟）在空间中，下列命题正确的是（）

A.经过三个点有且只有一个平面

B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面

C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个

D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个

答案D

2.（2020山东威海月考）已知直线/,/〃与平面a,归2则下列命题中正确的是

（）

A.若1//HK则必有aHBB.若11巩则必有a18

C.若/J,£,则必有D.若〃J,£,则必有限La

答案c

3.（2020河北唐山模拟）如图,在以下四个正方体中，直线仍与平面小/垂直的是（）

A.①②B.②④C.①③D.②©

答案B

4.（2020山东滨州月考）已知长方体ABCD~A\RCD中，加尸返,月后4,若在棱47上存在点P,使得

〃/<1%则力〃的取值范围是（）

A.(0,1]B.(0,2]

C.（1,何D.[1,4）

答案B

5.侈选题）如图,然为圆。的直径，/必游45。，PA垂直于圆。所在的平面,夕为圆周上不与点

4。重合的点，力S_L/r于点S,4kL如于点N,则下列结论中正确的是（）

A.平面4\S_L平面PBC

B.平面加S_L平面PAB

C.平面必反L平面PBC

D.平面力比工平面PAC

答案ACD

6.（多选题）如图，在三棱锥人/山。中，昭_1平面ABC,OQCD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中一定成立

的是（）

A.AOBC

B.ABLVC

C.VCA.VD

D.SNG。AB=SL・V0

答案ABD•・•W_L平面ABC,月住平面ABC,

：.VOA.AB.VAD-BD,：.YDLAB.又・.•也nVD-Vy."AL平面VCD.又T"平面J£9,.../如L

CD.又，：AD=BD,：.AOBC,故A中结论成立.

•・•件平面气〃・•・力凡L3；故B中结论成立.•・•五加=?夕・CD,S&吗AB•CD,：.SAWD・AB=S&楸•VO,

故D中结论成立.由题中条件无法判定VCLVD,故C中结论不一定成立.

7.（多选题）（2020江苏盐城伍佑中学模拟）如图,在各棱长均相等的四棱锥片力龙刀中，。为底面正

方形的中心，用力分别为侧棱以,阳的中点，则下列结论正确的是（）

A.月9〃平面OMN

B.平面PCD//平面OMN

C.直线PD与直线楸所成角的大小为90°

D.ONLPB

答案ABD连接曲（图略），易知。为物的中点，又八:为小的中点，所以勿〃制因为平面

OMN,〃七平面OMN,所以/少〃平面OMN,故A中结论正确；由M,/V分别为侧棱PA,/力的中点，得MN

//AB,又底面为正方形,所以MN〃CD,因为船匕平面OMN,3平面〃楙;所以切〃平面QMN,又PD

〃平面〃帆PDCCD=D,PD,67七平面PCD,所以平面A力〃平面OMN,故B中结论正确；因为MN〃CD,

所以为直线外与直线MM所成的角，因为四棱锥的所有棱长都相等,所以/外信60°,故直

线距与直线出V所成角的大小为60。，故C中结论错误;选项D,因为底面为正方形,所以

A8+ASB氏又四棱锥的所有棱长都相等,所以PE+PIf=BD,故PB1PD,又PD//ON,所以ONLPB,

故D中结论正确.

8.如图，已知N胡小90°,/TL平面仍C则在ZUSC△必。的边所在的直线中，与尸。垂直的直线

有;与力夕垂直的直线有.

答案AB,BC,AC;AB

解析因为WL平面ABC,所以PC±AB,PCLBC,PCLAC.因为ABVAC,ABLPC,ACQPOC,所以力〃

_L平面PAC,又因为4/七平面PAC,所以ABVAP.

9.（2020江苏苏州第一中学模拟）如图,在四棱锥P~ABCD中,为，底面ABCD,四边形4?⑦为直角

梯形,力。〃比;/仅L6ZZ

⑴求证：切_1_外;

⑵若川方2,於3,F为外的中点，B吟BC,求证:好〃平面PAB.

证明⑴底面ABC。,g底面ABCD,：.PA1CD,

又・・♦ADA.CD,ADD为二4/!小平面PAD,为u平面PAD,

・・・C〃_L平面PAD.

