高考数学三角函数典型例题

三角函数典型例题

1.设锐角AABC的内角AB,C的对边分别为〃，b,c,〃=2/%inA.

(I)求3的大小；

(II)求cos/1+sinC的取值范围.

【解析】：(I)由。=2〃sinA,依据正弦定理得sin4=2sinAsinA,所以sin8=

2

由A48c为锐角三角形得B=2

6

2.在AA8c中，角A.B.C的对边分别为a、b、c,且满意(2a)C.

(I)求角B的大小；

(II)设机=(s加Acos2A),〃=(4Z,l)(Z>1),且〃的最大值是5,求女的值.

【解析】：(DV(2a),

/.(2)C.

即2

'/n,A2.

V0<J<n,A^O.

V0<Z?<n,/.£.

3

()mn=42A.

2M41£(0,—)

3

设，则re(o,i].

则mn2/+412(尸+1+2%£((),1].

VA>1,Al时，最〃取最大值.

依题意得2+41=5,・・・3.

2

3.在A48C中，角A,aC所对的边分别为a,b,c,sin八十"+sin2=亚.

22

I.试推断△A3C的形态；

.若△ABC的周长为16,求面积的最大值.

【解析】.sin———+sin—=cos—+sin—=V2sin(—4-—)

222224

「.cI"="即。=乃，所以此三角形为直角三角形.

2422

.16=</+/?+yla2+b2>14ab+后7,"W64(2/当且仅当〃=〃时取等号，

此时面积的最大值为32(6-472).

4.在AABC中、b、c分别是角A.B.，的对边24cosA=±,

4

(1)求cosC,cos3的值；

(2)若丽.前="，求边的长。

2

【解析】：(1)cosC=cos2A=2cos2A-\=2x---\=-

168

_0*7m

(2)BA-BC=一accosB=一,/.ac=24①

22

又a=---,C=2A「.c=24cosA=」a②

sinAsinC2

由①②解得46

/.Z?=5,即边的长为5.

5.已知在AA3C中，A>3,且tanA与ta【】3是方程f—5x+6=0的两个根.

(I)求1@11(4+9)的值；

(II)若=5,求的长.

【解析】：(I)由所给条件，方程f-5x+6=0的两根tanA=3,tanB=2.

由(I)知，tanC=-tan(A+/?)=1,

C为三角形的内角，，sinC=—

2

,二lanA=3,A为三角形的内角，,sinA=，=,

由正弦定理得：/生二旦

sinCsinA

6.在MBC中，己知内角A.B.。所对的边分别为a、b、c,向量

=(2sin及一G),n=^cos2B,2cos2y-1，且

(I)求锐角B的大小；

()假如〃=2,求MBC的面积QBC的最大值。

【解析】：(1)mlIn2(22-l)2B

22B2

•・・(K2B<n,・・・2,，锐角

⑵由2或

①当时，已知2,由余弦定理，得：

产22口且仅当2时等号成立)

•・•△的面积这

二△的面积最大值为

②当时\已知2,由余弦定理，得：

4驾C+)(当且仅当-时等号成立)

・・・<4(2-)

•・•△的面积幺W2-

・・・△的面积最大值为2-

7.在AABC中，角A.B.7所对的边分别是，且一+°2一力2=

2

(1)求sin?八十0+cos23的值；

2

(2)若2,求△面积的最大值.

【解析】：(1)由余弦定理

.2A+C1

sin-------29——

24

(2)由cos8=±得sin8=卫".V2,

44

4/422^,得见《半(时取等号)

故S△的最大值为半

sin(—+6^)

8.己知tana=4,(a>1),求--------tan2。的值。

sin(—-<9)

【解析】连；

1-a

sin(5^--6f)-COS+—|-008(^+67)

9.已知/(a)=]―记一—系---------

sin^Gf--"cosher+y-tan(a-3^)

(I)化简/(a)

()若a是第三象限角,且cos仔-Q)4求〃a)的值。

【解析】

10.已知函数f(x)2g2%.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)函数f(x)的图象可以由函数2x(x£R)的图象经过怎样的变换得到

【解析】：(1)f(x)=--c：'+—sin2x+(l+cos2x)

22

”(x)的最小正周期7号=4.

由题意得2%万一工<2工+工<2攵万+工，2wZ,即k7r--<x<k7r+—,kG.Z.

26236

「,/3)的单调增区间为卜乃-《,就+j],keZ.

