北师大版九年级数学下册期末综合检测试卷（解析版）

【专题突破训练】北师大版九年级数学下册

期末综合检测试卷

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分，)

1.已知Rt^ABC中，ZC=90°,ZCAB=a,AC=7,那么BC()

A.7sinaB.7cosaC.7tanaD.7cota

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可.

【详解】

解：・.・RSABC中，ZC=90°,ZCAB=a,AC=7,

AC7

BC=7tana.

故选C.

【点睛】本题考杳锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边

比斜边，正切为对边比邻边.

2.帼物线y=+3x+2与)'轴的交点坐标为()

A.(2,2)B.(-2.2)C.(0,2)D.(2,0)

【答案】C

【解析】

【分析】

把x=0代入抛物线y=-2x2+3x+2,即得抛物线y=-2x2+3x+2与y轴的交点.

【详解】J解:把x=0代入y=-2x2+3x+2,得y=-3,

则抛物线y=2x2+3x+2与y轴的交点坐标为(0,2).

故选C.

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，解题关键是掌握y轴上点的横坐标为0.

3.如图，。。的半径为1,A、B、C是圆周上的三点，ZBAC=36°,则劣弧BC的长是（）

234

B.—71C.—7TD.一〃

5555

【答案】B

【解析】

试题分析•：连接OB,OC,依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数

727rxi2

zBOC=2zBAC=2x36°=72°,然后利用弧长计算公式求解，则劣弧BC的长是:---------二-7T.

1805

考点：1、弧长的计算；2、圆周角定理

4.若NB为锐角，且sin8＞乎，那么N8（）

A.小于30°B.大于30°C.大于45°且小于60°D.大于60°

1D

【解析】

【分析】

首先明确sin6（T=且，再根据正弦值随角的增大而增大，进行分析.

2

【详解】解：•・・sin6（T=立，正弦值随角的增大而增大,

2

又sinB＞巨

2

AZB>60°.

故选D.

【点睛】本题考查三角函数，解题关键是熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性.

5.若将抛物线y=x?平移，得到新1旭物线y=（x+3>,则下列平移方法中，正确的是（）

A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位

C.向上平移3个单位D.向下平移3个单位

【答案】A

【解析】

【分析】

先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0）,抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3,0）,然后利用顶点的平

移情况确定抛物线的平移情况.

【详解】解：抛物线y-x?的顶点坐标为（0,0）,抛物线y-（x+3）2的顶点坐标为（-3,0）,

因为点（0,0）向左平移3个单位长度后得到（-3,0）,

所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2.

故选A.

【点睛】本题考查了二次函数图象与儿何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的

抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解

析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

6.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是圆的直径，若NBAC=20。，则NADC等于（）

A.110°B.100°C.120°D.90°

【答案】A

【解析】

试题分析：由AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得/ACB=90。，又由/BAC=20°,即可

求得/B=90°・NBAC=70°,然后日圆的内接四边新的性质，即可求得NADC=180°・/B=110°.

故选A.

考点：1、圆周角定理；2、圆内接四边形的性质

3

X2+-X+2的图象如图所示，当一IWxWO时，该函数的最大值是()

2

B.4C.2D.0

【答案】C

【解析】

根据图象观察可得：在一1人0时，该二次函数是当x=0时，有最大值，最大值是2,因此正确选项是C.

8.如图，P7是口。的切线，丁为切点,PR4是割线，交口。于A、B两点,与直径C7交于点。，已

知CO=2,AD=3,BD=4,那么依等于()

A.6B.6诟C.7D.20

【答案】D

【解析】

【分析】

由相交弦定理知，TD・CD=AD・BD可求得TD的长；由勾股定理知，PT2=PD2-TD2,由切割线定理知,

PT2=PB«PA=(PD-BD)(PD+AD),从而可求得PD,PB的长.

详解】解：VTD-CD=AD*BD,CD=2,AD=3,BD=4,

・・・TD=6,

VPT2=PD2-TD2,

，PT2=PB・PA=(PD-BD)(PD+AD),

，PD=24,

APB=PD-BD=24-4=20.

故选D.

【点睛】本题考杳相交弦定理，勾股定理,切割线定理，解题关键是熟练掌握定理.

