高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库

北大重大

第一部分名校考研真题

第1章多项式

一、判断题

1.设Q是有理数域，则P={a+Bi|a邛WQ}也是数域，其中z=Q.()［南

京大学研］

【答案】对查看答案

【解析】首先0,1£P,故P非空；其次令a=+b=a2+02i其中

c(i,s邛1邛2为有理数，故

a±b=(ai+pii)±(a2+pai)=(ai±a2)+(pi±^2)ieP

ab=(ai+M)(0(2+阳)=(ai«2-邮2)+(8仅+0(201)ieP

又令c=aB+Bai,d=o(4+B4i,其中a?,ou,B?邛4为有理数且drO,即agO邛

4Ho,有

c/d=a+03ng+卬)

一小代

综上所述得p为数域.

2.设f(x)是数域P上的多项式，a£P,如果a是f(x)的三阶导数f(x)的k

重根(k“)并且f(a)=0,则a是f(x)的k+3重根.()［南京大学研］

【答案】错查看答案

【解析】反例是f(X)=(x-a)k+3+(X-a)2,这里f(a)=0,并且

r(x)=(k+3)(k+2)(k+1)(x-a)k满足a是f(x)的三阶导数俨(x)

的k重根(kNl).

3.设f(x)=x，+4x・3,则f(x)在有理数域上不可约.()［南京大学研］

【答案】对查看答案

【解析】令x=y+1,则f(y)=^+4丫3+6丫2+8丫+2,故由艾森斯坦因

判别法知，它在有理数域上不可约.

二、计算题

1.f(x)=x3+6x2+3px+8,试确定p的值，使f(x)有重根，并求其根.［清

华大学研］

解：f'(x)=3(x2+4x+p).且(f(x),f'(x))声1,则

163/>814；

14p

22。8

1p4

14p

。一44一。

(1)当p=4时，有(f(x),F(x))=x2+4x+4

所以x+2是f(x)的三重因式，即f(x)(x+2)3,这时f(x)的三个根为-2,

-2,-2.

(2)若p/4,则继续辗转相除，即

1-114p

5-5

。+5

当p=-5时，有(f(x),f'(x))=x-l

即X-1是f(x)的二重因式，再用(X-1)2除f(X)得商式x+8.故

f(x)=x3+bx2-15x+8=(x-1)2(x+8)

这时f(x)的三个根为1,1,-8.

2.假设fi(x)与f2(x)为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且X，+

X2+1整除fi(x3)+X4f2(x3)，试求fl(X)与(X)的最大公因式.［上海交

通大学研］

解：设6次单位根分别为

2此r..Ikn

6.=cos------+zsin------.k=0.1.2,--.5

'66

由于X6-1=(X2)3-1=(X2-1)(X4+X2+1),所以£1,£2,£4,8是x4+x2

+1的4个根.

343

由于有二国二-1,且X4+X2+I|fi(X)+Xf2(X),所以,分别将£1,任代入

fl(X3)+X4f2「3)可得

I工(T-£内-11=。

〔工(—7)=0

从而fl(-1)=f2(-1)=0

即X+1是fl(X)与f2(X)的一公因式.

同理，将代入fl(x3)+乂4£2r3)可得力(1)=f2(l)=0,BPx-lgfl

(X)与f2(X)的一个公因式.

所以(x-l)(X+l)是fl(x)与f2(x)的一个公因式.

又因为fi(x),f2(x)为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以(f(X),

g(x))=x2-1

三、证明题

nn

1.设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f(X)=aox+aix•】+...+而一ix+

an的根，证明：qIao,p|an［华中科技大学研］

证明：因为p/q是f(x)的根，所以(x-p/q)|f(x)，从而(qx-p)|f(x).又

因为p,q互素，所以qx-p是本原多项式［即多项式的系数没有异于±I的公因子］,

且

n1

f(x)=(qx-p)(bn-ix-+...+bo,bi£z

比较两边系数，得加二qbn-1,an=-pbo=>q|a0,p|an

2.设f(x)和g(x)是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数.求证：f

(x)|g(x)的充要条件是fk(x)|gk(x)［浙江大学研］

证明：(1)先证必要性.设f(x)|g(x)，则g(x)=f(x)h(x)，其中h

(x)eP(x),两边k次方得gk(x)=fk(x)hk(x),所以fk(x)|gk(x)

