高考数学练习试卷第63练

专题9平面解析几何

第63练椭圆的几何性质

训练目标熟练掌握椭圆的几何性质并会应用.

（1）利用定义『向+|尸冏=勿找等量关系;（2）利用层=按+宜及离心

解题策略

率找等量关系；（3）利用焦点三角形的特殊性找等量关系.

一、选择题

1.（2018・长沙调研）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴为18,且两个焦点恰好将长轴三等

分，则此椭圆的方程是（）

X2V2fV2

A-8T+72=1B说

1+j*+2=1

=81十451气1十361

2.（2017•扬州模拟）椭圆八S+g=im>〃>0）的左、右焦点分别为Q,尸2,焦距为2c,若直

线），=小（工+切与椭圆r的一个交点M满足NMFiF2=2NMF?Fi，则该椭圆的离心率等于

（）

A.A/3—1B.^/2—1

2>3

C.TD.T

◊J

3.（2017・天津模拟）已知椭圆C宗+%=1（必>0）的左、右焦点分别为产2,离心率为由

过&的直线/交C于A,8两点.若出的周长为4、/5,则C的方程为（）

A.y4-^=1B.y4-y2=1

4.点F为椭圆*+1=l（Q历>0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△4。〃为正三角形，那么

椭圆的离心率为（）

A正

/>■2B.2

「小一1

D.小一1

2

5.已知Q,B分别是椭圆的左、右焦点，现以B为圆心作一个圆，该圆恰好经过椭圆中心

并且交椭圆于点M,N,若直线ME是圆B的切线，则强圆的离心率为（）

A.小一1B.2-小

C正D近

L.2Lxa2

・「2\―21

6.设昌，B分别是椭圆/+g=13乂>°）的左、右焦点，离心率为7M是椭圆上一点且MF?

与x轴垂直，则直线的斜率为（）

11

A.±2B.

c.4D.±|

7.过椭圆》+卡=13>/>0）的左焦点R作k轴的垂线交椭圆于点P,&为右焦点，若NF产产2

=60。，则椭圆的离心率为（）

A«正2B坐D.1

小一I

8.离心率为黄金比；2的1椭圆称为“优美椭圆”.i京=1（〃>/»0）是优美椭圆，F,A

分别是它的左焦点和右顶点，8是它的短轴的一个顶点，则NFBA等于（）

A.75°B.60°

C.120°D.90°

二、填空题

9.若椭圆f+?=i的一条弦被点（;，g平分，则这条弦所在直线的方程是.

10.己知椭圆方+5=1（0<〃<9）的左、右焦点分别为月，B，过F］的直线交椭圆于4,B两

点，若依向+|8尸2|的最大值为10，则机的值为.

11.（2017・石家庄模拟）已知椭圆，+尸=1的左、右焦点分别为B，B，点自关于直线、=一

x的对称点尸仍在椭圆上，则△PFiF?的周长为.

12.如图所示，椭圆1+忘=1（〃>/»0）的左、右焦点分别为尸”乃，上顶点为A,离心率为今

点P为第一象限内椭圆上的一点，若凡超八：S“"2=2：1,则直线PR的斜率为

答案精析

1.A[由题意知2a=18,Aa=9,2c=|x2fl,

，c=3,/.b2=ct2—2=72、

・•・椭圆方程为《十5=1.]

o1/Z

2.A[直线y=#5(x+c)过点尸i,且倾斜角为60。，

所以NMFIF2=60。，

从而NMBFI=30。，所以MQJ_M后.

在RlZXMRB中，|MFi|=c,|MF2|=V3C.

所以该椭圆的离心率。=苴=曷不=小-1.]

3.A[由6=坐得；=坐①

又AAF归的周长为4小，由椭圆的定义，

==

得4〃=4、/3,即ciyj3t代入①得c1,

所以方2=〃—/=2,故C的方程为作+3=1.]

4.D[设厂为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性，得直线OA的斜率为我=tan6(T=5，

所以点4的坐标为&，豹，代入椭圆方程得余+第=1,得到&+3〃2c2=4.2,

再将力2=〃—/代入上式得/—8。2/+4/=0,

又6=务得/-8/+4=0,

解得/=4±2小=(14)2,

因为椭圆的离心率范围为(0,1),故6=小一1,故选D.]

5.A[因为直线MR是圆B的切线，

所以NFIMF2=90。，\MF2\=C.

因为尸尸2|=2C,所以|MQ|=，5C.

由椭圆的定义可得|MQ|+|A/B|=c+小c=2a,

所以离心率6=不后=#一1.]

1/1CT—拄1

6.C伸离心率为颉得%=；,可得一^=点即6=竽〃，因为MB与x轴垂直，故点M

的横坐标为c,故云+==1，解得尸4=再，贝"土U直线MFi的斜率为女MR=

±|^=±|x2=±1,故选C.]

7.B[由题意知点P的坐标为（一c,日）（或（一小一片~）1

VZF!PF2=60°,=、G,・・・2。。=小按，

又屋一〃2=/,.•.小/+2°一小=（）,

即6=乎或e=一小（舍），,e=乎，故选B.]

Qcr组军工皆■一用僵l」B|_______|P/i|

8.D[根据正弦正理得sin/PQB-sin/PB/V

所以由sinNPQF2=sinN尸出乙可得两=历可'

即缺|=5=e，所以俨川=e|PBI,

又俨人|+-6|=。|06|+\PF2\=|P&I（。+1）=2〃，

即伊尸2尸僚，

因为。一c<|P尸2|<。+。（不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0,无意义），所以a—

2a।

下7<〃+。，

c2c2

即1一l币Vl+7所以1-6<币<1+。，

J(l-e)(l+e)<2,I一，<2,

即《听.也<1+e或1+o<一啦,

2<(l+e)2,

又0<e<l,所以小一1々<1,即故选D.]

9.I2X+3厂5=0

解析设该弦与椭圆相交于点A（X1,yi）,Bg）'2）,

易知沏工也，1ylW3'2,

由点6，9平分弦4B可得X1+X2=|,

yi+V2=y

即心8=—4,故所求直线的方程为12（+3），-5=0.

10.3

解析已知在椭圆,+.=1（0<〃?<9）中./?=9.力2=〃?

|AF2|+|8F2|=4X3一|AB|W10,

2b2。加

|/W|^2,|AB|min=-3-=-3-=,解得/〃=3.

11.2V5+2

解析椭圆左焦点Q(—c,0)关于直线y=-x的对称点P(0,c)仍在椭圆上，则c=b=l,

®则△"［出的周长为2a+2c=2，5+2.

12立

"•5

Q1

解析由f得。=2c.

设直线尸凡的斜率为〃(Q0),

则直线PF