9.已知锐角a满足&sin(a+20°)=l,则锐角。的度数为()

A.10°B.25°C.40°D.45°

【答案】B

【解析】

试题分析：二,/sin(a+200)=1,

/.sin(a+20°)=—.

2

/.a-20°=45°,

.•.a=45°-20°=25°.

故选B.

考点：特殊角的三角函数

10.将二次函数y=2/+4x-5化为)，=。*-〃)2+攵的形式，结果为()

A.y=(x+l)2-7

B.y=2(x+\)2-7

C.y=2(x-l)2-7

D.y=2(xII)26

【答案】B

【解析】

【分析】

先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式.

【详解】解：y=2x2+4x-5=2(x2+2x+l)-2-5=2(x+1)2-7,

即y=2(x+1)2.7.

故选B.

【点睛】本题考查二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a10,a、b、c为常数)；

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k；

(3)交点式(与x轴):y=a(x-xi)(x-X2).

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分，)

11.设矩形窗户的周长为6m,则窗户面积S(m2)与窗户宽x(m)之间的函数关系式是

【答案】S=-X2+3X[O<X<3).

【解析】

试题分析：因为矩形的宽是xm,所以矩形的长为(3-x)cm.

则面积为：5=-X2+3X(0<X<3).故答案为5=-/+3%(0<%<3).

考点：根据实际问题列二次函数关系式.

12.等边口43。中，A8=4,则口43。的外接圆半径为,内切圆半径为

【答案】(1),+(2),军

【解析】

【分析】

由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD中，从而解得.

A

【详解】解：连接OC和OD,如图：

由等边二角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点

所以OD_LBC,ZOCD=30°,OD即为圆的半径.

又由BC=4,则CD=2

所以在直角三角形OCD中：—=tan30°

CD

代人解得：OD=2叵，

3

则CO二型1x2二拽L

33

故答案为豆E,4G

3丁

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心的关系，首先明白等边三角形的内心为等边三角形中线，底边

高，角平分线的交点，即在直角三角形中很容易解得.

13.如图，AC、BC是两个半圆的直径,ZACP=30°,若AB=10cm,则PQ的值为

【答案】5x/3cm.

【解析】

试题分析：连接AP、BQ.

•.AC,BC是两个半圆的直径，zACP=30°,

/.zAPQ=zBQC=90°.

设BC二x,在R3BCQ中，cos/ACP=cos300=耍=耍=立，

BCx2

.-.QC=2^X.

一

在RNAPC中，coszACP=cos30°=PO^OC尸。十二”0

~~___________

HB+BC10+x2

解得PQ=573cm.

故答案是56cm.

考点：特殊角的三角函数值.

14.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元销售时，每天可卖出100件.现在他采用提高售价的办法

增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10件，那么他将售价每个定为元时，

才能使每天所赚的利润最大，每天最大利润是元.

【答案】⑴.14(2).360

【解析】

【分析】

设他将售价定为X元，利润为y元，根据总利润=单个利润X数量建立函数关系式，再由函数的解析式的性

质求出其解即可.

【详解】解：设设他将售价定为x元，利润为y元，由题意，得

y=(x-8)[100-10(x-10)],

y=-l0x2+280x-l600,

y=-l()(x-14)2+360.

Aa=-10<0,抛物线有最大值.

・••当x=14时,y最大=360.

故答案为14,360.

【点睛】本题考查J'销售问题的数量关系的运用，由总利润=单个利润X数量建立函数关系式，二次函数的

解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键.

15.在UABC中,ZA:Z^:ZC=1:2:3,则以“为圆心,以AC为半径的圆与的位置关系是

【答案】相切

【解析】

【分析】

根据题意先求出NA、NB、ZC度数，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切.

【详解】解：VZA：ZB：ZC=1：2：3,Z.ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°,

・••点B到AC的距离等于。B的半径，

・•・以B为圆心，以BC为半径的圆与AC的位置关系是相切，

故答案为相切.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：①当圆心到直线的距离d>圆的半径r,直线与圆相离；

②当圆心到直线的距离dV圆的半径r,直线与圆相交；

③当圆心到宜线的距离d二圆的半密r,直线与圆相切.