36

(2)先把y=sin2x图象上全部点向左平移卷个单位长度，

得到y=sin(2x+£)的图象再把所得图象上全部的点向上平移言个单位长度，

62

就得到),=sin(2x+工)+1的图象。

11.已知〃=(弓,一^,=(sin-^,cos-^),f(x)=a-bo

(1)求“幻的单调递减区间。

(2)若函数y=g(x)与y=/(x)关于直线x=1对称,求当x£时，)'=双幻的最大值。

【解析】：(1)/(x)=-sin--1-cos-=V3sin(-

242443

...当三一工工+2版•，至+2版■]时，f\x)单调递减

4322

解得：X€[―48々号48々]时，f(x)单调递减。

⑵;函数)，=g(x)与y=/(x)关于直线x=1对称

・・・X=0时，gmax*)=¥

12.已知cosa=-2sina,求下列各式的值;

⑴2sina-cosa.

sin。+3cosa'

(2)sin，a+2sinacosa

【解析】：Qcosa=-2sincr,.\tana=——

2x-1-1

2sina-cosa2tancr-1I2)4

⑴==------=

sina+3cosa--tana+3--------」+3---------5

~2

小.，八.sin2ct+2sinctcosa

sin-a+2sinacosa=-----------------；------

sin"a+cos"a

13.设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),xeA,函数f(x)=a(a+b)

(I)求函数/(A-)的最大值与最小正周期;

()求使不等式fMNT成立的工的取值集合。

【解析】

己知向量，〃=(cosa-巫，一1),n=(sina,l),加与〃为共线向量，且ae[-2,0]

14.

32

(I)求51]]。+(：050的值;

(II)求sin2。的值..

sina-cosa

【解析】：(I)•・•加与♦为共线向量，..(cosa-=)xl-(_l)xsina=0,

即sina+cosa=

3

Xvcre[--,0],「.sina-cosavO,sin«-costr=-—

23

因此，sin2a」

sina-cuscz12

B

15.如图都在同一个与水平面垂直的平面内为两岛上的两座

灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分

别为75。，30。，于水面C处测得B点和D点的仰角均为/\\

60。0,1。摸索究图中间距离与另外哪两点距离相笔，然后1\\

求的距离(计算结果精确到)

0.01,&"414,y/6«2.449)

【解析】：在AACD中/QAC30°ZADC600ZDAC300,

所以0.1

又NBCD=180°-60°-60°=60°,

故是AC4。底边的中垂线,所以

在AABC中，一"一=—任一,

sin/8cAsinZABC

n.jACsin60。_3^2+76

sinl5°-2O~

因止匕，BD=3、历+、1%=0.33km

20

故B.D的距离约为0.33e

16.己知函数/(x)=Asin(5+0),xwR(其中A>0M>0,0<g</)的图象与x轴的交点中，相

邻两个交点之间的距离为不且图象上一个最低点为M(g,-2).

(I)求/a)的解析式；(II)当/£有自，求/(x)的值域.

【解析】：(1)由最低点为M(学「2)得2.

由X轴上相邻的两个交点之间的距离为王得工二£,即r=乃，。=空=至=2

222T7i

由点例(二,-2)在图像上的2sin(2x至+⑼=-2,即sin(W+e)=-l

333

故——+(/)=2k乃，&GZ:.(p-2k冗---------

326

又夕£(0,马,「.°=工，网(x)=2sin(2.r+—)

266

(2)V不£心刍，.⑵十枭冷巧

122636

当2x+H，即“乡时，/(x)取得最大值2;当=?

62666

即1时，/(X)取得最小值-1,故/(A-)的值域为[-1,2]

17.如图，为了解某海疆海底构造，在海平面内一条直线上的三点进行测量，已知

AB=50mi8c=120=,于A处测得水深八0=80也于B处测得水深跖=200〃?，于C处测

得水深CF=110//Z,求Z的余弦值。

【解析】：作。M〃AC交于A；交于M.

在APEF中，由余弦定理，

18.已知sinA+cos。=—,<9E(―，^),

52

求(1)sin。—cos。(2)sin3cos30(3)sin4^4-cos40

【解析】：(1)

7Qi337

sin0-cos0=—(2)sin3。一cos'0=----(3)sin40+cos40=-——

5125625

19.己知函数)，=Asin((yx+0)(A>0,6y>0,|9|<不)的一段图

象如图所示，

(1)求函数的解析式；

(2)求这个函数的单调递增区间。

32乃

【解析】：(1)由图象可知：7=2二nq8=——

8T

y=2sin(2x+e),又,:-§，2为“五点画法”中的其次点

8J

.♦・2x，餐+e=gne=¥・・・所求函数解析式为：y=2sin(2%+吗

18124V4J

(2),・•当2x+弓4-1+23、+2戴卜eZ)时，“X)单调递增

,八_/?

20.已知A48C的内角A.B.C所对边分别为a、b、c设向量〃?=(1-cos(A+8),CQS-------),

t2

—­5A-B0—•一9

n=cos-------),且加•〃=一.