(2)再证充分性.设fk(x)|gk(x)

(i)若f(x)=g(x)=0,则f(x)|g(x)

(诃)若£(乂)，g(x)不全为0,则令d(x)=(f(x),g(x))，那么

f(x)=d(x)fi(x),g(x)=d(x)gi(x)，且(fi(x),gi(x))=1

①

kkkk

所以(x)=d(x)f?(x)fg(x)=d(x)gi(x)

因为林(x)|gk(x),所以存在h(x)GP［x］(x),使得gk(x)=fk(x)-h(x)

所以dk(x)g?(x)=dk(x)fik(x)-h(x),两边消去dk(x)，得g'(x)

=#(X)・h(X)②

由②得fl(X)|gik(x)，但(fi(x),gi(x))=1,所以fi(x)|gi—(x)

这样继续下去，有fi(x)|gi(x),但(fi(x),gi(x))=1

故fi(x)=c,其中c为非零常数.

所以f(X)=d(X)f1(X)=cd(X)=>f(x)|g(X)

3.设f(x),g(x)都是P冈中的非零多项式，且g(x)=sm(x)gi(x)，这

里mNl.又若(s(x),gi(x))=l,s(x)|f(x).证明：不存在fi(x),

r(x)冈，且r(x)HO,d(r(x))<d(s(x))使

/(/_"X)।

s(x)-Sw(x)$1(工)员(工)①

［浙江大学研］

证明：用反证法，若存在fl(X),r(X)使①式成立，则用g(X)乘①式两端，

得

f(x)=r(x)gi(x)+fi(x)s(x)②

因为s(x)|f(x),s(x)|fi(x)s(x),由②式有s(x)|r(x)gi(x).

但(s(X)zgi(x))=1,所以s(X)|r(X).这与。(r(x))<d(s(x))

矛盾.

4.设f(x)是有理数域上n次［nN2］多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f

(x)的一根的倒数也是f(x)的根.证明：f(x)每一根的倒数也是f(x)的根.［南

开大学研］

证明：设b是f(x)的一根，1/b也是f(x)的根•再设c是f(x)的任一根.下

证1/C也是f(X)的根.

令g(x)=f(X)/d,其中d为f(X)的首项系数，不难证明：g(X)与f(X)

有相同的根，其中g(x)是首项系数为I的有理系数不可约多项式.

设g(x)=xn+an-：Lxn-l+...+alX+ao,(ao^O).由于

nn1

b+an-ib-+...+aib+ao=0①

nn1

(l/b)+an-i(l/b)-+...+ai(l/b)+ao=O

nn1

=>aob+aib'+...+an-ib+l=0

n

=>b+(ai/ao)bn-1+...+(an-i/ao)b+1/ao=0②

由g(x)不可约及①，②两式可得1/ao=ao,ai/ao=an-i(i=1,2z,n-1).故

===

3oili3iiSn-i(i1,2z,PI-1)(3)

由③式可知，当f(c)二0时，有f(c)=0,且g(l/c)=0,从而f(l/c)=0.

5.设f(x)是复系数一元多项式，对任意整数n有f(n)都是整数.证明：f(x)

的系数都是有理数.举洌说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n,有f

(n)是整数.[浙江大学研]

证明：设f(x)=g(x)+ih(x),g(x),h(x)GR[x]

由于Vn£Z,f(n)=g(n)+ih(n)GZ,所以h(x)=0.

下证g(x)£Q冈.事实上，令

m

g(x)=ao+aix+...+amx,am^0,aeR,i=lz2,,m

则有

ao+ai+...+am=g(1)eZ,

m

ao+ai-2+...+am-2=g(2)eZ,

m乙

ao+ai(m+1)+...+am(m+l)=g(m+1)e

记

fl1…1

12・•・w+1

r=...

•••

b…(加+i)\

则有

(a0,ai,,am)T=(g(1),g(2),,g(m+1))①

又显见|T|=m!(m-l)!...2!l!/0,由①式得

1

(a0,ai,,am)=(g(1),g(2),,g(m+1))T-

这里T-i是有理数域上的矩阵,g(l),g(2)，…，g(m+1)均为整数，所以

因此

ao,ai,...,ameQ.f(x)=g(x)GQ[x].