16.眼下正值惊蛰时节，春雷始呜，我市进入雷电多发期，如图是某校在教学楼顶安装的避雷针，根据图中

所给的数据，避雷针C。的长约为m(结果精确到O.Obn).

□□

□□

□□

□□

□□

解析

【分析】

在直角AABC和直角4ABD中，根据三角函数就可以用AB表示出BC、BD,从而求出CD.

【详解】解：在直角aABC中，tan/CAB=——，

AB

：.BC=AB*tan400=52*tan40°=43.63.

同理BD=AB*tan43°^48.49.

ACD=BD-BC=48.516-43.628=4.89（米）.

故答案为4.89.

【点睛】本题考查三角函数定义的应用.解题关键是正确的利用合适的边角关系解直角三角形

17.如图所示，在△ABC中，BC=4,以点A为圆心，2为半径的。A与BC相切于点D,交AB于点E,交

AC于点F,且NEAF=80。，则图中阴影部分的面积是

【解析】

试题分析：连结AD,根据切线的性质得AD±BC,则S，ABC=^AD-BC,然后利用S阴影掂分:SMBC-S牖形AEF

和扇形的面枳公式计算即可.

解：连结AD,如图,

•.•0A与BC相切于点D,

..AD±BC,

.,.S-ABC=~^AD*BC,

，SWI影部分=S，ABC-StaifjAEF

80•兀・22

=—x2x4-

2360

彳8

=4--TT.

9

18.关于x的函数y=（攵-2）9-（2攵一］）x+攵的图象与x轴有两个交点，则上的取值范围是

恪案"小工2

【解析】

【分析】

关于x的函数y=（k-2）x2-（2k-l）x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2-4ac>0,且二次项系数不等

于0,据此列不等式求解.

(2k-l)2-4k(k-2)>0

【详解】解：根据题意得:

女一2/0'

解得k>-L且k#2.

4

故答案：k>->!"且用2.

4

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a视）的交点与一元二次

方程ax2+bx+c=O根之间的关系.△=9Mac决定抛物线与x轴的交点个数.△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴

有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△:b2-4acVO时，抛物线与x轴没有交点.

19.如图，直线48、相交于点。，ZAOC=30°»半径为lea的口P的圆心在直线AB二，且与点O

的距离为6cm.如果口P以1（?机户的速度，沿由A向8的方向移动，那么秒种后口P与直线C。

相切.

D

B

o

【答案】4或8

【解析】

【分析】

分类讨论:当点P在当点P在射线0A时OP与CD相切，过P作PEJ_CD与E,根据切线的性质得到PE=lcm,

再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm,则。P的圆心在直线AB上向右移动了（6-2）cm

后与CD相切，即可得到。P移动所用的时间；当点P在射线OB时。P与CD相切，过P作PE_LCD与F,

同前面•样易得到此时。P移动所用的时间.

【详解】解：

当点P在射线OA时。P与CD相切，如图，过P作PE_LCD与E,

PE=1cm，

•・•ZAOC=30°,

/.OP=2PE=2cm,

・•・OP的圆心在直线AB上向右移动了（6-2）cm后与CD相切,

6-2

・・・0P移动所用的时间=一1=4（秒）；

当点P在射线OB时。P与CD相切，如图，过P作PE±CD与F,

PF=lcm,

VZAOC=ZDOB=30°,

.\OP=2PF=2cm,

・•・OP的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切,

r1o

・・・0P移动所用的时间:一j-二8（秒）.

故答案为4或8.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有二种位置关系（相切、相交、相离）.也考查了切线的性

质.解题关键是熟练掌握以上性质.

20.已知二次函数》=一/+2工+〃2的图象如图所示，则关于x的一元二次方程一/+2工+加=0的根为

；不等式—f+2x+机〉0的解集是；当x时，)'随工的增大而减小.

【答案】(1).x=-l或x=3(2).-l<x<3(3).>1

【解析】

【分析】

根据二次函数y=x2+2x+m的图象可以得到其对称轴和与x轴一个交点，由此可以得到抛物线与x轴的另一

个交点坐标，然后就可得m的值，那么解方程就能求得一元二次方程的解，可得到函数与x轴的交点，那

么X轴上方的函数图象所对应的人的取值即为不等式-x2+2x+m>0的解集，对称轴的右侧，y随x的增大而

减小.