828

(I)求tanA的值;

TT、fabsinC

(/n)求丁F—2的最大值.

a+b~-c

【解析】(I)由〃?〃=2,得?[1-cos(A+B)]+cos，4—―=—

8828

nii5rl,.i+cos(A-B)9

即-ll-cos(A+B)]+------------=-

828

也即4cos(74—B)=5cos(A+B)

21.已知函数f(x)=(l-tan#[l+Visin(2x+X)],求：

4

(1)函数/(x)的定义域和值域：(2)写出函数“制的单调递增区间。

【解析】：/(x)=1一^~^(1+&sin2xcos工+V5cos2xsinX

Icosx人44J

(I)函数的定义域“xe/?,xwQr+■/eZ

函数/(x)的值域为(-2,2]

(II)令2k兀-7T<2x<2*不(AwZ)得匕F—2<xWkMkGZ)

2

・•・函数/(X)的单调递增区间是，乃-J,kAkGZ)

22.如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为4.8m,圆上

最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈.途中04与地面

垂直.以OA为始边，逆时针转动〃角到《小.设8点与地面

距离为h.

(1)求力与。的函数解析式；

(2)设从O八起先转动，经过80秒到达QB,求/?.

【解析】：(1)V/?=0.8+OA+BC=0.8+4.8+OBsina=5.6+4.8sin(6>-90o),

(2)co=,0=—t>0=—x8()=h=5.6—4.8cos-^=8(m)

6030303033

23.设函数/*)=ab,其中向量a=(2cosx,l),b=(cosx,sin2x+nt).

(1)求函数/(幻的最小正周期和在|0,上的单调递增区间；

(2)当xe[0,刍时,-4</(外<4恒成立求实数/〃的取值范围。

6

【解析】：(1)vf(x)=2cos2x+y[3sm2x+m=2sin(2x+—)+/?:+1,

（2）当XW。刍时,•••/（X）递增,.•.当X=§时,/（以皿="13,

66

24.已知函数f（x）=2sin2（工+x）-bcos2x,xw—.

【4）|_42J

（1）求/。）的最大值和最小值；

(2)|/(x)-闲<2在xe:,T上恒成立，求实数机的取值范围.

【解析】(【)•；/(x)=I-cos-75cos2x=1+sin2x->/3cos2x

又・・・xc|XW，.—WZl2W空，

142」633

即2<l+2sin(2x—9)<3,

・•・m>/(XL-2且，"/(x)min+2,

1<7?z<4,即in的取值范围是(1,4).

25.在锐角△中，角A.B.C的对边分别为a、b、c,已知(〃+/-/)tanA=JOc.

⑴求角A;

（）若2,求△面积S的最大值。

【解析】：⑴由已知得个不包l=^=sinA正

cosA22

又在锐角△中，所以60°,［不说明是锐角△中，扣1分］

()因为260°所以b2+c2=be+4,S=—besinA=——be

24

而b2+c2>2bcn〃。+422Z><?=><4

又S=—hesinA-&bc<2X4=6

244

所以△面积S的最大值等于Q

26.甲船由A岛动身向北偏东45°的方向作匀速直线

航行,速度为15亚浬/小时，在甲船从A岛动身的东

B

同时，乙船从A岛正南40浬处的R岛动身，朝北偏东0(0=加%；)的方向作匀速直线航行,

速度为10百浬/小时.(如图所示)

(I)求动身后3小时两船相距多少浬

(II)求两船动身后多长时间相距最近最近距离为多少浬

【解析】：以A为原点所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设在t时刻甲、乙两船分别在P(hyjQ(物).

⑴令』、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20)

即两船动身后3小时时，相距5国锂

。由(D的解法过程易知:

・••当且仅当4时的最小值为20V2

即两船动身4小时时,相距20页海里为两船最近距离.

27.在锐角AABC中，已知内角A.B.C所对的边分别为a、b、c,且行(一)=1+・B.

(1)若才一=d—求A.B.C的大小;

(2)已知向量而=(,),R=(,),求|3百一2百I的取值范围.

【解析】

28.如图，某住宅小区的平面图呈扇形C.小区的两个出入口

置在点力与点。处，小区里有两条笔直的小路ADDC,

拐弯处的转角为120.已知某人从。沿CO走到。用了10

钟，从。沿OA走到A用了6分钟,若此人步行的速度为每

钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米).

【解析】解法一：设该扇形的半径为r米.由题意，得

500(米)，300(米)，Z6O0

在\CDO中，CO?+。犷—2•CO••cos600=OC\

2

BP500+(广-300『_2x500x(r-300)xl=产,

2

解得厂=幽、445（米）

11

解法二：连接，作1