又・.・H七平面PAD,

:.CD工PD.

⑵取PA的中点G,连接EG,FG,AE,BG,

贝!G9八且GF//AD.

•的上aM,且BE"AD,

3

:.B后GF旦BE〃GF.

故四边形为平行四边形，

贝!EF//BG.

又：嵌t平面PAB,&c平面PAB,

・•・/%〃平面PAB.

10.（2020江苏扬州江都大桥高级中学调研）如图，在三棱锥止以力中，力庐切J■勿点E、F分

别是棱8。、劭的中点.

⑴求证:即〃平面水力；

⑵求证：力反L助.

证明⑴因为点从尸分别是棱6。、勿的中点，所以即是的中位线,

所以跖〃川又因为"已平面ACD,67X=平面ACD,

所以所〃平面ACD.

⑵由⑴得,EF//。因为BD工CD,所以EF工BD,

因为仍71〃点厂是棱川的中点,所以AFLBD,

又因为EFCA六F,ER"t平面AEF,所以平面AEF,

又因为/£u平面AEFy

所以AELBD.

B组能力拔高

11.（多选题）（2020山东荷泽期中）如图,在正方体ABCAAMG"中,尸是棱4〃上的一个动点，则下

列说法正确的是（）

A.对任意动点F,在平面力〃〃4内存在与平面。明平行的直线

B.对任意动点F,在平面力眼内存在与平面。"垂直的直线

C.在点厂从4运动到〃的过程中，直线用与平面所成的角逐渐变大

I）.在点厂从4运动到〃的过程中，点〃到平面C步’的距离逐渐变小

答案AC因为平面ADIXA^Al）//BQ力次平面CBF,6m平面CBF,所以月。〃平面或阴故A正

确;平面如'即平面ARCB,因为平面与平面/例⑦斜交,所以在平面力筋内不存在与平面

斯垂直的直线,故B错误;因为b到平面相⑺的距离不变,在少从4运动到〃的过程中,必逐

渐变小，所以“C与平面40所成的角逐渐变大,故C正确;平面凌火即平面4〃绍点〃到平面

力心小的距离为定值，故【）错误.

12.（2020安徽黄山第二次质量检测）如图,在四棱锥上ABCI）中,*平面

AHCI）,PA二AFBC^,AIACH/月麻120°,点也是〃'与劭的交点，点,V在线段PB上,且

P44PB.

⑴证明：朗V〃平面

⑵在线段仅7上是否存在〜点〃，使得平面网QL平面必小若存在,指出点。的位置并证明；若不

存在，说明理由.

解析⑴证明：因为力方OM,/力赊120。，所以心百，

由AB-BQ/8⑦知直线劭是线段/1C的垂直平分线，

所以点出为线段力。的中点，

由力庐除仍旧，物为线段〃、的中点可得B吟

由Ami,ZADC=\20°,朗为线段力。的中点可得D岭,所以除4旅〃沪2,

所以变=型=三所以助v〃

BPBD4

因为联平面外工楸仁平面PDC,

所以助V〃平面PDC.

⑵存在，当点。为世中点时,平面网QL平面PAD.

证明：如图,取回的中点Q,连接QV并延长,交于点E

由（1）知,△4先为正三角形,"为线段/C的中点，

所以N极及30°,Z40=60:

I因为△冽£为直角三角形，0为%的中点，

所以BgGQ&所以N/DM行/MBO300,

因为A/）=CD=l,/力〃C=120°,力为线段力。的中点，

所以NM后60°,所以N於炉90°,即MQ1AD,

因为为J_平面ABCD,

所以阳L圈又以A4M,

所以J&_L平面PAD,

区为.以七平面MNQ,

所以平面腑QL平面PAD.

C组思维拓展

13.如图，在直角梯形ABCD中,BCLDC,AELDC,且E为⑦的中点，业N分别是AD,的中点,将

△ADE沿4?折叠,则下列说法正确的是.（写出所芍正确说法的序号）

①无论将〃折至何位置（不在平面4