【详解】解：•・•对称轴为x=l,一个根为3,

-x2+2x+m=0的根为x1=-1,X2=3,

・••不等式一x2+2x+m>0的解集是一1VXV3,

当x>l时，y随x的而减小.

【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根；二次函数与不等式(组)，解题关键是利用对称轴求得

函数图象与x轴的交点坐标，然后由图象解不等式，此题锻炼了学生数形结合的思想方法.

三、解答题(本题共计8小题，共计60分)

21.如图，8。是口。的直径，A是弦3。延长线上一点，切线。石平分AC于E.

(1)求证：AC是口O的切线;

(2)若AO:DB=3:2,AC=15,求□。的直径.

【答案】⑴详见解析；⑵BC=5r.

【解析】

【分析】

（1）要证AC是。O的切线，只要证NBCA=90°即可；

（2）切割线定理得出关于AD,AB的比例式，求出AB的长，再用勾股定理求出求。。的直径.

【详解】（1）证明：连接。。，CD；

•.坛线DE平分AC于E,

:"ODE=90；

•:8c是口。的直径，

.•在Rl\：ADC中DE=CE;

\OE=OE,OD=OC,

s.QODE^JOCE,

:.ZACB=90°,

.•MC是口。的切线.

(2)解：:AC是口。的切线；

：,ACAC=ADAB=AD\AD+BD)AD;DB=3;2,

/.AD=3y/i5,AB=5屎,

/.BC=5瓜.

【点睛】本题考了切线的判定，切割线定理和勾股定理的综合运用，解题关键是熟练掌握切线的性质、判

定..

22.已知函数），=3/-6人一24,

（1）通过配方，写出其对称轴，顶点坐标；

（2）分别求出其与五轴、y轴的交点坐标；

（3）画出函数大致图象，结合图象说明，当X取何值时，）<0?

【答案】（1）对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1,-27）;（2）与x轴的交点坐标为（-2,0）,（4,0）,与y

轴的交点坐标为（0,-24）；（3）图象详见解析，当一2cx<4时，y<0.

【解析】

【分析】

（1）先提取二次项系数3,然后利用完全平方公式配方即可，再根据二次项系数写出开口方向，然后写出

对称轴与顶点坐标；

（2）令y=0,解关于x的一元二次方程求出与x轴的交点坐标，令x=0求出于y轴的交点坐标；

（3）根据二次函数的对•称性，先确定出对•称轴，然后作出大致图象即可.

【详解】解：（1）y=3x2-6x-24y,

=3（X2-2X+1）-24-3,

=3（1尸-27,

,.1=3>0,

.•・抛物线开口方向向上，

对称轴为直线X=1,

顶点坐标为（1,一27）；

（2）令），=0,则3/一61一24=0,

解得％=-2,x2=4,

所以，与上轴的交点坐标为（一2,0）,（4,0）,

令”0,则y=-24,

所以，与y轴的交点坐标为（0,-24）;（3）图象如图所示：

当一2cx<4时，y<0.

【点睛】本题考查二次函数的三种形式的互相转化，二次函数的性质，以及二次函数与坐标轨的交点的求

解，是基础题，解题关键是利用顶点式解析式求解顶点坐标与对称轴更简便.

23.一轮船在尸处测得灯塔A在正北方向，灯塔8在南偏东24.5。方向，轮船向正东航行了2400〃?，到达。

处，测得A位于北偏西49。方向，8位于南偏西41°方向.

（1）线段〃。与PQ是否相等？请说明理由；

（2）求A、5间的距离（参考数据cos4「=0.75）.

【答案】BQ=PQ,理由见解析；（2）4000m

【解析】

【分析】

（1）首先由己知求出NPBQ和NBPQ的度数进行比较得出线段BQ与PQ是否相等；

（2）先由已知求出NPQA,再由直角三角形PQA求出AQ,由（1）得出BQ=PQ=2400m,又由已知得

ZAQB=90°,所以根据勾股定理求出A,B间的距离.