取f(x)=x2/2-l/2,有f(x)=(x-n)(x/2+n/2)+(n2-1)/2

可见存在不是整系数的多项式f(x)，对任一整数n,有f(n)=(n2-l)/2EZ.

重庆大学2014仔硕士研究生入学考试试题

科目代码：820

科目名称『高等代数

总分：150分

特别提醒：所有咨索一和写在答函纸上，直接写在试遢或草稿或上的无效.

1、（12分）证明：设?为任一数域，/（x）w/1x］为次数大于零的首多项式,则

/（幻是•个不可妁多项式方案的充要条件为，对任意多项式g（x）.要么

（/（项或外）=1，要么对某一正整数m有/住）|g-（x）,

2

已知行列式;2

2.（15分）=1・试求下列行列式:

VZ

X31

>22

1>2)

—33）3r!-¥yl+；

工3x3y3z

I223］

3、（20分）考虑矩阵彳=x-I0.

1-I2y）

1）当x和y满足什么条件时力可逆？

2）取x=y=l,试用两独方法求出彳的逆

4、（15分）｛为/八…,5｝为复数域C上的向量空间/中的一组找札无关向量.

1）试证明：当刀=3时，］玉+G,七十占,占+七｝也是一个线性无关向量组.

2）若〃>3・相应的结论是否仍然成立？亦即对于〃>3.

{8+七.七+/」・・.耳.,+a,人,玉）是否依然为线性无关向It组？证明你的结论

或举出反例.

■

5、《13分）求力的取他,使用），=（儿5,3）‘在片=（1,-2）/和〃=（-3「1,4）「所张成

的平面内.

0、

0I0

6.（18分）设何即阵/二-442

q।「

1）求4的限低（最小）多项式.

2）求才的初等因子・

3）求4的Jordan标准形并求可逆矩阵，,使，'4?二・/,

7、（12分）证明：如果4为〃阶正规方阵,则彳的H低（用小）名项式4（久）无由囚

式・・

OO0

flaIOI0

8.（15分）设实矩阵4=a\2b.如果有正交矩阵7,使7"力7二OO2

（I2bIJ

求0,b及T・

9、（13分）设AwA，0（•R•）且加l/xO,证明存在唯一的。和r使得/=or.4中

Q为正交矩阵.T为上三角矩阵且对角线元素entj>0.

10.（17分）设行二次型/（xltx2.Xj）=x/+x/+-2XjX,+2aXjX}.

1）a满足什么条件时./正定•

2）写出/所对应的矩阵力,当/正定时.求矩阵C.itA^CC.

第6章线性空间

一、选择题

1.下面哪一种变换是线性变换（）.［西北工业大学研］

A.y=k”bB.C.

【答案】C查看答案

【解析】Y-U+/不一定是线性变换，比如L1则”.「）八也不是线性变换,比如

给/■⑺“而八"3T1’不是惟一的.

2.在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）.［西北工业大学研］

A,必相等B,可能相等亦可能不相等C.不相等

【答案】B查看答案

【解析】比如在2中选三个向量组

（1）：0

（n）&=（IM・・・.O）

（111）:£，:（。，1・・・・・0）.

若选（I）（n），秩（I”秩（n）,从而否定A,若选（n）（in），秩（in）=

秩（n），从而否定c,故选B.

二、填空题

1.若

V=｛（u+/w“+4）|a,M.dQ划

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是_____维的，而在实数域R上是______

维的.［中国人民大学研］

【答案】2;4.查看答案

【解析】在复数域上令a「（L0）・6-（0/）；则提线性无关的.

V3—（a+加di）GV

则

此即证目可由aI，a线性表出.・・・</〃〃，：2.

在实数域上，令

4=(1.0)•伊=»・0),3=(0.1).A=(Ou)

若鬲,+kR+3&4瓦辰=0,其中A,eR(i=1.2.3.4),则

(k\+k2/.Z-a•ktl)=(0,0)

••k2k=A,」0此即马，岛•a・0在R上线性关.

卜―山)&硝I中一邙•昭•，何由同，伙，区甲线性表出，所以在实

数域R上，有di'V=4.