【详解】解：（1）线段BQ与PQ相等.

VZPQB=90o-41°=49°,

ZBPQ=90°-24.5°=65.5°,

:.ZPBQ=180o-490-65.5o=65.5°,

AZBPQ=ZPBQ,

ABQ=PQ；

(2)VZAQB=180°-49o-41o=90°,

ZPQA=90°-49°=41°,

PQ2400

・・AQ=----------=--------==3200,

341。0.75

BQ=PQ=2400,

...AB2-AQ2+BQ2—32002+24002,

/.AB=40（）0,

答：A、B的距离为4000m

【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键是通过角的计算得出BQ=PQ,再由直角三角形先求出

AQ,根据勾股定理求出AB.

24.如图，AB为口。的直径，C为上半圆上一点，。为下半圆弧的中点，G为。。上一点，满足D4=Z）G

（1）求证：G为口48。的内心；

4

（2）延长人G交口。于七点，作于F.若sinNA8C=§,求tanNEAE的值.

【答案】（1）详见解析；（2）tanNE4E=1.

3

【解^5]

【分析】

（1）根据弧、弦、圆心角的关系得到NDAB:NDBA:NACD=NBCD=45°,根据等腰三角形的性质、三

角形的外角的性质得到NBAG二NCAG,证明结论；

（2）根据角平分线的性质得到空=刍?=|,根据正弦的概念、正切的概念计算即可.

ACCG4

【详解】证明：（1）二。为下半圆弧的中点，

，NDAB=/DBA=ZACD=/BCD=45°,

:DA=DG,

:.ZDAG=ZDGA,

450+ZBAG=45°+ZCAG,

:"BAG=ZCAG,

/.AG,CG分别为NC48、4cB的平分线,

.•.G为EMBC的内心；

4

(2)•.•y1£平分NCAA,sin/4/?C=-,

A88G5

,Ic-CG-4，

54

设A3=5x,AC=4x,则8C=3x,=,CG=-x,

口CG1

tanZEAE=-----=—.

AC3

【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心，解题关键是掌握三角形的内心的概念、角平分线的性质、正切

的概念.

25.已知：如图，过圆。外一点8作圆。的切线8M,M为切点，8。交圆。于点A,过点A作80的

垂线，交BM于点、P,B0=3,圆。的半径为1.求MP的长.

【解析】

【分析】

连接OM,根据切线的性质得到直角三角形，根据勾股定理求得BM的长.再根据切线长定理和勾股定理列

方程求得MP的长.

【详解】解：连接0M,则,

在R/DBQM中，OM=T,BO=3,

根据勾股定理，得BM=2g；

\APIOB,

"户是圆的切线，

又PW是圆的切线，

:.AP=MP;

在R/QAPB中，

设AP=x,AB=3-l=2,BP=25/2-x；

根据勾股定理得：

（2爪-X）-

【点睛】此题综合运用了勾股定理和切线的判定以及切线长的定理.考查学生的综合运用能力，解题关键

是熟练掌握切线的判定以及切线长的定理.

26.如图，二次函数丁=0?+〃（+。的图象开口向上，图象经过点（一1,2）和（1,0）,且与丁粕相交于负半

轴.

第（1）问：给出四个结论：①。>0;②〃>0;③。〉。；G）4+〃+C=0.写出其中正确结论的序号（答

对得3分，少选、错选均不得分）

第（2）问：给出四个结论：①HcVO；②2a+〃>0；③"c=l；®a>\.写出其中正确结论的序号.

【答案】（1）正确的序号为①④：（2）正确的序号为②③④.

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线开口向上对①进行判断：根据抛物线对称轴X=-2在y轴右侧对②进行判断；根据抛物

2a

线与y轴的交点在x轴下方对③进行判断；根据x=l时，y=0对④进行判断；

（2）有（1）得到a>0,b<0,c<0,则可对①进行判断；根据0<-2<1可对②进行判断；把点（7,2）和（1,0）

2a

代人解析式得。-加华2,。+力+c=0,整理有a+c=l,则可对③进行判断；根据a=l-c,c<0可对④进行判断.

【详解】（1）①由抛物线的开口方向向上可推出〃>（），正确；

②因为对称轴