三、分析计算题

1设V是复数域上n维线性空间,Vi和V2各为V的ri维和「2维子空间试求v-v

之维数的一切可能值.［南京大学研］

解：取V的一组基n.如，…，3，再取U的一组基因，即…0则

・

%=/,(。|。2，…，a").V2=L(ai«a2*,,,,Qr2).

V।4-V2=L(ai，…，a八他，….B”

+V\.)=秩ai•…•%用•…,J，2

・・.〃141｛八，厂2｝《〃，，〃(%+V2+「？•〃),

2.设U是由(L3・2.2.3).(1.4.3.1.2).(2.3.1•2.9)｝生成的R的子空、司，

W是由(1.3.0.2.1).(1.5,一6・6.3).(2.5.3・2・1)生成的R的子空间,求

(1)U+W：

(2)LCIW的维数与基底.［同济大学研］

解：(1)令

aH(l・3・一2.2,3).a?K(l・4・一3・l.2)・ai=(2.3,-l.-2.9).

3»=<1.3.0.2.1).向=(1・3•一6・6・3>・$=(2・5.3.2・1).

可得U/.(a：.a.a)=L"，a)・W-♦止,&)=，&).所以

UIW=L(01.at).

由于ai・%毋为6，4•佻的一个极大线性无关组，因此又可得

1■+W-L(a\.a?.3)).

且力加(U-W)=W,故G心心为U+W的一组基.

(2)令

IIQI+4g+y响+*/=0・①

因为秩a、，ad\=3.所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：

6=(0・2•一［・一1)'

-c(。•“)()=2。(2.K.6•S.1

再令⑴।，则

unw=/，wn〃加《unw)=l.

故《为unw的一组基.

3.设A是数域K上的一个mXn,矩阵，B是一个m维非零列向量.令

N=la€K”存住，eK,使A。=tB\.

(1)证明：W关于K的运算构成小的一个子空间；

(2)设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r.证明W的维数dimW=n-r+l:

(3)对于非齐次线性方程组

2xt-x2+X)+3X4=-I

xt+2X2+3xj-x4=2,

14%+3AT,++7x,+=3.

求W的一个基.［华东师范大学研］

证明：(1)显然WH；,又e甲.4・/wK

因为存在ti,t2使Aa=tiB,Ap=t2B.所以

A(kac+串)=kAa♦lAfi

=kl.B+h,R

-(k1+4)H.

即ka+ipew,此说明W是Kn的子空间.

(2)对线性方程组(A,B)Xn+i=O,由题设，其解空间V的维数为(n+1)-r

(A,B)=n-r+1.

任取auW,存在tuK,使

Aa=iB.

所以1-J是线性方程组(A,B)Xn+1=0的解.

这样，存在W到V的映射，°一(-)显然，这是W形至I」V的一个双射.又V

«i,a2eW,keK,存在ti,t2eK，使As=hB,Aa2=t2B,则

a(a

所以

可见W与V同构，从而有dimW=dimV=n-r+1.

(3)由(2)W与如下齐次线性方程组解空间同构.

I-2XJ-x2+X,+3X4-x5=0,

+2X2+3%,一礼+2X5=0,

4x,+3X2+7x,+x4+3X5=0.

该方程组的一个基础解系为：

.=(-1,-1,1,0.0)*.^=(-=(0.-1,0,0,1)\

其在。之下原像

%=(-1,-IJ,0)\a?=(-=(0.-1,0,0),

即为W的一组基.

4.设V1,V2均为有限维线性空间V的子空间,且dim(匕W,)-dim(匕n%)=I,

则和空间匕+匕与匕.％中-个用合Kn/与另一个重合.［上海交通大学研］

证明：因为匕c匕u匕u匕♦匕,

所以dim匕旧％Wdim匕Wdim(匕+匕)，

由题设dim。；+%)=dim匕H匕+I,

所以dim匕n%£diml,<dimI,H%+I.

即0Wdim匕—dimI,AV,<I.

当dim匕・dim匕n匕=田寸，由匕n匕C『得

匕c匕=匕，

此时

匕C匕n匕♦匕=L

当dim匕-dim匕n%=时

z

«limVt=tlimV,